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专题 25.3 用列举法求概率
1. 掌握列举法求概率的三种方式，直接列举，列表法与树状法求概率，并能在题目中
教学目标 熟练应用合适的方法求概率。
能够通过计算概率判断游戏的公平性。
1. 重点
（1）直接列举法求概率；
（2）列表法与树状图求概率。
教学重难点 2. 难点
（1）列表法与树状图求概率；
（2）放回与不放回事件的概率；
（3）比较游戏的公平性。知识点01 用直接列举法求概率
1. 直接列举法求事件概率：
在一次实验中，如果可能出现的结果只有 个，且各种结果出现的可能性大小 ，
则可通过列举实验结果的方法分析随机事件发生的概率。
【即学即练1】
1．小余有四根木条，长度分别是2，3，4，5，从中任意取三根木条作为边拼成三角形，能拼成三角形的
概率是（ ）
1 2 3
A．4 B． C． D．
2 3 4
知识点02 用列表法求事件概率
1. 列表法求事件的概率：
当一次实验要涉及的因素有两个（或是需要两部操作来完成实验）且可能出现的结果较多时，常通过
用 的方法列举所有可能的结果，找出事件A可能发生的所有的结果，再利用 求概率。
例题说明：
三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上
部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张
小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？
分析：将上部三张图片分别记作A、B、C，下部三张图片记作a、b、c，列表得出所有等可能结果，
用列表法表示如下：
a b c
A （A，a） （A，b） （A，c）
B （B，a） （B，b） （B，c）
C （C，a） （C，b） （C，c）
可知，一共出现9中情况，记能合成完成的图片为事件A，有三种情况，所以概率为：
（A）=
P
【即学即练1】2．数学文化哥德巴赫猜想哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数
学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相
同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．
（1）小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为 ．
（2）小组成员从中随机抽取2张卡片，求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．
知识点03 用画树状图法求事件概率
1. 树状法求事件的概率：
当事件要通过多个步骤（三个或以上）完成时，常通过用 的方法列举所有可能的
结果，在找出事件A可能发生的结果，再利用 求概率。
例题说明：
三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上
部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张
小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？
分析：将上部三张图片分别记作A、B、C，下部三张图片记作a、b、c，列表得出所有等可能结果，
用树状图表示如下：
可知，一共出现9中情况，记能合成完成的图片为事件A，有三种情况，所以概率为：
P（A）=
【即学即练1】
3．河南的应天书院、湖南的岳麓书院、江西的白鹿洞书院、河南的嵩阳书院是我国古代的四大书院，它
们历史悠久，在古代文化史上地位极高、影响深远．如图，小沈将上述四个书院的图片制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除正面图案，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片，卡片中的书院所在地在江西的概率为 ；
（2）小沈从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片中的书院所在地都在
河南的概率．
题型01 直接列举法求概率
【典例1】从﹣1，3，6这三个数中任取两个数作为点P的横坐标和纵坐标，则点P在第二象限的概率是
（ ）
1 1 2 3
A． B． C． D．
3 2 3 4
【变式1】酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有 4瓶溶液标签缺失，已知其分别为HCl（盐酸），
H SO （硫酸），NaOH（钠碱），KOH（钾碱），若从中任取2瓶混合，则会发生中和反应的概率为
2 4
（ ）1 1 1 2
A． B． C． D．
2 3 6 3
【变式2】生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因决定的．如人的卷舌性状由常染色体上的一对基
因决定，决定能卷舌的基因R是显性的，不能卷舌的基因r是隐性的，因此决定能否卷舌的一对基因有
RR，Rr，rr三种，其中基因为RR和Rr的人能卷舌，基因为rr的人不能卷舌，父母分别将他们一对基
因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因都是 Rr，则他们的子女可以卷舌的概率为
（ ）
1 1 2 3
A． B． C． D．
4 2 3 4
【变式3】在如图所示的电路中，随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，能让红灯发光的概率是（ ）
1 2 3
1 2 3 1
A． B． C． D．
3 3 4 2
题型02 用列表法或树状图求概率
【典例1】甲、乙两人暑假去某地游玩，各自随机选择到湿地公园、郊野公园、生态公园、市民广场四个
地点中的一个地点参观游玩．假设这两人选变择到哪个地点参观游玩不受任何因素影响，上述四个地点
中的每个被选到的可能性相同．
（1）甲选择到湿地公园参观游玩的概率为 ；
（2）用列表法或树状图按求甲、乙两人选择到同一个地点参观游玩的概率．
【变式1】创文创卫，就是创建“全国文明城市“和创建“国家卫生城市”，某校为了响应市政府号召，
在“创文创卫”活动周中，设置了文明礼仪、环境保护、卫生保洁、垃圾分类四个主题（依次用 A、B、C、D表示），每个学生选一个主题参与．
（1）张宇从四个主题中随机选择一个，他参与文明礼仪的概率为 ；
（2）李静和周凯分别从四个主题中随机选择一个，求他们选择不同主题的概率．
【变式2】如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机入座，根
据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位的可能性相同．
（1）直接写出小王选择C 座位的概率；
2
（2）请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率．
【变式3】概率与应用：
【素材1】某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动”“趣味问答”
“模拟投放”三项活动（这三项活动分别记为A、B、C）．【素材2】各班派两位同学参加，用抽签决定参加相应的活动．为了降低同班同学参加同项活动的概率，
同时也为了让更多的同学参加“趣味问答”活动，学校制定了以下抽签规则：
将A、B、B、C这四个字母分别写在四张无差别不透明的卡片正面上，从中拿出写有 A、B、C的三张
卡片，洗匀后正面向下放在桌面上，某班第一位同学先随机抽取一张卡片，然后把桌面上剩下的两张与
另一张写有字母B的卡片混合并洗匀，再由该班第二位同学从中随机抽取一张卡片．
【素材3】九年级1班派出小温和小州两位同学，先由小温抽签，再由小州抽签．
【任务】
（1）求小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率．
（2）用列表法或画树状图法，求小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率．
题型03 放回与不放回事件的概率
【典例1】今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．小明
和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了 3张分别印有电影名字的卡片：A
《南京照相馆》、B《东极岛》、C《731》．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片、求
下列事件发生的概率：
（1）第一次抽取的卡片不是《731》的概率为 ；
（2）求抽取的两次结果都不是《731》的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【变式1】《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，
电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡
片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为 ；
（2）将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一
张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率．
【变式2】山下湖•世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最
热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为 A，B，C，D，这四张卡片除
正面图案不同外，其余均相同，将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研．
（1）若随机抽取一张，求抽到卡片A的概率；
（2）若小张随机抽取一张，记录后放回，搅匀，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽取的
卡片中，一张是A，一张是B的概率．【变式3】甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b，2a+b，a﹣b，除正面的代数式不同外，其余均相同．
第一次 a+b 2a+b a﹣b
和
第二次
a+b 2a+2b 2a
2a+b
a﹣b 2a
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a＝1，b＝﹣2时，求取出的卡片上代数式的
值为负数的概率；
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格
中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
题型04 用概率比较游戏的公平性
【典例1】在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，
要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在
△ABC的（ ）
A．三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点
D．三条垂直平分线的交点【变式1】聪聪和明明用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算聪聪赢，否则算明
明赢，这个游戏规则 （填“公平”或“不公平”）．
【变式2】某校团委举办演讲比赛，九（1）班准备从演讲水平相当的明明和乐乐中任选一名参加本次比赛，
班长设计了一个游戏：转动如图所示的被平均分成三个扇形且分别标有数字1、2、3的转盘，连续转动
两次，若指针前后所指数字之和为偶数，则明明参加；否则，乐乐参加．（如果指针恰好停在分割线上，
则重新转动，直到指针指向某一扇形区域为止）．
（1）第一次转动转盘，转到数字是3的区域的概率是 ；
（2）请你用列表格的方法计算概率，判断班长设计的这个游戏对双方是否公平．
【变式3】在一个不透明的小布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明
从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为
y，这样确定了点M的坐标（x，y）
（1）画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标．
x
（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足 ＜2，则小明胜；否则，小红胜；这个游
y
戏公平吗？说明理由．
1．最美的长安都写在唐诗里．将分别标有“最”、“美”、“长”、“安”四个汉字的小球装在一个不
透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回，再随机
摸出一球，则两次摸出的球上的汉字组成“长安”的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 4 6 8
2．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一
个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ）
3 1 1 1
A． B． C． D．
4 2 3 43．为了缅怀革命先烈，清明节假期强强从《八路军》、《淮海战役》、《长津湖》中随机选择两部电影
观看，恰好选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 6 9
4．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）
1 1 1
A．1 B． C． D．
2 4 8
5．学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个
扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了
红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小李同学同时转动 A盘和B盘，她赢
得游戏的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
3 6 5 9
6．如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩
后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
6 3 3 2
7．如图，是化学元素周期表中原子序数为1～5的元素，从中随机选取两种元素，则这两种元素恰好都是
金属元素的概率为（注：锂和铍为金属元素）（ ）
1 2 1 2
A． B． C． D．
20 25 10 5
8．小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C
座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ）1 1 1 2
A． B． C． D．
6 4 3 5
9．现有四张正面印有神舟载人航天飞行任务标识的卡片，它们除内容标识之外其他完全相同，把这四张
卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行
任务”的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 6 8
10．某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，
则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．一个布袋内只装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同．随机摸出两个球，则摸出的两
个球都是黑球的概率是 ．
12．“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”是诸暨著名的旅游景点，若小明从这四个景点中
随机选择两个景点游览，则这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是 ．
13．从﹣1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有实
数根的概率为 ．
14．甲、乙两人用两个骰子做游戏，两个骰子同时抛出，如果出现两个 5点，那么甲赢；如果出现一个4
点和一个6点，那么乙赢；如果出现其它情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是
（填“公平”、“对甲有利”或“对乙利”）．
15．口袋中有15个球，其中白球有x个，绿球有2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿
球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜；则当x＝ 时，游戏对
甲、乙双方都公平．
16．小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 2，3，4（背面完全相同），
现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，
计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出小明和小亮各自获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由．17．任意抛掷一枚均匀的骰子（各个面上的点数为1～6），将第一次，第二次抛掷的点数分别记为m，
n．
1
（1）证明：当m+n为奇数的概率P = ；
1 2
（2）在平面直角坐标系中，求以（1，1），（2，0），（m，n）为顶点能构成直角三角形的概率P ．
2
18．九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了
如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）．
1
（1）若K 闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 ；
1 3
（2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法）19．为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A．五谷画，B．彩陶，
C．剪纸，D．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调
查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上提
供的信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生总人数为 ；扇形统计图中a＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个
课程的概率．
20．打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的
调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，
E：其他类），张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了
两幅不完整的统计图（如图所示）．根据图中信息，请回答下列问题：
（1）条形图中的m＝ ，文学类书籍对应扇形圆心角等于 度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请
用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
