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重庆市 2020 年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B 卷）
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（ ， ），对称轴公式为x=
．
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1. 5的倒数是( )
A. B. C. 5 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据倒数的意义可直接进行求解．
【详解】解：5的倒数是 ；
故选A．
【点睛】本题主要考查倒数，熟练掌握求一个数的倒数是解题的关键．
2. 围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的特点即可判断．
【详解】立体图形的各个面中，每个面都是平面的是长方体故选A．
【点睛】此题主要考查立体图形的特点，解题的关键是熟知简单几何体的特点．
3. 计算a•a2的结果是（ ）
A. a B. a2 C. a3 D. a4
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：a•a2＝a1＋2＝a3．
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的运算性质，准确应用同底数幂的乘法是解题的关键．
4. 如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A. 65° B. 55° C. 45° D. 35°
【答案】B
【解析】
【分析】根据切线性质求出∠OAB=90°，根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵AB为⊙O切线，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=35°，
∴∠AOB=90°-∠B=55°．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形性质，熟知相关定理是解题关键．
5. 已知a+b=4，则代数式 的值为（ ）
A. 3 B. 1 C. 0 D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】通过将所求代数式进行变形，然后将已知代数式代入即可得解.
【详解】由题意，得故选：A.
【点睛】此题主要考查已知代数式求代数式的值，熟练掌握，即可解题.
6. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（
）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶5
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似图形的性质即可得出答案．
【详解】由位似变换的性质可知，
△ABC与△DEF的相似比为：1∶2
△ABC与△DEF的面积比为：1∶4
故选C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
7. 小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元．小明买了7支签字
笔，他最多还可以买的作业本个数为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】设小明最多还可以买 个作业本，根据题意列出不等式，利用不等式的正整数解可得答案．
【详解】解：设小明最多还可以买 个作业本，则为正整数，
不等式的最大正整数解是：
小明最多还可以买4本作业本．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，掌握根据题意列不等式，以及确定不等式的正整数解是解
题的关键．
8. 下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个
图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心
圆点的个数为（ ）
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律，即可得解．
【详解】解：通过观察可得到
第①个图形中实心圆点的个数为：5=2×1+1+2，
第②个图形中实心圆点的个数为：8=2×2+2+2，
第③个图形中实心圆点的个数为：11=2×3+3+2，
……
∴第⑥个图形中实心圆点的个数为：2×6+6+2=20，
故选：C．
【点睛】本题考查探索与表达—图形变化类．关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
9. 如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿
水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，
C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1∶2.4，则信号塔AB的高度约为（ ）（参考数据：sin43°≈0.68，
cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A. 23米 B. 24米 C. 24.5米 D. 25米
【答案】D
【解析】
【分析】如图，作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G．解直角三角形DEF得EF=30米，DF=72米，得EG=150
米，解直角三角形AFG得AG=139.5米，求出AB即可．
【详解】解：作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G．
在Rt△DEF中，设EF=x米，∵i=1∶2.4
∴DF=2.4x米，
∴DE= 米
∴ =75，
∴x=30米，
∴DF=2.4x=72米，
∴GE=FC=DF+CD=72+78=150米，CG=EF=30米，
在Rt△AEG中，
米
∴ 米．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G，构造直
角三角形，应用已知条件解直角三角形．10. 若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≥5，且关于y的分式方程
有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A. -1 B. -2 C. -3 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】首先由不等式组的解集为x≥5，得a＜3，然后由分式方程有非负整数解，得a≥-2且a≠2的偶数，
即可得解.
【详解】由题意，得
，即
，即
∴ ，即
，解得
有非负整数解，即
∴a≥-2且a≠2
∴ 且
∴符合条件的所有整数a的数有：-2，-1,0,1
又∵ 为非负整数解，
∴符合条件的所有整数a的数有：-2,0
∴其和为
故选：B.
【点睛】此题主要考查根据不等式组的解集和分式方程的解求参数的值，熟练掌握，即可解题.11. 如图，在△ABC中，AC= ，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的
平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的
长为（ ）
A. B. 3 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理、翻折及等腰三角形判定，依次易得∠ACB=120°，∠ACE=120°，
∠CAE=30°，AC=EC，再进一步证明△ABC≌△EBC，得到BE=BA．延长BC交AE于F，由CE=CA，
BE=BA，根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知BC是线段AE的垂直平分
线，，即∠AFC=90°，在Rt△AFC中解直角三角形得AF= ，在Rt△AFB中，∠ABC=45°，解直角三
角形得AB= AF= ，进而得到BE的长.
【详解】解：在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=15°，
∴∠ACB=120°，
∵将△ACB沿直线AC翻折，得△ACD，
∴∠ACE=∠ACB=120°，∠DAE=∠DAC=∠BAC=15°，即∠CAE=30°，
在△ACE中，∠CEA=180°-∠ACE-∠CAE=30°，
∴AC=EC，
又∵∠ECB=360°-∠ACE-∠ACB=120°，
在△EBC和△ABC中，
∴△EBC≌△ABC，.
∴BE=BA
如下图，延长BC交AE于F，
∵CE=CA，BE=BA，
∴BC是线段AE的垂直平分线，即∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠CAF=30°，AC= ，
∴AF=AC·cos∠CAF= .
在Rt△AFB中，∠ABC=45°，
∴AB= AF= ，
∴BE=AB= .
故选：C.
【点睛】本题考查三角形内角和定理、翻折、等腰三角形判定、解直角三角形及全等三角形等，准确判断
出直线BC是线段AE的垂直平分线是解题的关键.
12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），
AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）A. B. 8 C. 10 D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，
1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证△AOE ∽△CDE，可得 ，求证
△AOE∽△BFA，可得AF=2，BF= ，进而可求得B（4， ）；将B（4， ）代入反比例函数 ，
即可求得k的值．
【详解】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，
∵点D（-2，3），AD=5，
∴DH=3，
∴ ，
∴A（2，0），即AO=2，
∵D（-2，3），A（2，0），
∴AD所在直线方程为： ，
∴E（0，1.5），即EO=1.5，
∴ ,∴ED=AD- AE=5- = ，
∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED，
∴△AOE ∽△CDE，
∴ ,
∴ ,
∴在矩形ABCD中， ，
∵∠EAO+∠BAF=90°，
又∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠BAF，
又∵∠AOE=∠BFA，
∴△BFA∽△AOE，
∴ ,
∴代入数值，可得AF=2，BF= ，
∴OF=AF+AO=4，
∴B（4， ），
∴将B（4， ）代入反比例函数 ，得 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的
性质等知识．解题关键是通过求证△AOE ∽△CDE，△AOE∽△BFA，得到B点坐标，将B点坐标代入反
比例函数，即可得解．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13. 计算： =____．
【答案】3．
【解析】
【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，再合并即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：3．
【点睛】本题考查 的是负整数指数幂的运算，考查求一个数的算术平方根，掌握以上知识是解题的关
键．
14. 经过多年的精准扶贫，截至2019年底，我国的农村贫困人口减少了约94000000人，请把数94000000
用科学记数法表示为____．
【答案】9.4×107．
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可．
【详解】解：
故答案为：9.4×107．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15. 盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不
放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：列表如下
1 2 3
1 3 42 3 5
3 4 5
由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结
果数 ，再找出其中某一事件所出现的可能数 ，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率 ．
16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=120°，AB= ，以点O为圆心，OB长
为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为____．（结果保留π）
【答案】 ．
【解析】
【分析】如图，设⊙O与菱形的边AB、AD分别交于点E、F，连接OE、OF，由菱形的性质可证得△ABD
是等边三角形，进而可证得△BEO，△DFO都是等边三角形，由等边三角形的性质可求得∠EOF＝60°，
然后根据阴影部分的面积＝2×（S ﹣S ﹣S ﹣S ）代入数据计算即可．
△ABD △DFO △BEO 扇形OEF
【详解】解：如图，设⊙O与菱形的边AB、AD分别交于点E、F，连接OE、OF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝2 ，∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴BO＝DO＝ ，
∵以点O为圆心，OB长为半径画弧，∴BO＝OE＝OD＝OF，
∴△BEO，△DFO是等边三角形，
∴∠DOF＝∠BOE＝60°，
∴∠EOF＝60°，
∴阴影部分的面积＝2×（S ﹣S ﹣S ﹣S ）
△ABD △DFO △BEO 扇形OEF
＝2×
＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及扇形面积的计算等知识，正确添加辅助线、
明确求解的方法、熟练掌握菱形的性质以及等边三角形的判定和性质是解题的关键．
17. 周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别
以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的 继续骑行，经过一段时间，
甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行
的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚____分钟到达B地．
【答案】12．
【解析】
【分析】根据题意先求解乙的速度与甲的原速度，得到改变后的速度，由 时，甲到达B地，再计算
出全程，从而可以得到乙与 地的距离，从而得到晚到的时间．【详解】解：由图及题意得：乙的速度为 米/分，
即甲原速度为250米/分，
当x=25后，甲提速为 米/分，
当x=86时，甲到达B地，
此时乙距B地为250（25-5）+400（86-25）-300×86=3600.
即乙比甲晚 分钟到达B地．
答案：12．
【点睛】本题考查的是一次函数关于行程问题的应用，从图像中获取信息得到与问题相关的：速度，时间，
全程是解题的关键．
18. 为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置
一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），
顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、
30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一
时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数
与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金
额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为____元．
【答案】1230．
【解析】
【分析】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的
次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，4b，2c．根据题意得到关于
a，b，c方程组，根据a，b，c均为正整数，求解即可．
【详解】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的
次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，4b，2c．由题意得，
即 ，
其整数解为 （其中n为整数），
又∵a，b，c均是正整数，易得n=1.
所以 .
∴150a+60b+40c=150×5+60×4+40×6=1230．
故答案为：1230．
另解：由上9b+c=42，得知b=1，2，3，4.列举符合题意的解即可．
【点睛】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意得到方程组，求出方程组的整数解是解题关键．解题
时注意题目中隐含条件a，b，c，均为正整数．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）
19. 计算：
（1）（x+y）2+y（3x-y）
（2）
【答案】（1）x2+5xy；（2） ．
【解析】
【分析】（1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则计算，再合并同类项即可；
（2）先计算小括号里的，再计算乘法即可．
【详解】解：（1）原式=x2+2xy+y2+3xy-y2=x2+5xy．
（2）原式==
= ．
【点睛】本题考查了整式混合运算，分式的混合运算．熟知运算法则，运算公式是解题关键．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
（1）若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE=DF．
【答案】（1）60°；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意可得∠BCD=2∠BCF=120°，利用平行四边形的性质即可解答；
（2）根据平行四边形的性质及角平分线即可证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质即可证明．
【详解】（1）∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD=2∠BCF=120°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠DCB，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE= ∠BAD，∠CDF= ∠DCB，
∴∠BAE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟悉平行四边形的性质以及全等三角形的判定．
21. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安
全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=_____，b=____，c=____．
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
【答案】（1）7.5，8，8；（2）200人；（3）八年级的学生成绩更优异．
【解析】
【分析】（1）由图表可求解；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
【详解】解：（1）由图表可得： ， ， ，
故答案为：7.5，8，8；
（2）该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为： （人 ，
答：该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人；
（3） 八年级的合格率高于七年级的合格率，
八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的
关键．
22. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一
种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这
个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
【答案】（1）312是“好数”，675不是“好数”，理由见解析；（2）611，617，721，723，729，831，
941．理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据“好数”的定义进行判断即可；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．根据题意判断出x、y取值，根据“好数”
定义逐一判断即可．
【详解】（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”．
∵6，7，5都不为0，且6+7=13，13不能被5整除，∴675不是“好数”；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．其中x，y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十
位数字与个位数字的和为：2x+5．
当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617
当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729
当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831
当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941
所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7．
【点睛】本题为“新定义”问题，理解好“新定义”，并根据已有数学知识和隐含条件进行分析，转化为
所学数学问题是解题关键．
23. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的
过程．结合已有的学习经验，请画出函数 的图象并探究该函数的性质．
x ⋯ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ⋯
y ⋯ a -2 -4 b -4 -2 ⋯（1）列表，写出表中a，b的值：a=____ ，b= ．
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，
错误的用“×”作答）：
①函数 的图象关于y轴对称；
②当x=0时，函数 有最小值，最小值为-6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
（3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式
的解集．
【答案】（1） ， ，作图见解析；（2）①√；②√；③×；（3）x＜-4或-2＜x＜1．
【解析】
【分析】（1）把对应的x的值代入即可求出a和b的值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象；
（2）观察图象即可判断；
（3）找出函数 的图象比函数 的图象低时对应的x的范围即可．【详解】（1）当 时， ；当 时， ；
∴ ， ，
故答案为： ， ．
所画图象，如图所示．
（2）①观察图象可知函数 的图象关于y轴对称，故该说法正确；
②观察图象可知，当x=0时，函数 有最小值，最小值为 ，故该说法正确；
③观察图象可知，当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，故该项题干说法错
误．
（3）不等式 表现在图象上面即函数 的图象比函数 的图象
低，因此观察图象，即可得到 的解集为：x＜-4或-2＜x＜1．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，
利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
24. 为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科
技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收
入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平
均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的
基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加 ，求a的值．
【答案】（1）A品种去年平均亩产量是400、B品种去年平均亩产量是500千克；（2）10．
【解析】
【分析】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得
到答案；
（2）根据题意分别表示A品种、B品种今年的收入，利用总收入等于A品种、B品种今年的收入之和，列
出一元二次方程求解即可得到答案．
【详解】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得
，
解得 ．
答：A．B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得： ．
令a%=m，则方程化为： ．
整理得10m2-m=0，
解得：m=0（不合题意，舍去），m=0.1
1 2
所以a%=0.1，所以a=10，
答：a的值为10．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方
法与步骤是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（ ，0），直线BC的解析式为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，
DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）向左平移 个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的对称轴
上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，
E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）四边形BECD面积 最大值为 ，E（ ，
的
）；（3）存在．N的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）．
【解析】
【分析】（1）由直线解析式求得B、C两点坐标，结合A点坐标利用待定系数法进行求解即可；
（2）易求AD的解析式为 ，进而D（ ， ）．求得CD的解析式为，进而求出CD
与x轴的交点坐标，易求△BCD的面积为 ，设E（x， ），表示出S ，进
BECD的面积
而利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）存在．先求出抛物线 的顶点坐标，根据平移规律求平移后抛物线解析式，设M（ ，m），N（x，y），易根据平行四边形对角线互相平分及中点公式．分类讨论即可得答案．
n n
【详解】（1） ，当x=0时，y=2，
当y=0时， ，解得：x= ，
所以B（ ，0），C（0，2），
将A（ ，0），B（ ，0）代入y=ax2+bx+2，
得 ，
解得： ，
所以抛物线的解析式为 ；
（2）∵AD//BC，
∴设直线AD解析式为： ．
将A（ ，0）代入得： ，
解得：m=- ，
所以AD的解析式为 ，
联立 ，解得： ， ，
∵A（ ，0），
∴D（ ， ）．
设CD解析式为y=kx+2，
将点D坐标代入得： ，
解得：k= ，
所以CD的解析式为： ，
当y=0时，即 ，
解得：x= ，
则CD与x轴的交点为（ ，0）．
所以S = = ，
BCD
△
设E（x， ），
则S =
BECD
= ，当x= 时，四边形BECD面积最大，其最大值为 ，此时E（ ， ）．
（3）存在．N的坐标为（ ， ），或（ ， ），或（ ， ）．
过程如下： ，
所以抛物线的顶点是（ ， ），
将抛物线 向左平移 个单位，
则平移后抛物线解析式为 ．
设M（ ，m），N（x，y），
n n
①当AM为对角线时，则 ，
解得：x= ，代入解析式得y= ．
n n
所以N（ ， ），如图
对角线交点坐标为（0， ），M坐标为（ ， ）②当AE为对角线时，则 ，
解得：x= ，代入解析式得y= ．
n n
所以N（ ， ），如图
对角线交点坐标为（ ， ），M坐标为（ ，0）
③当AN 为对角线时，则 ，
解得：x= ，代入解析式得y= ．
n n
所以N（ ， ）．如图对角线交点坐标为（ ， ），M坐标为（ ，-8）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，一次函数图象与坐标轴的交点，二次函数图
象的平移，二次函数的最值，平行四边形的性质等，综合性较强，有一定的难度，准确识图，把握并灵活
运用相关知识是解题的关键，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用．
四、解答题（本大题1个小题，共8分）
26. ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE= ．以AE为边在直线
△
AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG ，求线段NG的长；
（2）如图2，将 AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α
＜120°时，猜想∠△DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN．在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出 ADN的面积．
△
【答案】（1）NG= ；（2）∠DNM的为定值120°，证明见详解；（3） AND的面积为
△
【解析】
【
分析】（1）证明∠CGE=90°，求出DE= ，EC=2 ，根据直角三角形性质即可求解；
（2）证明BE∥DN，MN∥CF，△ABE≌△ACF，得到因此∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，
∠ABE=∠ACF，通过角的代换即可求解；
（3）取AC中点P，因为BP+PN≥BN，所以当B、P、N在一直线上，BN最大．求出BN= ，设BP与
AD交于O，NQ⊥AD于Q，根据△ONQ∽△OBD，可求得NQ= ，问题得解 ．
【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，∴∠DAC=30°,CD= ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵三角形AEF是等边三角形，
∴
∴
∵N为CE的中点
∴ ．
（2）∠DNM的为定值120°．
连CF，BE，BE交AC于H，DN交AC于G，如图，
∵D、N、M分别为BC、CE、EF中点，
∴DN、MN分别为△BCE、ECF中位线，
∴BE∥DN，MN∥CF，
∵△ABC、△AEF都是等边三角形，
∴AB=AC,AE=AF,
∴
∴△ABE≌△ACF．
∴∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，∠ABE=∠ACF又∵∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60°，
∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60°
又∵∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF，∴∠DNC=60°+∠ECF=60°+∠ENM，
∴∠DNE=180°-∠DNC=120°-∠ENM，
∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=120°．
（3） AND的面积为 ，
△
如图，取AC中点P，因为BP+PN≥BN，所以当B、P、N在一直线上，BN最大．
∴BN=BP+PN=BP+ AE=
设BP与AD交于O，NQ⊥AD于Q，如图，
∴BO= BP= ，ON= ，BD=4，
由题意得△ONQ∽△OBD，
∴NQ= ，
∴ AND的面积为： ×AD×NQ= ．
△
【点睛】本题考查了等边三角形性质，直角三角形性质，中位线定理，相似等知识，综合性较强，熟知图形变化规律，根据题意正确画出图形是解题关键．
