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2020年昆明市初中学业水平考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
一、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.|-10|= .
2.分解因式:m2n-4n= .
3.如图,点C位于点A正北方向,点B位于点A北偏东50°方向,点C位于点B北偏西35°方向,则∠ABC的度数为 °.
第3题图
第5题图
5
4.要使 有意义,则x的取值范围是 .
x+1
5.如图,边长为2 cm的正六边形螺帽,中心为点O,OA垂直平分边CD,垂足为B,AB=17 cm,用扳手拧动螺帽旋转90°,则点A在该过程中所经过的路径长为 cm.
√3
2 6 12 20 30
6.观察下列一组数:- , ,- , ,- ,…,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第n个数是 .
3 9 27 81 243
二、选择题(本大题共8小题,每小题只有一个正确选项,每小题4分,共32分)
7.由5个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是 ( )
8.下列判断正确的是 ( )
A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查,应选择抽样调查
B.一组数据6,5,8,7,9的中位数是8
C.甲、乙两组学生身高的方差分别为S2 =2.3,S2 =1.8,则甲组学生的身高较整齐
甲 乙
D.命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题
9.某款国产手机上有科学计算器,依次按键:4sin(60)=,显示的结果在哪两个相邻整数之间 ( )A.2~3 B.3~4 C.4~5 D.5~6
10.下列运算中,正确的是 ( )
A. -2 =-2 B.6a4b÷(2a3b)=3ab
√5 √5
a a2-2a+1
C.(-2a2b)3=-8a6b3 D. · =a
a-1 1-a
{
x+1>0,
11.不等式组 3x+1 的解集在以下数轴表示中正确的是 ( )
≥2x-1
2
12.某校举行“停课不停学,名师陪你在家学”活动,计划投资8 000元建设几间直播教室,为了保证教学质量,实际每间建设费用增加了20%,并比原计划多建设了一间直播教室,总投资追加了4 000元,根据题意,原计划每间直播教室的建设费用是 (
)
A.1 600元 B.1 800元 C.2 000元 D.2 400元
13.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与y轴交于点B(0,-2),点A(-1,m)在抛物线上,则下列结论中错误的是 ( )
A.ab<0
B.一元二次方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间
m+2
C.a=
3
1
D.点P(t,y),P(t+1,y)在抛物线上,当实数t> 时,y<y
1 1 2 2 3 1 2
14.在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图,△ABC是格点三角形,在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形ADE(不含△ABC),使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形ADE只算一个),这样的
格点三角形一共有 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
三、解答题(本大题共9小题,满分70分.必须写出运算步骤,推理过程或文字说明)
15.(本小题5分)( 1) -1
计算:12 021-√38+(π-3.14)0- - .
5
16.(本小题6分)
如图,AC是∠BAE的平分线,点D是线段AC上的一点,∠C=∠E,AB=AD.求证:BC=DE.
17.(本小题7分)
某鞋店在一周内销售某款女鞋,尺码(单位:cm)数据收集如下:
24 23.5 21.5 23.5 24.5 23 22 23.5 23.5 23
22.5 23.5 23.5 22.5 24 24 22.5 25 23 23
23.5 23 22.5 23 23.5 23.5 23 24 22 22.5
绘制以下不完整的频数分布表及频数分布直方图:
尺码/cm 划记 频数
21.5≤x<22.5 3
22.5≤x<23.5
23.5≤x<24.5 正正 13
24.5≤x<25.5 2
(1)请补全频数分布表和频数分布直方图;
(2)若店主要进货,她最应该关注的是尺码的众数,上面数据的众数为 ;
(3)若店主下周对该款女鞋进货120双,尺码在23.5≤x<25.5范围的鞋应购进约多少双?18.(本小题7分)
有一个可自由转动的转盘,被分成了三个大小相同的扇形,分别标有数字2,4,6;另有一个不透明的瓶子,装有分别标有数字1,3,5的三个完全相同的小球.小杰先转动一次转盘,停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转),小玉再从瓶子
中随机取出一个小球,记下小球上的数字.
(1)请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可能出现的结果;
(2)若得到的两数字之和是3的倍数,则小杰赢;若得到的两数字之和是7的倍数,则小玉赢.此游戏公平吗?为什么?
19.(本小题8分)
为了做好校园疫情防控工作,校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒,她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19 min,完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11 min.
(1)校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间?
(2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度y(单位:mg/m3)与时间x(单位:min)的函数关系如图所示.校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y=2x,药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系,两个函数图象的交点为A(m,n).当教室空气中的药物浓度
不高于1 mg/m3时,对人体健康无危害.校医依次对一班至十一班教室(共11间)进行药物喷洒消毒,当她把最后一间教室药物喷洒完成后,一班学生能否进入教室?请通过计算说明.
20.(本小题8分)
如图,点P是☉O的直径AB延长线上的一点(PB<OB),点E是线段OP的中点.
(1)尺规作图:在直径AB上方的圆上作一点C,使得EC=EP,连接EC,PC(保留清晰作图痕迹,不要求写作法),并证明PC是☉O的切线;
(2)在(1)的条件下,若BP=4,EB=1,求PC的长.21.(本小题9分)
【材料阅读】 2020年5月27日,2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰,将用中国科技“定义”世界新高度.其基本原理之一是三角高程测量法,在山顶上立一个觇标,找到2个以上测量点,分段测量山的高度,再进行累加.因为地球面并不是
0.43d2
水平的,光线在空气中会发生折射,所以当两个测量点的水平距离大于300 m时,还要考虑球气差,球气差计算公式为f= (其中d为两点间的水平距离,R为地球的半径,R取6 400 000 m),即:山的海拔高度=测量点测得山的高度+测量点的海拔
R
高度+球气差.
【问题解决】 某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动.如图,点A,B的水平距离d=800 m,测量仪AC=1.5 m,觇标DE=2 m,点E,D,B在垂直于地面的一条直线上,在测量点A处用测量仪测得山顶觇标顶端E的仰角为37°,测
量点A处的海拔高度为1 800 m.
(1)数据6 400 000用科学记数法表示为 ;
(2)请你计算该山的海拔高度.(要计算球气差,结果精确到0.01 m)
(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
22.(本小题8分)
1
如图,两条抛物线y=-x2+4,y=- x2+bx+c相交于A,B两点,点A在x轴负半轴上,且为抛物线y 的最高点.
1 2 2
5
(1)求抛物线y 的解析式和点B的坐标;
2
(2)点C是抛物线y 上A,B之间的一点,过点C作x轴的垂线交抛物线y 于点D,当线段CD取最大值时,求S .
1 2 △BCD
23.(本小题12分)
如图1,在矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F分别为AB,CD的中点.
(1)求证:四边形AEFD是矩形;
(2)如图2,点P是边AD上一点,BP交EF于点O,点A关于BP的对称点为点M,当点M落在线段EF上时,则有OB=OM.请说明理由;
(3)如图3,若点P是射线AD上一个动点,点A关于BP的对称点为点M,连接AM,DM,当△AMD是等腰三角形时,求AP的长.图1
图2
图3
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2020年昆明市初中学业水平考试
一、填空题
1. 答案 10
解析 负数的绝对值是它的相反数,所以|-10|=10.
2. 答案 n(m+2)(m-2)
解析 m2n-4n=n(m2-4)=n(m+2)(m-2).
3. 答案 95
解析 如图,∵AC∥DE,∴∠ABE=∠CAB=50°,∴∠ABC=180°-∠ABE-∠CBD=95°.
4. 答案 x≠-1
解析 要使分式有意义,则x+1≠0,所以x≠-1.
5. 答案 10π
解析 连接OC,OD,则∠COD=60°,OC=OD=2√3 cm,
1 90π×20
∴∠COB= ∠COD=30°,∴OB=OCcos 30°=3 cm,∴OA=OB+AB=20 cm,∴点A所经过的路径长= =10π(cm).
2 180
n(n+1)
6. 答案 (-1)n·
3n
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 n(n+1)
解析 这一组数可化为(-1)× ,(-1)2× ,(-1)3× ,(-1)4× ,(-1)5× ,……,所以第n个数是(-1)n· .
3 32 33 34 35 3n
二、选择题
答案速查
7 8 9 10 11 12 13 14A D B C B C D C
7.A 从正面看,可以看到从左到右共3列,第1、2列是一层,第3列是两层,所以选A.
8.D 对于选项A,北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的每一个零件都需要严格检查,是普查,A选项错误;对于选项B,这一组数据从小到大排列为5,6,7,8,9,中位数是7,B选项错误;对于选项C,因为乙组学生身高的方差较小,所以乙组学生的身
高较整齐,C选项错误;易知D选项正确,故选D.
√3
9.B 4sin 60°=4× =2√3≈3.464,所以选B.
2
a a2-2a+1 a (a-1)2
10.C √5-2√5=-√5,A选项错误;6a4b÷(2a3b)=3a,B选项错误;(-2a2b)3=(-2)3(a2)3b3=-8a6b3,C选项正确; · = · =-a,D选项错误.故选C.
a-1 1-a a-1 1-a
{
x+1>0,①
11.B 由①得,x>-1,由②得,x≤3,所以不等式组的解集是-1<x≤3,故选B.
3x+1
≥2x-1,②
2
12.C 设原计划每间直播教室的建设费用是x元,则实际每间直播教室的建设费用为(1+20%)x元,根据题意得,
8 000+4 000 8 000
- =1,解得x=2 000,经检验,x=2 000是分式方程的解,且符合题意,故原计划每间直播教室的建设费用是2 000元,故选C.
(1+20%)x x
b
13.D ∵抛物线的开口向上,∴a>0,根据对称轴在y轴右侧可知- >0,∴b<0,所以ab<0,A选项结论正确;根据题图可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的负实数根在-1和0之间,根据图象的对称性可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间,
2a
b m+2 1 1 1
B选项结论正确;易知x=- =1,所以b=-2a,又抛物线经过点(0,-2),故函数解析式为y=ax2-2ax-2,把点(-1,m)代入得,a+2a-2=m,即a= ,C选项结论正确;易证当t= 时,y=y;当t< 时,点P 距离对称轴较远,y>y,当t> 时,点P 距离对称轴较远,
1 2 1 1 2 2
2a 3 2 2 2
y<y,D选项结论错误.故选D.
1 2
14.C 如图的6个三角形和△ABC相似,其中相似比为1∶2的三角形有4个,相似比为√2∶2的三角形有2个,故选C.
三、解答题
15. 解析 原式=1-2+1-(-5) (4分)
=5. (5分)
16. 证明 ∵AC是∠BAE的平分线,
∴∠BAC=∠DAE, (1分)
{
∠C=∠E,
在△ABC和△ADE中, ∠BAC=∠DAE, (3分)
AB=AD,
∴△ABC≌△ADE(AAS). (5分)
∴BC=DE. (6分)
17. 解析 (1)补全频数分布表如下:
尺码/cm 划记 频数
21.5≤x<22.5 3
22.5≤x<23.5 正正 12
23.5≤x<24.5 正正 13
24.5≤x<25.5 2
(2分)
补全频数分布直方图如下:(3分)
(2)23.5. (4分)
13+2
(3)120× =60(双).(6分)
30
答:若店主下周对该款女鞋进货120双,尺码在23.5≤x<25.5范围的鞋应购进约60双. (7分)
18. 解析 (1)列表如下:
小杰
2 4 6
小玉
1 (2,1) (4,1) (6,1)
3 (2,3) (4,3) (6,3)
5 (2,5) (4,5) (6,5)
(3分)
所以,可能的结果共有9种,它们出现的可能性相等. (4分)
(2)公平.理由:数字之和是3的倍数记为事件A,结果有3种,即(2,1),(4,5),(6,3),
3 1
∴P(A)= = . (5分)
9 3
数字之和是7的倍数记为事件B,结果有3种,即(2,5),(4,3),(6,1),
3 1
∴P(B)= = . (6分)
9 3
∵P(A)=P(B),∴此游戏公平. (7分)
19. 解析 (1)设校医完成一间办公室的药物喷洒要a min,一间教室的药物喷洒要b min. (1分)
{3a+2b=19,
根据题意得 (3分)
2a+b=11,
{a=3,
解得 (4分)
b=5.
答:校医完成一间办公室的药物喷洒要3 min,一间教室的药物喷洒要5 min. (5分)
(2)由(1)得,m=5,则n=2×5=10,
∴A(5,10),
k
设药物喷洒完成后y与x的函数解析式为y= (k≠0),
x
k
则10= ,解得k=50,
5
50
∴y= (x≥5), (7分)
x
50
当y≤1时,即 ≤1,解得x≥50,
x
∵11×5=55 min>50 min,
∴当校医把最后一间教室药物喷洒完成后,一班学生能进入教室. (8分)
20. 解析 (1)作图如图所示(正确作出EC,PC得1分,有作图痕迹得1分). (2分)
证法一:连接OC,∵EC=EP,∴∠ECP=∠P,
∵点E是线段OP的中点,
∴EO=EP,∴EO=EC,
∴∠EOC=∠ECO, (3分)
在△OPC中,∠POC+∠PCO+∠P=180°,
即∠EOC+∠ECO+∠ECP+∠P=180°,
∴2∠ECO+2∠ECP=180°,
∴∠ECO+∠ECP=90°,
∴OC⊥PC, (4分)
∵OC是☉O的半径,
∴PC是☉O的切线. (5分)
证法二:连接OC,
∵点E是线段OP的中点,
∴OE=PE,
∵CE=PE,∴OE=CE=PE,
∴点O,C,P三点在以点E为圆心,EO为半径的圆上, (3分)
∴OP是☉E的直径,∴∠OCP=90°,
即OC⊥PC, (4分)
∵OC是☉O的半径,
∴PC是☉O的切线. (5分)
(2)∵BP=4,EB=1,
∴EO=EP=BP+EB=5,
∴OP=2EO=10,
OC=OB=EO+EB=6,
在Rt△OPC中,∠OCP=90°,由勾股定理得:
PC= = =8. (8分)
√OP2-OC2 √102-62
(其他解法参照此标准给分)
21. 解析 (1)6.4×106. (2分)
(2)过点C作CM⊥EB,垂足为M,
由题意得∠ECM=37°,四边形ABMC为矩形,则CM=AB=800 m,BM=AC=1.5 m, (4分)
在Rt△CME中,∠CME=90°,
EM
tan∠ECM= , (5分)
CM
∴EM=CM·tan∠ECM=800×tan 37°≈800×0.75=600 m, (6分)
∵d=800 m,R=6 400 000 m,
0.43d2 0.43×8002
∴f= = =0.043 m,
R 6 400 000
∴该山的海拔高度为(600+1.5-2)+1 800+0.043≈2 399.54(m). (8分)
答:该山的海拔高度约为2 399.54 m. (9分)
22. 解析 (1)解法一:当y=0时,即-x2+4=0,解得x=±2,
1
∵点A在x轴负半轴上,
∴A(-2,0), (1分)
1
∵y=- x2+bx+c的最高点为A(-2,0),
2
5
b
{- =-2,
4
( 1) {b=- ,
∴ 2× - 解得 5 (2分)
5
4
1
c=- .
- ×(-2)2-2b+c=0, 5
5
1 4 4
∴抛物线y 的解析式为y=- x2- x- . (3分)
2 2
5 5 5
1 4 4
当y=y 时,即-x2+4=- x2- x- ,
1 2
5 5 5
解得x=3,x=-2(舍去). (4分)
1 2
∴当x=3时,y=-32+4=-5,
∴B(3,-5). (5分)
解法二:当y=0时,即-x2+4=0,解得x=±2,
1
∵点A在x轴负半轴上,
∴A(-2,0), (1分)
1
∵y=- x2+bx+c的最高点为A(-2,0),
2
5
1 1 4 4
∴抛物线y 的解析式为y=- (x+2)2,即y=- x2- x- . (3分)
2 2 2
5 5 5 5
1 4 4
当y=y 时,即-x2+4=- x2- x- ,
1 2
5 5 5
解得x=3,x=-2(舍去). (4分)
1 2
∴当x=3时,y=-32+4=-5,
∴B(3,-5). (5分)
(2)如图,设点C(m,-m2+4),
则点D(
m,-
1
m2-
4
m-
4),
5 5 5∵点C是抛物线y 上A,B之间的一点,
1
∴-2<m<3,
∴CD=-m2+4-(
-
1
m2-
4
m-
4)
5 5 5
4 4 24
=- m2+ m+ . (6分)
5 5 5
4
5 1
当m=- = 时,CD有最大值,
( 4) 2
2× -
5
CD的最大值=-4×(1) 2 +4×1+24=5,
5 2 5 2 5
过点B作BE⊥CD,交CD的延长线于点E,
1
∵点C的横坐标为 ,点B的横坐标为3,
2
1 5
∴BE=3- = ,
2 2
1 1 5 25
∴S = CD·BE= ×5× = . (8分)
△BCD
2 2 2 4
(其他解法参照此标准给分)
23. 解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AB=CD,∠A=90°, (1分)
∵点E,F分别是AB,CD的中点,
1 1
∴AE= AB,DF= CD,
2 2
∴AE=DF, (2分)
∵AE∥DF,
∴四边形AEFD是平行四边形, (3分)
∵∠A=90°,
∴四边形AEFD是矩形. (4分)
(2)证法一:连接OA,AM.
∵点A关于BP的对称点为M,
∴BP垂直平分AM, (5分)
∴OA=OM, (6分)
∵四边形AEFD是矩形,∴EF⊥AB,
∵点E是AB的中点,
∴EF垂直平分AB,
∴OA=OB,∴OB=OM. (8分)
证法二:连接OA,AM,
∵点A关于BP的对称点为M,∴BP垂直平分AM, (5分)
∴OA=OM, (6分)
∵四边形AEFD是矩形,
∴EO∥AP,
BO BE
∴ = =1,
OP EA
∴BO=OP,
1
在Rt△ABP中,AO=BO= BP, (7分)
2
∴OB=OM. (8分)
(其他证法参照此标准给分)
(3)分四种情况:
①当MA=MD,且点P在边AD上时,
过点M作直线MH⊥AD于点H,交BC于点G,连接PM,BM,
∵AD=BC=8,
1
∴AH= AD=4,
2
∵∠BAH=∠ABG=∠AHG=90°,
∴四边形ABGH是矩形,
∴BG=AH=4,HG=AB=5,
∵BP垂直平分AM,
∴BM=BA=5,AP=PM,
在Rt△BGM中,∠BGM=90°,
由勾股定理得MG= = =3,
√BM2-BG2 √52-42
∴HM=2,
设AP=PM=a,
则PH=4-a,
在Rt△PHM中,∠PHM=90°,
由勾股定理得PH2+HM2=PM2,
即(4-a)2+22=a2,
5
解得a= ,
2
5
∴AP= . (9分)
2
②当MA=MD,且点P在射线AD上,且在D右侧时,
过点M作MH⊥AD于点H,交BC于点G,连接PM,BM,∵AD=BC=8,
1
∴AH= AD=4,
2
∵∠BAH=∠ABG=∠AHG=90°,
∴四边形ABGH是矩形,
∴BG=AH=4,HG=AB=5,
∵BP垂直平分AM,∴BM=BA=5,
在Rt△BGM中,∠BGM=90°,BM=5,
由勾股定理可得MG= = =3,
√BM2-BG2 √52-42
∴HM=8,
设AP=PM=a,则PH=a-4,
在Rt△PHM中,∠PHM=90°,由勾股定理可得
PH2+HM2=PM2,即(a-4)2+82=a2,解得a=10,
∴AP=10. (10分)
③当DA=DM时,连接BM,
∵BA=BM,∴BD垂直平分AM,
即点D为AM的垂直平分线与射线AD的交点,
∵点A关于BP的对称点为点M,
∴点P为AM的垂直平分线与射线AD的交点,
∴点D与点P重合,
∴AP=AD=8. (11分)
④当AM=AD=8时,设BP交AM于点Q,连接PM,BM.
∵BP垂直平分AM,
1 1
∴BA=BM=5,AQ= AM= AD=4,
2 2
在Rt△ABQ中,∠AQB=90°,由勾股定理得
BQ= = =3,
√AB2-AQ2 √52-42
∵∠ABQ=∠PBA,∠BQA=∠BAP=90°,BQ QA 3 4 20
∴△ABQ∽△PBA,∴ = ,即 = ,∴AP= .
BA AP 5 AP 3
5 20
综上所述,AP的长为 或10或8或 . (12分)
2 3
(其他解法参照此标准给分)
