南京2026年高考考前数学综合训练考前必做答案_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年05月高三试卷_260520南京2026年高考考前数学综合训练考前必做

2026 届南京市考前综合题
集合
1．已知A＝{x Z|4－x2≥0}，B＝{x|y＝ 1－x}，A∩B＝
A．[－2，1] B．(－∞，－2] C．{0，1} D．{－2，－1，0，1}
【答案】D ∈
【提示】A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝(－∞，1]，所以A∩B＝{－2，－1，0，1}．
【说明】本题主要考查集合描述法的含义，注意Z，N等细节．
2．已知集合A＝{x||x－2|＜1}，B＝{x|x≤a}，A B＝B，则实数a的取值范围为
A．[1，＋∞) B．[3，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，3]
【答案】B ∪

【提示】A＝(1，3)，B＝(－∞，a]，因为A B＝B，所以A B，所以a≥3，故选B．
【说明】本题主要考查集合的并集运算与子集的概念．
∪
函数导数
1， x＞0，
3．已知符号函数sgn＝ 0， x＝0，f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则
－1，x＜0，
A．sgn[g(x)]＝sgnx B．sgn[g(x)]＝－sgnx
C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)] D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
【答案】B
【提示】因为f(x)是R上的增函数，取f(x)＝x，所以g(x)＝(1－a)x，因为a＞1，所以g(x)是
1，x＞0 －1，x＞0
R上的减函数，由符号函数sgn＝ 0，x＝0 知，sgn[g(x)]＝ 0，x＝0 ＝－sgnx．
－1，x＜0 1，x＜0
【说明】本题考查新定义问题．
4．(多选)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)＝f'(x)．若f（2）＝5，f(x)
＋f(x＋2)＝6，g(1－2x)为偶函数，则下列结论中正确的是
2026
A．f(x＋4)＝f(x) B．g(－x)＝g(x) C．g(2)＝0 D．  f(i)＝6080
i＝1
【答案】ACD
【提示】由f(x)＋f(x＋2)＝6，可得f(x＋2)＋f(x＋4)＝6，两式相减可得f(x＋4)＝f(x)，故选项
A正确；
由g(1－2x)为偶函数，可得g(1－2x)＝g(1＋2x)，即g(x＋1)＝g(－x＋1)，所以g(x)的
图象关于直线x＝1对称，由f(x＋4)＝f(x)，两边求导得f'(x＋4)＝f'(x)，即g(x＋4)＝
g(x)，所以g(x)是以4为周期的周期函数，则有g(x)＝g(x＋4)＝g(－x－2)，无法推出
g(－x)＝g(x)，故选项B错误；
由f(x)＋f(x＋2)＝6，两边求导得f'(x)＋f'(x＋2)＝0，即g(x)＋g(x＋2)＝0，令x＝0，可
得g(0)＋g(2)＝0，又g(x＋1)＝g(－x＋1)，令x＝－1，可得g(0)＝g(2)，并联立
g(0)＋g(2)＝0
，解得g(0)＝g(2)＝0，故选项C正确；
g(0)＝g(2)
由f(x)＋f(x＋2)＝6，当x＝0时，f(0)＋f(2)＝6，又f(2)＝5，可得f(0)＝1，当x＝1
时，可得f(1)＋f(3)＝6，由g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f'(x＋1)＝f'(－x＋1)，所以f(x＋1)
＝－f(－x＋1)＋c，令x＝1，可得c＝f(2)＋f(0)＝5＋1＝6，所以f(x＋1)＝－f(－x＋1)
＋6，令x＝0，可得2f(1)＝6，f(1)＝3，f(3)＝3，由选项A知f(x)的周期为4，则f(4)
2026
＝f(0)＝1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝12，  f(i)＝506×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)
i＝1
＋f(2)＝506×12＋3＋5＝6080，故选项D正确．【说明】本题考查抽象函数及其对称性和周期性．
5．已知函数f(x)＝aex有两条切线经过(－1，1)，则a的取值范围是 ．
【答案】(e，＋∞)
x x x
【提示】设切点为(x ，ae 0)，设切线方程为y－ae 0＝ae 0(x－x )，
0 0
x x x
将x＝－1，y＝1代入切线方程得1－ae 0＝ae 0(－1－x )，化简得ax e 0＝－1，
0 0
1 1
令h(x)＝xex，h(x)＝－ ，即y＝h(x)与y＝－ 有两个交点．
a a
h'(x)＝ex(1＋x)，令h'(x)＝0得x＝－1．
x＜－1时，h(x)单调递减；x＞－1时，h(x)单调递增．
1
所以极小值h(－1)＝－ ，
e
1 1 1
要使y＝－ 与h(x)有两个交点，则－ ＜－ ＜0，解得a＞e．
a e a
【说明】本题考查切线的条数求解参数．
6．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝lnx＋2存在公切线，则所有公切线方程为_________．
【答案】y＝x＋1，y＝ex．
【提示】设f(x)＝ex，g(x)＝lnx＋2的切点分别为(x ，e x1)，(x ，lnx ＋2)
1 2 2
所以，切线方程分别为y＝e x1(x－x )＋e x1，y＝ 1 (x－x )＋lnx ＋2，
1 2 2
x
2
e
x1＝ 1
x 1
所以， 2 ，所以(lnx ＋1)( －1)＝0，
e x1(1－x 1 )＝lnx 2 ＋1 2 x 2
1
即x ＝1或x ＝ ．
2 2
e
所以公切线方程为：y＝x＋1，y＝ex．
【说明】本题主要考查公切线求法，这里涉及常见的e
x1＝ 1
方程化简．
x
2
1
7．(2015年新课标I卷)已知函数f(x)＝x3＋ax＋ ，g(x)＝－lnx．
4
（1）当a为何值时，x轴为曲线y＝f(x) 的切线；
（2）用min{m，n} 表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0) ，讨
论h(x)零点的个数．
【提示】（1）设曲线y＝f(x)与x轴相切于点(x ，0)，则f(x )＝0，f'(x )＝0，
0 0 0
1
x3＋ax ＋ ＝0
即 0 0 4 ，解得x ＝ 1 ，a＝ 3 ．
0
3x2＋a＝0 2 4
0
3
因此，当a＝ 时，x轴是曲线y＝f(x)的切线．
4
（2）当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－lnx＜0，从而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)＜0，
∴h(x)在(1，＋∞)无零点．
5 5
当x＝1时，若a≥－ ，则f（1）＝a＋ ≥0，h（1）＝min{f（1），g（1）}＝g（1）
4 4
5 5
＝0，故x＝1是h(x)的零点；若a＜－ ，则f（1）＝a＋ ＜0，h（1）＝min{f（1），
4 4
g（1）}＝f（1）＜0，故x＝1不是h(x)的零点．
当x∈(0，1)时，g(x)＝－lnx＞0，所以只需考虑f(x)在(0，1)的零点个数．
(ⅰ)若a≤－3或a≥0，则f'(x)＝3x2＋a在(0，1)无零点，故f(x)在(0，1)单调，而f(0)1 5
＝ ，f（1）＝a＋ ，
4 4
所以当a≤－3时，f(x)在(0，1)有一个零点；当a≥0时，f(x)在(0，1)无零点．
a a
(ⅱ)若－3＜a＜0，则f(x)在(0， － )单调递减，在( － ，1)单调递增，故当x＝
3 3
a a 2a a 1
－ 时，f(x)取的最小值，最小值为f( － )＝ － ＋ ．
3 3 3 3 4
a 3
若f( － )＞0，即－ ＜a＜0，f(x)在(0，1)无零点．
3 4
a 3
若f( － )＝0，即a＝－ ，则f(x)在(0，1)有唯一零点；
3 4
a 3 1 5
若f( － )＜0，即－3＜a＜－ ，由于f(0)＝ ，f（1）＝a＋ ，
3 4 4 4
5 3
所以当－ ＜a＜－ 时，f(x)在(0，1)有两个零点；
4 4
5
当－3＜a≤－ 时，f(x)在(0，1)有一个零点．
4
3 5
综上，当a＞－ 或a＜－ 时，h(x)由一个零点；
4 4
3 5
当a＝－ 或a＝－ 时，h(x)有两个零点；
4 4
5 3
当－ ＜a＜－ 时，h(x)有三个零点．
4 4
【说明】本题考查函数的零点．
1
8．已知函数f(x)＝a(x－1)ex＋ x2，a＞－1．
2
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）证明：
①(x－1)ex＋x2≥－1；
1 1 1 3×5×7×…×(2n－1)
②当n≥2且n∈N*时， ＋ ＋…＋ ＜2ln ．
2 3 n 2×4×6×…×(2n－2)
1
【提示】（1）由f(x)＝a(x－1)ex＋ x2，a＞－1，得x∈R，f'(x)＝axex＋x．
2
1°若a≥0，则aex＋1＞0，当x∈(－∞，0)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增．
1
2°若a＜0时，令f'(x)＝0，得x＝0或x＝ln(－ )．
a
1
因为－1＜a＜0，所以ln(－ )＞0，
a
当x∈(－∞，0)，则f'(x)＜0，f(x)单调递减，
1
当x∈(0，ln(－ ))，则f'(x)＞0，f(x)单调递增，
a
1
当x∈(ln(－ )，＋∞)，则f'(x)＜0，f(x)单调递减；
a
综上，当a≥0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
1
当－1＜a＜0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，ln(－ ))上单调递增，
a
1
在(ln(－ )，＋∞)上单调递减；
a
1 1 1
（2）①由（1）得，当a＝ 时，f(x)＝ (x－1)ex＋ x2，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
2 2 21 1 1 1
所以f(x)≥f(0)＝－ ，即 (x－1)ex＋ x2≥－ ，
2 2 2 2
即(x－1)ex＋x2≥－1；
1
②令x＝ (n≥2，且n∈N*)，
2n
1
1＋( )2
1 2n 4n2＋1 2n＋1 1 1 2n－1
得e2n ≤
1－
1
＝
4n2－2n
＝1＋
4n2－2n
＝1＋
2n－2＋
2n＋
2
1
＜1＋
2n－2
＝
2n－2
，
2n
1 2n－1
两边同时取自然对数，得 ＜ln ，
2n 2n－2
1 1 1 1 3 5 7 2n－1 3×5×7×…×(2n－1)
则 ( ＋ ＋…＋ )＜ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln ＝ln ，
2 2 3 n 2 4 6 2n－2 2×4×6×…×(2n－2)
1 1 1 3×5×7×…×(2n－1)
即当n≥2且n∈N*时， ＋ ＋…＋ ＜2ln ．
2 3 n 2×4×6×…×(2n－2)
【说明】本题考查单调性讨论，恒成立问题．
平面向量
9．已知向量a，b满足|a|＝|a－b|，且a－b在b上的投影向量为单位向量，则|b|＝
A．1 B． 2 C．3 D．2
【答案】D
(a－b)·b |b·a－b2|
【提示】因为a－b在b上的投影向量为单位向量，所以| ·b|＝1，所以 ＝1.
|b|2 |b|
|b·a－b2| 1
因为|a|＝|a－b|，所以a2＝(a－b)2，即b2＝2a·b．代入 ＝1得 b2＝|b|，所以|b|
|b| 2
＝2．
【说明】考查投影向量的基本概念与运算.
→
10．在平行四边形ABCD中，∠BAD＝2π，E，F分别是线段BC，AE的中点．记AB＝a，
3
→ → → →
AD＝b，则DF＝__________(用a和b表示)；若4DF·DE＝3 3＋3，则平行四边形
ABCD面积的最大值为__________.
【答案】1a－3b；3 3．
2 4 4
→ →
【提示】因为E是BC中点，所以BE＝1 b，AE＝a＋1 b．
2 2
→ → → →
又F是AE中点，故AF＝1a＋1b，DF＝AF－AD＝1a－3b．
2 4 2 4
→ → →
又DE＝a－1 b，所以4DF·DE＝2a2－4a·b＋3 b2＝3 3＋3．
2 2
设|a|＝x，|b|＝y，则a·b＝xycosA＝xycos2π＝－1xy．
3 2
代入得2x2＋2xy＋3 y2＝3 3＋3≥2xy＋2 3xy，所以xy≤3，
2 2
当且仅当x2＝3 3，y2＝ 3时等号成立．
4
又平行四边形面积 S＝AD·AB·sinA＝ 3 xy，故S ＝3 3．
max
2 4【说明】向量的三点共线、平面向量基本定理、向量的数量积．平面解析几何
11．若点A(1，0)关于直线y＝kx＋b的对称点在圆(x－2)2＋y2＝1上，则k，b的一组取值
为
1
A．k＝2，b＝－2 B．k＝ ，b＝－1
3
C．k＝1，b＝2 D．k＝1，b＝－2
【答案】D
【提示】由于A(1，0)在圆(x－2)2＋y2＝1上，圆心为(2，0)，要使A(1，0)关于直线y＝kx
＋b的对称点在圆(x－2)2＋y2＝1上，则直线y＝kx＋b必经过圆心(2，0)，故2k＋b＝
0，结合选项可知：只有D符合．
【说明】由标准方程确定圆心和半径，由直线与圆的位置关系求参数，求点关于直线的对
称点．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2，3)在动直线l：mx＋ny－4m－5n＝0上的射影
为点M，则|OM|的最大值为
A．5 B． 2 C．5－ 2 D．5＋ 2
【答案】D
【提示】动直线l：mx＋ny－4m－5n＝0过定点Q(4，5)，所以点M在以PQ为直径的圆
上．又P(2，3)，所以圆心为S(3，4)，半径为 2．从而OS为5，OM的最大值为5＋ 2．
【说明】本题考查直线过定点及隐圆问题．
13．已知双曲线x2－y2＝1(a＞0，b＞0)的左､右焦点分别为F 和F ，过F 的直线交双曲线
1 2 2
a2 b2
→ →
的右支于点A，交双曲线的一条渐近线于点B(B在第二象限)．若OA＝1F B，|AB|＝
1
2
|OF |，则双曲线的离心率为
1
A．4 B．2 3 C．5 D． 13
【答案】A
→ →
【提示】由OA＝1F B，O为F F 中点，则A为BF 中点，
1 1 2 2
2
由B在第二象限，可设B(x ，－bx 0)(x ＜0)，则A( x 0 ＋c，－bx 0)，
0 0
a 2 2a
由|AB|＝|OF |，则 (x － x 0 ＋c )2＋(－ bx 0)2＝c，
1 0
2 2a
( x 0 ＋c )2 (－ bx 0)2
整理得c2x2
0
－2a2cx
0
－3a2c2＝0. 又点A在双曲线上，则有
2
－
2a
＝1，整理
a2 b2
得x
＝4a2－c2
.
0
2c
则c2·(
4a2－c2
)2－2a2c·
4a2－c2－3a2c2＝0.
2c 2c
整理得c2＝16a2，即e＝c＝ 16＝4.
a
【说明】设点，翻译题干，构建关于离心离的齐次方程，计算离心率的值．
14．已知点M(－1，1)和抛物线C:y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B
两点．若∠AMB＝90°，则k＝______．
【答案】2
【提示】法1：代数刻画
由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)，
y＝k(x－1)(k≠0)，联立 消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝
y2＝4x．
2k2＋4 4
0，设A(x ，y )，B(x ，y )则x ＋x ＝ ，x x ＝1．则y ＋y ＝ ，y y ＝－4.
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
k2 k
→ →
由∠AMB＝90°，得MA·MB＝(x ＋1，y －1)·(x ＋1，y －1)＝x x ＋x ＋x ＋1＋y y －
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
(y ＋y )＋1＝0，整理得4－4＋1＝0，即( 2－1)2＝0，所以k＝2．
1 2
k2 k k
法2：几何转化
取AB中点M (x ，y )，由∠AMB＝90°，得|MM |＝1 |AB|.
1 0 0 1
2
设抛物线的焦点为F，分别过点A，B做准线x＝－1的垂线，
垂足分别为A ，B ，则|MM |＝1 |AB|＝1 (|AF|＋|BF|)＝1 (|AA |＋|BB |)．
1 1 1 1 1
2 2 2
又M (－1，1)为AB的中点，所以MM 是梯形中位线．
1 1
从而MM 平行于x轴，所以y ＝1．
1 0
设A(x ，y )，B(x ，y )，则y ＋y ＝2y ＝2. 所以k＝ y 1 －y 2＝ 4 ＝2．
1 1 2 2 1 2 0
x 1 －x 2 y 1 ＋y 2
【说明】从代数与几何两个角度刻画直角．
15．已知F (－2，0)，F (2，0)，M为单位圆O：x2＋y2＝1上的动点，N为F 关于M的对
1 2 2
称点，线段NF 的中垂线与直线F N交于点P，记P的轨迹为曲线C．
2 1
（1）求曲线C的方程；
（2）设A，B是曲线C上的两点，直线AB与单位圆O相切. 试判断：“|AB|＝3”是
“A，B，F 三点共线”的什么条件（在①充分不必要、②必要不充分、③充要、④既
2
不充分也不必要中选一个），并证明你的结论；
（3）若Q(－4，0)，过F 的直线l与曲线C交于D，E，且△QDE的外心在y轴上，
2
求直线l的斜率．
【提示】（1）因为PM为NF 的中垂线，所以PF ＝PN.
2 2
又因为M为NF 中点，O为F F 中点，
2 1 2
所以OM为△NF F 的中位线，所以NF ＝2MO.
1 2 1
从而|PF －PF |＝|PF －PN|＝NF ＝2MO＝2＜F F ＝4，
1 2 1 1 1 2
所以点P的轨迹是以F ，F 为焦点，2为实轴长的双曲线.
1 2
设焦距为2c，长轴长为2a，b2＝c2－a2，则c＝2，a＝1，b2＝3.
所以曲线C的方程为x2－y2＝1.
3
（2）“|AB|＝3”是“A，B，F 三点共线”的必要不充分条件，理由如下：
2
先证必要性：若A，B，F 三点共线，则设直线AB方程为x＝my＋2.
2
由相切，得 2 ＝1，所以m2＝3.
m2＋1
由对称性，不妨设m＞0，则m＝ 3.
y2
x2－ ＝1
联立 3 ，得8y2＋12 3y＋9＝0.
x＝ 3y＋2
Δ＝144，
3 3
y ＋y ＝－ ，
1 2
设A(x ，y )，B(x ，y )， 则 2 .
1 1 2 2
9
y y ＝
1 2
8
所以AB＝ ( 3)2＋1|y －y |＝2× 144＝3.
1 2
8故必要性得证.
再证不充分性：由对称性可知，若直线AB过点F ，则AB也为3.
1
从而由AB＝3不能推出A，B，F 三点共线.
2
综上：“|AB|＝3”是“A，B，F 三点共线”的必要不充分条件.
2
【另解：对于不充分性的证明，也可以设AB方程为x＝my＋t，借助弦长公式计算出
1
m2＝
m2＝3 11
t2＝4
或
t2＝ 12
，从而A，B，F
2
三点不一定共线】
11
（3）法一：中垂线+垂径定理
设直线DE：x＝my＋2，D(x ，y )，E(x ，y ).
3 3 4 4
y2
x2－ ＝1
联立 3 ，得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，
x＝my＋2
Δ＝36m2＋36，
－12m
y ＋y ＝ ，
3 4
所以 3m2－1 .
9
y y ＝
3 4
3m2－1
设DE中点为H，则H(－ 2 ，－ 6m ).
3m2－1 3m2－1
所以DE的中垂线为y＝－m(x＋ 2 )－ 6m . 令
3m2－1 3m2－1
x＝0，则y＝－ 8m .
3m2－1
设△QDE的外心为G，则G(0，－ 8m ). 则由垂径定理，GH2＋(DE)2＝GQ2.
3m2－1 2
又DE＝ m2＋1|y －y |＝6(m2＋1)，所以4(m2＋1)＋1· 36(m2＋1)2 ＝16＋ 64m2 .
3 4
|3m2－1| (3m2－1)2 4 (3m2－1)2 (3m2－1)2
即45m4－18m2＋1＝0，即(3m2－1)(15m2－1)＝0.
又3m2－1≠0，所以15m2＝1，所以m＝± 1 .
15
所以直线l的斜率为± 15.
法二：圆的一般方程+同解
设△QDE的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为圆心在y轴上，所以D＝0.
将Q(－4，0)代入，得F＝－16.
所以外接圆方程为x2＋y2＋Ey－16＝0.
设直线DE：x＝my＋2，D(x ，y )，E(x ，y ).
3 3 4 4
x2＋y2＋Ey－16＝0
联立 ，得(m2＋1)y2＋(4m＋E)y－12
x＝my＋2
＝0，则y y ＝－ 12 .
3 4
m2＋1
y2
x2－ ＝1
联立 3 ，得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，则y y ＝
3 4
x＝my＋2
9
.
3m2－1
所以－ 12 ＝ 9 ，所以15m2＝1，所以m＝± 1 .
m2＋1 3m2－1 15所以直线l的斜率为± 15.
法三：对称性+圆幂定理
△QDE的外心在y轴上，所以△QDE的外接圆关于y轴对称.
由Q(－4，0)在圆上，得R(4，0)也在圆上.
由圆幂定理得，F Q·F R＝F D·F E＝12.
2 2 2 2
设直线DE：x＝my＋2，D(x ，y )，E(x ，y ).
3 3 4 4
y2
x2－ ＝1
联立 3 ，得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，
x＝my＋2
则y y ＝ 9 .
3 4
3m2－1
所以F D·F E＝(m2＋1)|y y
|＝－9(m2＋1)＝12.
2 2 3 4
3m2－1
所以15m2＝1，所以m＝± 1 .
15
所以直线l的斜率为± 15.
【说明】圆与椭圆的融合，通过中垂线与中位线刻画椭圆定义，写出椭圆方程．弦长公
式、直线与圆相切，由对称性多想少算处理第二问．第三问借助第二问的运算表达式
计算三角形的外接圆，通过中垂线联立、一般方程同解、对称性+圆幂定理等加以处
理.
16．已知圆C ：(x＋2)2＋y2＝7－4 3和圆C ：(x－2)2＋y2＝7＋4 3，动圆M同时与圆C
1 2 1
及圆C 相外切．记动圆圆心M的轨迹为Ω．
2
（1）求Ω的方程；
3 3
（2）点P，Q分别在直线l ：x＝－ 与l ： x＝ 上，且PC ⊥MC ，QC ⊥MC ．
1 2 1 1 2 2
2 2
证明：P，M，Q三点共线．
【提示】（1）设动圆M的半径为r，则MC ＝r＋2－ 3，MC ＝r＋2＋ 3．
1 2
所以MC －MC ＝2 3＜4．
2 1
所以M点的轨迹是以C 、C 为焦点，2 3为实轴长的双曲线的左支(不含顶点)．
1 2
设长轴长为2a，焦距是2c，b2＝c2－a2．
则2a＝2 3，2c＝4，所以a2＝3，b2＝1．
所以Ω的方程是x2－y2＝1(x＜－ 3)．
3
（2）设M(x 0 ，y 0 )(x 0 ＜－ 3，y 0 ≠0)，x 0 2－y 0 2＝1．
3
①当直线MC 斜率存在时，k ＝ y 0 ，k ＝ y 0 ，
1
MC1 x ＋2 MC2 x －2
0 0
所以直线PC ： x＝－ y 0 y－2，
1
x ＋2
0
QC ： x＝－ y 0 y＋2．
2
x －2
0
y
x＝－ 0 y－2，
x ＋2
0
由 3 得P(－ 3 ，－x 0 ＋2 )．
x＝－ 2
2y
2 0
y
x＝－ 0 y＋2，
x －2
0
由 3 得Q( 3 ，x 0 －2 )．
x＝ 2
2y
2 0→ →
所以PM＝(x ＋ 3 ，y ＋x 0 ＋2 )，QM＝(x － 3 ，y －x 0 －2 )，
0 0 0 0
2 2
2y 2y
0 0
因为(x ＋ 3 )[y －x 0 －2 ]－(x － 3 )[y ＋x 0 ＋2 ]＝ －4x2 0 ＋12y 0 2－12＝0．
0 0 0 0
2 2
2y 2y y
0 0 0
→ →
所以PM//QM，故P，M，Q三点共线．
②当直线MC 斜率不存在时，由对称性不妨设y ＞0，此时点M(－2， 3)，P(－ 3 ，
1 0
3 2
3
0)，Q( ，－2 3)，k ＝k ，所以P，M，Q三点共线．
MP MQ
2
综上，P，M，Q三点共线．
【说明】圆与圆外切定义、双曲线的定义(左支)，朴素的设点法．代数语言刻画三点共
线．
3
17．已知A(－2，0)，B(2，0)，直线AS，BS相交于点S，且它们的斜率之积为－ ，记点S
4
的轨迹为Ω．
（1）求Ω的方程；
（2）设直线y＝1交Ω于P，Q两点，点M在线段PQ上，直线AM，BM分别交Ω于
D，E两点，直线AE，BD交于点N．
①证明：MN⊥AB；
②判断y轴上是否存在定点T，使得|NT|＋|NM|为定值．若存在，求出T的坐标；若不
存在，说明理由．
【提示】（1）设S(x，y)，则k ·k ＝ y · y ＝ y2 ＝－3．
AS BS
x＋2 x－2 x2－4 4
即Ω的方程为x2＋y2＝1(x≠±2)．
4 3
（2）①设M(x ，1)，－2 6＜x ＜2 6．
0 0
3 3
则k ＝k ＝ 1 ，所以k ＝－3(x ＋2)，所以直线BD：y＝－3(x ＋2)(x－2)．
DA MA DB 0 0
x ＋2 4 4
0
同理可得直线AE：y＝－3(x －2)(x＋2)．
0
4
3
y＝－ (x ＋2)(x－2)
0
4
联立
y＝－ 3 (x －2)(x＋2)
可得N(x
0
，－3 (x2
0
－4))，又M(x
0
，1)，
0 4
4
所以MN⊥AB．
②法一：假设存在点T(0，t)，使得|NT|＋|NM|为定值m，
即|NT|＋|NM|＝ x2
0
＋(3－t－ 3x2 0)2＋2－3x2 0＝m，
4 4
所以x2
0(3t－3m－1)＋(t－3)2－(m－2)2＝0恒成立，
2
3t－3m－1＝0
则 ，解得t＝8，m＝7，
(t－3)2－(m－2)2＝0
3 3
所以存在点T(0，8)，使得|NT|＋|NM|为定值7．
3 3
法二：点N的轨迹为y＝－3 x2＋3，即x2＝－4 (y－3)．
4 3
可视为抛物线x2＝－4 y上移3个单位得到，则焦点为(0，8)，准线为y＝10．
3 3 3所以存在点T(0，8 )，使得|NT|＋|NM|＝10－1＝10．
3 3 3
【说明】椭圆的第三定义，设点；隐轨迹(抛物线)；定点(隐抛物线的焦点)，定值．
18．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点P(6，0)的动直线l交抛物线E于A，B
两点，已知点T(1，2)．
（1）当直线AT垂直于x轴时，AF＝3，求抛物线C的标准方程；
（2）若直线FT平分∠AFB，求直线l的斜率．
p
【提示】（1）当直线AT垂直于x轴时，AF＝1＋ ＝3，所以p＝4，
2
所以抛物线C的标准方程为y2＝8x．
（2）法一：向量的夹角公式
→ → → →
FT·FA FT·FB
若直线FT平分∠AFB，则∠AFT＝∠BFT，所以 ＝ ．
→ → → →
|FT||FA| |FT||FB|
设l：x＝my＋6，A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 1 1
→ → →
因为T(1，2)，F(2，0)，所以FT＝(－1，2)，FA＝(x －2，y )，FB＝(x －2，y )．
1 1 2 2
所以
－x
1
＋2＋2y
1＝
－x
2
＋2＋2y
2，即
－my
1
－4＋2y
1＝
－my
2
－4＋2y
2．
x ＋2 x ＋2 my ＋8 my ＋8
1 2 1 2
即－1＋4＋2y 1＝－1＋4＋2y
2，即(2m－8)y ＝(2m－8)y ．
1 2
my ＋8 my ＋8
1 2
因为y ≠y ，所以2m－8＝0，即m＝4．
1 2
1
所以直线l的斜率为 ．
4
法二：斜率的到角公式
设A(y 1 2，y )，B(y 2 2，y )，T(1，2)，F(2，0).
1 2
8 8
若直线FT平分∠AFB，则∠AFT＝∠BFT. 则 k TF －k AF ＝ k BF －k TF .
1＋k ·k 1＋k ·k
TF AF BF TF
y y
－2－ 1 2 －(－2)
y 2 y 2
1 －2 2 －2
即 ＝ .
8 8
y y
1＋(－2)· 1 1＋ 2 ·(－2)
y 2 y 2
1 －2 2 －2
8 8
即
－2y
1
2－8y
1
＋32＝2y
2
2＋8y
2
－32
.
y 2－16y －16 y 2－16y －16
1 1 2 2
即16(y ＋y )2＋(6y y －96)(y ＋y )－(y y －16)2＝0.
1 2 1 2 1 2 1 2
又直线AB：8x－(y ＋y )y＋y y ＝0，将P(6，0)代入，得y y ＝－48.
1 2 1 2 1 2
所以(y ＋y )2－24(y ＋y )－256＝0.
1 2 1 2
所以(y ＋y －32)(y ＋y ＋8)＝0.
1 2 1 2
所以y ＋y ＝32或－8（舍去）.
1 2
所以l的斜率为 8 ＝ 1
y ＋y 4
1 2
法三：角平分线定理，过程略.
【说明】以抛物线为背景，用不同方法来刻画角度.
19．(26届南昌模考题)已知正方体ABCD－A B C D 的棱长为
1 1 1 1
2 2，对角线AC 的中点为F，动点P在平面AA C C内，
1 1 1且点P到平面AA B B的距离等于 2|PF|.
1 1
2
（1）求四棱锥P－AA B B体积的最小值；
1 1
（2）记点P的轨迹为曲线M，点G，R，Q是曲线M上不同三点.
①若平面AB F与轨迹M相交于RG两点，求线段RG的长；
1
②若点G在点F上方，且GF⊥AC，GR，GQ与平面ABCD所成角相等，平面α过RQ
且与AB平行，判断平面α与平面ABCD的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角
的余弦值；若不是定值，请说明理由.
【提示】（1）
设点P到平面AA B B和直线AA 的距离分别为d ，d ，
1 1 1 1 2
因为点P在平面AA C C内，且平面AA B B与平面AA C C的夹角为π，
1 1 1 1 1 1
4
因此d ＝ 2 d ，得d ＝|PF|．
1 2 2
2
所以点P的轨迹是F为焦点，AA 为准线的抛物线，
1
当点P在抛物线的顶点O处时，d 最小，最小值为1AC＝1，此时d ＝ 2，
2 min
4 2
所以四棱锥P－AA B B体积的最小值为1×8× 2＝4 2．
1 1
3 2 3
（2）设AA 的中点为E，则EF∥AC，如图1，以EF的中点O为原点，EF所在直线
1
为y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，过点O且平行于BD的直线为x
轴，建立空间直角坐标系O－xyz，设点P(0，y，z)，则z2＝4y，
①平面AB F与平面AA C C的交线为AF，
1 1 1
因此R，G是直线AF与抛物线M的交点，如图2，在平面AA C C中，
1 1
设GR：z＝ 2 (y－1)，与抛物线M方程联立，得：y2－10y＋1＝0．
2
因此，|GR|＝|GF|＋|RF|＝y ＋1＋y ＋1＝12．
1 2
②如图3，在平面AA C C中，点G在点F上方，且GF⊥AC，
1 1
得到点G坐标为(1，2)，因为GR，GQ与平面ABCD所成角相等，
所以GR，GQ与AC所成角相等，因此，GR，GQ的斜率互为相反数，
设R(y ，z )，Q(y ，z )，则z 1 －2＋z 2 －2＝0，
1 1 2 2
y －1 y －1
1 2
得 z 1 －2 ＋ z 2 －2 ＝0z ＋z ＝－4，因此，k ＝z 1 －z 2＝ z 1 －z 2＝ 4 ＝－1．
1 2 RQ
z2 1－1 z2 2－1 y 1 －y 2 z2 1－ z2 2 z 1 ＋z 2
4 4 4 4
→
因此，在空间直角坐标系中，RQ的方向向量为(0，1，－1)，又AB＝(2，2，0)，
→ →
设平面α的法向量n＝(x，y，z)，由n⊥RQy＝z，由n⊥ABx＋y＝0，
令y＝1，则n＝(－1，1，1)，
又平面ABCD的法向量m＝(0，0，1)，cos＜n，m＞＝ 3，
3所以平面α与平面ABCD的夹角为定值，其余弦值为 3．
3
【说明】立体几何与解析几何融合，三垂线法刻画二面角的平面角，由定义转化为隐抛物
线方程．后续围绕抛物线的焦点弦展开计算．
计数原理
20．某校运动会需要5名同学（含甲、乙、丙等）排成一列参加入场式，其中甲不能站在
队列两端，乙和丙之间恰好间隔2名同学，则不同的队列排法共有
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
【答案】B
【提示】应先分析乙丙相对位置“间隔2人”意味着他们占据位置组合为(1，4)、(4，1)、
(2，5)、(5，2)四种模式)，再结合甲不在两端的限制进行分类讨论，最后安排其余2
人．
【说明】本题主要考查排列组合中的限制条件问题，体现了“先特殊后一般”的排列组合
解题思想．解题时需注意乙、丙的位置互换和甲的位置限制，避免漏算或重复计算．
1
21．二项式( x－ )6的展开式中
x
A．前三项系数之和为22 B．二项式系数最大的项是第4项
C．常数项为15 D．所有项的系数之和为0
【答案】BCD
【提示】二项式( x－
1
)6展开式的通项为：T
k＋1
＝C
6
k( x)6－k·(－
1
)k＝(－1)kC
6
kx3－3
2
k
(k＝0，1，
x x
2，…，6)．
前三项的系数之和为：(－1)0C0＋(－1)1C1＋(－1)2C2＝10，选项A错误；
6 6 6
二项式系数Ck(k＝0，1，2，…，6)中最大的是C3，恰好是第4项，选项B正确；
6 6
3k
若T 为常数项，则3－ ＝0，得k＝2，即T ＝(－1)2C2x0＝15，选项C正确；
k＋1 3 6
2
将x＝1代入，可得所有项的系数之和，结果为0，选项D正确；
【说明】本题主要考查二项式定理的应用，涉及二项式展开式的通项公式、二项式系数的
性质、特定项系数以及所有项系数和的计算，解题时需区分“二项式系数”与“项的
系数”，并熟练运用通项公式分析指数特征．
概率与统计
22．某学校采用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级中抽取样本，抽取的高一学
生有15人，高二学生有20人，高三学生有10人，已知该校高三年级共有600人，则
该校三个年级的学生总人数为
A．2700 B．3000 C．3300 D．3600
【答案】A
样本容量 1 45 1
【提示】样本总容量为15＋20＋10＝45人， ＝ ，设总人数为n，则 ＝ ，解
总体容量 60 n 60
得n＝45×60＝2700，选A．
【说明】本题考查分层抽样的核心原理与基本计算，是统计抽样模块的基础题型，解题关
键在于牢牢把握分层抽样“各层抽取比例完全相同”的本质特征．
23．(多选)某文创品牌推出春日限定盲盒活动，已知A盒中仅有1个徽章，且为春日限定
款；B盒中有m个春日限定款徽章和n个秋日普通款徽章，其中m≥3，n≥3，m，n
∈N*．活动规则为：从B盒中随机抽取i(i＝1，2)个徽章放入A盒中．记： 放入i
个徽章后，A盒中含有春日限定款徽章的个数为ξ(i＝1，2)； 放入i个徽章后，从A
i
盒中随机取出1个徽章是春日限定款的概率为p(i＝1，2)．则下列结论正确的①是
i
②A．p ＞p ，E(ξ )＜E(ξ ) B．p ＜p ，E(ξ )＞E(ξ )
1 2 1 2 1 2 1 2
2m＋n 3m＋n 3m＋n
C．p ＝ ，E(ξ )＝ D．E(ξ )＝ ，p ＞p
1 1 2 1 2
m＋n m＋n m＋n
【答案】AD
【提示】设X 为从B盒抽取i个徽章中春日限定款的个数，由题意可得ξ＝1＋X，X 服从
i i i i
im m 2m＋n
超几何分布，因此E(X)＝ ．所以E(ξ )＝1＋E(X )＝1＋ ＝ ，E(ξ )＝1＋
i 1 1 2
m＋n m＋n m＋n
2m 3m＋n m
E(X )＝1＋ ＝ ，可得E(ξ )－E(ξ )＝ ＞0，即E(ξ )＜E(ξ )．
2 2 1 1 2
m＋n m＋n m＋n
1 2 n
由全概率公式：当i＝1时，p ＝P(X ＝0)· ＋P(X ＝1)· ，代入P(X ＝0)＝ ，P(X
1 1 1 1 1
2 2 m＋n
m n m 2m＋n
＝1)＝ ，得p ＝ ＋ ＝ ．
1
m＋n 2(m＋n) m＋n 2(m＋n)
当i＝2时，p ＝P(X ＝0)· 1 ＋P(X ＝1)· 2 ＋P(X ＝2)· 3 ，代入概率：P(X ＝k)＝ C m kC2－ n k ，
2 2 2 2 2
3 3 3 C 2
m＋n
3m2＋4mn＋n2－3m－n
k＝0，1，2，化简得：p ＝ ．
2
3(m＋n)(m＋n－1)
2m＋n 3m2＋4mn＋n2－3m－n n
p －p ＝ － ＝ ＞0，因此p ＞p ．
1 2 1 2
2(m＋n) 3(m＋n)(m＋n－1) 6(m＋n)
所以选项A、选项D结论正确，选项B、选项C错误．
【说明】本题考查的核心知识点是全概率公式的应用与互斥事件的分类讨论，需要理清事
件的先后顺序，正确分步计算概率．
24．某农业科研团队为研究某作物亩产量与施肥量之间的关系，选取了5块条件相近的试
验田进行试验，得到如下数据：
施肥量x(kg) 10 15 20 25 30
亩产量y(kg) 216 302 356 403 458
5 5 － －
并计算得，∑xy＝37625，∑x2＝2250，x＝20，y＝347．
i i i
i＝1 i＝1
（1）建立亩产量y关于施肥量x的经验回归方程，并求施肥量为30kg的残差；
（2）该团队后续对该地区大量采用类似方式种植的试验田进行了调查，发现该地区的
土壤肥力分为高、中、低三个等级，其中高肥力试验田占比30%，中肥力占比50%，
低肥力占比20%．在高肥力试验田中，按（1）中回归方程预测的亩产量与实际亩产
量的误差不超过10kg的概率为0.9；在中肥力试验田中，该误差不超过10kg的概率为
0.7；在低肥力试验田中，该误差不超过10kg的概率为0.4；现从该地区的试验田中随
机选取一块，求其亩产量预测误差不超过10kg的概率．
n － －
∑(x－x)(y－y )
附：经验回归方程 ^ y＝b ^ x＋a ^ ，其中b ^ ＝i＝1 i i ，a ^ ＝ － y －b ^－ x ．
n －
∑(x－x)2
i
i＝1
5 5 － －
【提示】∑xy＝37625，∑x2＝2250，x＝20，y＝347．
i i i
i＝1 i＝1
n － － 5 －－
∑(x－x )(y－y) ∑xy－5x y
b ^ ＝i＝1 i i ＝i＝1 i i ＝ 37625－5×20×347 ＝ 37625－34700
n － 5 － 2250－5×400 2250－2000
∑(x－x)2 ∑x2－5x2
i i
i＝1 i＝1
2925
＝ ＝11.7，
250
^ － ^－
a＝y－bx＝347－11.7×20＝347－234＝113，^
所以经验回归方程为y＝11.7x＋113．
^
当x＝30时，y＝11.7×30＋113＝351＋113＝464．
^
残差为y－y＝458－464＝－6．
^
答：经验回归方程为y＝11.7x＋113，残差为－6kg．
（2）设事件A为“选取的试验田亩产量预测误差不超过10kg”，事件B 为“选取的
1
试验田为高肥力”，事件B 为“选取的试验田为中肥力”，事件B 为“选取的试验
2 3
田为低肥力”，则
P(B )＝0.3，P(B )＝0.5，P(B )＝0.2，P(A|B )＝0.9，P(A|B )＝0.7，P(A|B )＝0.4
1 2 3 1 2 3
根据全概率公式：
P(A)＝P(B )P(A|B )＋P(B )P(A|B )＋P(B )P(A|B )＝0.3×0.9＋0.5×0.7＋0.2×0.4
1 1 2 2 3 3
＝0.27＋0.35＋0.08＝0.7
答：其亩产量预测误差不超过10kg的概率为0.7．
【说明】本题考查线性回归方程的求解与全概率公式的应用．第一问中需将题目给出的的
原始公式，转化为便于代入数据计算的等价形式．
25．某射击比赛决赛阶段，甲、乙两名选手争夺金牌，比赛无平局，每局比赛结果相互独
立．决赛采用全新的“抢11赛制”：每局比赛胜者得3分，负者得1分；若某选手连
续2局获胜，或积分率先达到11分，则该选手获得冠军，比赛结束．设决出冠军时的
比赛总局数为X．
（1）请在①②两个问题中选择一个作答：
1
①若甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为 ，求X的分布列与数学期望E(X)；
2
②由于心理素质差异，甲在单局比赛中获胜的概率为p(0＜p＜1)．试求出平均比赛总局
数E(X)关于p的函数解析式，并求当p为何值时，E(X)达到最大；
（2）经赛后数据分析，甲在该项目单局比赛的实际胜率为p＝0.6．在某训练赛中，甲
乙共进行了n局比赛，试求n为何值时，甲获胜13局的概率最大?
【提示】（1）①比赛结束的条件为：(Ⅰ)某选手连续2局获胜；(Ⅱ)积分率先达到11分．
由赛制规则分析可得，X＝2，3，4，5，
X＝2：前2局连胜(甲甲或乙乙)，总积分8分未达11分，满足条件(Ⅰ)，P(X＝2)＝
1 1 1
( )2＋( )2＝ ，
2 2 2
X＝3：前2局交替，第3局与第2局连胜(甲乙乙或乙甲甲)，满足条件(Ⅰ)，P(X＝3)
1 1
＝2×( )3＝ ，
2 4
X＝4：前3局交替，第4局与第3局连胜(甲乙甲甲或乙甲乙乙)，此时胜者积分10
1 1
分，满足条件(Ⅰ)，P(X＝4)＝2×( )4＝ ，
2 8
X＝5：前4局交替(甲乙甲乙或乙甲乙甲)，两人各得8分，第5局无论谁胜，胜者积
1 1
分必达8＋3＝11分，满足条件(Ⅱ)，P(X＝5)＝2×( )4×1＝ ，
2 8X的分布列如下：
X 2 3 4 5
1 1 1 1
P
2 4 8 8
1 1 1 1 23
E(X)＝2× ＋3× ＋4× ＋5× ＝
2 4 8 8 8
②设乙在单局比赛中获胜的概率为q＝1－p，
P(X＝2)＝P(甲甲)＋P(乙乙)＝p2＋q2，
P(X＝3)＝P(乙甲甲)＋P(甲乙乙)＝qp2＋pq2＝pq(p＋q)＝pq，
P(X＝4)＝P(甲乙甲甲)＋P(乙甲乙乙)＝pqp2＋qpq2＝pq(p2＋q2)，
P(X＝5)＝P(甲乙甲乙)＋P(乙甲乙甲)＝p2q2＋q2p2＝2p2q2，
令t＝pq＝p(1－p)，由p＋q＝1且0＜p＜1，可得：p2＋q2＝(p＋q)2－2pq＝1－2t，
p＋1－p 1 1
由基本不等式，t≤( )2＝ ，故t∈(0， ]．
2 4 4
则P(X＝2)＝1－2tP(X＝3)＝tP(X＝4)＝t(1－2t)＝t－2t2P(X＝5)＝2t2，
因此E(X)＝2(1－2t)＋3t＋4(t－2t2)＋5(2t2)＝2t2＋3t＋2，
1 1 1
设g(t)＝2t2＋3t＋2，其在区间(0， ]上单调递增．当t＝ (即p＝ )时，g(t)取得最大
4 4 2
值，
1 1 23
E(X) ＝2×( )2＋3× ＋2＝ ，
max
4 4 8
1
答：E(X)＝2p2(1－p)2＋3p(1－p)＋2，当p＝ 时，比赛的平均总局数E(X)达到最大．
2
（2）已知X~B(n，0.6)，X＝13．设f(n)＝P(X＝13)＝C13×0.613×0.4n－13．
n
n!
f(n) ＝ C1 n 3×0.613×0.4n－13 ＝ 13!(n－13)! ×0.4＝ n ×0.4，
f(n－1) C
n
1
－
3
1
×0.613×0.4n－14 (n－1)! n－13
13!(n－14)!
f(n) 0.4n 130
令 ≥1 ≥10.4n≥n－1313≥0.6nn≤ ≈21.67．
f(n－1) n－13 6
当n≤21时，f(n)＞f(n－1)，即f(n)随n增大而增大；
当n≥22时，f(n)＜f(n－1)，即f(n)随n增大而减小．
f(22) 22 44
＝ ×0.4＝ ＜1，
f(21) 22－13 45
因此，f(21)是最大值．所以n的估计值为21．
【说明】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望与二项分布的性质，以及概率最值
相关问题．复数
－
26．已知复数z满足z·(1－i)2＝(1＋i)3，则 z ＝
A．1＋i B．－1＋i C．1－i D．－1－i
【答案】B
(1－i)2 －
【提示】z＝ ＝－1－i，所以 z ＝－1＋i．
(1＋i)3
【说明】本题考查复数的四则运算和共轭复数的概念．
27．已知m＞1，对于所有满足|z|＝2的复数z，都有|z－i|的最小值与|z－m|的最小值相同，
则m＝____________.
【答案】3
【提示】|z|＝2得复数z对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆，
因为|z－i|表示点(0，1)到圆上一点的距离，则|z－i|的最小值为2－1＝1.
而|z－m|表示点(m，0)到圆上一点的距离，则|z－m|的最小值为|2－m|.
所以|2－m|＝1，m＞1，解得m＝3.
【说明】考查复数模长的几何意义.
立体几何
28．已知圆台的上、下底面半径之比为3：4，母线(侧棱)长为 2，该圆台的上、下底面圆
周均在球O的球面上．若球O的表面积为100π，则该圆台的体积为
37π 40π
A． B．12π C． D．13π
3 3
【答案】A
【提示】设球O的半径为R，由题意球O的表面积为S＝4πR2＝100π，所以R＝5．
设圆台的上底面圆的半径为3r，则下底面圆的半径为4r，
(3r)2＋OM2＝52
(4r)2＋(OM－h)2＝52
当球O的球心O在圆台外时，设圆台的高为h，则 ，
h2＋(4r－3r)2＝ 22
消去OM和h得 25－9r2＝ 25－16r2＋ 2－r2，
平方化简得4r2－1＝ 50－57r2＋16r4，
平方化简得r2＝1，解得r＝1，此时h＝1，
1 37π
此时圆台的体积为 π×(32＋3×4＋42)＝ ；
3 3
(3r)2＋OM2＝52
(4r)2＋(h－OM)2＝52
当球O的球心O在圆台内时，则 ，
h2＋r2＝ 22
消去OM和h得 25－16r2＝ 2－r2－ 25－9r2，
平方化简得1＋3r2＝ 50－43r2＋9r4，解得r＝1可得h＝1，
37π
OM＝4与 h＞OM矛盾，综上，该圆台的体积为 ．
3
【说明】本题考查圆台与球的组合体计算，考查空间想象与方程思想．
29．(多选)已知正方体ABCD－A B C D ，M，N分别是面ABCD，面BCC B 的中心．则
1 1 1 1 1 1
下列结论正确的是
A．A M⊥B D
1 1 1
B．C D⊥平面MA D
1 1 1
C．AB与D N是异面直线
1
D．平面D MN将正方体分成前后两部分的体积比为2：1
1
【答案】AD【解析】因为△A BD是等腰三角形，M 为BD中点，所以A M⊥BD，又正方体ABCD－
1 1
A B C D 中BD∥B D ，所以A M⊥B D ，选项A正确；
1 1 1 1 1 1 1 1 1
在正方体ABCD－A B C D 中，过M作EF//AD分别交AB，CD于E，F，连接A E，
1 1 1 1 1
D F，则EF//A D ，所以平面A EFD 即平面MA D ，由于C D与D F不垂直，选项
1 1 1 1 1 1 1 1 1
B错误；
在正方体ABCD－A B C D 中，连结AD 与BC ，则AD ∥BC ，又N在BC 上，所以
1 1 1 1 1 1 1 1 1
BN∥AD ，所以AB与D N共面，选项C错误；
1 1
显然AB与D N是相交直线，设其交点为P，设直线PM交AD于G，交BC于H，连
1
结HN交B C 于K，则面NHKD 是平面D MN截正方体所得的截面．由M，N分别
1 1 1 1
为正方形ABCD，BCC B 的中心，得C K＋CH＝a＝DG＋CH，连接D H，多面体
1 1 1 1
1 1 1 1 1
D C K－DCHG的体积V ＝V ＋V ＝ × a2×a＋ × a2×a＝ a3，而正方
1 1 1 D1－CC1KH D1－DCHG 3 2 3 2 3
V－V
体的体积V＝a3，因此平面D MN将正方体分成前后两部分的体积比为 1＝2，选
1
V
1
项D正确．故选AD．
【说明】本题考查线面位置关系的判别与体积计算，解题关键是利用正方体的对称性与截
面法分析线线、线面关系，并通过分割几何体计算体积比．
30．(多选)已知正四棱柱ABCD－A B C D 的底面边长为2，侧棱长为1，P为底面
1 1 1 1
A B C D 上的动点(含边界)，则
1 1 1 1
A．若P与B 不重合，则直线A A与B P所成角的大小为90°
1 1 1
B．PA＋PC的最小值为2 3
π
C．满足PD＝ 5的点P的轨迹长度为
2
D．满足三棱锥P－ACD外接球的体积取得最大值的点P共有5个
【答案】ABD
【提示】由于在正四棱柱中，A A 垂直于底面A B C D ， B P面A B C D ，所以A A⊥
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B P，选项A正确；
1
作A关于平面面A B C D 的对称点A'，则 PA＋PC＝A'P＋PC≥A'C，当P位于正方
1 1 1 1
形A B C D 的中心时，取等号，又A'C＝2 3，所以选项B正确；
1 1 1 1
满足PD＝ 5的点P的轨迹为以D为球心， 5为半径的球面被上底面A B C D 所截得
1 1 1 1
1
的一条圆弧，该圆弧是以D 为圆心，经过顶点 A 和 C ，所以其长度 L＝ ·2π·2＝
1 1 1
4
π．选项C错误；
以D为原点，直线DA，DC，DD 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，
1
0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， 因为ΔACD 是直角三角形，故设三棱锥外接球球
心为 O(1，1，z)，球半径为 R，P(x，y，1)．由OP＝OD，得2z＝(x－1)2＋(y－1)2－
1，令 d2＝(x－1)2＋(y－1)2(表示 P 到上底面中心 (1，1，1) 的距离平方)，则 z＝
d2－1 (d2－1)2
．又R2＝z2＋2＝ ＋2，所以d2＝0或d2＝2时，外接球体积最大．点
2 4
A ，B ，C ，D 四个点以及正方形A B C D 的中心共五个点满足条件，选项D正
1 1 1 1 1 1 1 1
确．
【说明】本题考查正四棱柱中动点轨迹与最值的综合判断，考查空间想象与函数思想．31．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝
6，E为棱PD上一点，且ED＝2PE，过EB作平面α分别与线段PA，PC交于点M，
PM
N，且AC//α，则 ＝___________，四边形EMBN的面积为___________．
PA
1
【答案】 ；4 6
2
【提示】延伸平面α，交AC所在的平面ABCD于RS，即平面 P
α∩平面ABCD=RS，又B∈平面且B∈平面ABCD，∴
B∈RS，即R，S，B三点共线．由于AC//α，AC平面 E
M
ABCD，面ABCD∩α＝SR，所以AC∥SR，又AC经过BD
的中点，所以DA＝AR． N D A
R
在平面PDA内以D为坐标原点，以DP为y轴，以DA为
x轴建立平面直角坐标系，P(0，6)，E(0，4)，A(4，0)， C B
x y x y
R(8，0)，可得l
AP
： ＋ ＝1，l
RE
： ＋ ＝1，求得交点
S
4 6 8 4
PM 1
M(2，3)，所以 ＝ ；
PA 2
PN 1 PM PN 1
同理可得 ＝ ，即 ＝ ＝ ，所以MN∥AC，MN＝
PC 2 PA PC 2
1
AC＝2 2．
2
易证AC⊥平面PDB，所以AC⊥EB，所以MN⊥EB，
在Rt△FDB中，EB＝ DE2＋DB2＝4 3，
1 1
所以四边形EMBN的面积S＝S＝ ×MN×BE＝ ×2 2×4 3＝4 6．
2 2
【说明】本题考查线面平行的性质定理与截面问题，考查空间推理与几何量的代数化计
算．
32．如图，在四棱锥E－ABCD中，平面DEC⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，DA＝DC
＝4，AB＝2，CE＝ED，且CE⊥ED．
E
（1）证明：CE⊥AE．
（2）设平面ECD与平面EAB的交线为l．
①证明：DC//l．
②若P为l上的点，求DE与平面PBC所成角的余弦的最小值． D
C
【提示】（1）证明：因为平面ECD⊥平面ABCD，
平面ECD∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，
A B
所以AD⊥平面ECD．

因为CE 平面ECD，所以AD⊥CE．
因为CE⊥ED，ED∩AD＝D，所以CE⊥平面ADE．
又AE 平面ADE，所以CE⊥AE．
 
（2） 证明：因为AB//CD，DC 平面EAB，AB 平面EAB，所以DC//平面EAB．

又因为DC 平面ECD，平面ECD∩平面EAB＝l，所以DC//l．
①
解：过点D在平面DCE内作DM⊥DC，则DM
E
⊥平面DABC， z
又②因为AD⊥CD，
M
所以以D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为
x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标 D
系，则D(0，0，0)，C(0，4，0)，B(4，2，0)， C y
E(0，2，2)． A
x B→
设P(0，m，2)，则DE＝(0，2，2)，
→ →
BC＝(－4，2，0)，CP＝(0，m－4，2)．
→
n·BC＝－4x＋2y＝0，
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则 →
n·CP＝(m－4)y＋2z＝0，
令x＝1，则n＝(1，2，4－m)．
设直线DE与平面PBC所成的角为θ，则
→
→ |DE·n| |12－2m| |m－6|
sinθ＝|cos＜DE，n＞|＝ ＝ ＝ ．
| → DE||n| 8· 5＋(4－m)2 2· (m－4)2＋5
当m＝6时，sinθ＝0；
当m≠6时，令t＝m－6，则t≠0，此时
|t| 1 1 3 10
sinθ＝ ＝ ＝ ≤ ，
2· (t＋2)2＋5 2· 9 ＋ 4 ＋1 2· ( 3 ＋ 2 )2＋ 5 10
t2 t t 3 9
9 3 10
当且仅当t＝－ 时，sinθ取得最大值 ，
2 10
10
此时DE与平面PBC所成角的余弦取得最小值 ．
10
【说明】本题考查面面垂直的判定与性质，考查空间向量法求解线面角最值．
1
33．已知梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，AB＝AD＝ DC＝2，如图1．将△ABD沿
2
BD折起到△PBD，得到三棱锥P－BCD，如图2，EF分别为棱BD、CD的中点．
（1）若BC⊥PD，求证：平面PBC⊥平面PBD；
（2）若∠PEF＝90°，求二面角D－PF－E的正弦值；
（3）是否存在点P，使得点B到平面PCD的距离为 2?若存在，求此时二面角P－
BD－C的余弦值；若不存在，请说明理由．
1
【提示】（1）因为梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，AB＝AD＝ DC＝2，
2
所以BD＝2 2，BC＝ 22＋(4－2)2＝2 2，所以BD2＋BC2＝CD2，所以BC⊥BD，
又BC⊥PD，BD，PD平面PBD，且BD∩PD＝D，所以BC⊥平面PBD，
又BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD．
（2）因为EF分别为棱BD、CD的中点，所以EF∥BC，所以EF⊥BD，
又PE⊥BD，所以∠PEF为二面角P－BD－C的平面角，
因为∠PEF＝90°，所以平面PBD⊥平面BDC，
所以PE⊥平面BDC，DE，EF平面BDC，所以PE
⊥ED，PE⊥EF，又EF⊥BD，故建立如图所示的空
间直角坐标系E－xyz．则E(0，0，0)，D( 2，0，
0)，B(－ 2，0，0)，C(－ 2，2 2，0)，F(0， 2，
0)，P(0，0， 2)．
→ →
DF＝(－ 2， 2，0)，DP＝(－ 2，0， 2)，
易知平面PEF的一个法向量为m＝(1，0，0)，
设平面PDF的一个法向量为n＝(x，y，z)，→
DF·n＝0 － 2x＋ 2y＝0
则
→
DP·n＝0
，即
－ 2x＋ 2z＝0
，取x＝1，则n＝(1，1，1)，
m·n 1
所以cos＜m，n＞＝ ＝ ，
|m|·|n| 3
6
所以二面角D－PF－E的正弦值为 1－(cos＜m，n＞)2＝ ．
3
（3）由（2）可知DE⊥平面PEF，故分别以ED，EF为x，y轴的正方向，z轴在平
面PEF内且以向上的方向为正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz．
则E(0，0，0)，D( 2，0，0)，B(－ 2，0，0)，C(－ 2，2 2，0)，F(0， 2，0)．
因为∠PEF为二面角P－BD－C的平面角，设其大小为θ，
→
则P(0， 2cosθ， 2sinθ)，所以FP＝(0， 2cosθ－ 2， 2sinθ)，
→
又DC＝(－2 2，2 2，0)，
设平面PCD的一个法向量为u＝(a，b，c)，
→
DC·u＝0 －2 2a＋2 2b＝0
则 ，即 ，
→ FP·u＝0 ( 2cosθ－ 2)·b＋ 2sinθ·c＝0
→
取a＝sinθ，则u＝(sinθ，sinθ，1－cosθ)，又BD＝(2 2，0，0)，
→
|u·BD| |2 2sinθ|
则点B到平面PCD的距离为d＝ ＝ ＝ 2，
|u| sin2θ＋sin2θ＋(1－cosθ)2
1
所以3cos2θ－2cosθ－1＝0，解得cosθ＝1(舍去)，或cosθ＝－ ．
3
所以存在点P，使得点B到平面PCD的距离为 2，此时二面角P－BD－C的余弦值
1
为－ ．
3
【说明】本题考查平面图形翻折后的空间位置与度量，考查二面角、点面距的参数化处
理．
三角函数
5 10 π 3π
34．若sin2α＝ ，sin(β－α)＝ ，且α [ ，π]，β [π， ]，则α＋β的值是________．
5 10 4 2
【答案】 7π ∈ ∈
4
π π 5 π π
【提示】因为α∈[ ，π]，所以2α∈[ ，2π]．因为sin2α＝ ，所以2α∈[ ，π]，故α∈[ ，
4 2 5 2 4
π 2 5 3π π 5π 3 10
]，cos2α＝－ ．因为β∈[π， ]，所以β－α∈[ ， ]，所以cos(β－α)＝－ ，
2 5 2 2 4 10
2 5 3 10
故cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝(－ )×(－ )－
5 10
5 10 2 5π 7π
× ＝ ．又因为α＋β∈[ ，2π]，所以α＋β＝ ．
5 10 2 4 4
【说明】本题考查三角恒等变换中的配角技巧与角度范围控制．
π
35．已知角α，β (0， )，且sin(α＋β)＝2sin(α－β)，当α－β取得最大值时，角α＝
2
A． π ∈ B． π C． π D． 5π
6 4 3 12
【答案】C
【提示】展开sin(α＋β)＝2sin(α－β)，得sinαcosβ＋cosαsinβ＝2(sinαcosβ－cosαsinβ)，整理得sinαcosβ＝3cosαsinβ，两边同除以cosαcosβ，所以tanα＝3tanβ．
tanα－tanβ
设θ＝α－β，则tanθ＝tan(α－β)＝ ．
1＋tanαtanβ
3t－t 2t 2
代入tanα＝3tanβ，令 t＝tanβ (t＞0)，则tanθ＝ ＝ ＝ ．
1＋3t2 1＋3t2 1 ＋3t
t
1 1 1
根据均值不等式， ＋3t≥2 3，当且仅当 ＝3t，即 t2＝ 时，分母最小，tanθ最大(此
t t 3
3 π
时α－β也最大)．此时tanβ＝ ，tanα＝3tanβ＝ 3，α＝ ．故选C．
3 3
【说明】本题考查三角恒等变换与基本不等式的综合应用．
π
36．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(φ＞0)，若f(x)在[0， ]上恰有1个零点，则实数φ的最小值是
3
π π π 2π
A． B． C． D．
6 3 2 3
【答案】B
π 2π
【解析】因为x∈[0， ]，所以2x＋φ∈[φ， ＋φ]，注意到正弦函数最小的正零点为π，要
3 3
2π π 4π π
使得φ最小，则π≤ ＋φ＜2π，所以 ≤φ＜ ，所以φ ＝ ．
min
3 3 3 3
【说明】本题考查三角函数的零点分布问题，解题关键是通过换元将问题转化为正弦函数
在指定区间内的零点计数，结合区间长度与零点位置建立不等式，求解参数的取值范
围并确定最小值．
1 1
37．(多选)已知函数f(x)＝sinx＋ cos2x－ sin3x，则下列结论正确的是
2 3
A．2π是f(x)的一个周期
π
B．直线x＝ 是f(x)图象的一条对称轴
2
11
C．f(x)的最大值为
6
π
D．f(x)在区间(0， )内单调递减
6
【答案】ABD
1 1
【提示】f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋ cos2(x＋2π)－ sin3(x＋2π)＝f(x)，选项A正确；
2 3
π π 1 1 3π 1 1
f( ＋x)＝sin( ＋x)＋ cos(π＋2x)－ sin( ＋3x)＝cosx－ cos2x＋ cos3x，
2 2 2 3 2 2 3
π π 1 1 3π 1 1
f( －x)＝sin( －x)＋ cos(π－2x)－ sin( －3x)＝cosx－ cos2x＋ cos3x，
2 2 2 3 2 2 3
π π
所以f( ＋x)＝f( －x)，选项B正确；
2 2
1 1 1 1 11
f(x)＝sinx＋ cos2x－ sin3x≤1＋ ＋ ＝ ，但 sinx，cos2x，－sin3x无法在同一点取
2 3 2 3 6
得最大值 1，所以选项C错误；
f'(x)＝cosx－sin2x－cos3x＝2sin2xsinx－sin2x＝sin2x(2sinx－1)
π 1
当0＜x＜ 时，sin2x＞0，而 sinx＜ ，所以f'(x)＜0，函数单调递减．选项D正确．
6 2
【说明】本题考查三角函数周期性、对称性与单调性的综合判定．解三角形
38．(多选)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA＝sinB，且
3(acosB＋bcosA)＝2csinC，D是△ABC外一点且B、D在直线AC异侧，DC＝2，DA
＝6，则下列说法正确的是
A．△ABC是等边三角形
B．若AC＝2 13，则A，B，C，D四点共圆
C．四边形ABCD面积的最小值为10 3－12
D．四边形ABCD面积的最大值为10 3＋12
【答案】ABD
【提示】∵ 3(acosB＋bcosA)＝2csinC，∴根据正弦定理得
3(sinAcosB＋sinBcosA)＝2sin2C，即 3sin(A＋B)＝2sin2C，
3
∴ 3sinC＝2sin2C，显然sinC≠0，则sinC＝ ，
2
π
根据△ABC为锐角三角形，所以C＝ ，又sinA＝sinB，
3
π
可得a＝b，∴A＝B＝C＝ ，∴△ABC为等边三角形，
3
故选项A正确；
∵DC＝2，DA＝6，在△ADC中，AC2＝62＋22－2×2×6cosD＝40－24cosD，
1 2π
当AC＝2 13时，cosD＝－ ，∴D＝ ，即B＋D＝π，∴A，B，C，D共圆，故选项
2 3
B正确．
1 3
又S ＝ AD·CDsinD＝6sinD，∴四边形ABCD面积S＝S ＋S ＝ AC2＋
△ADC △ABC △ADC
2 4
3 π
6sinD＝ (40－24cosD)＋6sinD＝10 3＋12sin(D－ )，0＜D＜π，
4 3
π π 2π π 3
∴D－ ∈(－ ， )，则sin(D－ )∈(－ ，1]，
3 3 3 3 2
所以四边形ABCD的面积没有最小值，选项C错误．
π π 5π
当D－ ＝ ，即D＝ 时，四边形ABCD面积取最大值10 3＋12，故选项D正确．
3 2 6
【说明】本题考查解三角形中边角互化、四点共圆判定及面积函数的值域分析。
tanA a2
39．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ＝2，则 的取值范围是
tanB b2＋c2
________．
2
【答案】( ，1)
5
tanA sinA sinB sinA cosA
【提示】由 ＝2，知tanA＝2tanB，所以 ＝2· ，即 ＝2· ，
tanB cosA cosB sinB cosB
b2＋c2－a2
a 2bc a2 3a2 3b2＋c2
所以 ＝2· ，整理得3a2＝3b2＋c2，所以 ＝ ＝
b a2＋c2－b2 b2＋c2 3b2＋3c2 3b2＋3c2
2ac
b
3( )2＋1
c 2 1 b 1
＝ ＝1－ × ．注意到b＋c＞a＞|b－c|，所以c＜3b，即 ∈( ，＋∞)．
3( b )2＋3 3 ( b )2＋1 c 3
c
c
a2 2
所以 的取值范围是( ，1)．
b2＋c2 5
【说明】本题考查正余弦定理的边角互化及函数值域思想的应用。40．记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，若BG⊥
CG，5b＝6c则cosA的取值是________．
61
【答案】
75
【提示】依题意，作出图形，因为点G是△ABC的重心，所以M是
→ 1 → → → →
BC的中点，故AM＝ (AB＋AC)，由已知得|BC|＝a，|AC|＝
2
→ 1 1
b，|AB|＝c，因为BG⊥CG，所以GM＝ BC＝ a，又因为点
2 2
1 3
G是△ABC的重心，所以GM＝ GA，则AM＝ a，又因为
3 2
→ 1 → → 9 1
|AM|2＝ (AB＋AC)2，所以 a2＝ (c2＋b2＋2bccosA)，则9a2＝
4 4 4
c2＋b2＋2bccosA，又由余弦定理得a2＝c2＋b2－2bccosA，所以
2c2＋2b2
2c2＋2b2－5bccosA＝0，cosA＝ ，因为5b＝6c，令b＝6k(k＞0)，则c＝5k，所
5bc
61
以cosA＝ ．
75
【说明】本题考查三角形重心性质与向量方法、余弦定理的综合应用．
→ →
41．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a＝2，AB·AC＝ac＋
→ →
BA·BC．
（1）求证：B＝2A；
（2）若d为△ABC的AB边上的高，求b2＋4 3d的取值范围．
→ → → →
【提示】（1）由AB·AC＝ac＋BA·BC得bccosA＝ac＋accosB，
两边同时约去c，并由正弦定理得：sinBcosA＝sinA＋sinAcosB，
所以sinBcosA－sinAcosB＝sinA，
即sin(B－A)＝sinA．
在 △ABC 中，因为 A， C 为内角，所以 B－A＝A，或 B－A＝π－A．
若 B－A＝π－A，则 B＝π(舍去)．
故 B－A＝A，即 B＝2A．证毕．
（2）由正弦定理得，b＝2acosA＝4cosA，d＝asinB＝2sin2A，
π
所以b2＋4 3d＝16cos2A＋8 3sin2A＝8＋8(cos2A＋ 3sin2A) ＝8＋16sin(2A＋ )．
6
π
注意到B，C∈(0，π)，所以A∈(0， )，
3
π π 5π
所以2A＋ ∈( ， )，
6 6 6
所以b2＋4 3d∈(16，24]．
【说明】本题考查向量数量积、正弦定理及三角恒等变换的综合应用，解题关键是通过向
量运算转化边角关系，再利用三角恒等变换化简表达式，结合角的范围求解取值范
围．
2π
42．在 ABC中， ABC＝ ，D为边AC上一点，且AB⊥BD，BD＝2．
3
（ △1）若BC＝ ∠2 3，求AD的长；
（2）若CD＝2AD，求tanA的值．
2π 2π π π
【提示】（1）因为 ABC＝ ，AB BD，所以 DBC＝ － ＝ ．
3 3 2 6
∠ ⊥ ∠π
在△DBC中，BD＝2，BC＝2 3， DBC＝ ，
6
所以CD2＝22＋(2 3)2－2×2×2 3×
∠3
＝4，所以CD＝2．
2
π 2π
所以△BDC为等腰三角形，由 DBC＝ ，得∠BDC＝ ．
6 3
2 ∠ 2
在Rt△ABD中，AD＝ ＝ ＝4．
cos∠ADB
cos
π
3
AD BD
（2）因为AB⊥BD，BD＝2，所以在 ABD中，由正弦定理得 ＝ ，
sin ABD sin A
所以AD＝ BD·sin ABD ＝ 2 ， △
∠ ∠
sin A sin A
∠
π CD BD
因为 DBC＝ ，BD＝2，所以在 BDC中，由正弦定理得 ＝ ，
∠ ∠
6 sin DBC sin C
∠ π△
2×sin
BD·sin DBC 1 ∠ ∠
所以CD＝ ＝ 6＝ ，
sin C sin C
sin C
∠
因为CD＝2AD，所以4sinC＝sinA，
∠ ∠
∠
2π π π
在 ABC中， ABC＝ ，得 A＋ C＝ ，所以 C＝ － A；
3 3 3
所以△ 4sin( π －A ∠ )＝sinA，所以∠ 2 3c ∠ osA－2sinA＝s ∠ inA， ∠
3
2 3
所以tanA＝ ．
3
【说明】本题考查正、余弦定理及三角恒等变换在解三角形中的应用，解题关键是结合角
度与边的关系，利用定理建立边角联系求解．
数列
43．在等差数列{a }中，a ＝－10，其前n项和为S ，若3S －4S ＝12，则S ＝
n 1 n 4 3 12
A．－24 B．－12 C．12 D．24
【答案】C
S
【解析】在等差数列{a }中，a ＝－10，其前n项和为S ，则{ n}是首项为－10的等差数列，
n 1 n
n
S S S S
设其公差为d，因为3S －4S ＝12，所以 4－ 3＝d＝1，所以 n＝n－11， 12＝1，所以
4 3
4 3 n 12
S ＝12．
12
【说明】根据等差数列前n项和的性质，构造等差数列．
44．已知数列{a }满足a ＝0，a ＝1．若数列{a ＋a }是公比为2的等比数列，则a ＝
n 1 2 n n＋1 2026
22024－1 22025－1 22024＋1 22025＋1
A． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】D
【提示】由已知a ＋a ＝1，数列{a ＋a }是公比为2的等比数列，所以a ＋a ＝2n－1，
1 2 n n＋1 n n＋1
n≥2时，a ＋a ＝2n－2．两式相减得a －a ＝2n－2，
n－1 n n＋1 n－1
所以a ＝a ＋(a －a )＋(a －a )＋…＋(a －a )＝1＋21＋23＋…＋22023＝
2026 2 4 2 6 4 2026 2024
2(1－41012) 22025＋1
＋1＝ ，故选D．
1－4 3
【说明】本题考查等比数列的通项公式，累加法求通项公式．由等比数列通项公式求得a
n
＋a ，再写出a ＋a ，相减可求得奇数项前后的差(或偶数项前后项的差)，然后由
n＋1 n－1 n累加法结合等比数列的前n项和公式计算．
1
45．已知数列{a }前n项和S ＝n2，数列{b }满足b ＝ ，n∈N，n≥1；T 为数列{b }
n n n n n n
a ·a
n n＋1
的前n项和．若对任意的n∈N，n≥1，不等式λT ＜n＋9·(－1)n恒成立，则实数λ的取
n
值范围为______．
【答案】(－∞，－24)
【提示】当n＝1时，a ＝S ＝1；当n≥2时，a ＝S －S ＝n2－(n－1)2＝2n－1，将n＝1
1 1 n n n－1
代入上式，可得2×1－1＝1＝a ，则a ＝2n－1，(n∈N*)；
1 n
1 1 1 1 1
b ＝ ＝ ＝ ( － )，
n
a ·a (2n－1)(2n＋1) 2 2n－1 2n＋1
n n＋1
1 1 1 1 1 1 1 1 n
T ＝ (1－ ＋ － ＋…＋ － )＝ (1－ )＝ ，
n
2 3 3 5 2n－1 2n＋1 2 2n＋1 2n＋1
n
代入不等式λT ＜n＋9·(－1)n，可得λ ＜n＋9·(－1)n，
n
2n＋1
2n＋1
整理可得λ＜(2n＋1)＋9·(－1)n· ，
n
2n＋1 9
当n为偶数时，不等式为λ＜2n＋1＋9· ＝2n＋ ＋19，
n n
9 9 2x2－9 ( 2x－3)( 2x＋3)
令f(x)＝2x＋ ＋19，f'(x)＝2－ ＝ ＝ ，
x x2 x2 x2
3 2 3 2
当x∈( ，＋∞)时，f'(x)＞0，则f(x)在( ，＋∞)上单调递增，
2 2
由于f(4)＝29.25＞27.5＝f(2)，故f(x) ＝f(2)＝27.5，此时λ＜27.5；
min
2n＋1 9
当n为奇数时，不等式为λ＜2n＋1－9· ＝2n－ －17，
n n
9
令g(x)＝2x－ －17，（x为奇数且x∈N*），
x
易知g(x)在(0，＋∞)单调递增，则g(x) ＝g(1)＝－24，此时λ＜－24，
min
综上所述，λ＜－24．
【说明】本题考查利用a 与S 的关系，求得a 通过裂项相消求和；分奇偶讨论研究最值
n n n；
问题.由题意，求得b 并裂项，利用裂项相消，求得T ，分n为奇数或偶数两种情
n n
况，利用函数求最值研究不等式恒成立问题，可得答案．
2n－1，n为奇数，
46．在数列{a }中，a ＝
n n 2n， n为偶数．
（1）求a ，a ，a ；
1 2 3
（2）求数列{a }的前2n项和S ．
n 2n
2n－1，n为奇数，
【提示】（1）因为a ＝
n 2n， n为偶数，
所以a ＝2×1－1＝1，a ＝22＝4，a ＝2×3－1＝5．
1 2 3
2n－1，n为奇数，
（2）因为a ＝
n 2n， n为偶数，
所以a ，a ，a 是以1为首项，4为公差的等差数列；
1 3 5
a ，a ，a 是以4为首项，4为公比的等比数列．
2 4 6
所以S ＝(a ＋a ＋a ＋……a )＋(a ＋a ＋a ＋……a )
2n 1 3 5 2n－1 2 4 6 2n
＝(1＋5＋9＋…＋4n－3)＋(22＋24＋26＋…＋22n)
n(1＋4n－3) 4－22n×4 1 4
＝ ＋ ＝2n2－n＋ ×4n＋1－ ．
2 1－4 3 3
【说明】本题考查等差等比数列通项公式、求和公式、根据奇偶项分组求和．6a
47．已知数列{a }中，a ＝3，a ＝ n ．
n 1 n＋1
a ＋2
n
（1）求a ，a ；
2 3
a
（2）设b ＝ n ，证明：数列{b }是等比数列；
n n
4－a
n
a
（3）设c ＝ n ，记数列{c }的前n项为S ，求S ．
n n n n
2(b ＋1)
n＋1
18 27
【提示】（1）由题意得：a ＝ ，a ＝ ；
2 3
5 7
3
（2）因为b ＝ ＝3，
1
4－3
6a
n
所以 b n＋1＝ a n＋1 · 4－a n＝ a n ＋2 · 4－a n＝ 6a n (4－a n ) ＝3，
b n 4－a n＋1 a n 4－ 6a n a n (8－2a n )a n
a ＋2
n
所以b ＝3n，{b }是首项为3，公比为3的等比数列．
n n
4b 4·3n
（3）由（2）得，b ＝3n，a ＝ n ＝ ，
n n
b
n
＋1 3n＋1
a 2·3n 3n＋1－3n 1 1
则c ＝ n ＝ ＝ ＝ － ，
n 2(b
n＋1
＋1) (3n＋1)(3n＋1＋1) (3n＋1)(3n＋1＋1) 3n＋1 3n＋1＋1
n 1 1 1 1
所以S ＝∑( － )＝ － ．
n k＝1 3k＋1 3k＋1＋1 4 3n＋1＋1
【说明】本题考查根据定义证明等比数列，数列裂项求和．
48．已知数列{a }和{b }满足a ＝3，b ＝1，a ＝3a ＋2b ＋1，b ＝2a ＋3b －1．
n n 1 1 n＋1 n n n＋1 n n
（1）证明：{a ＋b }是等比数列，{a －b }是等差数列．
n n n n
（2）记c ＝[lg(a －b )]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求数列{c }的前500项
n n n n
和．
【提示】（1）由题意，a ＋b ＝5a ＋5b ＝5(a ＋b )，a ＋b ＝4≠0，所以a ＋b ≠0，
n＋1 n＋1 n n n n 1 1 n n
a ＋b
所以 n＋1 n＋1＝5，所以{a ＋b }是4为首项，2为公比的等比数列．
n n
a ＋b
n n
又a －b ＝a －b ＋2，即(a －b )－(a －b )＝2，
n＋1 n＋1 n n n＋1 n＋1 n n
又a －b ＝2，{a －b }是2为首项，2为公差的等差数列．
1 1 n n
（2）由题意，a －b ＝2＋(n－1)×2＝2n，c ＝[lg(2n)]，
n n n
当1≤n≤4时，c ＝0；当5≤n≤49时，c ＝1；当50≤n≤499时，c ＝2；
n n n
当n＝500时，c ＝3．
n
所以数列{c }前500项和为4×0＋45×1＋450×2＋1×3＝948．
n
【说明】本题考查通过整体构造的方式，证明数列为等差或等比数列．