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模型12、行星模型
【模型特点】
1. 卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
2.极地卫星、近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.
(2) 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球
的半径，其运行线速度约为7.9km/s.
绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期:
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.
深化拓展:
(1) 卫星的
、
、
、
是相互联系的，如果一个量发生变化，其他量也随之发生变化;这些量与卫星
的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定.
(2) 卫星的能量与轨道半径的关系:同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大.
3.同步卫星(通信卫星均为同步卫星)
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“同步”的含义就是和地球保持相对静止(又叫静止轨道卫星)
(1)周期等于地球自转周期，既T=24h
(2)轨道半径是唯一确定的，离地面的高度为
地
(3)该轨道必须在地球赤道的正上方
(4)卫星的运转方向必须是由西向东
【模型解题】
1、卫星变轨问题分析
当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用),万有引力不再等于向心力，卫
星将变轨运行:
(1)当卫星的速度突然增大时，
，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离
原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由
可知其运行速度比原轨道时
减小.
(2)当卫星的速度突然减小时，
;即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱
离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由
可知其运行速度比原轨道
时增大.
卫星的发射和回收就是利用这一原理.
2、双星系统模型问题的分析与计算
宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万
有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这
2
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种结构叫做双星。
[特点]
(1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
，
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即
,
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为:
(4)两颗星到圆心的距离
、
与星体质量成反比，即
(5)双星的运动周期
(6)双星的总质量公式
△双星系统问题的误区
(1)不能区分星体间距与轨道半径:万有引力定律中的r 为两星体间距离，向心力公式中的r 为所研究星球
做圆周运动的轨道半径.
(2)找不准物理现象的对应规律.
【模型训练】
【例1】某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运动半径的
，设月球绕地球
运动的周期为27 天，则此卫星的运行周期为（ ）
A．
天
B．
天
C．1 天
D．9 天
【答案】C
【详解】由于
，
，由开普勒第三定律可得
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则
故选C。
变式1.1 已知地球半径为R，同步卫星到地心的距离约为6.6R，某人造卫星在离地球表面的距离为1.2R 的
轨道上做匀速圆周运动，则该卫星运动的周期约为（ ）
A．0.5 天
B．0.2 天
C．5.2 天
D．9 天
【答案】B
【详解】根据开普勒第三定律，人造卫星的周期
代入数据解得
故选B。
变式1.2 我国的第一颗卫星“东方红一号”于1970 年4 月24 日在酒泉卫星发射中心由长征一号运载火箭
送入工作轨道（近地点距地球表面的距离
、远地点距地球表面的距离
），它开创
了中国航天史的新纪元。1984 年，“东方红二号”卫星发射成功，这是一颗地球同步卫星，距离地心大约
。已知地球半径为
，可以估算“东方红一号”卫星的周期约为（ ）
A．80 分钟
B．102 分钟
C．114 分钟
D．120 分钟
【答案】C
【详解】设“东方红一号”卫星周期为
，其半长轴为
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“东方红二号”卫星周期
，工作轨道半径
，根据开普勒第三定律
，可得
代入数据解得
分钟
ABD 错误，C 正确。
故选C。
【例2】2021 年4 月28 日，国际行星防御大会召开，我国代表介绍了正在论证的小行星探测任务。关于行
星运动规律下列说法正确的是（ ）
A．第谷根据多年的观测总结揭示了行星的运动规律，为万有引力定律的发现奠定了基础
B．牛顿发现万有引力定律后，开普勒整理牛顿的观测数据后，发现了行星运动的规律
C．开普勒第三定律表达式为
月亮围绕地球运动的k 值与人造卫星围绕地球运动的k 值相同
D．行星绕太阳运动时、线速度方向时刻在变，大小始终不变
【答案】C
【详解】AB．开普勒根据第谷多年的观测总结揭示了行星的运动规律，为万有引力定律的发现奠定了基
础，故AB 错误；
C．开普勒第三定律中的k 值只与中心天体有关，故C 正确；
D．行星绕太阳运动时、轨道是椭圆，所以线速度方向时刻在变，大小也在改变，故D 错误。
故选C。
变式2.1 关于开普勒行星运动定律，下列说法中正确的是（ ）
A．开普勒通过自己的长期观测，记录了大量数据，通过对数据的研究总结出了行星运动定律
B．根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上
C．根据开普勒第二定律，行星绕太阳运动时，线速度大小始终不变
D．根据开普勒第三定律，所有行星轨道的半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相等
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【答案】B
【详解】A．第谷进行了长期观测，记录了大量数据，开普勒通过对数据研究总结出了开普勒行星运动定
律，故A 错误；
B．根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故B 正确；
C．由开普勒第二定律可知，太阳行星连线相同时间内扫过的面积相等，行星绕太阳在椭圆轨道上运动
时，线速度大小在变化，越靠近太阳，线速度越大，反之，则越小，故C 错误；
D．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，故D 错误。
故选B。
变式2.2 人类对太阳系中行星运动规律的探索过程中，曾有擅长观测的科学家通过长期观测记录了各行星
环绕太阳运动（公转）的大量数据，在此基础上有位擅长数学推理的科学家，认为行星公转轨道应该是椭
圆，然后通过数学推理，发现了行星运动三大定律，揭示了行星运动的规律。观测记录行星公转的大量数
据以及发现行星运动三大定律的科学家分别是（ ）
A．托勒密、第谷B．第谷、开普勒
C．哥白尼、托勒密
D．哥白尼、开普勒
【答案】B
【详解】第谷通过长期观测记录了各行星环绕太阳运动（公转）的大量数据，开普勒认为行星公转轨道应
该是椭圆，然后通过数学推理，发现了行星运动三定律。
故选B。
【例3】在利用探测器探测石油的过程中，遇到空腔或者其他物质时，引力会发生变化，引起该区域重力
加速度的大小和方向发生微小的变化，以此来探寻石油区域的位置。简化模型如图所示，一个质量均匀分
布的半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r 的一部分球体，且
，则原球体剩余部分对质点P 的万有引力变为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设质点与原球体球心相距l，万有引力为F，则
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在球体中央挖去半径为r 的一部分球体后，质点与原球体剩余部分之间的万有引力
故选C。
变式3.1 如图所示，一个质量均匀分布的半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为F。如果在球体中央
挖去半径为r 的一部分球体，且r=
，则原球体剩余部分对质点P 的万有引力大小变为（ ）
A．
B．
C．
D．
F
【答案】C
【详解】设原球体的质量为M，质点P 的质量为m0，球心与质点P 的距离为L。根据
知，挖去部分的小球的质量
没挖去前，原球体对质点P 的引力
挖去的部分对质点P 的引力
则剩余部分对质点P 的引力
故选C。
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变式3.2 有一质量为
、半径为
、密度均匀的球体，在距离球心
为
的地方有一质量为
的质点。
现将
中挖去半径为
的球体，如图所示，则剩余部分对m 的万有引力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】挖去之前球体与质点之间的万有引力为
挖去部分的小球体与质点之间的万有引力为
由于球体密度均匀，则有
剩余部分与m 之间的万有引力大小为
解得
故选A。
【例4】2023 年9 月5 日傍晚5 点30 分左右，一颗命名为“合肥高新一号”的卫星，从海上发射基地飞向
太空，成为中国低轨卫星物联网的一部分。假设此卫星在赤道平面内绕地球做圆周运动，离地面高度等于
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地球半径R，运行方向与地球自转方向相同。已知地球自转周期为
，地球两极处重力加速度为g，万有
引力常量用G 表示。下列说法正确的是（ ）
A．地球的平均密度为
B．卫星做圆周运动的周期为
C．赤道表面的重力加速度为
D．若赤道上有一卫星测控站，忽略卫星信号传输时间，卫星与测控站能连续通信的最长时间为
【答案】D
【详解】A．
中周期T 为贴近地面运行卫星的周期，而非地球自转周期为
，故A 错误；
B．设地球质量为M，卫星A 的质量为m，根据万有引力提供向心力，有
解得
故B 错误；
C．两极处有
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赤道处有
解得
故C 错误；
D．如图所示，卫星的通讯信号视为沿直线传播，由于地球遮挡，使卫星A 和地面测控站B 不能一直保持
直接通讯，设无遮挡时间为t，则它们转过的角度之差最多为
时就不能通讯
，
解得
故D 正确。
故选D。
变式4.12021 年2 月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后进入运行
周期为T 的椭圆形停泊轨道（如图所示），近火点A 到火星中心O 的距离为a，已知火星的半径为R，在
火星上以v₀ 的速度竖直上抛物体，经过t 时间后物体回到原处，万有引力常量为G，忽略火星自转。以下
说法正确的是（ ）
A．火星的质量为
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B．火星的密度为
C．火星的第一宇宙速度为
D．远火点B 到火星中心O 的距离为
【答案】D
【详解】A．由题意知，火星表面的加速度为
设火星的质量为M，火星表面质量为m 的物体在火星表面物体受到的万有引力等于物体的重力，故
解得
若用T，则应用椭圆的半长轴，不应用R 代入公式，故A 错误；
B．根据密度的计算公式
解得
故B 错误；
C．第一宇宙速度为
故C 错误；
D．设质量为m1的卫星绕火星表面做匀速圆周运动的周期为T1，由万有引力提供向心力有
解得
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在火星表面物体受到的万有引力等于物体的重力，故
设远火点B 到火星中心O 的距离为b，则由开普勒第三定律可得
解得
故D 正确。
故选D。
变式4.2 地球资源卫星“04 星”绕地球做匀速圆周运动的角速度为
，地球相对“04 星”的张角为
，如
图所示。引力常量为G，则地球的密度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】“04 星”绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
设地球半径为R，则由题图知
又
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联立解得
故选A。
【例5】在刘慈欣的科幻小说《带上她的眼睛》里演绎了这样一个故事：“落日六号”地层飞船深入地球
内部进行探险，在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年轻的女领航员，她只能在封闭的地心度过余生。
已知地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零。若地球表面的重力
加速度为g，当“落日六号”位于地面以下深0.5R 处时，该处的重力加速度大小为（ ）
A．0.25g
B．0.5g
C．0.75g
D．g
【答案】B
【详解】在地球表面有
设地球的密度为ρ，则地球的总质量为
地面以下深0.5R 处地球的质量为
地面以下深0.5R 处有
位于地面以下深0.5R 处时，该处的重力加速度大小为
故选B。
变式5.1 已知“祝融号”火星车在地球表面受到的重力大小为G1，在火星表面受到的重力大小为G2；地球
与火星均可视为质量分布均匀的球体，其半径分别为R1、R2。若不考虑自转的影响且火星车的质量不变，
则地球与火星的密度之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【详解】在星球表面，万有引力近似等于重力，有
又
联立解得
故选B。
变式5.2 中子星是除黑洞外密度最大的星体，恒星演化到末期，经由重力崩溃发生超新星爆炸之后，可能
成为的少数终点之一，其密度比地球上任何物质密度大相当多倍。设某中子星的质量是太阳的50 倍，自转
周期是0.01s，半径是地球绕太阳运动的轨道半径的
倍，已知地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为
1.5×108km，太阳质量为2.0×1030kg，则该中子星赤道表面的重力加速度大小为（ ）
A．3×1011m/s2
B．2.4×1011 m/s2
C．1.2×1011 m/s2
D．6×1010 m/s2
【答案】B
【详解】在该中子星赤道表面有
地球绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力等于向心力有
根据常识可得
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根据题意有
联立可得，该中子星两极表面的重力加速度大小约为
故选B。
【例6】中科院紫金山天文台在 2023 年1 月9 日首次发现了一颗新彗星，目前，该彗星正朝着近日点运
动，明年有望成为肉眼可见的大彗星。如图所示，Ⅱ为该彗星绕太阳运行的椭圆轨道，Ⅰ为某行星绕太阳
做匀速圆周运动的轨道，两轨道相切于B 点。A 为彗星运动的远日点，B 为彗星运动的近日点。下列说法
正确的是（ ）
A．彗星运行到A 点的速度小于行星运行到B 点的速度
B．彗星运行到A 点的速度大于彗星运行到B 点的速度
C．彗星运行的周期小于行星运行的周期
D．彗星运行到B 点的加速度大于行星运行到B 点的加速度
【答案】A
【详解】AB．A 为彗星运动的远日点，B 为彗星运动的近日点。则彗星运行到A 点的速度小于行星运行到
B 点的速度，A 正确，B 错误；
C．根据开普勒第三定律
彗星运动轨道的半长轴大于行星运动半径，则彗星运行的周期大于行星运行的周期，C 错误；
D．根据
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得
彗星运行到B 点的加速度等于行星运行到B 点的加速度，D 错误。
故选A。
变式6.12021 年2 月，“天问一号”探测器成功被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星，实现“绕、
着、巡”目标的第一步。 如图，为“天问一号”被火星捕获的简易图，其中1 为椭圆轨道，2 为圆轨道。
则下列说法正确的是（ ）
A．“天问一号”在轨道2 运行的周期大于在轨道1 运行的周期
B．“天问一号”沿轨道1 运行时在P 点的加速度大于在Q 点的加速度
C．“天问一号”由轨道1 进入轨道2，在Q 点的喷气方向与速度方向相反
D．“天问一号”在轨道1 由Q 点向P 点运动的过程中，速度减小
【答案】D
【详解】A．由开普勒第三定律
可知，由于轨道1 的半长轴大于轨道2 的半径，所以“天问一号”在轨道2 运行的周期小于在轨道1 运行
的周期，A 错误；
B．由
得
“天问一号”在P 的加速度小于在Q 的加速度，B 错误；
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C．“天问一号”由轨道1 进入轨道2，“天问一号”做向心运动，因此在Q 点制动减速，则在Q 点的喷
气方向应与速度方向相同，C 错误；
D．若“天问一号”在轨道1 由Q 点向P 点运动的过程中，速度减小，D 正确。
故选D。
变式6.2 如图所示为“天问一号”探测器围绕火星多次变轨的简化图景。轨道I、III 为椭圆，轨道II 为
圆，O 点是这三个轨道的相切点，O、Q 分别是远火星点和近火星点，O、P、Q 三点连线经过火星中心，
已知火星的半径为R，
，探测器在轨道II 上经过O 点时的速度为v。下列说法正确的是（ ）
A．在多次变轨过程中，探测器与火星中心的连线经过相等时间扫过的面积都相等
B．探测器在轨道II 上运动时，经过O 点的加速度等于
C．探测器在轨道I 上运动时，经过O 点的速度小于v
D．探测器在轨道II 和III 上运动的周期之比是
【答案】B
【详解】A．根据开普勒第二定律，在同一轨道上探测器与火星中心的连线经过相等时间扫过的面积都相
等，在不同轨道上，不具备上述关系，故在多次变轨过程中，探测器与火星中心的连线经过相等时间扫过
的面积不相等，故A 错误；
B．根据几何关系，探测器在轨道II 上运动时的轨道半径为
根据牛顿第二定律
经过O 点的加速度等于
故B 正确；
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C．根据变轨原理，探测器在轨道II 上需点火加速变轨到轨道I 上，故探测器在轨道I 上运动时，经过O 点
的速度大于v，故C 错误；
D．根据开普勒第三定律
探测器在轨道II 和III 上运动的周期之比是
故D 错误。
故选B。
【例7】如图所示，2022 年7 月15 日，由清华大学天文系某教授牵头的国际团队近日宣布在宇宙中发现了
两个罕见的恒星系统。该系统均由两颗互相绕行的中央恒星组成，被气体和尘埃盘包围。且该盘与中央恒
星的轨道成一定角度，呈现出“雾绕双星”的奇幻效果。若其中一个系统简化模型如图所示，质量不等的
恒星A 和B 绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动，由天文观察测得其运动周期为T，恒星A 到O 点的
距离为
，恒星A 和B 间的距离为r，已知引力常量为G。则恒星A 的质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据题意，取恒星B 为研究对象，恒星B 绕O 点做匀速圆周运动，设恒星A、B 的质量分别为
和
，由万有引力定律及牛顿第二定律得
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解得
又有
则恒星A 的质量为
故选D。
变式7.1 中国天眼FAST 已发现约500 颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团
M92 第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图，距离为L 的A、B 双星绕它们连线上的某点O 在二者万
有引力作用下做匀速圆周运动，运动周期为T，万有引力常量为G，则双星总质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】双星A、B 之间的万有引力提供向心力，有
其中
联立解得
故选C。
变式7.2 如图甲所示，河外星系中两黑洞A、B 的质量分别为
和
，它们以连线上的某一点为圆心做
匀速圆周运动。为研究方便简化为如图所示的示意图，黑洞A 和黑洞B 均可看成球体，
，且黑洞
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A 的半径大于黑洞B 的半径，下列说法正确的是（ ）
A．黑洞A 的向心力大于黑洞B 的向心力
B．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A 上的物质移到黑洞B 上，它们运行的角速度变大
C．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A 上的物质移到黑洞B 上，A 运行的线速度变大
D．人类把宇航器发射到距黑洞A 较近的区域进行探索，发射速度不大于第三宇宙速度
【答案】C
【详解】A．两黑洞靠两者之间的万有引力充当向心力，可知黑洞A 的向心力等于黑洞B 的向心力，选项
A 错误；
B．两黑洞转动的角速度相等，根据
解得
若两黑洞间的距离一定，把黑洞A 上的物质移到黑洞B 上，它们运行的角速度不变，选项B 错误；
C．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A 上的物质移到黑洞B 上，则M1变小，L1变大，根据v=ωr 可知，A
运行的线速度变大，选项C 正确；
D．人类要把宇航器发射到黑洞A 或B 较近的区域进行探索，则必须脱离太阳系，则发射速度一定大于第
三宇宙速度，即大于16.7km/s,选项D 错误。
故选C。
【例8】“鹊桥”卫星是地球与位于月球背面的“嫦娥四号”月球探测器实现信号传输的中继站。如图，L
是地月连线上的一个“拉格朗日点”，处在该点的物体会与月球一起绕地球同步公转。已知在地月引力共
同作用下，“鹊桥”卫星在轨道平面与地月连线垂直的“Halo 轨道”上绕L 做匀速圆周运动，同时随月球
一起绕地球同步公转。结合图中所给的观测数据，下列说法正确的是（ ）
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A．“鹊桥”卫星绕地球公转的向心加速度小于月球公转的向心加速度
B．根据观测数据能计算出地球、月球和“鹊桥”卫星的质量
C．根据观测数据能计算出“鹊桥”卫星在“Halo 轨道”上的运动周期
D．若将“鹊桥”卫星直接发射到L 点，能量消耗最小，能更好地为地-月通信提供支持
【答案】C
【详解】A．“鹊桥”卫星的周期等于月球公转的周期，则它们有相同的角速度，根据
可知，该卫星的加速度大于月球公转的加速度，故A 错误；
B．已知“鹊桥”卫星位于“拉格朗日L2”点时，在地月引力共同作用下具有跟月球绕地球公转相同的周
期，则对“鹊桥”卫星
（式中α 为卫星和地球连线与x 轴的夹角；β 为卫星和月球连线与x 轴的夹角；）两边消掉m 卫，则可求月
球质量，不能求解鹊桥质量。
根据
可求解地球的质量。B 错误；
C．根据
可求解鹊桥绕L2运转的周期，C 正确；
D．若将“鹊桥”卫星直接发射到L 点，几乎不消耗能量，但由几何关系可知，通讯范围较小，并不能更
好地为地-月通信提供支持，故D 错误。
故选C。
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变式8.1 如图所示，地球和月球组成双星系统，它们共同绕某点O 转动且角速度相同。L1、L2、L3、L4、L5
称为拉格朗日点，在这些位置上的航天器也绕O 点转动且相对地月系统不动，则下列说法正确的是（
）
A．地月系统中，O 点更靠近月球
B．在五个拉格朗日点中，L1位置上的航天器向心加速度最大
C．在五个拉格朗日点中，L2位置上的航天器所需向心力仅由地球引力提供
D．在地面附近给航天器一初速度v0，不考虑月球对航天器的引力，航天器沿椭圆轨道运动至L3处，
则v0>7.9km/s
【答案】D
【详解】A．对于双星系统，角速度相等，则有
，
解得
可知，双星系统天体的转动半径与与天体质量成反比，地球质量大于月球，则地球转动半径小于月球转动
半径，即O 点更靠近地球，故A 错误；
B．所有拉格朗日点上航天器角速度与地月系统角速度相等，由于
由于
位置航天器离O 点最近，r 最小，即L1位置上的航天器向心加速度an最小，故B 错误；
C．L2位置上的航天器所需向心力由地球与月球对航天器的引力的合力提供，故C 错误；
D．航天器沿椭圆轨道运动至L3处，航天器没有脱离地球的束缚，则航天器的发射速度大于第一宇宙速度
7.9km/s，则有
v0>7.9km/s
故D 正确。
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故选D。
变式8.2 探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成为世界首颗成功进入地月拉格朗日
点的Halo 使命轨道
的卫星，为地月信息联通搭建“天桥”。如图所示，该
点位于地球与月球连线的延长线上，“鹊桥”位
于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动。已知地球、月球和“鹊桥”的质量分
别为
、
、
，地球和月球之间的平均距离为R，
点离月球的距离为x，不计“鹊桥”对月球的影
响，则（ ）
A．“鹊桥”的线速度等于月球的线速度
B．“鹊桥”的向心加速度小于月球的向心加速度
C．x 满足
D．x 满足
【答案】C
【详解】AB．“鹊桥”的角速度等于月球的角速度，根据
，
由于“鹊桥”的轨道半径大于月球的轨道半径，可知“鹊桥”的线速度大于月球的线速度，“鹊桥”的向
心加速度大于月球的向心加速度，故AB 错误；
CD．“鹊桥”绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力和月球引力共同提供，则有
月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力提供，则有
联立可得
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故C 正确，D 错误。
故选C。
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