文档内容
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
（新高考全国Ⅱ卷）数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合A=-1,1,2,4,B= x x-1 £1 ，则A I B=（ ）
A. {-1,2} B. {1,2} C. {1,4} D. {-1,4}
2. (2+2i)(1-2i)=（ ）
A. -2+4i B. -2-4i C. 6+2i D. 6-2i
3. 图1是中国古代建筑中的举架结构，AA¢,BB¢,CC¢,DD¢是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称
为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD,CC ,BB,AA 是举，OD ,DC ,CB,BA 是相等
1 1 1 1 1 1 1 1
DD CC BB AA
的步，相邻桁的举步之比分别为 1 =0.5, 1 =k , 1 =k , 1 =k ．已知k ,k ,k 成公差为0.1的
OD DC 1 CB 2 BA 3 1 2 3
1 1 1 1
等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k =（ ）
3
A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9
第1页 | 共6页r r r r r r r r r
4. 已知向量a =(3,4),b=(1,0),c =a+tb，若=，则t =（ ）
A. -6 B. -5 C. 5 D. 6
5. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方
式共有（ ）
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
æ pö
6. 若sin(a+b)+cos(a+b)=2 2cos ç a+ ÷ sinb，则（ ）
è 4ø
A.
tana-b=1
B.
tana+b=1
C.
tana-b=-1
D.
tana+b=-1
7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3和4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面
积为（ ）
A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π
22
8. 已知函数 f(x)的定义域为R，且 f(x+ y)+ f(x- y)= f(x)f(y), f(1)=1，则 å f(k)=（ ）
k=1
A. -3 B. -2 C. 0 D. 1
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
æ2π ö
9. 已知函数 f(x)=sin(2x+j)(00)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一
象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM |，则（ ）
第2页 | 共6页A. 直线AB的斜率为2 6 B. |OB|=|OF |
C. |AB|>4|OF | D. ÐOAM +ÐOBM <180°
11. 如图，四边形ABCD为正方形，ED^平面ABCD，FB∥ED,AB = ED =2FB，记三棱锥
E-ACD，F -ABC ，F -ACE 的体积分别为V,V ,V ，则（ ）
1 2 3
A. V =2V B. V =V
3 2 3 1
C. V =V +V D. 2V =3V
3 1 2 3 1
12. 若x，y满足x2 + y2 -xy =1，则（ ）
A. x+ y£1 B. x+ y³-2
C. x2 + y2 £2 D. x2 + y2 ³1
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13. 已知随机变量X服从正态分布N
2,s2
，且P(2< X £2.5)=0.36，则P(X >2.5)=
____________．
14. 曲线y =ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
15. 设点A(-2,3),B(0,a)，若直线AB关于y =a对称的直线与圆(x+3)2 +(y+2)2 =1有公共点，则a
的取值范围是________．
x2 y2
16. 已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且
6 3
|MA|=|NB|,|MN |=2 3，则l的方程为___________．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知 a 为等差数列， b 是公比为2的等比数列，且a -b =a -b =b -a ．
n n 2 2 3 3 4 4
第3页 | 共6页（1）证明：a =b ；
1 1
（2）求集合 k b =a +a ,1£m£500 中元素个数．
k m 1
18. 记 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次
V
3 1
为S ,S ,S ，已知S -S +S = ,sinB = ．
1 2 3 1 2 3 2 3
（1）求 ABC的面积；
V
2
（2）若sinAsinC = ，求b．
3
19. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分
布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的
16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中
患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
20. 如图，PO是三棱锥P-ABC 的高，PA= PB，AB ^ AC，E是PB的中点．
第4页 | 共6页（1）证明：OE//平面PAC ；
（2）若ÐABO =ÐCBO =30°，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值．
x2 y2
21. 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =± 3x．
a2 b2
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点Px ,y ,Qx ,y 在C上，且
1 1 2 2
x > x >0,y >0．过P且斜率为- 3的直线与过Q且斜率为 3的直线交于点M.从下面①②③中选取
1 2 1
两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
22. 已知函数 f(x)= xeax -ex．
（1）当a =1时，讨论 f(x)的单调性；
（2）当x>0时， f(x)<-1，求a的取值范围；
1 1 1
（3）设nÎN*，证明： + + L + >ln(n+1)．
12 +1 22 +2 n2 +n
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