文档文本内容
江西九江六校2025-2026 学年高一4 月第一次段考
数学试卷
一、单选题
1．某扇形花坛的圆心角为
弧度，半径为6 米，则该花坛的弧长为（ ）．
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
2．如图，在
中，D，E 分别是边AB，AC 的中点，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
与
方向相反
3．在平行四边形ABCD 中，
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．若
是第二象限角，
是第四象限角，则
构成的集合为（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．函数
的定义域为（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
（其中
，
），点
在
的图象上，点
为该图象在
点
左侧第一条渐近线与轴的交点，且
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
7．已知向量
，是将绕起点逆时针旋转角90°后得到的向量，且
，则
（ ）．
A．
B．
C．3
D．
8．已知函数
在区间
上单调递增，且在区间
上存在唯一一条对称轴，
则
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列说法中正确的有（ ）．
A．零向量的方向是任意的
B．单位向量都相等
C．相等向量的长度一定相等
D．共线向量一定在同一条直线上
10．下列函数中，是偶函数的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
11．某简谐运动模型为
，其中
，
，
，
．已知在
时，
质点位于最高点；在
时，质点位于平衡位置（即函数值为B），则（ ）．
A．
B．
C．在区间
内，质点经过平衡位置的次数一定是奇数
D．在区间
内，质点达到最低点的次数一定是偶数
三、填空题
12．求值：
______．
13．某物流机器人在仓库中执行配送任务，其运动路径如下：从原点出发，先向东移动50 米，再向北移动
30 米，最后沿西偏南45°方向移动
米．以正东方向为x 轴正方向、正北方向为y 轴正方向建立平面直
角坐标系，则该机器人最终的位置坐标为______．
14．对于函数
，若存在正常数T，使得
对任意
恒成立，则称
为
“正弦周期函数”，T 为其一个正弦周期．已知
是定义在R 上的连续正弦周期函数，且最小正弦周期
为
，
，
，则
______．
四、解答题
15．已知角
的终边经过点
，且
．
(1)求t 和
的值；
(2)求
的值．
16．已知向量
，
．
(1)若向量
与
共线，求实数k 的值；
(2)是否存在实数m，使得
，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
17．已知函数
，其图象的最高点坐标为
，图象与x 轴相邻
两个交点的距离为
．
(1)求
的解析式；
(2)将函数
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），再向右平移
个单位长度，得
到函数
的图象，求
在区间
上的值域．
18．九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶．为优化运营效率，景区管理人
员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度
（单位：米）随时间t（单位：分钟，以缆车从山脚出
发时为
）的变化可近似表示为
，
．
(1)求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应t 的值；
(2)为保障游客安全，当缆车高度低于250 米时，需开启应急照明系统．
（ⅰ）求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长；
（ⅱ）景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800 米，同时保持运行周期不变，且改造
后缆车在
时位于最低点．若改造后应急照明系统开启的时间总长为10 分钟，求新的函数解析式．
19．在
中，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上，且满足
，
．设BE 与CD 交于点
P，连接AP 并延长交BC 于点F．设
，
．
(1)用，表示
，
；
(2)若
，求xy；
(3)若点G 在线段AP 上，且满足
，求
的值．
参考答案
1．A
【详解】依题意，该花坛的弧长为
米.
2．C
【详解】因为
分别是边
的中点，则
，故A，B 错误；
且
与
方向相同，所以
，故C 正确，D 错误.
3．A
【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形，
则
，
，
所以
.
4．C
【详解】因为
是第二象限角，
则
，
，可得
，
，
y
是第四象限角，则
，
，解得
，
，
所以
构成的集合为
.
5．C
【详解】令
，可得
，
注意到
，即
，可得
，
则
，可得
，整理可得
，
解得
或
，
，
所以函数
的定义域为
.
6．B
【详解】由题意知，
，即
，解得
，则
.
又点
在
的图象上，所以
，即
，
，所以
，
，
又
，所以
，所以
.
则
.
7．D
【详解】依题意，
，由
，得
，
因此
，即
，所以
.
8．B
【详解】由题意可知：
，
若
，则
，
因为函数
在区间
上单调递增，则
，解得
，
若
，则
，
因为函数
在区间
上存在唯一1 条对称轴，则
，解得
，
综上所述：
的取值范围是
.
9．AC
【详解】对于选项A：零向量的方向是任意的，故A 正确；
对于选项B：单位向量的模长均为1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故B 错误；
对于选项C：相等向量的模长和方向均相同，所以相等向量的长度一定相等，故C 正确；
对于选项D：共线向量可能在同一条直线上，也可能在平行线上，故D 错误.
10．ACD
【详解】对于A，函数
的定义域为
，
，A 是；
对于B，函数
的定义域为
，
，B 不是；
对于C，函数
的定义域为
，
，C 是；
对于D，函数
的定义域为
，
且
，D 是.
11．ACD
【详解】对于选项A：因为
，即
，
且
，则
，即
，故A 正确；
对于选项B：因为
，即
，
且
，则
，
当为奇数时，则
，故B 错误；
对于选项C：若
，则
，且
，
因为
在
内有且仅有一个零点，在
有2 个零点，
则
在
内有奇数个零点，
所以在区间
内，质点经过平衡位置的次数一定是奇数，故C 正确；
对于选项D：因为
为偶函数，且在
时，质点位于最高点，
根据对称性可知在区间
内，质点达到最低点的次数一定是偶数，故D 正确.
12．
【详解】
.
13．
【详解】由题意可知：从原点出发，先向东移动50 米，到达
，
再向北移动30 米，到达
，
最后沿西偏南45°方向移动
米，到达
，
所以该机器人最终的位置坐标为
.
14．0
【详解】对于任意角
，如果
，可得
或
，
因为
是定义在
上的连续正弦周期函数，且最小正弦周期为
，所以
，由
此可得
或
，
分类讨论，当
时，
代入
，可得
，
根据题目条件
，
，可得
，
因为
，所以排除此种可能性；
当
时，
代入
，可得
，
根据题目条件
，
，可得
，
因此
，
代入
，可得
.
15．(1)
，
(2)
【详解】（1）因为角
的终边经过点
，且
，
则
，且
，解得
，
即
，所以
.
（2）由题意可得：
.
16．(1)
(2)存在，
或
【详解】（1）因为向量
，
，则
，
，
若向量
与
共线，则
，解得
.
（2）因为向量
，
，则
，
，
若
，则
，
整理可得
，解得
或
.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知：
的最小正周期
，
且
，由
解得
，
又因为最高点坐标为
，则
，
则
，即
，
且
，则
，可得
，解得
，
所以
.
（2）将函数
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），得到
，
再向右平移
个单位长度，得到
，
因为
，则
，
可得
，即
，
所以
在区间
上的值域为
.
18．(1)最大高度为
米，
分；最小高度为
米，
分；
(2)（ⅰ）
分；（ⅱ）
.
【详解】（1）函数
，
中，
，
当
，即
时，
；当
，即
时，
，
所以缆车运行过程中的最大高度为
米，
分；最小高度为
米，
分.
（2）（ⅰ）由
，得
，
因为
，所以
或
，解得
或
，
所以在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长为
分.
（ⅱ）依题意，改造后的函数解析式为
，
由缆车的最大高度提升至800 米，得
，即
，
由改造后缆车在
时位于最低点，得
，取
，
则
，
由
，得
，
改造后应急照明系统开启的时间总长为10 分钟，而函数
的周期为20 分钟，
因此
的时间总长为缆车旋转半周的时间，而
的时间总长为10，
则
，解得
，所以新的函数解析式
.
19．(1)
；
(2)
；
(3)
.
【详解】（1）在
中，
，
，
所以
，
.
（2）由点
在线段
上，设
，
则
，而
共线，
因此
，解得
，于是
，
而
，且
不共线，则
，
所以
.
（3）设
，由（2）得
，而
共线，则
，
解得
，则
，
，
由点
在线段
上，设
，则
，
，由
，且
不共线，
得
，解得
，因此
，
，
所以
.
