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万有引力定律及其应用
考点一：开普勒三大定律
考向1 ：开普勒三大定律的理解及其计算
【例1】如图所示，地球的公转轨道接近圆，彗星的公转轨道则是一个非常扁的椭圆。天
文学家哈雷曾经在1682 年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转
半径的18 倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被
命名为哈雷彗星。已知哈雷彗星最近出现在近日点的时间是1986 年，
，下列说
法正确的是（ ）
A．哈雷彗星绕太阳转动的周期约为86 年
B．哈雷彗星下次大约在2070 年出现在近日点
C．目前（2025 年）哈雷彗星与太阳间距正在增大
D．目前（2025 年）哈雷彗星的线速度正在增大
【答案】D
【详解】AB．根据开普勒第三定律可知
，代入数据可得
年，故AB 错误；
CD．由
，根据1986
可知，2025 年彗星在靠近太阳，线速度增大，故C
错误，D 正确。
故选D。
【变式1-1】太阳系有八大行星，离太阳由近至远分别为水星、金星、地球、火星、木星、
土星、天王星、海王星，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．地球绕太阳运行过程中，速率不变
B．木星的公转周期大于一年
C．八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，太阳处在椭圆的中心
D．相同时间内，地球与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【答案】B
【详解】A．地球绕太阳运行过程中，根据开普勒第二定律可知，地球处于近日点时的速
度最大，处于远日点时的速度最小，故A 错误；
B．根据开普勒第三定律
由于木星的公转轨道半长轴大于地球的公转轨道半长轴，则木星的公转周期大于地球的公
转周期，即木星的公转周期大于一年，故B 正确；
C．由开普勒第一定律可知，太阳处在椭圆的一个焦点上，故C 错误；
D．根据开普勒第二定律可知，相同时间内，同一行星与太阳连线扫过的面积相等，但相
同时间内，地球与太阳连线扫过的面积与木星与太阳连线扫过的面积不相等，故D 错误。
故选B。
【变式1-2】（多选）如图所示，一颗人造地球卫星仅在地球引力作用下沿椭圆轨道绕地球
运动，a 为近地点，d 为远地点；已知该卫星与地心的连线从a 到b 扫过的面积与c 到d 的
相等，等于b 到c 扫过面积的一半。开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，
也适用于卫星绕行星的运动。则下列说法正确的是（ ）
A．a 到b 的时间与c 到d 的相等
B．a 到b 的路程与c 到d 的相等
C．若a 到b 的时间为T，则卫星的周期为4T
D．若经过a 的半径为
的圆轨道卫星周期为
，经过d 的半径为
的圆轨道卫星周期
为
，则该卫星的周期可表示为
【答案】AD
【详解】AB．由于该卫星与地心的连线从a 到b 扫过的面积与c 到d 的相等，根据开普勒
第二定律可知，a 到b 的时间与c 到d 的相等，利用微元法等于圆弧分割处理则有
其中
为卫星在a 到b 段距地心的距离，
为卫星在c 到d 段距地心的距离，且
则a 到b 的路程
与c 到d 的路程
不相等，故A 正确，B 错误；
C．若a 到b 的时间为T，则c 到d 的时间也为T，b 到c 所用时间为2T，则卫星的周期为
8T，故C 错误；
D．若经过a 的半径为
的圆轨道卫星周期为
，经过d 的半径为
的圆轨道卫星周期为
，
根据开普勒第三定律则有
对于椭圆轨道，其半长轴
同理则有
联立可得该卫星的周期为
，故D 正确。
故选AD。
考点二：万有引力定律
考向1：万有引力的计算
【例2】如图所示，质量为M、半径为R 的均匀球体，在距离球心3R 处有一质量为m 的质
点。现从球体中挖去一个半径为
的小球，其球心与原球心相距
。已知引力常量为G，
质点、两球球心三者共线，则剩余部分对质点的万有引力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】质点与原球心的距离为3R，根据万有引力定律，有
原球体积为
则挖去的小球体积
则挖去的小球的质量为
挖去小球的球心到质点的距离为
则根据万有引力定律，挖去部分对质点的引力为
剩余部分对质点的引力
故选D。
【变式2-1】已知地球质量约为火星质量的10 倍。一火星探测器在地球与火星之间，当地
球对它的引力与火星对它的引力大小相等时，探测器距地球的距离与距火星的距离之比为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设地球质量为
，火星质量为
。探测器到地球的距离为
，到火星的距离为
。根据万有引力定律，当引力相等时
得
因此探测器距地球与火星的距离之比为
。
故选C。
【变式2-2】2023 年3 月26 日记者从中国石油大庆油田获悉，大庆油田累计生产原油突破
25 亿吨．已知地球的质量为M，半径为R（地球视为质量分布均匀的球体，质量分布均匀
的球壳对壳内物体的引力为零），引力常量为G，假如大庆油田的某油井向地心挖掘的深
度为
（k 为常数），则井底一个质量为m 的挖井工人与地球之间的万有引力大小为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设地球密度为
，将地球分别看作半径为
的球（质量设为
）和厚度
为
的球壳．由于质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，即球壳对井底工人的引
力为零，则井底工人和地球之间的万有引力为
根据球体质量与体积的关系可知
联立可得
故选A。
考向2：万有引力与重力
【例3】某宇航员到一未知星球进行科学考察，在该星球两极处测量一质量为m 的物体，
其重力为F₁，在赤道处测量同一物体的重力为F₂。已知该星球的自转周期为T，该星球的
半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】在两极处，重力等于万有引力，有
在赤道处，物体随星球自转做圆周运动，有
其中角速度
，代入得
联立解得，星球半径
。
故选A。
【变式3-1】棕熊乔伊因白化病被误认为是北极熊，曾两次被送到北极，还有一次被送到位
于赤道的北极馆，差点被冻僵，被称为史上最惨棕熊。若乔伊质量始终为m，它在北极和
北极馆的重力差为
。已知地球半径为R，则地球自转周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】在北极
，
为地球表面重力加速度（不考虑自转）。
在北极馆
，
为地球自转角速度，
为地球半径。
重力差
解得地球自转周期为
故选A。
【变式3-2】已知火星半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的十分之一，把地球和
火星均看作质量分布均匀的球体，忽略地球和火星的自转及空气阻力。在地球上斜抛一个
小沙包，其上升的最高点距离抛出点的高度差为2m，假设出手时的速度大小方向都不变，
则在火星上，沙包上升的最高点距离抛出点的高度差约为 （ ）
A．4m
B．5m
C．6m
D．7m
【答案】B
【详解】由斜抛运动的最高点高度为
，其中
为重力加速度。
根据万有引力定律，可得星球表面的重力加速度
火星质量
半径有
代入解得
根据
，可知
火星上的高度为地球的
倍。
地球上高度为
，则火星上高度为
故选B。
考向3：利用万有引力定律求天体的质量与密度
【例4】已知木星到太阳的距离是木星的卫星“木卫一”到木星的距离的k 倍，木星绕太阳
公转的周期是“木卫一”绕木星公转周期的p 倍，则木星与太阳的质量之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设木卫一到木星的距离为，周期为
，则木星绕太阳的轨道半径为
，周期为
根据万有引力提供向心力
，解得
即木星与太阳的质量之比
故选B。
【变式4-1】2024 年6 月25 号，嫦娥六号携带月壤成功返回地球，返回地球前，嫦娥六号
要先进入环月圆轨道，在该轨道上的运行周期为
。若环月圆轨道到月球表面的高度为，
月球的半径为
，引力常量为
，月球看成匀质球体，则月球的密度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】嫦娥六号在环月圆轨道上做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
再根据
解得
故选D。
【变式4-2】“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗
《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境。已知万有引力常量为
G，忽略火星自转，若探测器绕火星做匀速圆周运动，火星认为是质量分布均匀的球体，
要想估测火星的平均密度，还需要测量（ ）
A．探测器的运行周期与轨道半径
B．探测器的运行速度与轨道半径
C．火星表面的重力加速度与火星半径
D．探测器的轨道半径与火星表面的重力加速
度
【答案】C
【详解】要估算火星的平均密度
，需通过公式
，其中
为火星质量，
为火
星半径。结合万有引力定律分析各选项：
A．由
可得
但密度公式中需
，而选项未提供
，无法直接计算
，故A 错误。
B．由
可得
。同样缺少
，无法计算
，故B 错误。
C．已知火星表面重力加速度则
解得
代入密度公式得
，仅需
和
即可计算
，故C 正确。
D．已知
，但探测器的轨道半径与
无直接关联，无法消去
或
，故D 错误。
故选C。
考点三：宇宙速度
考向1：第一宇宙速度
【例5】2025 年5 月29 日，“天问二号”探测器踏上新征程，前往小行星2016H03 开展探
测任务。若“天问二号”绕小行星2016HO3 做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为r，
小行星2016HO3 的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．小行星2016HO3 的质量为
B．小行星2016HO3 表面的重力加速度为
C．小行星2016HO3 的密度为
D．小行星2016HO3 的第一宇宙速度为
【答案】B
【详解】A．根据万有引力提供向心力
可得小行星2016HO3 的质量
，故A 错误；
B．根据
结合A 选项分析可得小行星2016HO3 表面的重力加速度
，故B 正确；
C．小行星2016HO3 的密度
又
结合A 选项分析可得小行星2016HO3 的密度
，故C 错误；
D．根据万有引力提供向心力
结合A 选项分析可得小行星2016HO3 的第一宇宙速度
，故D 错误。
故选B。
【变式5-1】古希腊某地理学家通过长期观测，发现6 月21 日正午时刻，在北半球
城阳
光与竖直方向成
角下射，而在
城正南方，与
城地面距离为
的
城，阳光恰好沿
竖直方向下射，射到地球的太阳光可视为平行光，如图所示，已知地球表面的重力加速度
大小为
，万有引力常量为
，则（ ）
A．地球半径的表达式
B．地球质量是
C．地球的平均密度是
D．地球的第一宇宙速度是
【答案】C
【详解】A．由题意，根据几何关系可得
解得地球半径的表达式是
，故A 错误；
B．在地球表面，根据万有引力提供向心力
解得
将
的表达式代入解得地球质量为
，故B 错误；
C．地球的平均密度是
代入
的表达式得
，故
正确；
D．根据万有引力提供向心力
又
联立解得地球的第一宇宙速度是
代入
的表达式得
，故D 错误。
故选C。
【变式5-2】已知某天体的第一宇宙速度为
，则高度为该天体半径四分之一的宇宙
飞船绕该天体做匀速圆周运动的运行速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据
解得
宇宙飞船的速度与第一宇宙速度之比
解得
故选B。
考向2：第二宇宙速度与第三宇宙速度
【例6】已知地球同步卫星的轨道半径为r1，周期为
；月球同步卫星的轨道半径为
r2，周期为
。下列说法正确的是（ ）
A．由开普勒第三定律可得
B．地球同步卫星上的物体处于失重状态，不受万有引力作用
C．地球与月球的质量之比为
D．在地面发射月球同步卫星的速度要大于地球的第二宇宙速度
【答案】C
【详解】A．开普勒第三定律适用于同一中心天体的卫星。地球同步卫星绕地球运动，月
球同步卫星绕月球运动，中心天体不同，故
，A 错误；
B．地球同步卫星上的物体受地球引力作用，引力提供向心力，导致地球同步卫星上的物
体处于失重状态，但并非不受引力，B 错误；
C．由万有引力提供向心力，对地球同步卫星
得
对月球同步卫星
解得
质量比为
，C 正确；
D．第二宇宙速度是脱离地球引力的速度。月球仍在地球引力范围内，发射月球卫星可通
过转移轨道实现，没有超过第二宇宙速度，D 错误。
故选C。
【变式6-1】在19 世纪末，科学家认识到人类要实现飞出大气层进入太空，就要摆脱地球
引力的束缚，其首要条件是必须具有足够大的速度，也就是说要进入绕地球飞行的轨道成
为人造卫星，最小速度为7.9km/s，此速度称为（ ）
A．第一宇宙速度
B．第二宇宙速度
C．第三宇宙速度
D．逃逸速度
【答案】A
【详解】A．第一宇宙速度是物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动所需的最小速度，
其值为7.9km/s。当物体达到此速度时，可克服地球引力成为人造卫星，故A 正确。
BC．第二宇宙速度（11.2km/s）是脱离地球引力的逃逸速度，第三宇宙速度（16.7km/s）
是脱离太阳系的最小速度，均与题干中“成为人造卫星”的条件无关，故BC 错误。
D．“逃逸速度”通常指第二宇宙速度，而非题干中描述的最小环绕速度，故D 错误。
故选A。
【变式6-2】直径约40~100m 的小行星“2016HO3”绕太阳近似做匀速圆周运动，“天问二
号”探测器从地面发射，要对该小行星进行探测。下列说法正确的是（ ）
A．“天问二号”在地面附近的发射速度要大于
B．若“天问二号”绕地球做匀速圆周运动，其最大速度约为
C．若“天问二号”已与小行星在同一轨道上运行，其要追上小行星时需加速
D．若“天问二号”已在小行星上着陆，为返回地球，其飞离小行星的速度一定要大于
11.2km/s
【答案】B
【详解】A．发射速度超过16.7 km/s（第三宇宙速度）意味着脱离太阳系，而“天问二
号”仅需探测绕太阳运行的小行星，无需脱离太阳系，发射速度应介于11.2 km/s（脱离地
球）和16.7 km/s 之间。故A 错误。
B．绕地球匀速圆周运动的最大速度为第一宇宙速度7.9 km/s（近地轨道速度），轨道半径
越大速度越小，因此B 正确。
C．同一轨道上加速会进入更高轨道，周期变长，速度会变小，导致落后，无法追上小行
星。正确方法需先减速进入低轨道再加速调整。故C 错误。
D．小行星质量极小，逃逸速度远低于地球的11.2 km/s（可能仅几米/秒）。飞离小行星只
需达到其逃逸速度，无需超过11.2 km/s。故D 错误。
故选B。
考点四：人造卫星
考向1：人造卫星的运动规律
【例7】若将地球和火星的公转视为匀速圆周运动，公转轨道半径用表示，公转周期用
表示，忽略行星自转影响。根据下表可判断下列说法正确的是（ ）
行
星
轨道半径
质量
半径
地
球
火
星
A．由
知地球和火星公转对应的
值不同
B．火星做圆周运动的加速度比地球的大
C．地球的平均密度比火星的小
D．火星的第一宇宙速度比地球的小
【答案】D
【详解】A．根据开普勒第三定律，
中的k 值由中心天体（太阳）决定，地球和火
星都绕太阳公转，所以k 值相同，故A 错误；
B．根据万有引力提供向心力，有
解得向心加速度为
火星的轨道半径r 比地球大，因此火星加速度更小，故B 错误；
C．根据平均密度
代入数据可得地球密度
火星密度
所以地球密度更大，故C 错误；
D．根据万有引力提供向心力，有
解得第一宇宙速度
计算得地球第一宇宙速度约
，火星第一宇宙速度约
，故D 正确。
故选D。
【变式7-1】“嫦娥六号”探测器于2024 年5 月8 日进入环月轨道，后续经调整环月轨道
高度和倾角，实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从
调整到
时（两轨道均可视
为圆形轨道），关于其在两个轨道的速度v 以及加速度a 的判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】AB．探测器绕月球做圆周运动时，万有引力提供向心力
可得
速度与轨道半径的平方根成反比，即
，故AB 错误；
CD．向心加速度由万有引力决定
加速度与轨道半径的平方成反比，即
，故C 错误，D 正确。
故选D。
【变式7-2】2025 年6 月20 日，长征三号乙运载火箭将中星9C 卫星送入地球静止轨道，
其轨道高度约为36000km。2025 年8 月4 日，长征十二号运载火箭成功发射卫星互联网低
轨07 组卫星，其轨道高度约为900km。若两种卫星都绕地球做匀速圆周运动，则低轨道
07 组卫星与中星9C 卫星相比（ ）
A．线速度小
B．周期小
C．角速度小
D．向心加速度小
【答案】B
【详解】根据卫星绕地球做匀速圆周运动的规律，轨道半径（地球半径 + 轨道高度）决
定各物理量的大小，根据
线速度
，越小，越大。低轨卫星的小，线速度更大，故A 错误；
周期
，越小，
越小。低轨卫星的周期更小，故B 正确；
角速度
，越小，
越大。低轨卫星的角速度更大，故C 错误；
向心加速度
，越小，
越大。低轨卫星的向心加速度更大，故D 错误。
故选B。
考向2：同步卫星、近地卫星、赤道上的物品
【例8】地球同步卫星位于地面上方高度约36000km 处，周期与地球自转周期相同，其运
动可视为绕地球做匀速圆周运动。其中一种轨道平面与赤道平面成0 度角，运动方向与地
球自转方向相同，因其相对地面静止，也称静止卫星。下列说法正确的是（ ）
A．与静止于赤道上的物体相比，静止卫星向心加速度更大
B．与近地轨道卫星相比，静止卫星的线速度更大
C．静止卫星内的物体处于平衡状态
D．所有静止卫星的线速度均相同
【答案】A
【详解】A．静止于赤道上的物体与静止卫星的角速度相等，根据
，可知静止卫星
向心加速度更大，故A 正确；
B．根据
解得
，与近地轨道卫星相比，可知静止卫星的轨道半径更大，则线速度更小，故
B 错误；
C．静止卫星内的物体绕地球做匀速圆周运动，不是平衡状态，故C 错误；
D．所有静止卫星的线速度大小相等，但方向不一定相同，故D 错误。
故选A。
【变式8-1】有a、b、c、d 四颗地球卫星，卫星a 还未发射，在地球赤道表面上随地球一
起转动，卫星b 在地面附近近地轨道上正常运行，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，
各卫星排列位置如图。地表附近的重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．a 的向心加速度小于重力加速度g
B．在相同时间内d 转过的弧长最长
C．c 在8h 内转过的圆心角是
D．b 的运行周期有可能是28h
【答案】A
【详解】A．同步卫星的周期与地球自转周期相同，由
得
由
，
得
由
，
得
设地球半径为
，由
，
得
，
，故A 正确；
B．由
得
可知
由
，可知
，得四个卫星中b 线速度最大，解得b 在相同时间内转过的弧长最
长，故B 错误；
C．依题意
，则c 在8h 内转过的圆心角
，故C 错误；
D．由开普勒第三定律
可知卫星的轨道半径r 越大，周期T 越大，
，解得
，故D 错误。
故选A。
【变式8-2】处于不同轨道的人造卫星绕地球转动的快慢可能不同。当卫星在某轨道上运行
时，可相对地面静止。关于该轨道以及在该轨道上运行的卫星，下列说法正确的是
（ ）
A．该轨道可以是椭圆轨道
B．该卫星可以通过柳州正上方
C．该轨道上运行的所有卫星线速度大小都相等
D．该轨道上运行的所有卫星质量
必须相等
【答案】C
【详解】A．同步卫星轨道必须是圆形，椭圆轨道无法保持相对地面静止，故A 错误；
B．同步卫星轨道在赤道平面，无法经过柳州（北纬24°）正上方，故B 错误；
C．同步轨道半径固定，由公式
可知，所有卫星线速度大小相等，故C 正确；
D．卫星线速度与质量无关，质量无需相等，故D 错误。
故选C。
考点五：卫星变轨
考向1：卫星变轨的各个物理量比较
【例9】2025 年1 月7 日，在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭成功将实践二十
五号卫星发射到预定轨道。如图所示为发射实践二十五号卫星的简易图，轨道1 为圆轨道，
轨道2 为椭圆轨道，P 为近地点，Q 为远地点，两轨道相切于P 点，P、Q 两点到地球球心
的距离分别为r、R，实践二十五号卫星在轨道1 运行时的角速度为ω。下列说法正确的是
（ ）
A．实践二十五号卫星在Q 点的速度小于在轨道1 的速度
B．实践二十五号卫星的发射速度大于第二宇宙速度
C．实践二十五号卫星从P 到Q 的时间为
D．实践二十五号卫星在轨道1 经过P 点的加速度大于在轨道2 经过P 点的加速度
【答案】A
【详解】A．令以地心为圆心，以
为半径的圆周为轨道3，对于圆轨道，由万有引力提
供向心力，则有
解得
可知，轨道1 的速度大于轨道3 的速度，卫星由低轨道变轨到高轨道时，需要在切点位置
加速，可知，轨道3 的速度大于轨道2 在Q 点的速度，则实践二十五号卫星在Q 点的速度
小于在轨道1 的速度，故A 正确；
B．实践二十五号卫星没有脱离地球的束缚，可知，实践二十五号卫星的发射速度小于第
二宇宙速度，故B 错误；
C．实践二十五号卫星在轨道1 运行时的角速度为ω，则有
根据开普勒第三定律有
解得
，故C 错误；
D．根据牛顿第二定律有
解得
可知，实践二十五号卫星在轨道1 经过P 点的加速度等于在轨道2 经过P 点的加速度，故
D 错误。
故选A。
【变式9-1】神舟二十号载人飞船入轨后，于北京时间2025 年4 月24 日23 时49 分，成功
对接于空间站天和核心舱径向端口，整个对接过程历时约6.5 小时。飞船和空间站的变轨
对接可简化为如图所示的过程，飞船变轨前稳定运行在圆轨道1，空间站运行在圆轨道3，
椭圆轨道2 为飞船的转移轨道。轨道1 和2、2 和3 分别相切于P、Q 两点。不计飞船质量
的变化，关于神舟二十号载人飞船，下列说法正确的是（ ）
A．飞船的发射速度小于7.9km/s
B．飞船在轨道2 上Q 点的加速度小于在轨道3 上Q 点的加速度
C．飞船在轨道2 上运动的周期小于在轨道1 上运动的周期
D．飞船从P 点沿椭圆轨道运动到Q 点，飞船的动能一直在减小
【答案】D
【详解】A．神舟二十号载人飞船绕地球运行，没有脱离地球的引力作用，所以其发射速
度需在7.9km/s 到11.2km/s 之间，故A 错误；
B．根据
可得
可知飞船在轨道2 上Q 点的加速度等于在轨道3 上Q 点的加速度，故B 错误；
C．根据开普勒第三定律
，飞船在轨道2 上运动的周期大于在轨道1 上运动的周期，
故C 错误；
D．根据开普勒第二定律可知，飞船从P 点沿椭圆轨道运动到Q 点，速度减小，飞船的动
能一直在减小，故D 正确。
故选D。
【变式9-2】2025 年2 月11 日，我国新型火箭长征八号改进型运载火箭首飞成功，将低轨
02 组9 颗卫星送入距离地面高度约为1145km 的轨道，其发射过程简化为如图所示：卫星
从预定圆轨道Ⅰ的A 点第一次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达椭圆轨道的远地点B 时，再次变
轨进入目标轨道Ⅲ并做匀速圆周运动，不计卫星质量的变化，下列判断正确的是（ ）
A．卫星沿轨道Ⅰ运行的周期大于卫星沿轨道Ⅱ运行的周期
B．卫星在轨道Ⅱ上经过B 点的加速度小于在轨道Ⅲ上经过B 点的加速度
C．卫星在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅲ上的机械能
D．卫星在轨道Ⅲ的运行速度可能大于7.9km/s
【答案】C
【详解】A．根据开普勒第三定律可知
因圆轨道I 的半径
小于椭圆轨道Ⅱ的半长轴
，故卫星沿轨道Ⅰ运行的周期小于卫星沿轨
道Ⅱ运行的周期，故A 错误；
B．根据牛顿第二定律有
解得
可知卫星在轨道Ⅱ上经过B 点的加速度等于在轨道Ⅲ上经过B 点的加速度，故B 错误；
C．卫星从轨道I 到轨道Ⅲ需要经过两次变轨，需要两次点火加速，除了万有引力外其他力
对其做正功，机械能变大，故卫星在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅲ上的机械能，故C 正
确；
D．7.9km/s 是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，其轨道半径等于地球半径，当
卫星在轨道Ⅲ的运行时，其轨道半径大于地球半径，根据
解得
可知卫星在轨道Ⅲ的运行速度小于7.9km/s，故D 错误。
故选C。
考点六：天体运动中的追击相遇
考点1：天体的追击相遇
【例10】如图，甲、乙两颗卫星绕地球做圆周运动，两卫星的轨道始终在同一平面内且两
卫星的绕行方向相同，甲卫星做圆周运动的周期为
，乙卫星做圆周运动的半径为。
时刻，两卫星相距最近，经过
时间，两卫星再次相距最近，已知引力常量为
，则地球
的质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题知，再过
时间，甲卫星刚好转过3 圈，则乙卫星刚好转过2 圈，即乙卫星
做圆周运动的周期为
，则有
解得
。
故选D。
【变式10-1】某科幻电影中，在赤道平面上有空间站A 和卫星B 同向自西向东绕地球做匀
速圆周运动，两者的轨道半径之比
，空间站A 处于地球同步轨道上，用超轻高
强度材料做成的“天梯”连接地面和空间站A，卫星B 每次经过“天梯”旁时（对“天
梯”没有影响）会监测“天梯”的工作状况。从卫星B 某次经过“天梯”旁开始计时，之
后24h 内卫星B 经过“天梯”的次数为（ ）
A．6 次
B．7 次
C．8 次
D．9 次
【答案】B
【详解】空间站A 为地球同步卫星，周期
根据开普勒第三定律，轨道半径的三次方与周期的平方成正比，可得
则
代入
，得卫星B 的周期
空间站A 的角速度
卫星B 的角速度
两者的角速度差为
相遇时间间隔为
在24 小时内，相遇次数为
故选B。
【变式10-2】2025 年1 月16 日凌晨，“火星冲日”天象上演。当火星、地球、太阳三者依
次排成一条直线时，称为火星冲日，如图所示。地球、火星绕太阳的运动均可看成匀速圆
周运动且公转方向相同，已知地球公转半径为
，火星的公转半径为
，
，下列说法正确的是（ ）
A．火星的公转周期约为1.5 年
B．火星冲日后，火星相对于地球将往前运动
C．火星冲日后，再经半年的时间，火星与地球相距最远
D．下一次火星冲日将发生于2027 年
【答案】D
【详解】A．地球的公转周期T1= 1 年，由开普勒第三定律
得火星的公转周期为
年，故A 错误；
BC．由于地球公转的轨道半径比火星的小，根据开普勒第三定律可知，地球公转的周期比
火星的小，则地球公转的角速度比火星的大，则火星冲日后，以地球为参考系，火星相对
于地球往后运动，二者之间的距离越来越大，当
时，火星和地球之间的距离最
大，解得
年
故BC 错误；
D．当
时，解得t'=2.11 年
由于2025 年1 月16 日发生了火星冲日，则在2027 年一定会再次出现火星冲日现象，故D
正确。
故选D。
考点七：双星问题
考向1：双星问题
【例11】如图所示，由A、B 两颗恒星组成的双星系统，质量分别为m1、m2，距离为L，
绕它们连线上的某一点O 在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，A、B 均可看做质点，
引力常量为G。则下列判断正确的是（ ）
A．恒星A、B 的加速度之比为m1∶m2
B．恒星A 与点O 的距离为
C．恒星A、B 做圆周运动的周期为
D．若恒星A 的质量缓慢增大，其他量不变，恒星A 的角速度逐渐减小
【答案】C
【详解】AB．双星系统周期、角速度相同，设A、B 两颗星体的轨道半径分别为r1、r2，
双星之间的万有引力提供向心力，则有
又因为
解得
，
恒星A、B 的加速度之比为
，故AB 错误；
C．对恒星A，根据
解得
因为双星系统周期相同，所以恒星A、B 做圆周运动的周期均为
，故C 正
确；
D．若恒星A 的质量缓慢增大，其他量不变，因为
所以，恒星A 的周期减小，根据
可知，角速度增大，故D 错误。
故选C。
【变式11-1】如图所示，A、B 两颗恒星组成双星系统，绕共同的圆心O 做匀速圆周运动，
角速度相等，若A、B 的线速度之比为k，则A、B 的动能之比为（ ）
A．
B．k
C．
D．k2
【答案】B
【详解】ABCD．由线速度与角速度的关系为
可知A、B 的半径之比
由于两星的向心力相等，即
整理可得质量之比
由动能公式
可知A、B 的动能之比为
故选B。
【变式11-2】吸血鬼恒星是一种理论上的天体，它通过从伴星吸取物质来维持自身的光和
热，如图所示。这种恒星通常处于双星系统中，吸血鬼恒星通过这种方式获得额外的物质，
从而延长自己的寿命，这种现象在天文学中被称为质量转移或吸积过程。假设两恒星中心
之间的距离保持不变，速度方向始终相反，忽略因热核反应和辐射等因素导致的质量亏损，
经过一段时间演化后，下列说法正确的是（ ）
A．两恒星的周期增大
B．两恒星的周期减小
C．两恒星的相对速度增大
D．两恒星的相对速度不变
【答案】D
【详解】AB．假设在演化开始时，吸血鬼恒星的质量为
，伴星的质量为
，两者之间
的距离为
，根据双星运动的特点，对于吸血鬼恒星有
对于伴星有
又
解得
由题意知两恒星的总质量不变，L 也不变，则周期不变，故AB 错误；
CD．由题意知两恒星速度方向始终相反，则两恒星的相对速度
两恒星的相对速度不变，故C 错，D 正确。
故选D。
高考真题练
1．如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心
舱运行圆轨道，P、Q 为变轨点。不计阻力，飞船在轨道Ⅱ上从P 点到Q 点运动过程中，
下列选项正确的是（ ）
A．速率增大，机械能增大
B．速率减小，机械能减小
C．速率增大，机械能不变
D．速率减小，机械能不变
【答案】D
【详解】根据题意可知，飞船在轨道Ⅱ上从P 点到Q 点运动过程中，只有万有引力做负功，
则机械能不变，动能减小，即速率减小。
故选D。
2．2025 年4 月30 日，“神舟十九号载人飞船”返回舱安全着陆，宇航员顺利出舱。在其
返回过程中，下列说法正确的是（ ）
A．研究返回舱运行轨迹时，可将其视为质点
B．随着返回舱不断靠近地面，地球对其引力逐渐减小
C．返回舱落地前，反推发动机点火减速，宇航员处于失重状态
D．用返回舱的轨迹长度和返回时间，可计算其平均速度的大小
【答案】A
【详解】A．当物体的大小和形状对所研究的问题影响可忽略时可将其视为质点，研究返
回舱的运行轨迹时，其尺寸远小于轨迹长度，形状和结构不影响轨迹分析，可将其视为质
点，故A 正确；
B．地球对返回舱的引力由公式
决定，其中为返回舱到地心的距离，返回舱靠
近地面时，减小，引力增大，故B 错误；
C．反推发动机点火减速时，返回舱的加速度方向向上。根据牛顿第二定律，宇航员受到
的支持力大于重力，处于超重状态，而非失重状态，故C 错误；
D．平均速度的定义是位移与时间的比值，而轨迹长度为路程，轨迹长度与时间的比值是
平均速率，而非平均速度的大小，故D 错误。
故选A。
3．“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域
取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，（ ）
A．受月球的引力大小保持不变
B．相对月球的速度大小保持不变
C．离月球越近，其相对月球的速度越大D．离月球越近，其所受月球的引力越小
【答案】C
【详解】AD．“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时与月球的距离不断发生变化，根据
可知受月球的引力大小发生变化，离月球越近，其所受月球的引力越大，故AD
错误；
B．根据开普勒第二定律可知“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时相对月球的速度大小
改变，近月点速度最大，远月点速度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，故B 错
误，C 正确。
故选C。
4．2024 年6 月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形
轨道1 上绕月球飞行，在A 点变轨后进入椭圆轨道
、
为远月点。关于嫦娥六号探测器，
下列说法正确的是（ ）
A．在轨道2 上从A 向B 运动过程中动能逐渐减小
B．在轨道2 上从A 向B 运动过程中加速度逐渐变大
C．在轨道2 上机械能与在轨道1 上相等
D．利用引力常量和轨道1 的周期，可求出月球的质量
【答案】A
【详解】A．在轨道2 上从A 向B 运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做
负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A 正确；
B．探测器受到万有引力，由
解得
在轨道2 上从A 向B 运动过程中，r 增大，加速度逐渐变小，B 错误；
C．探测器在A 点从轨道1 变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2 上
机械能大于在轨道1 上的机械能，C 错误；
D．探测器在轨道1 上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得
解得
利用引力常量G 和轨道1 的周期T，还需要知道轨道1 的半径r，才能求出月球的质量，D
错误。
故选A。
5．我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。
某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R 和质量
M。为探测某自转周期为
的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面
高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为
。已知引力
常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到
。下列选项正确的是（ ）
A．a 为
为
为
B．a 为
为
为
C．a 为
为
为
D．a 为
为
为
【答案】A
【详解】根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为
设小行星和卫星的质量分别为
由开普勒第三定律有
解得
卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有
解得
对应结果可得a 为
为
为
。
故选A。
6．我国计划于2028 年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道
器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3750km，轨道周期约2h。引力常量G 取6.67
× 10－11N m
⋅
2/kg2，根据以上数据可推算出火星的（ ）
A．质量
B．体积
C．逃逸速度
D．自转周期
【答案】A
【详解】轨道器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得
A．题中已知的物理量有轨道半径r，轨道周期T，引力常量G，可推算出火星的质量，故
A 正确；
B．若想推算火星的体积和逃逸速度，则还需要知道火星的半径r，故BC 错误；
D．根据上述分析可知，不能通过所提供物理量推算出火星的自转周期，故D 错误。
故选A。
7．一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距
离的5 倍和7 倍。关于该小行星，下列说法正确的是（ ）
A．公转周期约为6 年
B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
【答案】D
【详解】A．根据题意，设地球与太阳间距离为
，则小行星公转轨道的半长轴为
由开普勒第三定律有
解得
年
故A 错误；
B．从远日点到近日点，小行星与太阳间距离减小，由万有引力定律
可知，小
行星受太阳引力增大，故B 错误；
cC．由开普勒第二定律可知，从远日点到近日点，小行星线速度逐渐增大，故C 错误。
D．由牛顿第二定律有
解得
可知
即小行星在近日点的加速度是地球公转加速度的
，故D 正确；
故选D。
