文档文本内容
重庆市 2023 年初中学业水平暨高中招生考试
数学试题（A 卷）
（全卷共三个大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1. 试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答
2. 作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3. 作图（包括作辅助线）请一律用黑色 2B 铅笔完成；
4. 考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回参考公式：抛物线
）的顶点坐标为 ，对称轴为
一、选择题：（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在每个小题的下面，都给出了代号
为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对
应的方框涂黑．
1.8 的相反数是（ ）
A. B. 8 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：8 的相反数是 ，
故选 A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】从正面看第一层是 个小正方形，第二层右边 个小正方形，
故选：D．
【点睛】考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3. 反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数 即可解答．
【详解】解： 将 代入反比例函数 得到 ，故 项不符合题意；
项将 代入反比例函数 得到 ，故 项不符合题意；
项将 代入反比例函数 得到 ，故 项符合题意；
项将 代入反比例函数 得到 ，故 项不符合题意；
故选 ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，
掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
4. 若两个相似三角形周长的比为 ，则这两个三角形对应边的比是（ ）
D.
A. B. C.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．
【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为 ，
∴相似三角形的对应边比为 ，
故选 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关
键．
5. 如图， ，若 ，则 的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得 的度数，根据垂直的定义可得 ，然后根
据 即可得出答案．
【详解】解： ， ，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键．
6. 估计 的值应在（ ）
A. 7 和 8 之间 B. 8 和 9 之间
C. 9 和 10 之间 D. 10 和 11 之间
【答案】B
【解析】
【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．
【详解】解：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关
键．
7. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了 9 根木棍，第②个图案用了 14 根木棍，
第③个图案用了 19 根木棍，第④个图案用了 24 根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木
棍 根数是（ ）
A. 39 B. 44 C. 49 D. 54
【答案】B
【解析】
【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．
【详解】解：第①个图案用了 根木棍，
第②个图案用了 根木棍，
第③个图案用了 根木棍，
第④个图案用了 根木棍，
……，
第⑧个图案用的木棍根数是 根，
故选：B．
【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题
的关键．
8. 如图， 是 的切线， 为切点，连接 ．若 ， ， ，则 的
长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据切线的性质及正切的定义得到 ，再根据勾股定理得到 ．【详解】解：连接 ，
∵ 是 的切线， 为切点，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴在 ， ，
故选 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质
是解题的关键．
， ，
9. 如图，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 上，连接 ， ．若
，则 一定等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形逆时针旋转 后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】将 绕点 逆时针旋转 至 ，四边形 是正方形，
∵
， ，
∴
由旋转性质可知： ， ， ，
，
∴
点 三点共线，
∴
， ，
，
∵
∴ ， ，
，
∵
，
∴
在 和 中
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
故选： ．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋
转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度．
10. 在多项式 （其中 中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，
添加绝对值符号后仍只有减法运算， 然后进行去绝对值运算， 称此为“绝对操作”． 例如：
， ， ．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为 0；
③所有的“绝对操作”共有 7 种不同运算结果．
其中正确的个数是A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对
值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【详解】解： ，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为 0，必须出现 ，显然无论怎么添加绝对值，都无法使 的符号为负，
故说法②正确．
当 添 加 一 个 绝 对 值 时 ， 共 有 4 种 情 况 ， 分 别 是 ；
； ；
． 当 添 加 两 个 绝 对 值 时 ， 共 有 3 种 情 况 ， 分 别
是 ； ；
．共有 7 种情况；
有两对运算结果相同，故共有 5 种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
二、填空题：（本大题 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）请将每小题的答案直接填在答题卡
中对应的横线上．
11. 计算 .
【答案】1.5
【解析】
【分析】先根据负整数指数幂及零指数幂化简，再根据有理数的加法计算.
【详解】 .
故答案为 1.5.
【点睛】本题考查了负整数指数幂及零指数幂的意义，任何不等于 0 的数的负整数次幂，等于这个数的正
整数次幂的倒数，非零数的零次幂等于 1.
12. 如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 AC，则∠BAC 的度数为 ．【答案】36°
【解析】
【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三角形
的性质可得∠BAC 的度数．
【详解】正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°
∴ ，
∴ .
故答案为 36°．
【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式：（n-2）×180°是解答此题的关键．
13. 一个口袋中有 1 个红色球，有 1 个白色球，有 1 个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一
个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是 ．
【答案】
【解析】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下：
红球 白球 蓝球
红球 （红球，红球） （白球，红球） （蓝球，红球）
白球 （红球，白球） （白球，白球） （蓝球，白球）
蓝球 （红球，蓝球） （白球，蓝球） （蓝球，蓝球）
由表知，共有 9 种等可能结果，其中两次都摸到红球的有 1 种结果，
所以两次摸到球的颜色相同的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14. 某新建工业园区今年六月份提供就业岗位 个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位 个．
设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 ，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【解析】
【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 ，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 ，根据题意得，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．
15. 如图， 在 中， ， ， 点 D 为 上一点， 连接 ． 过点
B 作 于点 E，过点 C 作 交 的延长线于点 F．若 ， ，则 的
长度为
．
【答案】3
【解析】
【分析】证明 ，得到
，即可得解．
【详解】解： ∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中：
，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全
等是解题的关键．
16. 如图， 是矩形 的外接圆，若 ，则图中阴影部分的面积为 ．（结
果保留 ）
【答案】
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到 ，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ 是 的直径，
∵ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ，
∴ 的面积为 ，矩形的面积为 ，
∴阴影部分的面积为 ；
故答案为 ；
【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
17. 若关于 x 的一元一次不等式组 ， 至少有 2 个整数解， 且关于 y 的分式方程
有非负整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是 ．
【答案】4
【解析】
【分析】先解不等式组，确定 a 的取值范围 ，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得 ，
由分式方程有正整数解，确定出 a 的值，相加即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式的解集为 ，
∴
∵ 不等式组至少有 2 个整数解，
，
∴
解得： ；
∵ 关于 y 的分式方程 有非负整数解，
∴
解得： ，
即 且 ，
解得： 且
∴a 的取值范围是 ，且
∴a 可以取：1，3，
，
∴
故答案为：4．【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．
18. 如果一个四位自然数 的各数位上的数字互不相等且均不为 0，满足 ，那么称这个四
位数为“递减数”．例如：四位数 4129，∵ ，∴4129 是“递减数”；又如：四位数 5324，
∵
，∴5324 不是“递减数”．若一个“递减数”为 ，则这个数为 ；若一
个“递减数”的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的和能被 9 整除，则满足条
件的数的最大值是 ．
【答案】 ①. ②. 8165
【解析】
【分析】根据递减数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ 是递减数，
∴ ，
∴ ，
∴这个数为 ；
故答案为：
∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的和能被 9 整除，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，能被 整除，
∴ 能被 9 整除，
∵各数位上的数字互不相等且均不为 0，
∴ ，
∵最大的递减数，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ 最大取 ，此时 ，
∴
这个最大的递减数为 8165．故答案为：8165．
【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．
三、解答题：（本大题 8 个小题，第 19 题 8 分，其余每题各 10 分，共 78 分）解答时每小题
必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写
在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1） ；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算单项式乘多项式，平方差公式，再合并同类项即可；
（2）先通分计算括号内，再利用分式的除法法则进行计算．
【小问 1 详解】
解：原式
；
【小问 2 详解】
原式
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关
键．
20. 学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，
那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段
所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作 的垂直平分线交 于点 E，交 于点 F，垂足为点 O．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形 是平行四边形， 是对角线， 垂直平分 ，垂足为点
O．求证： ．
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ① ．
∵ 垂直平分 ，
∴ ② ．
又 ③ ．
∴ ．
∴ ．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有
此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．
【答案】作图：见解析； ； ； ；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角
线中点平分
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．
【详解】解：如图，即为所求；
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ．
∵ 垂直平分 ，∴ ．
又 ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ； ； ；
由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平
分，
故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行
四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．
21. 为了解 A、B 两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了
A、B 两款智能玩具飞机各 架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析
（运行最长时间用 x 表示，共分为三组：合格 ，中等 ，优等 ），下面给出了
部分信息：
A 款智能玩具飞机 架一次充满电后运行最长时间是：
B 款智能玩具飞机 架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：
两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B 款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图
类别 A B
平均数
中位数 b
众数 a
方差根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若某玩具仓库有 A 款智能玩具飞机 架、B 款智能玩具飞机 架，估计两款智能玩具飞机运行
性能在中等及以上的共有多少架？
【答案】（1） ， ， ；
（2）B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为 B 款智能玩具飞机运行时间的方差比 A 款智能玩具飞机运行
时间的方差小，运行时间比较稳定；
（3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有 架．
【解析】
【分析】（1）由 A 款数据可得 A 款的众数，即可求出 ，由 B 款扇形数据可求得合格数及优秀数，从而
求得中位数及优秀等次的百分比；
（2）根据方差越小越稳定即可判断；
（3）用样本数据估计总体，分别求出两款飞机中等及以上的架次相加即可．
【小问 1 详解】
解：由题意可知 架 A 款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有 出现了三次，且次数最多，则
该组数据的众数为 ，即 ；
由 B 款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为 ，
则 B 款智能玩具飞机运行时间合格的架次为： （架）
则 B 款智能玩具飞机运行时间优等的架次为： （架）
则 B 款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为： ，
故 B 款智能玩具飞机运行时间的中位数为：
B 款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为：
即故答案 ： ， ， ；
【小问 2 详解】
B 款智能玩具飞机运行性能更好；因为 B 款智能玩具飞机运行时间的方差比 A 款智能玩具飞机运行时间的
方差小，运行时间比较稳定；
【小问 3 详解】
架 A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为：
（架）
架 A 款智能玩具飞机运行性能在中等及以上 架次为：
（架）
则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有： 架，
答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有 架．
【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数、众数、百分比，用方差做决策，用样本估计总体；解题的关键
是熟练掌握相关知识综合求解．
22. 某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
（1）该公司花费 3000 元一次性购买了杂酱面、牛肉面共 170 份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为 15 元、
20 元，求购买两种食品各多少份？
（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费 1260 元、1200 元一次性购买杂酱面、牛
肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多 ，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少 6 元，
求购买牛肉面多少份？23. 如图， 是边长为 4 的等边三角形，动点 E，F 分别以每秒 1 个单位长度的速度同时从点 A 出发，
点 E 沿折线 方向运动，点 F 沿折线 方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动
时间为 t 秒，点 E，F 的距离为 y．
（1）请直接写出 y 关于 t 的函数表达式并注明自变量 t 的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点 E，F 相距 3 个单位长度时 t 的值．
【答案】（1）当 时， ；当 时， ；
（2）图象见解析，当 时，y 随 x 的增大而增大
（3）t 的值为 3 或
【解析】
【分析】（1）分两种情况：当 时，根据等边三角形的性质解答；当 时，利用周长减
去即可；（2）在直角坐标系中描点连线即可；
（3）利用 分别求解即可．
【小问 1 详解】
解：当 时，
连接 ，
由题意得 ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
当 时， ；
【小问 2 详解】
函数图象如图：
当 时，y 随 t 的增大而增大；
【小问 3 详解】
当 时， 即 ；
当 时， 即 ，解得 ，
故 t 的值为3 或 ．
【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．
24. 为了满足市民的需求，我市在一条小河 两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；① ；
② ．经勘测，点 B 在点 A 的正东方，点 C 在点 B 的正北方 千米处，点 D 在点 C 的正西方
千米处，点 D 在点 A 的北偏东 方向，点 E 在点 A 的正南方，点 E 在点 B 的南偏西 方向．
（参考数据：
（1）求 AD 的长度．（结果精确到 1 千米）
（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
【答案】（1）AD 的长度约为 千米
（2）小明应该选择路线①，理由见解析
【解析】
【分析】（1）过点 作 于点 ，根据题意可得四边形 是矩形，进而得出 ，
然后解直角三角形即可；
（2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可．
【小问 1 详解】
解：过点 作 于点 ，
由题意可得：四边形 是矩形，
∴ 千米，
∵ 点 D 在点 A 的北偏东 方向，
∴ ，∴ 千米，
答：AD 的长度约为 千米；
【小问 2 详解】
，
由题意可得： ，
路线①的路程为：
∴
（千米），
， ， ，
∵
∴ 等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
由题意可得 ，
∴ ，
∴ ， ，
所以路线②的路程为： 千米，
∴路线①的路程 路线②的路程，
故小明应该选择路线①．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数
值是解本题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点 ，且交 x 轴于点 ，B 两点，交 y
轴于点 C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 P 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 P 作 于点 D，过点 P 作 y 轴的平行线交
直线于点 E，求 周长的最大值及此时点 P 的坐标；（3）在（2）中 周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，点 M
为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点 N，使得以点 A，P，M，N 为顶点的四边形是菱形，
写出所有符合条件的点 N 的坐标，并写出求解点 N 的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）
（2） 周长的最大值 ，此时点
（3） 以点 A，P，M，N 为顶点的四边
形是菱形时 或 或
【解析】
【分析】（1）把 、 代入 计算即可；
（2）延长 交 轴于 ，可得 ，进而得到 ， ，求
出的最大值即可；
（3）先求出平移后的解析式，再设出 M，N 的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可．
【小问 1 详解】
把 、 代入 得， ，
解得 ，
抛物线的表达式为 ；
∴
【小问 2 详解】
延长 交 轴于 ，
∵ 过点 P 作 于点 D，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 于点 E，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 最大时 周长的最大
∴
抛物线的表达式为 ，
∵
，
∴
直线 解析式为 ，
∴
设 ，则
∴ ，
当 时 最大，此时
∴
周长为 ，
∵
周长的最大值为 ，此时 ，
∴
即 周长的最大值 ，此时点 ；
【小问 3 详解】
∵ 将该抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，可以看成是向右平移 2 个单位长度再向下平移一个单位
长度，
∴平移后的解析式为 ，此抛物线对称轴为直线 ，
设 ，
∴
∵ ，∴ ， ， ，
当 为对角线时，此时以点 A，P，M，N 为顶点的四边形是菱形
∴ 与 互相平分，且
，解得
∴
中点坐标为 ， 中点坐标为 ，
∵
，解得 ，
∴
此时 ；
当 为边长且 和 是对角线时，此时以点 A，P，M，N 为顶点的四边形是菱形
∴ 与 互相平分，且
，解得
∴
中点坐标 ， 中点坐标为 ，
∵
，解得 ，
∴
此时 或 ；
同理，当 为边长且 和 是对角线时，此时以点 A，P，M，N 为顶点的四边形是菱形
∴ 和 互相平分，且
，此方程无解；
综上所述，以点 A，P，M，N 为顶点的四边形是菱形时 或 或 ；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，
中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
26. 在 中， ， ，点 为线段 上一动点，连接 ．
（1）如图 1，若 ， ，求线段 的长．
（2）如图 2，以 为边在 上方作等边 ，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延
长线于点 ． 若 ，求证： ．
（3）在 取得最小值的条件下，以 为边在 右侧作等边 ．点 为 所在直线上一点，将
沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ． 连接 ，点 为 的中点，连接
，当 取最大值时，连接 ，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ，请直接
写出此时 的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）解 ，求得 ，根据 即可求解；
（2）延长 使得 ，连接 ，可得 ，根据 ，
得 出 四 点 共 圆 ， 则 ， ， 得 出
，结合已知条件得出 ，可得 ，即
可得证；
（3）在 取得最小值的条件下，即 ，设 ，则 ， ，根据题意得
出点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，取 的中点 ，连接 ，则 是 的中位线， 在
半径为 的 上运动，当 取最大值时，即 三点共线时，此时如图，过点 作 于点
，过点 作 于点 ，连接 ，交 于点 ，则四边形 是矩形，得出 是的中位线，同理可得 是 的中位线， 是等边三角形，将 沿 所在直线翻折至
所在平面内得到 ，则 ，在 中，勾股定理求得 ，进而
即可求解．
【小问 1 详解】
解：在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问 2 详解】
证明：如图所示，延长 使得 ，连接 ，
∵ 是 的中点则 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵
，
∴ 四点共圆，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
【小问 3 详解】
解：如图所示，
在 取得最小值的条件下，即 ，
设 ，
，则 ，
∴
， ，
∵将
沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ．
∴
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
取 中点 ，连接 ，
则 是 的中位线，
∴ 在半径为 的 上运动，
当 取最大值时，即 三点共线时，此时如图，过点 作 于点 ，过点 作
于点 ，
是 的中点，
∵
∴ ，∴ 是等边三角形，
则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
如图所示，连接 ，交 于点 ，则四边形 是矩形，
∴ ， 是 的中点，
∴
即 是 的中位线，同理可得 是 的中位线，
∴ ，
∵ 是等边三角形，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ，
∴
∴则
在 中，
∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，
等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，折叠的性质，圆外一点到圆上距离的最值问题，垂线段最短，
矩形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
