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4.约分
第2课时 最大公因数的应用
1、大家好，欢迎来到状元成才路慕课堂。我是奇奇老师。
2、今天我们接着昨天的知识来讲解《最大公因数的应用》。
3、同学们，小明家准备给长16dm、宽12dm的贮藏室铺地砖，如果要用边长是整分米
数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖必须都是整块）可以选择边长是几
分米的地砖?边长最大是几分米?
读完题目后，你知道了哪些数学信息呢？
我们知道贮藏室长16dm、宽12dm；地砖是正方形；边长是整分米数；要求把贮藏室的
底面铺满；地砖必须都是整块。
4、同学们静静地想一想，要想用正方形的地砖铺满贮藏室，正方形地砖的边长与贮藏
室地面的长和宽有什么关系？
如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满，猜想一下，地砖的边长
可以是多少分米？
同学们都有自己的猜测答案，那大家的猜想对吗？
5、下面我们就从边长是1dm的地砖开始研究。
想象一下，可以怎么铺？
我们沿着长可以铺16块，沿着宽可以铺12块，如果老师用示意图这样表示，可没有画
满，同学们能看懂吗？
6、我们一起来看完整的铺法。一排铺16块，铺12排，刚好全部铺满，满足题目要求，说
明正方形地砖的边长可以是1dm。按照这样的方法，我们再来看地砖边长是2dm时行
不行？
7、用边长是2dm的地砖，沿着长可以铺8块，沿着宽可以铺6块，我们将地砖补齐，发
现也能全部铺满，说明正方形地砖的边长可以是2dm。
8、用同样的方法，我们可以找出，地砖的边长是3dm时，沿着宽可以铺4块，但是沿着
长可以铺5块，多余的一点无法再铺完整的一块，不满足要求；
9、地砖的边长是4dm时，沿着长可以铺4块，沿着宽可以铺3块，能将地面铺满。
1想一想，我们还要像这样一次一次的试下去吗？有没有更好的方法能帮我们找到合适
的地砖的边长？
带着这样的问题，用刚才学到的方法，在方格纸上将你的想法画出来，看看正方形地砖
的边长还可以是多少分米？按下暂停键，尝试一下
10、通过前面的探究，你发现了什么？
11、要使所用的正方形地砖都是整块的，边长是整分米的、且要铺满地面。那么正方形
地砖的边长既要是贮藏室的地面长的因数、也是宽的因数。
就是长和宽的公因数。
正方形地砖的边长最大是多少？那就要在长和宽的公因数里面选择最大的了，也就是
他们的最大公因数。
这样将求地砖边长的问题转换成了求储藏室长和宽的最大公因数的问题了。
贮藏室的长方形地面的长是16分米，宽是12分米。他们的公因数有1、2、4.所以当正
方形地砖的长度为1、2、4分米时，能刚好铺满地面，而正方形地砖的长度为3分米时，
不能刚好铺满地面。
由此可以知道，正方形地砖的边长必须是长和宽的公因数。
运用短除法，我们可以直接将12和16的最大公因数4求出来，
所以，可以选择边长是1分米、2分米、4分米的地砖，边长最大是4分米。
12、我们来看书上63页第6题，男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排
最多有多少人? 这时男、女生分别有几排?
从图中我们知道男生有48人，女生有36人，每排人数相同，每排人数就既是男生人数
的因数，也是女生人数的因数。就是男生和女生人数公因数,每排最多有多少人，就是
求48和36的公因数里面最大的，就是他们的最大公因数。
48和36的最大公因数是 12，确定了每排人数最多有12人后，就根据“总人数÷每排
人数＝排数”求出男、女生分别有几排，48÷12=4（排）36÷12=3（排）
答：每排最多有 12 人，这时男生有 4 排，女生有 3 排。
13、同学们现在独立完成教科书P63~64“练习十五”第4、7、8、9题。（可以按下暂停
键，细心思考）
14、找出下列各分数中分子和分母的最大公因数，写在括号里。
2我们先来看第一个，分子是7，分母是9，我们可以运用列举法，列举出7的因数和9的
因数， 从而找到最大公因数是1；或者运用筛选法，在7的因数中找哪些是9的因数，
也可以在9的因数中找哪些是7的因数，同样能找到7和9的最大公因数是1。
第二个分数的分子是8，分母是36，我们可以运用学过的分解质因数方法，
36=2×2×3×3,8=2×2×2，有相同的质因数2和2；或者用短除法，同样可以找到相同的质
因数2和2，最后得出36和8的最大公因数是2×2=4；
找公因数需要我们灵活运用列举法、筛选法、分解质因数法、短除法
运用所学的方法，我们也可以找出9和15的最大公因数是3；21和49的最大公因数是
7；
但是最后这两个分数，我们观察一下分子和分母有什么特点？
分子是分母的因数，分母是分子的倍数，我们知道两个数如果成倍数关系，那么他们的
最大公因数就是较小数，所以我们能快速知道18和72的最大公因数是18； 11和66
的最大公因数是11；
15、在相应的括号里写出相邻阶梯上两个数的最大公因数，灵活运用找公因数的方法，
可以找出10和15的最大公因数是5；15和18的最大公因数是3；18和24的最大公因
数是6；24和36的最大公因数是12；36和72的最大公因数是36；
16、按要求写出两个数，使它们的最大公因数是 1
第一个要求是两数都是质数，我们知道质数的因数只有1和它本身，所以随便两个质
数，它们的公因数只有1，都满足题目要求；例如2和5
第二个要求是两个数都是合数，我们知道合数的因数除了1和它本身，还有其他的因
数，所以我们选择的时候只要让两个合数的公因数只有1即可，答案并不唯一，例如4
和9
第三问要求一个是质数，一个是合数，从质数和合数的因数特征可以知道，选择的质数
3和合数只要不是倍数或因数关系，它们的公因数只有1,答案不唯一，例如13和8
17、9和16的最大公因数是1；36和48的最大公因数是12；
18、甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因数是较小数，也就是乙
19、独立完成书63页第5题，按下暂停键，想一想
题中可知正方形的边长既是长方形长的因数又是长方形宽的因数，也就是70和50的
公因数。所以要求最后的问题就是要求70和50的公因数。题中又要求最大的，所以就
是要求70和50的最大公因数。
70和50的最大公因数是10，所以剪出的正方形的边长最大是10cm
20、想一想，要把这三根不同长度的木棒截成同样长的小棒，不能有剩余，每根小棒最
长是多少厘米?
题中可知每根小棒的长度既是12cm的因数又是16cm的因数还是44cm的因数，也就
是12、16和44的公因数。所以要求最后的问题就是要求12、16和44的公因数。题中
又要求最长的，所以就是要求12、16和44的最大公因数。
我们可以先用列举法找出12和16的公因数1、2、4，再从中筛选出哪些是44的因数，
从而找到12、16和44的公因数1、2、4，选择其中最大的4。
或者运用分解质因数法，将12、16、44公有的质因数2和2找出，也能得到12、16和44
的最大公因数是4，所以每根小棒最长是4厘米。
21、通过今天的学习，你们都有哪些收获呢？
回想一下，我们帮助小明铺贮藏室的地砖，将生活中的问题转化为数学问题，猜测正方
形地砖的边长可能与贮藏室的长和宽有关，通过画图、求宽边和长边的公因数，验证要
使所用的正方形地砖都是整块的，边长是整分米的、且要铺满地面地砖的边长必须既
是16的因数，又是12的因数。
22、今天的课外作业是：《创优作业100分》37面作业。请同学们安排好时间独立完
成！
23、亲爱的同学，通过听课、作业你一定有了不小的收获，祝贺你啦！
4状元成才路，助你学习进步！
今天的课就到这里了，同学们下期再见！
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