文档内容
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
4．5 一次函数的应用
第 1 课时 利用一次函数解决实际问题
(1)求a的值，并求出该户居民上月用水
8t应收的水费；
1．根据问题条件找出能反映出实际问 (2)求b的值，并写出当x>10时，y与x
题的函数；(重点) 之间的函数表达式；
2．能利用一次函数图象解决简单的实 (3)已知上月居民甲比居民乙多用 4t水，
际问题，发展学生的应用能力；(重点) 两家共收水费46元，他们上月分别用水多
3．建立一次函数模型解决实际问题． 少吨？
(难点)
一、情境导入
联通公司手机话费收费有A套餐(月租
费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月
租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A
套餐每月话费为y(元)，B套餐每月话费为 解析：(1)用水量不超过10t时，设其函
1
y(元)，月通话时间为x分钟． 数表达式为y＝ax，由上图可知图象经过点
2
(1)分别表示出y 与x，y 与x的函数关 (10，15)，从而求得a的值；再将x＝8代入即
1 2
系式； 可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，
(2)月通话时间为多长时，A、B两种套餐 15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b的
收费一样？ 值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民
(3)什么情况下A套餐更省钱？ 乙用水比10t多还是比10t少，然后用相对
二、合作探究 应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．
探究点：一次函数与实际问题 解：(1)当0≤x≤10时，图象过原点，所
【类型一】 利用图象 ( 表 ) 解决实际问题 以设y＝ax.把(10，15)代入，解得a＝1.5.所
我国是世界上严重缺水的国家之 以y＝1.5x(0≤x≤10)．当x＝8时，y＝1.5×8
一．为了增强居民节水意识，某市自来水公 ＝12，即该户居民的水费为12元；
司对居民用水采用以户为单位分段计费的 (2)当x>10时，设y＝bx＋m(b≠0)．把
办法收费：月用水10t以内(包括10t)的用户， (10，15)和(20，35)代入，得解得即超过10t的
每吨收水费a元；月用水超过10t的用户， 部分按每吨2元收费，此时函数表达式为y
10t水仍按每吨a元收费，超过10t的部分， ＝2x－5(x>10)；
按每吨b元(b>a)收费．设某户居民月用水 (3)因为 10×1.5＋10×1.5＋4×2＝
xt，应收水费y元，y与x之间的函数关系如 38<46，所以居民乙用水比10t多．设居民乙
图所示． 上月用水xt，则居民甲上月用水(x＋4)t.y
甲
www.youyi100.com
第 1 页 共 4 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才
＝2(x＋4)－5，y ＝2x－5.由题意，得[2(x＋ 如图①，底面积为30cm2的空圆
乙
4)－5]＋(2x－5)＝46，解得x＝12.即居民甲 柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组
用水16t，居民乙用水12t. 成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满
方法总结：本题的关键是读懂图象，从 为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水
图象中获取有用信息，列出二元一次方程组 时间t(s)之间的关系如图②所示．
得出函数关系式，根据关系式再得出相关结
论．
广安某水果店计划购进甲、乙两
种新出产的水果共140千克，这两种水果的
进价、售价如表所示：
进价(元/千克) 售价(元/千克)
甲种 5 8
乙种 9 13
(1)若该水果店预计进货款为1000元，
则这两种水果各购进多少千克？
(2)若该水果店决定乙种水果的进货量
不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安
排进货才能使水果店在销售完这批水果时
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
获利最多？此时利润为多少元？
(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水
解析：(1)根据计划购进甲、乙两种新出
的水流速度(单位：cm3/s)为多少？
产的水果共140千克，进而利用该水果店预
(2)若“几何体”的下方圆柱的底面积
计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)
为15cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底
利用两种水果每千克的利润表示出总利润，
面积．
再利用一次函数增减性得出最大值即可．
解析：(1)根据图象，分三个部分：注满
解：(1)设购进甲种水果x千克，则购进
“几何体”下方圆柱需 18s；注满“几何
乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋
体”上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何
9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝
体”上面的空圆柱形容器需 42－24＝
75(千克)．
18(s)，再设匀速注水的水流速度为xcm3/s，
答：购进甲种水果65千克，乙种水果75
根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)
千克；
由图②知几何体下方圆柱的高为acm，根据
(2)由图表可得甲种水果每千克利润为
圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得
3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润
a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为
为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x
5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为
＋560，故W随x的增大而减小，则x越小，
Scm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝
W越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量
5×(24－18)，再解方程即可．
不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－
解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的
x≤3x，解得x≥35，∴当x＝35时，W ＝
最大
高为 14cm，两个实心圆柱组成的“几何
－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千
体”的高度为11cm，水从刚满过由两个实
克)．
心圆柱组成的“几何体”到注满用了42－
答：当购进甲种水果35千克，购进乙种
24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀
水果105千克时，此时利润最大为525元．
速注水的水流速度为 xcm3/s，则 18·x＝
方法总结：利用一次函数增减性得出函
30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度
数最值是解题关键．
www.youyi100.com
第 2 页 共 4 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才
为5cm3/s； 格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含
(2)由图②知“几何体”下方圆柱的高 的数量关系．
为acm，则a·(30－15)＝18×5，解得a＝6， 【类型三】 两个一次函数图象在同一坐
所以“几何体”上方圆柱的高为 11－6＝ 标系内的问题
5(cm)．设“几何体”上方圆柱的底面积为
Scm2，根据题意得 5×(30－S)＝5×(24－
18)，解得S＝24，即“几何体”上方圆柱的
底面积为24cm2.
方法总结：本题考查了一次函数的应用：
把分段函数图象中自变量与对应的函数值 为倡导低碳生活，绿色出行，某自
转化为实际问题中的数量关系，然后运用方 行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活
程的思想解决实际问题． 动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休
【类型二】 建立一次函数模型解决实际 息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自
问题 行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲
某商场欲购进A、B两种品牌的饮 地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在
料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如 丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲
下表所示．设购进A种饮料x箱，且所购进 地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，
的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度
元． 的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲
(1)求y关于x的函数表达式； 地的路程y(km)与自行车队离开甲地时间
(2)如果购进两种饮料的总费用不超过 x(h)的函数关系图象，请根据图象提供的信
20000元，那么该商场如何进货才能获利最 息解答下列各题：
多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－成 (1) 自 行 车 队 行 驶 的 速 度 是
本) ________km/h；
(2)邮政车出发多少小时与自行车队首
品 牌 A B 次相遇？
进价(元/箱) 55 35
(3)邮政车在返程途中与自行车队再次
售价(元/箱) 63 40
相遇时的地点距离甲地多远？
解析：由表格中的信息可得到A、B两
解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求
种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出
出结论；
利润，进而利用函数的图象性质求出最大利
(2)由自行车的速度就可以求出邮政车
润．
的速度，再由追击问题设邮政车出发a小时
解：(1)由题意，知B种饮料有(500－x)
两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政
箱，则y＝(63－55)x＋(40－35)(500－x)＝3x
车的速度可以求出B的坐标和C的坐标，由
＋2500.即y＝3x＋2500(0≤x≤500)；
自行车的速度就可以D的坐标，由待定系数
(2)由题意，得55x＋35(500－x)≤20000.
法就可以求出BC，ED的解析式就可以求出
解得x≤125.∴当x＝125时，y ＝3×125
最大值 结论．
＋2500＝2875.∴该商场购进A、B两种品牌
解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度
的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大
是72÷3＝24km/h.
利润2875元．
(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5
方法总结：此类题型往往取材于日常生
＝60(km/h)．设邮政车出发a小时两车相遇，
活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，
由题意得24(a＋1)＝60a，解得a＝.
得到函数表达式，并运用函数的性质解决实
答：邮政车出发小时与自行车队首次相
际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表
www.youyi100.com
第 3 页 共 4 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才
遇；
(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时
间为135÷60＝(h)，∴邮政车从丙地出发的
时间为＋2＋1＝(h)，∴B(，135)，C(7.5，0)．
自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5
＝＋0.5＝(h)，∴D(，135)．设BC的解析式为
y＝kx＋b，由题意得∴∴y＝－60x＋450，
1 1 1 1
设ED的解析式为y ＝kx＋b ，由题意得解
2 2 2
得∴y＝24x－12.当y＝y 时，－60x＋450＝
2 1 2
24x－12，解得x＝5.5.y＝－60×5.5＋450＝
1
120.
答：邮政车在返程途中与自行车队再次
相遇时的地点距离甲地120km.
方法总结：本题考查了待定系数法求一
次函数的解析式，一次函数与一元一次方程
的综合运用，解答时求出函数的解析式是关
键．
三、板书设计
一次函数与实际问题
1．建立一次函数模型解实际问题
2．利用图象(表)解决实际问题
对于分段函数的实际应用问题中，学生往往
忽视了自变量的取值范围，同时解决有交点
的两个一次函数图象的问题还存在一定的
困难，有待在以后的教学中加大训练,力争
逐步提高.
www.youyi100.com
第 4 页 共 4 页
