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鸽巢问题 (例1 例2）
进程 画面呈现 知识点讲解词及动画
同学们好，欢迎来到状元成才路慕课堂。我
是柳沐老师。今天我们一起走进好玩的数学广
角，鸽巢问题。
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封面
以前的数学广角，我们研究过很多问题，比
如，植树问题、（动画1）鸡兔同笼等。
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导入
什么是鸽巢问题？
怎么研究？有什么规律？（动画1）为什么
会这样？
（动画2）在生活中有什么应用呢？
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是啊，植树问题里的收获，我们能用到（动
画1）摆花盆和（动画2）敲钟里。
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鸡兔同笼之后，我们能解决（动画1）租船和
（动画2）投球问题。
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1 / 9鸽巢会不会也有很多丰富的应用呢？答案
是肯定的，其实，它还有一个名字，有些人可能
听说过，（动画1）抽屉原理。
（动画2）是什么？（动画3）为什么？（动画
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4）怎么用？接下来，我们就顺着这样三个问题，
一探究竟。
什么是鸽巢问题？
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什么是鸽
巢问题？
先来看一个神奇的魔术。
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点击播放视频
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生活中，类似的现象还有很多。
4个人抢3张椅子，至少有两个人会坐到同
一张椅子上。（动画1、动画2、动画3）
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随意找13个人，至少有两个人同属相。
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2 / 911只鸽子飞回4个鸽巢，总有一个鸽巢至
少飞进了3只鸽子。
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其中，以鸽巢案例最为经典，所以统称为鸽
巢问题。
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为什么会有这样的现象？
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鸽巢问题
有什么规
律？
我们从最简单的案例，也就是 4个人抢三
张椅子开始研究。
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为了方便，我们用手边的铅笔代替抢椅子
里面的人，笔筒代替椅子。
16 例1，把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎
鸽巢问题 么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。对吗？
的研究思
为什么？
路
4支铅笔，3个笔筒。（动画1）不管怎么放，
怎么理解？随便放吗？哦，和扑克牌魔术一样，
观众随便抽牌，所有情况都可能发生。
（动画2）总有一个呢？一定有一个。不管
怎么放都一定有一个，说明什么？对，（动画3）
所有情况都会符合，无一例外！
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（动画4）至少两支，也就是（动画5）最少两
支，两支或3支都行。1支呢？不行，不能比2还
少。
用我们的话念一遍就是：把4支铅笔放进3
个笔筒，所有的放法都会有一个笔筒里最少有
两支铅笔。你打算怎么来验证对错？
3 / 9小美打算把各种情况都摆出来，一一验证。
根据题目的意思，（动画1）如果全部都符合，结
论正确，（动画2）只要有一个例外，就是错的。
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（动画3）下面，我们就按照这个方案来试一
试。列举出所有可能的情况，逐一检验。
像这样四支笔全部放一起的情况，放在第
一个笔筒、第二个笔筒或第三个笔筒，对我们的
验证有影响吗？
是的，没有。所以在列举时可以将它们合三
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为一，（动画1）默认放在第一个笔筒里面。
下面，大家可以暂停视频，边摆边记，开始
自己的探索。
这份简洁的记录，你能看懂吗？是的，三个
数字依次对应三个笔筒里笔的数量。
检查一下，有没有遗漏或重复？OK！确定
有且只有这四种情况。
20 逐一检验。至少两支，符合（动画1），种符合
（动画2），第三种有两个笔筒都符合，圈其中一
个就可以（动画3），符合（动画4）。（动画5）全
部符合，所以结论正确。像这样列举出所有情况
后逐一验证的方法，叫做枚举法。
试想一下，如果铅笔数越来越多，你还愿意用
枚举法吗？是的，会既繁琐又容易出错。有没有
更好的方法呢？
再看题目，（动画1）至少两支，（动画2）也就
是大于等于2，（动画3）顺着看， 2,3,4,5都可
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以，铅笔越多，可能性也越多。（动画4）反过来
看，不是1就行了嘛！对啊，何不反过来想想
呢！
（动画5）假设，每个笔筒里都只有一支铅笔会
怎么样？
假设每个笔筒里都只有一支铅笔，剩下的那
一支，无论放在哪个笔筒，都会有一个笔筒里有
两支铅笔！
太棒了，一下就说清楚啦！
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咦？等等，（动画1）到底只能是两支，还是至
少有两支？
仔细审题，（动画2）要求考虑所有情况。（动
画3）我们刚摆出的这种（2,1,1）只是其中的一
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种，而且是放得最分散、最少的那种！那综合各
种情况，就是总有一个笔筒里至少有两支铅笔。
验证完毕！
嗯，看来，（动画4）最分散的方法，就对应着
4 / 9最少的情况。
整理一下刚才的研究思路。
面对简单的问题，（动画1）我们可以从正面分
析，用枚举法一一验证，（动画2）在寻求简化的
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过程中，（动画3）想到了反面分析，（动画4）并
运用假设法找出了最少的情况，也完成了论证。
两种方法，你更喜欢哪一种呢？
做一做，5只鸽子飞回3个鸽笼，总有一个鸽
笼至少飞进了3只鸽子。对吗？为什么？
还想用枚举法吗？哈哈，我也不想。
那就反过来想一想吧！（动画1），（动画2）
25 （动画3）假设每个鸽笼里面最多只有两只鸽
子，会怎样呢？（动画4）马上就可以想到，
2,2,1，反例成立！原结论错误！
爽快麻利，无论有几个这样相反的例子，只
要有一个能成立，原结论都判错误！
那，（动画1）到底应该是至少飞进了几只鸽
子呢？
（动画2）根据我们刚才的结论，飞得最分
散，就会得到最少，也就是至少的情况。
26 怎样才是最分散呢？（动画3）头三只各进
一个鸽笼，而且剩下的两只，也要分开进不同的
鸽笼。
所以，（动画4）总有一个鸽笼至少飞进了两
只鸽子。
鸽子数继续增加。7只鸽子飞进3个鸽笼，总
有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？
请大家暂停视频，想一想，画一画，说一说自
己的方法。
我大概有三种思路。（动画1）枚举法。（动画
2）也可以逆向思考，假设每个鸽笼里最多飞进
了两只，那3个鸽笼最多飞进了6只，可题目要
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求飞进7只，所以假设不成立，原结论正确。多
么巧妙的思考啊，在数学上这样反过来证明的
思路加反证法，为这样想的同学点赞！（动画
3）还可以通过最分散找最少的情况，看，（动画
4、动画5）最少的情况都会飞进3只，（动画6）
所以，所有情况概括起来就是至少3只。抓住了
最少，就能抓住关键！
（动画1、动画2、动画3、动画4）再来看一下
最后一种方法，（动画5）能用算式把寻找最少
情况的过程简洁地表达出来吗？
（动画6）7只鸽子飞回3个鸽笼，先每个鸽笼
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飞回两只，剩下的一只无论飞进哪个鸽笼，（动
画7）总有一个鸽笼会飞回2+1=3只鸽子。看一
看，想一想，你能看得懂吗？
（动画8）如果有8只鸽子，会怎样？10只鸽
5 / 9子呢？请暂停视频，画一画，写一写，等待你们
的算式。
（动画1）8只鸽子飞回3个鸽笼，先每个鸽
笼飞回两只，剩下两只无论怎么飞，（动画2）总
有一个鸽笼会飞进2+1=3只鸽子。（动画3）咦，
余2，为什么只加1呢？（动画4）因为，剩下的
这两只也要分散，分别进入不同的鸽笼。于是，
总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。
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鸽巢问题 （动画5）10只鸽子飞回3个鸽笼（动画
的数学规 6）。也是这样写的吗？
律
（动画7）观察一下这些算式，你有什么发
现？（动画8）鸽巢问题里，有没有数学规律？
（停顿两秒）
有同学发现，总有一个鸽笼至少飞进了商
+1只鸽子，你也这样认为吗？7进3,8进3和10
进3，都是这样的。
如果鸽笼数不是3，还会有这样的规律吗？
做一做，11只鸽子飞回4个鸽笼，总有一个鸽笼
至少飞进了3只鸽子。为什么？
（动画1、动画2、动画3）先算一算，确实是
30 至少3只。
（动画4、动画5、动画6）再摆一摆，验证一
下。也是至少3只。
看来，无论有多少只鸽子，多少个鸽巢，都
可以用这样的算式来快速找出最少的情况。
鸽巢问题的研究思路和数学规律，在生活
中如何应用呢？
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生活中如
何应用
看看我们课前的这些生活场景。抢椅子和鸽
巢，已经验证了。
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6 / 9接下来揭秘扑克牌的魔术。
你看出来了吗？
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一副牌去掉大小王，还有4个花色。（动画
1）5张牌（动画2）占4个花色，假设每个花色只
有一张牌，还有一张牌一定会和前面重复，所以
至少会有两张牌是同花色的。它和鸽巢问题又
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有什么关联呢？对的，这里的牌相当于鸽子，花
色相当于巢。
最后看生肖预言。
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（动画1、动画2）13位老师占12生肖，假设每个
属相只有一个人，最多只能有12位老师，题目
要求13位，所以假设不成立，至少两个人属相
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相同。这里的老师相当于鸽子，12生肖相当于
巢。
所有疑问，解答完毕！
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回顾与反
思
7 / 9今天，我们首先从生活中的场景出发，认识
了什么是鸽巢问题。
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然后从最简单的问题入手，从正向和逆向两
方面，剖析了论证鸽巢问题的一般思路：枚举、
反证和找最少的情况。
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还找到了鸽巢问题里的数学规律，能用数学
算式更快找到最少的情况。
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最后回到生活中，用探究的思路和规律解读了
生活中的鸽巢问题。
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今天的探索，你有什么新的收获呢？和身边
的小伙伴或爸爸妈妈说说吧！
（点击播放音乐，30秒后点击停止）
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古今中外，很多人都研究过鸽巢问题。
（点击播放视频）
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拓展
8 / 9其实，鸽巢问题就是一个模子，除了我们今天
说的这些案例，这个模子里面有趣的活动还多
着呢！比如，下次课的摸球游戏。
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今天的课就到这里，课后大家可以期待下次
再见！
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9 / 9
