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专题45 带电粒子在有边界磁场运动
一、单选题
1．（2023·湖南·统考高考真题）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方
向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF 区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁
场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O 三点在同一直线上，AO 与GF 垂直，且与电场和磁场方向均
垂直。A 点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC 运动的粒子才能
进入区域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒
子从CF 的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子
在区域Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t > t0
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t > t0
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
【答案】D
【解析】由题知粒子在AC 做直线运动，则有
qv0B1= qE
区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF 的中点射出，则粒子转过的圆心角为90°，根据
，有
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则粒子在AC 做直线运动的速度，有
1
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qvA∙2B1= qE
则
再根据
，可知粒子半径减小，则粒子仍然从CF 边射出，粒子转过的圆心角仍为90°，则t =
t0，A 错误；
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则粒子在AC 做直线运动的速度，有
qvBB1= q∙2E
则
vB = 2v0
再根据
，可知粒子半径变为原来的2 倍，则粒子F 点射出，粒子转过的圆心角仍为90°，则t =
t0，B 错误；
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则粒子在AC 做直线运动的速度仍为v0，再根据
，可知粒子半径变为原来的
，则粒子从OF 边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图
根据
可知转过的圆心角θ = 60°，根据
，有
2
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则
C 错误；
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则粒子在AC 做直线运动的速度仍为v0，再根据
，可知粒子半径变为原来的
，则粒子OF 边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图
根据
可知转过的圆心角为α = 45°，根据
，有
则
D 正确。
故选D。
2．（2023·全国·统考高考真题）如图，一磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy 平面）
向里，磁场右边界与x 轴垂直。一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，粒
3
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子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x 轴的接收屏上的P 点；SP = l，S 与屏的距离为
，与x 轴的距
离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x
轴到达接收屏。该粒子的比荷为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知，一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，
则根据几何关系可知粒子出离磁场时速度方向与竖直方向夹角为30°，则
解得粒子做圆周运动的半径
r = 2a
则粒子做圆周运动有
则有
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x 轴到达
接收屏，则有
Eq = qvB
联立有
4
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故选A。
3．（2022·广东·高考真题）如图所示，一个立方体空间被对角平面
划分成两个区域，两区域分布有
磁感应强度大小相等、方向相反且与z 轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直
平面
进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】AB．由题意知当质子射出后先在MN 左侧运动，刚射出时根据左手定则可知在MN 受到y 轴正方
向的洛伦兹力，即在MN 左侧会向y 轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y 轴坐标增大；在MN 右侧根据左
手定则可知洛伦兹力反向，质子在y 轴正方向上做减速运动，故A 正确，B 错误；
CD．根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy 平面的洛伦兹力作用，在z 轴方向上没
有运动，z 轴坐标不变，故CD 错误。
故选A。
4．（2016·全国·高考真题）直线OM 和直线ON 之间的夹角为30°，如图所示，直线OM 上方存在匀强磁
场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。粒子沿纸
面以大小为v 的速度从OM 上的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。已知该粒子在磁场中的运动
5
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轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两直线交点
O 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
轨迹与ON 相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识得CO′D 为一直线
解得
故选D。
5．（2016·全国·高考真题）一圆筒处于磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的
横截面如图所示。图中直径MN 的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω 顺时针转动。在该截面内，
一带电粒子从小孔M 射入筒内，射入时的运动方向与MN 成30°角。当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N
飞出圆筒，不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示
由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的圆弧所对的圆心角为30°，因此粒子在磁场中运动的时间为
粒子在磁场中运动的时间与筒转过90°所用的时间相等，即
解得
故选A。
6．（2017·全国·高考真题）如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上
的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为
v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三
分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2∶v1为（ ）
7
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A．
∶2
B．
∶1
C．
∶1
D．3∶
【答案】C
【解析】由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由
可知
R＝
即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同。
若粒子运动的速度大小为v1，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子在磁场边界的出射点M 离P 点最远时，
则
MP＝2R1
同样，若粒子运动的速度大小为v2，粒子在磁场边界的出射点N 离P 点最远时，则
NP＝2R2
由几何关系可知
R2＝Rcos 30°＝
R
则
故选C。
7．（2021·北京·高考真题）如图所示，在xOy 坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P 点以与
x 轴正方向成60的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y 轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为
q，OP = a。不计重力。根据上述信息可以得出（ ）
8
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A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．该匀强磁场的磁感应强度
【答案】A
【解析】粒子恰好垂直于y 轴射出磁场，做两速度的垂线交点为圆心
，轨迹如图所示
A．由几何关系可知
因圆心的坐标为
，则带电粒子在磁场中运动的轨迹方程为
故A 正确；
BD．洛伦兹力提供向心力，有
解得带电粒子在磁场中运动的速率为
因轨迹圆的半径
可求出，但磁感应强度
未知，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，故BD 错误；
9
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C．带电粒子圆周的圆心角为
，而周期为
则带电粒子在磁场中运动的时间为
因磁感应强度
未知，则运动时间无法求得，故C 错误；
故选A。
8．（2021·全国·高考真题）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为
的带电粒子从圆周上的M 点沿直径
方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为
，离开磁场时
速度方向偏转
；若射入磁场时的速度大小为
，离开磁场时速度方向偏转
，不计重力，则
为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意做出粒子的圆心如图所示
10
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设圆形磁场区域的半径为R，根据几何关系有第一次的半径
第二次的半径
根据洛伦兹力提供向心力有
可得
所以
故选B。
9．（2020·全国·统考高考真题）真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面，
磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v 的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电
子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感
应强度最小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
11
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【解析】电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力
则磁感应强度与圆周运动轨迹关系为
即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小。令电子运动轨迹最大的半径为
，为了使电子的运动被
限制在图中实线圆围成的区域内，其最大半径的运动轨迹与实线圆相切，如图所示
A 点为电子做圆周运动的圆心，电子从圆心沿半径方向进入磁场，由左手定则可得，
，
为直角三角形，则由几何关系可得
解得
解得磁场的磁感应强度最小值
故选C。
10．（2020·全国·统考高考真题）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图
中虚线所示，
为半圆，ac、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为
q（q>0）的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。
在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
12
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动
，
可得粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中运动的时间
则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长；过点做半圆的切线交
于点，如图所示
由图可知，粒子从点离开时，轨迹对应的圆心角最大，在磁场中运动时间最长；由图中几何关系可知，
此时轨迹对应的最大圆心角为
则粒子在磁场中运动的最长时间为
故选C。
11．（2019·全国·高考真题）如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为
和B、方
向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子垂直于x 轴射入第二象限，随后
垂直于y 轴进入第一象限，最后经过x 轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为
13
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】运动轨迹如图:
即运动由两部分组成,第一部分是
个周期,第二部分是
个周期, 粒子在第二象限运动转过的角度为90°，
则运动的时间为
；粒子在第一象限转过的角度为60°，则运动的时间为
；则粒子在磁场中运动的时间为：
，故B 正确，ACD
错误．.
12．（2014·全国·高考真题）如图，MN 为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于图平面的匀强磁场
（未画出）．一带电粒子从紧贴铝板上表面的P 点垂直于铝板向上射出，从Q 点穿过铝板后到达PQ 的中
点O，已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力．铝板上方和下方的磁
感应强度大小之比为
A．2
B．
14
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C．1
D．
【答案】D
【分析】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，从而求出磁感应强度的表达式．
结合动能
，最终得到关于磁感应强度B 与动能Ek的关系式，从关系式及题设条件--带电粒子在
穿越铝板时减半，就能求出上下磁感应强度之比．
【解析】由动能公式
，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动洛仑兹力提供向心力得
，
联立可得
，
上下磁场磁感应强度之比为
，
D 正确．
二、多选题
13．（2023·全国·统考高考真题）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P 点开有一个小
孔，过P 的横截面是以O 为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P 点沿PO 射入，然后与筒壁发生碰撞。
假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小
不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2 次碰撞，粒子就可能从小孔射出
15
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C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O 的连线
【答案】BD
【解析】D．假设粒子带负电，第一次从A 点和筒壁发生碰撞如图，
为圆周运动的圆心
由几何关系可知
为直角，即粒子此时的速度方向为
，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，由
圆的对称性在其它点撞击同理，D 正确；
A．假设粒子运动过程过O 点，则过P 点的速度的垂线和OP 连线的中垂线是平行的不能交于一点确定圆
心，由圆形对称性撞击筒壁以后的A 点的速度垂线和AO 连线的中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不
可能过O 点，A 错误；
B．由题意可知粒子射出磁场以后的圆心组成的多边形应为以筒壁的内接圆的多边形，最少应为三角形如
图所示
即撞击两次，B 正确；
C．速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不一定减少， C 错误。
故选BD。
14．（2022·辽宁·高考真题）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆
区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P 点沿径向射入磁场，粒子1 沿直线通
过磁场区域后打在探测器上的M 点。粒子2 经磁场偏转后打在探测器上的N 点。装置内部为真空状态，忽
略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
16
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A．粒子1 可能为中子
B．粒子2 可能为电子
C．若增大磁感应强度，粒子1 可能打在探测器上的Q 点
D．若增大粒子入射速度，粒子2 可能打在探测器上的Q 点
【答案】AD
【解析】AB．由题图可看出粒子1 没有偏转，说明粒子1 不带电，则粒子1 可能为中子；粒子2 向上偏转，
根据左手定则可知粒子2 应该带正电，A 正确、B 错误；
C．由以上分析可知粒子1 为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1 都不会偏转，C 错误；
D．粒子2 在磁场中洛伦兹力提供向心力有
解得
可知若增大粒子入射速度，则粒子2 的半径增大，粒子2 可能打在探测器上的Q 点，D 正确。
故选AD。
15．（2022·湖北·统考高考真题）在如图所示的平面内，分界线SP 将宽度为L 的矩形区域分成两部分，一
部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大
小均为B，SP 与磁场左右边界垂直。离子源从S 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向
垂直且与SP 成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р 点射出，设出射方向与入射方向的夹角
为θ，则离子的入射速度和对应θ 角的可能组合为（ ）
17
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A．
kBL，0°
B．
kBL，0°
C．kBL，60°
D．2kBL，60°
【答案】BC
【解析】若粒子通过下部分磁场直接到达P 点，如图
根据几何关系则有
可得
根据对称性可知出射速度与SP 成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。
当粒子上下均经历一次时，如图
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有
根据洛伦兹力提供向心力有
可得
此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。
通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足
18
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（n=1，2，3……）
此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；
当粒子从上部分磁场射出时，需满足
（n=1，2，3……）
此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。
故可知BC 正确，AD 错误。
故选BC。
16．（2020·天津·统考高考真题）如图所示，在Oxy 平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强
度大小为B 的匀强磁场。一带电粒子从y 轴上的M 点射入磁场，速度方向与y 轴正方向的夹角
。粒
子经过磁场偏转后在N 点（图中未画出）垂直穿过x 轴。已知
，粒子电荷量为q，质量为m，重力
不计。则（ ）
A．粒子带负电荷
B．粒子速度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D．N 与O 点相距
【答案】AD
【解析】A．粒子向下偏转，根据左手定则判断洛伦兹力，可知粒子带负电，A 正确；
BC．粒子运动的轨迹如图
由于速度方向与y 轴正方向的夹角
，根据几何关系可知
19
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，
则粒子运动的轨道半径为
洛伦兹力提供向心力
解得
BC 错误；
D．
与
点的距离为
D 正确。
故选AD。
17．（2019·海南·高考真题）如图，虚线MN 的右侧有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，两电荷量相同的
粒子P、Q 从磁场边界的M 点先后射入磁场，在纸面内运动．射入磁场时，P 的速度
垂直于磁场边界，
Q 的速度
与磁场边界的夹角为45°。已知两粒子均从N 点射出磁场，且在磁场中运动的时间相同，则
（ ）
A．P 和Q 的质量之比为1：2
B．P 和Q 的质量之比为
C．P 和Q 速度大小之比为
D．P 和Q 速度大小之比为2：1
【答案】AC
20
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【解析】设MN=2R，则对粒子P 的半径为R，有：
；对粒子Q 的半径为
R，有：
；
又两粒子的运动时间相同，则
，
，即
，解得
，
，
故AC 正确，BD 错误．
18．（2014·全国·高考真题）如图为某磁谱仪部分构件的示意图．图中，永磁铁提供匀强磁场，硅微条径
迹探测器可以探测粒子在其中运动的轨迹．宇宙射线中有大量的电子、正电子和质子．当这些粒子从上部
垂直进入磁场时，下列说法正确的是
A．电子与正电子的偏转方向一定不同
B．电子和正电子在磁场中的运动轨迹一定相同
C．仅依据粒子的运动轨迹无法判断此粒子是质子还是正电子
D．粒子的动能越大，它在磁场中运动轨迹的半径越小
【答案】AC
【解析】由于电子和正电子带电性相反，若入射速度方向相同时，受力方向相反，则偏转方向一定相反，
选项A 正确；由于电子和正电子的入射速度大小未知，根据
可知，运动半径不一定相同，选项B
错误；虽然质子和正电子带电量及电性相同，但是两者的动量大小未知，根据
，则根据运动轨迹无
法判断粒子是质子还是正电子，选项C 正确；由
，则
，可知粒子的动能越大，
它在磁场中运动轨迹的半径越大，选项D 错误．
19．（2015·四川·高考真题）如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN 垂直
于纸面，在纸面内的长度L=9.1cm，中点O 与S 间的距离d＝4.55cm，MN 与SO 直线的夹角为θ，板所在
21
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平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－4T，电子质量m＝
9.1×10－31kg，电荷量e＝－1.6×10－19C，不计电子重力．电子源发射速度v＝1.6×106m/s 的一个电子，该电
子打在板上可能位置的区域的长度为l，则
A．θ＝90°时，l＝9.1cm
B．θ＝60°时，l＝9.1cm
C．θ＝45°时，l＝4.55cm
D．θ＝30°时，l＝4.55cm
【答案】AD
【解析】解：由洛仑兹力充当向心力可得；
Bqv=m
解得：R=
=
=0.0455m=4.55cm；
所有粒子的圆心组成以S 为圆心，R 为半径的圆；电子出现的区域为以S 为圆心，以9.1cm 半径的圆形区
域内，如图中大圆所示；
故当θ=90°时，纸板MN 均在该区域内，故l=9.1cm；当θ=30°时，l=4.55cm；故AD 正确，BC 错误；
故选AD．
【点评】本题考查带电粒子充当向心力的运动规律，解题的关键问题在于明确粒子运动的圆心和半径，进
而明确所有粒子可能出现的空间．
三、解答题
20．（2023·浙江·统考高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy
平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在磁感应
强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下
22
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边界与x 轴重合。位于
处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x 轴夹角为60°的正
离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若
，求能到达
处的离子的最小速度v2；
（3）若
，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在
范围，求进入第四象限
的离子数与总离子数之比η。
【答案】（1）
；
（2）
（3）60%
【解析】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系
解得
r1=2L
根据
解得
在磁场中运动的周期
运动时间
23
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（2）若B2=2B1，根据
可知
粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系
解得
r2=2L
根据
解得
（3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x 轴，则由动量定理
即
24
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求和可得
粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x 轴上的过程中
解得
则速度在
~
之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在
~
，又
粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为
η=60%
21．（2023·浙江·高考真题）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x 轴上方存在垂直
平面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。x 轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板
M 和N 组成，其中位于x 轴的M 板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N 板连接电流表后接地。位于坐标
原点O 的离子源能发射质量为m、电荷量为q 的正离子，其速度方向与y 轴夹角最大值为
；且各个方向
均有速度大小连续分布在
和
之间的离子射出。已知速度大小为
、沿y 轴正方向射出的离子经磁
场偏转后恰好垂直x 轴射入孔C。未能射入孔C 的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。
不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。
（1）求孔C 所处位置的坐标
；
（2）求离子打在N 板上区域的长度L；
（3）若在N 与M 板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0 时的电压
；
（4）若将分析器沿着x 轴平移，调节加载在N 与M 板之间的电压，求电流表示数刚为0 时的电压
与孔
C 位置坐标x 之间关系式。
25
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）当
时，
【解析】（1）速度大小为
、沿y 轴正方向射出的离子经磁场偏转后轨迹如图
由洛伦兹力提供向心力
解得半径
孔C 所处位置的坐标
（2）速度大小为的离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力
解得半径
26
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若要能在C 点入射，则由几何关系可得
解得
如图
由几何关系可得
（3）不管从何角度发射
由（2）可得
根据动力学公式可得
，
联立解得
（4）孔C 位置坐标x
其中
联立可得
，
解得
27
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在此范围内，和（3）相同，只与
相关，可得
解得
根据动力学公式可得
，
解得
22．（2022·天津·高考真题）如图所示，M 和N 为平行金属板，质量为m，电荷量为q 的带电粒子从M 由
静止开始被两板间的电场加速后，从N 上的小孔穿出，以速度v 由C 点射入圆形匀强磁场区域，经D 点穿
出磁场，CD 为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与
磁场方向垂直，重力略不计。
（1）判断粒子的电性，并求M、N 间的电压U；
（2）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r；
（3）若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】（1）正电，
；（2）
；（3）
【解析】（1）带电粒子在磁场中运动，根据左手定则可知粒子带正电。粒子在电场中运动由动能定理可
知
28
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解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力提供向心力，有
解得
（3）设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为
，如图
依题意粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，由几何关系，得
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，有
带电粒子在磁场中运动的时间
联立各式解得
23．（2022·浙江·统考高考真题）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R 的空心转筒P，可绕过O 点、
垂直xOy 平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存
在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q 与y 轴交于A 点。离
子源M 能沿着x 轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的
离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y 轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失
29
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去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B 的大小；
②若速度大小为v0的离子能打在板Q 的A 处，求转筒P 角速度ω 的大小；
（2）较长时间后，转筒P 每转一周有N 个离子打在板Q 的C 处，OC 与x 轴负方向的夹角为θ，求转筒转
动一周的时间内，C 处受到平均冲力F 的大小；
（3）若转筒P 的角速度小于
，且A 处探测到离子，求板Q 上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探测点
位置和O 点连线与x 轴负方向的夹角）。
【答案】（1）①
，②
，k = 0，1，2，3…；（2）
，n =
0，1，2，…；（3）
，
，
【解析】（1）①离子在磁场中做圆周运动有
则
②离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
，k = 0，1，2，3…
（2）设速度大小为v 的离子在磁场中圆周运动半径为
，有
30
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离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
ω′t′ = 2nπ + θ
转筒的转动角速度
，n = 0，1，2，…
动量定理
，n = 0，1，2，…
（3）转筒的转动角速度
其中
k = 1，
，n = 0，2 或者
可得
，
，
24．（2021·辽宁·统考高考真题）如图所示，在x>0 区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀
强磁场；在x<0 区域内存在沿x 轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子甲从点S（-
a，0）由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点P（a，a）、质量为
的中性粒子乙发生弹性正碰，且
有一半电量转移给粒子乙。（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场、磁场变化引起的效
应）
31
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（1）求电场强度的大小E；
（2）若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x≤0 区域内加上与x>0 区域内相同的磁场，求从两粒子碰撞
到下次相遇的时间△t；
（3）若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加
上与原x>0 区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段时间内粒子甲运动的距离L。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）粒子甲匀速圆周运动过P 点，则在磁场中运动轨迹半径
R=a
则
则
粒子从S 到O，有动能定理可得
可得
（2）甲乙粒子在P 点发生弹性碰撞，设碰后速度为
、
，取向上为正，则有
计算可得
32
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两粒子碰后在磁场中运动
解得
两粒子在磁场中一直做轨迹相同的匀速圆周运动，周期分别为
则两粒子碰后再次相遇
解得再次相遇时间
（3）乙出第一象限时甲在磁场中偏转角度为
撤去电场磁场后，两粒子做匀速直线运动，乙粒子运动一段时间后，再整个区域加上相同的磁场，粒子在
磁场中仍做半径为a 的匀速圆周运动，要求轨迹恰好不相切，则如图所示
33
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设撤销电场、磁场到加磁场乙运动了
，由余弦定理可得
则从撤销电场、磁场到加磁场乙运动的位移
25．（2021·河北·高考真题）如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应
强度大小为B 的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上O 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为
、
带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q，一足够长的挡板
与正极板成
倾斜放置，用于
吸收打在其上的粒子，C、P 是负极板上的两点，C 点位于O 点的正上方，P 点处放置一粒子靶（忽略靶的
大小），用于接收从上方打入的粒子，
长度为
，忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒
子所受重力。
。
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P 点处的粒子靶上，求可调电源电压
的大小；
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板
上，求电压的最小值
；
（3）若粒子靶在负极板上的位置P 点左右可调，则负极板上存在H、S 两点（
，H、S 两点
末在图中标出）、对于粒子靶在
区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接
收到n（
）种能量的粒子，求
和
的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。
34
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；
【解析】（1）从O 点射出的粒子在板间被加速，则
粒子在磁场中做圆周运动，则半径
由
解得
（2）当电压有最小值时，当粒子穿过下面的正极板后，圆轨道与挡板OM 相切，此时粒子恰好不能打到
挡板上，则
从O 点射出的粒子在板间被加速，则
粒子在负极板上方的磁场中做圆周运动
35
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粒子从负极板传到正极板时速度仍减小到v0，则
由几何关系可知
联立解得
（3）结合（2）分析可知，当粒子经上方磁场再进入下方磁场时，轨迹与挡板相切时，粒子运动轨迹半径
分别为r2、r3，则
①当粒子在下方区域磁场的运动轨迹正好与OM 相切，再进入上方磁场区域做圆周运动，轨迹与负极板的
交点记为H2，当增大两极板的电压，粒子在上方磁场中恰好运动到H2点时，粒子靶恰好能够接收2 种能
量的粒子，此时H2点为距C 点最近的位置，是接收2 种能量的粒子的起点，运动轨迹如图所示
由几何关系可得
②同理可知当粒子靶接收3 种能量的粒子的运动轨迹如图所示
36
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第③个粒子经过下方磁场时轨迹与MN 相切，记该粒子经过H2后再次进入上方磁场区域运动时轨迹与负极
板的交点为H3 (S2) ，则该点为接收两种粒子的终点，同时也是接收3 种粒子的起点。由几何关系可得
可知，粒子靶接收n 种、n+1 种粒子的起点（即粒子靶接收n 种粒子的起点与终点）始终相距
当粒子靶接收n 种能量的粒子时，可得
26．（2021·湖南·高考真题）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流
（每个粒子的质量为
、电荷量为
）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。
对处在
平面内的粒子，求解以下问题。
（1）如图（a），宽度为
的带电粒子流沿
轴正方向射入圆心为
、半径为
的圆形匀强磁场中，
若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点
，求该磁场磁感应强度
的大小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于
的正方形，其几何中心位于
。在虚线框内设计一个区域
面积最小的匀强磁场，使汇聚到
点的带电粒子流经过该区域后宽度变为
，并沿
轴正方向射出。求该
磁场磁感应强度
的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于
的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于
的正方形。在Ⅰ、
Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为
的带电粒子流沿
轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ
后汇聚到坐标原点
，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为
，并沿
轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控
束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过
程）。
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【答案】（1）
；（2）
，垂直与纸面向里，
；（3）
，
，
，
【解析】（1）粒子垂直
进入圆形磁场，在坐标原点
汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的
半径等于圆形磁场的半径
，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力
解得
（2）粒子从
点进入下方虚线区域，若要从聚焦的
点飞入然后平行
轴飞出，为磁发散的过程，即粒子
在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图所示，图中圆形磁场即为最小的
匀强磁场区域
磁场半径为
，根据
可知磁感应强度为
根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为
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（3）粒子在磁场中运动，3 和4 为粒子运动的轨迹圆，1 和2 为粒子运动的磁场的圆周
根据
可知I 和III 中的磁感应强度为
，
图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取I 区域如图
图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周
与三角形
之差，所以阴影部分的面积为
类似地可知IV 区域的阴影部分面积为
根据对称性可知II 中的匀强磁场面积为
27．（2021·浙江·统考高考真题）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子
注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的
39
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离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场
的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，
方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端
中心位置M 和N 处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L 的正方体，其偏转系
统的底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆
上的O 点（即图中坐标原点，x 轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的
离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α 很小时，有
，
。求：
(1)离子通过速度选择器后的速度大小v 和磁分析器选择出来离子的比荷；
(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。
【答案】(1)
，
；(2)（
，0）；(3)（0，
）；(4)见解析
【解析】(1)通过速度选择器离子的速度
从磁分析器中心孔N 射出离子的运动半径为
由
得
(2)经过电场后，离子在x 方向偏转的距离
40
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离开电场后，离子在x 方向偏移的距离
位置坐标为(
，0)
(3)离子进入磁场后做圆周运动半径
经过磁场后，离子在y 方向偏转距离
离开磁场后，离子在y 方向偏移距离
则
位置坐标为(0，
)
41
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(4)注入晶圆的位置坐标为(
，
),电场引起的速度增量对y 方向的运动不产生影响。
28．（2020·北京·统考高考真题）如图甲所示，真空中有一长直细金属导线
，与导线同轴放置一半径
为
的金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为
，电荷量为。不考虑
出射电子间的相互作用。
(1)可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度：
a.在柱面和导线之间，只加恒定电压；
b.在柱面内，只加与
平行的匀强磁场。
当电压为
或磁感应强度为
时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度
。
(2)撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为
、长度为
的金属片，如图乙所示。在该金属片上检测到出
射电子形成的电流为
，电子流对该金属片的压强为
。求单位长度导线单位时间内出射电子的总动能。
【答案】（1）a.
，b.
；（2）
【解析】（1）a.在柱面和导线之间，只加恒定电压
，粒子刚好没有电子到达柱面，此时速度为零，根
据动能定理有
解得
42
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b.在柱面内，只加与
平行的匀强磁场，磁感应强度为
时，刚好没有电子到达柱面，设粒子的偏转半
径为r，根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力，则有
解得
（2）撤去柱面，设单位时间单位长度射出的电子数为n，则单位时间打在金属片的粒子数
金属片上形成电流为
所以
根据动量定理得金属片上的压强为
解得
故总动能为
29．（2020·江苏·统考高考真题）空间存在两个垂直于
平面的匀强磁场，y 轴为两磁场的边界，磁感应
强度分别为
、
。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O 沿x 轴正向射入磁场，速度均为v。甲第
1 次、第2 次经过y 轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q 时，乙也恰好同时经过该点。已知
甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
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(1)Q 到O 的距离d；
(2)甲两次经过P 点的时间间隔
；
(3)乙的比荷
可能的最小值。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【解析】(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由
得，
，
Q、O 的距离为：
(2)由(1)可知，完成一周期运动上升的距离为d，粒子再次经过P，经过N 个周期，
所以，再次经过P 点的时间为
由匀速圆周运动的规律得
，
绕一周的时间为
所以，再次经过P 点的时间为
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两次经过P 点的时间间隔为
(3)由洛伦兹力提供向心力，由
得，
，
完成一周期运动上升的距离
若乙粒子从第一象限进入第二象限的过程中与甲粒子在Q 点相遇，则
，
结合以上式子，n 无解。
若乙粒子从第二象限进入第一象限的过程中与甲离子在Q 点相遇，则
，
计算可得
（n=1，2，3……）
由于甲乙粒子比荷不同，则n=2 时，乙的比荷
最小，为
30．（2020·浙江·统考高考真题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形
、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，探测板
平行于
水平放置，能沿竖直
方向缓慢移动且接地。a、b、c 三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界
水平射入磁场，b 束中的离子在磁场中沿半径为R 的四分之一圆弧运动后从下边界
竖直向下射出，并打
在探测板的右边缘D 点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为
，探测板
的宽度为
，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
(1)求离子速度v 的大小及c 束中的离子射出磁场边界
时与H 点的距离s；
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(2)求探测到三束离子时探测板与边界
的最大距离
；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F 与板到
距离L 的
关系。
【答案】(1)
，0.8R；(2)
；(3)当
时：
；当
时：
；当
时：
【解析】(1)离子在磁场中做圆周运动
得粒子的速度大小
令c 束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界
边的Q 点射出，则由几何关系可得
，
(2)a 束中的离子运动轨迹对应的圆心为O’，从磁场边界
边射出时距离H 点的距离为x，由几何关系可得
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即a、c 束中的离子从同一点Q 射出，离开磁场的速度分别于竖直方向的夹角为
、
，由几何关系可得
探测到三束离子，则c 束中的离子恰好达到探测板的D 点时，探测板与边界
的距离最大，
则
(3)a 或c 束中每个离子动量的竖直分量
当
时所有离子都打在探测板上，故单位时间内离子束对探测板的平均作用力
当
时， 只有b 和c 束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
当
时， 只有b 束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
31．（2020·全国·统考高考真题）如图，在0≤x≤h，
区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁
感应强度B 的大小可调，方向不变。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x
轴进入磁场，不计重力。
（1）若粒子经磁场偏转后穿过y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度
的最小值Bm；
（2）如果磁感应强度大小为
，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向
与x 轴正方向的夹角及该点到x 轴的距离。
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【答案】（1）磁场方向垂直于纸面向里；
；（2）
；
【解析】（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。
设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
①
由此可得
②
粒子穿过y 轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y 轴正半轴上，半径应满足
③
由②可得，当磁感应强度大小最小时，设为Bm，粒子的运动半径最大，由此得
④
（2）若磁感应强度大小为
，粒子做圆周运动的圆心仍在y 轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径
为
⑤
粒子会穿过图中P 点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在P 点的运动方向与x 轴正方向的夹角为α，
由几何关系
⑥
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即
⑦
由几何关系可得，P 点与x 轴的距离为
⑧
联立⑦⑧式得
⑨
32．（2020·浙江·高考真题）通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率（即打到探测板
上质子数与衰变产生总质子数N 的比值），可研究中子（
）的
衰变。中子衰变后转化成质子和电子，
同时放出质量可视为零的反中微子
。如图所示，位于P 点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子
源在纸面内各向均匀地发射N 个质子。在P 点下方放置有长度
以O 为中点的探测板，P 点离探测
板的垂直距离
为a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B 的匀强磁场。
已知电子质量
，中子质量
，质子质量
（c 为光速，不考虑粒子之间的相互作用）。
若质子的动量
。
（1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以
为能量单位）；
（2）当
，
时，求计数率；
（3）若
取不同的值，可通过调节
的大小获得与（2）问中同样的计数率，求
与
的关系并给出
的
范围。
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）核反应方程满足质量数和质子数守恒：
49
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核反应过程中：
根据动量和动能关系：
则总动能为：
（2）质子运动半径：
如图甲所示：
打到探测板对应发射角度：
可得质子计数率为：
（3）在确保计数率为
的情况下：
即：
如图乙所示：
50
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恰能打到探测板左端的条件为：
即：
33．（2017·全国·高考真题）如图，空间存在方向垂直于纸面(
平面）向里的磁场．在
区域，磁感
应强度的大小为
;
区域，磁感应强度的大小为
（常数
)．一质量为m、电荷量为q(q>0)的带
电粒子以速度
从坐标原点O 沿
轴正向射入磁场，此时开始计时，不计粒子重力，当粒子的速度方向再
次沿
轴正向时，求：
(1)粒子运动的时间；
(2)粒子与O 点间的距离．
【答案】(1)
(2)
【解析】如图为粒子的轨迹
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
则有：
51
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那么
，
（1）根据左手定则可得：粒子做逆时针圆周运动；故粒子运动轨迹如图所示，则粒子在
磁场区域运
动半个周期，在
磁场区域运动半个周期；那么粒子在
磁场区域运动的周期
，
在
磁场区域运动的周期
所以，粒子运动的时间：
（2）粒子与O 点间的距离：
34．（2019·江苏·高考真题）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘薄板与磁场
的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平
分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量为-q 的粒子速度一定，可以从左边界的
不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L，粒子重力不计，电荷量保持不变．
（1）求粒子运动速度的大小v；
（2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M 的最大距离dm；
（3）从P 点射入的粒子最终从Q 点射出磁场，PM=d，QN=
，求粒子从P 到Q 的运动时间t．
【答案】（1）
；（2）
；（3）A.当
时，
，B.当
52
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时，
【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力有：
，解得：
由题可得：
解得
；
（2）如图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切
由几何关系得dm=d（1+sin60°）
解得
（3）粒子的运动周期
设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t'，则
A.当
时，粒子斜向上射出磁场
解得
B.当
时，粒子斜向下射出磁场
解得
．
35．（2019·浙江·高考真题）有一种质谱仪由静电分析器和磁分析器组成，其简化原理如图所示．左侧静
电分析器中有方向指向圆心O、与O 点等距离各点的场强大小相同的径向电场，右侧的磁分析器中分布着
方向垂直于纸面向外的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行，两者间距近似为零．离子源发出
两种速度均为v0、电荷量均为q、质量分别为m 和0.5m 的正离子束，从M 点垂直该点电场方向进入静电分
53
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析器．在静电分析器中，质量为m 的离子沿半径为r0的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，从N 点水平射
出，而质量为0.5m 的离子恰好从ON 连线的中点P 与水平方向成θ 角射出，从静电分析器射出的这两束离
子垂直磁场方向射入磁分析器中，最后打在放置于磁分析器左边界的探测板上，其中质量为m 的离子打在
O 点正下方的Q 点．已知OP=0.5r0，OQ=r0，N、P 两点间的电势差
，
，不计重力和
离子间相互作用。
（1）求静电分析器中半径为r0处的电场强度E0和磁分析器中的磁感应强度B 的大小；
（2）求质量为0.5m 的离子到达探测板上的位置与O 点的距离l（用r0表示）；
（3）若磁感应强度在（B—△B）到（B＋△B）之间波动，要在探测板上完全分辨出质量为m 和0.5m 的两
束离子，求
的最大值。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）0.12
【解析】（1）在静电分析器中，电场力提供向心力，有
解得
离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
解得
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（2）对离子，由动能定理
解得
离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有
解得
距离
解得
（3）恰好能分辨的条件
解得
36．（2014·全国·高考真题）如图，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面（xy 平面）向
外；在第四象限存在匀强电场，方向沿x 轴负向．在y 轴正半轴上某点以与x 轴正向平行、大小为v0的速
度发射出一带正电荷的粒子，该粒子在（d，0）点沿垂直于x 轴的方向进入电场．不计重力．若该粒子离
开电场时速度方向与y 轴负方向的夹角为θ，求：
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（1）电场强度大小与磁感应强度大小的比值；
（2）该粒子在电场中运动的时间．
【答案】 （1）
＝
；（2）t＝
【解析】试题分析：（1）设磁感应强度的大小为B，粒子质量与所带电荷量分别为m 和q，粒子进入磁场
后做匀速圆周运动，并设其圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律和向心力公式有：qv0B＝
①
由题设条件和图中几何关系可知：r＝d ②
设电场强度大小为E，粒子进入电场后沿x 轴负方向运动的速度大小为vx，由牛顿第二定律有：qE＝max③
根据运动学公式有：vx＝axt，
＝d ④
由于粒子在电场中做类平抛运动（如图），有：tanθ＝
⑤
由①②③④⑤式联立解得：
＝
（2）由④⑤式联立解得：t＝
考点：本题主要考查了带电粒子在交替复合场中的运动问题，属于中档题．
37．（2018·江苏·高考真题）如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两
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个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O′点，各区域磁感应强度大小相等。某粒子质量
为m、电荷量为 + q，从O 沿轴线射入磁场。当入射速度为v0时，粒子从O 上方
处射出磁场。取sin53°
= 0.8，cos53° = 0.6。
（1）求磁感应强度大小B；
（2）入射速度为5v0时，求粒子从O 运动到O′的时间t；
（3）入射速度仍为5v0，通过沿轴线OO′平移中间两个磁场（磁场不重叠），可使粒子从O 运动到O′的时
间增加Δt，求Δt 的最大值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】本题考查带电粒子在组合磁场中的运动，
（1）小题先确定粒子圆周运动的半径，再根据洛伦兹力提供向心力列式求解；
（2）小题解答关键是定圆心、画轨迹，分段分析和计算；
（3）小题求Δt 的最大值，关键是要注意带电粒子在磁场中运动的时间不变和速度大小不变，所以中间磁
场移动后改变的是粒子在无磁场区域运动的倾斜轨迹的长度，要使Δt 最大，则要倾斜轨迹最长，所以粒子
轨迹跟中间磁场的上边相切时运动时间最长，再根据运动的对称性列式求解。
【解析】（1）粒子圆周运动的半径
粒子受到的洛伦兹力提供向心力，则
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由题意和几何关系知
解得
（2）入射速度为5v0时，由
可得，粒子在磁场中运动的半径为
设粒子在矩形磁场中的偏转角为α，由
，得
即
α = 53°
在一个矩形磁场中的运动时间
直线运动的时间
则：
（3）将中间两磁场分别向中央移动距离x，如图所示
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粒子向上的偏移量
由y ≤ 2d，解得
则当xm=
时，Δt 有最大值。
粒子直线运动路程的最大值
增加路程的最大值
增加时间的最大值
38．（2018·浙江·高考真题）如图所示，x 轴上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，坐标原点处有一正离子源，
单位时间在xOy 平面内发射n0个速率为υ 的离子，分布在y 轴两侧各为θ 的范围内．在x 轴上放置长度为L
的离子收集板，其右端点距坐标原点的距离为2L，当磁感应强度为B0时，沿y 轴正方向入射的离子，恰好
打在收集板的右端点．整个装置处于真空中，不计重力，不考虑离子间的碰撞，忽略离子间的相互作用．
（1）求离子的比荷
；
（2）若发射的离子被收集板全部收集，求θ 的最大值；
（3）假设离子到达x 轴时沿x 轴均匀分布．当θ=370，磁感应强度在B0 ≤B≤ 3B0的区间取不同值时，求单
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位时间内收集板收集到的离子数n 与磁感应强度B 之间的关系（不计离子在磁场中运动的时间）
【答案】（1）
（2）
（3）
时，
；
时，
；
时，有
【解析】（1）洛伦兹力提供向心力，故
，
圆周运动的半径R=L，解得
（2）和y 轴正方向夹角相同的向左和向右的两个粒子，达到x 轴位置相同，当粒子恰好达到收集板最左端
时，
达到最大，轨迹如图1 所示，
根据几何关系可知
，解得
（3）
，全部收集到离子时的最小半径为R，如图2，有
，
解得
当
时，所有粒子均能打到收集板上，有
，恰好收集不到粒子时的半径为
，有
，即
当
时，设
，解得
当
时，所有粒子都不能打到收集板上，
39．（2016·海南·高考真题）如图，A、C 两点分别位于x 轴和y 轴上，∠OCA=30°，OA 的长度为L．在
△OCA 区域内有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场．质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，以平行于y 轴的
方向从OA 边射入磁场．已知粒子从某点射入时，恰好垂直于OC 边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时
间为t0．不计重力．
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(1)求磁场的磁感应强度的大小；
(2)若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从OC 边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在
磁场中运动的时间之和；
(3)若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC 边相切，且在磁场内运动的时间为
，求粒子此次入射速
度的大小．
【答案】(1)
(2)2t0 (3)
【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间t0内其速度方向改变了90°，故其周期T=4t0①
设磁感应强度大小为B，粒子速度为v，圆周运动的半径为r
由洛伦兹力提供向心力得：
②
匀速圆周运动的速度满足：
③
联立①②③式得
④
（2）设粒子从OA 边两个不同位置射入磁场，能从OC 边上的同一点P 射出磁场，粒子在磁场中运动的轨
迹如图（a）所示．设两轨迹所对应的圆心角分别为θ1和θ2．由几何关系有θ1=180°–θ2⑤
粒子两次在磁场中运动的时间分别为t1与t2，则t1+t2=
=2t0⑥
（3）如图（b），由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹圆弧对应的圆心角为150°．设O'为圆弧的
圆心，圆弧的半径为r0，圆弧与AC 相切与B 点，从D 点射出磁场，由几何关系和题给条件可知，此时有
∠OO'D= BO'A=30°
∠
⑦
61
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⑧
设粒子此次入射速度的大小为v0，由圆周运动规律
⑨
联立①⑦⑧⑨式得
⑩
【点睛】对于带电粒子在磁场中运动类型，要画出轨迹，善于运用几何知识帮助分析和求解，这是轨迹问
题的解题关键．
40．（2015·山东·高考真题）如图所示，直径分别为D 和2D 的同心圆处于同一竖直面内，O 为圆心，GH
为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅱ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距为d
的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔。一质量为m、电量为＋q 的粒子由小孔下方
处
静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v 射出电场，由H 点紧靠大圆内侧射入磁场。不计粒子的重力。
（1）求极板间电场强度的大小；
（2）若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；
（3）若Ⅰ区、Ⅱ区磁感应强度的大小分别为
、
，粒子运动一段时间后再次经过H 点，求这段时
间粒子运动的路程。
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）5.5πD
【解析】（1）设极板间电场强度大小为E，对粒子在电场中的加速运动，由动能定理可得
解得
（2）设I 区内磁感应强大小为B，粒子做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得
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如图甲所示
粒子的运动轨迹与小圆相切有两种情况，若粒子轨迹与小圆外切，由几何关系可得
解得
若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得
解得
（3）设粒子在I 区和II 区做圆周运动的半径分别为R1、R2，由题意可知，I 区和II 内的磁感应强度大小分
别为
，
由牛顿第二定律可得
，
代入解得
，
设粒子在I 区和II 区做圆周运动的周期分别为T1、T2，由运动学公式得
，
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由题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔的运动轨迹如图所示
由对称性可知，I 区两段圆弧所对圆心角相同，设为
，II 区内所对圆心角设为
，圆弧和大圆的两个切
点与圆心O 连线间的夹角为
，由几何关系可得
在区域II 中恰好经过了半个圆周，故
粒子重复上述交替运动到H 点，设粒子I 区和II 区做圆周运动的时间分别为t1、t2，可得
，
设粒子运动的路程为s，由运动学公式可得
解得
41．（2014·江苏·高考真题）某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示。装置的长为L，上下
两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为
d。装置右端有一收集板，M、N、P 为板上的三点，M 位于轴线OO′上，N、P 分别位于下方磁场的上、下
边界上。在纸面内，质量为m、电荷量为－q 的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°
角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P 点。改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的
位置。不计粒子的重力。
(1)求磁场区域的宽度h；
(2)欲使粒子到达收集板的位置从P 点移到N 点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；
(3)欲使粒子到达M 点，求粒子入射速度大小的可能值。
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【答案】(1)
；(2)
；(3)
（
，其中n 取正整数）
【解析】(1)设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为r，依题意作出带电粒子的运动轨迹如下图所示。
由图中几何关系有
，
解得
，
(2)设带电粒子初始入射速度为v1，改变速度后仍然经过上方的磁场区域一次后到达N 点，此时速度的改变
量最小，设为v2，粒子改变速度后，在磁场中运动的轨道半径为r′，带电粒子的运动轨迹如下图所示。
由图中几何关系有
根据牛顿第二定律和洛伦兹力大小公式有
，
粒子入射速度的最小变化量
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(3)粒子可能从上方磁场出来后经过M 点，也可能从下方磁场出来后经过M 点，不妨假设粒子共n 次经过
了磁场区域到达了M 点，此时在磁场中运动的轨道半径为rn，速度为vn，根据牛顿第二定律和洛伦兹力大
小公式有
根据几何关系有
解得
，
粒子到达M 点，则粒子不能通过上方磁场的上边界，且速度大于零，则
，
则
，其中n 取正整数
则欲使粒子到达M 点，粒子入射速度大小的可能值为
（
，其中n 取正整数）
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