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2025 年云南省初中学业水平考试
数 学
（全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作
答无效．
2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作 元，则支出5元可记作（
）
A. 元 B. 5元 C. 元 D. 10元
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，收入与支出为相反意义的量，收入用正数表示，则支出用负
数表示，数值为实际金额．
根据正负数表示相反意义的量即可求解．
【详解】解：若收入10元记作 元，则支出5元可记作 元，
故选：A．
2. 地球绕太阳公转的速度约是 ，110000用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：110000用科学记数法可以表示为 ，
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故选：C．
3. 如图，已知直线 与直线 都相交．若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
根据“两直线平行，内错角相等”即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等基本法则，是解题
的关键．
运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方逐一验证各选项的正确性，即得．
【分析】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变． ，而非 ，故A错误．
B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ，故B正确．
C、同底数幂相除，底数不变，指数相减． ，而非 ，故C错误．
D、积的乘方等于各因式乘方的积． ，故D错误．
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故选：B．
5. 若点 在反比例函数 （ 为常数，且 ）的图象上，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值．
【详解】解：∵点 在反比例函数 （ 为常数，且 ）的图象上，
∴将 ， 代入 ，得：
解得： ，
故选：B．
6. 下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ）
A. 正方体 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题关键是掌握常见几何体三视图特征；
由三视图条件分析判断即可．
【详解】解：根据主视图和左视图为长方形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是
圆柱．
故选：D．
7. 一个六边形的内角和等于（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，掌握 边形内角和为 是解题的关键．
根据多边形 的内角和公式直接计算即可．
【详解】解：由题意得： ，
故选：C．
8. 如图，在 中，已知 分别是 边上的点，且 ．若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键；
由 证 ，利用相似三角形对应边成比例，结合 ，得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵
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∴
故选：A．
9. 函数 的自变量 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数自变量的取值范围，解题关键是依据“分母不为0”列不等式求解 ．
根据分母不等于0得到 ，求解即可．
【详解】解：∵函数 的分母为 ．
∴当分母 时，分式无意义，
∴ ．
解得 ，
故自变量 的取值范围是 ，
故选：D．
10. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的定义即可求解．
【详解】解：根据轴对称图形的定义可得只有“中”字是轴对称图形，符合题意，
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故选：C．
11. 某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级10名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为90，
80，90，70，90，100，80，90，90，80．这组数据的众数是（ ）
A. 70 B. 80 C. 90 D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查众数的概念（数据中出现次数最多的数是众数），熟练掌握相关概念是解题的关键．
根据众数的概念即可求解．
【详解】解：将题目中的成绩按出现次数统计：70分出现1次；80分出现3次；90分出现5次； 100分出
现1次，
∵其中90分出现的次数最多（5次），
∴这组数据的众数是90，
故选：C．
12. 按一定规律排列的代数式： ， ， ， ， ，…，第 个代数式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，
其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可．
【详解】解：第1个代数式为 ，
第2个代数式为 ，
为
第3个代数式 ，
第4个代数式为 ，
第5个代数式为 ，
……，
以此类推，可知，第n个代数式是 ，
故选：A．
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13. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 ，母线长为 ，则该圆锥的底面圆的半径为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长．
设圆锥底面圆半径为 ，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到 ，即可求
解半径．
【详解】解：设圆锥底面圆半径为 ，
由题意得： ，
解得 ，
因此，该圆锥的底面圆半径为 ，
故选：B．
14. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为 ，根据题意，
下列方程正确的是（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键．
根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以 ，
即可建立方程．
【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为 ，
由题意得： ，
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故选：A．
15. 如图，在 中， ．若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键．
直接由正弦的定义即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴在 中， ，
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分．
16. 已知 的半径为 ，若点 在 上，则点 到圆心 的距离为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和
圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为 ，圆的半径为 ，若点在圆外，则 时，当
点在圆上时，则 时；当点在圆内时，则 ．
【详解】解：∵点 在 上，
∴点 到圆心 的距离为 ，
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故答案为： ．
17. 分解因式： ＝ ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法即可分解．
【详解】 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方
法进行因式分解．
18. 如图，四边形 是菱形，对角线 相交于点 ．若 ， ，则菱形 的
面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解
题的关键．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ， ，
∴菱形 的面积是 ，
故答案为： ．
19. 某中学为了解全校 名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就
“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中
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的信息，该校 名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有______名．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图，利用总人数乘以最喜爱娱乐节目 的学生所占比即可求解，熟练掌握扇形
统计图的特征是解题的关键．
【详解】解：该校 名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有 （名），
故答案为： ．
三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20. 计算： ．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算等
知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计
算即可．
【详解】解：
．
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21. 如图， 与 相交于点 ， ．求证： ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用 证明 即可．
【详解】证明；在 和 中，
，
∴ ．
22. 某化工厂采用机器人 ，机器人 搬运化工原料，机器人 比机器人 每小时少搬运20千克，机器人
搬运800千克所用时间与机器人 搬运1000千克所用时间相等．求机器人 ，机器人 每小时分别搬运
多少千克化工原料．
【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小
时搬运 千克化工原料，根据机器人 搬运800千克所用时间与机器人 搬运1000千克所用时间相
等建立方程求解即可．
【详解】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运 千克化工原料，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
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∴ ，
答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料．
23. 九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成 两个小组，通过
游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片
（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为 ．在另一个不透明
的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张
卡片，卡片上的数字记为 ．若 ，则 组学生到甲敬老院， 组学生到乙敬老院；若 ，则 组
学生到乙敬老院， 组学生到甲敬老院．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求 所有可能出现的结果总数；
（2）求 组学生到甲敬老院， 组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）画树状图，得到共有 种等可能的结果；
（2）根据树状图得到 的结果有 种，利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意画树状图如下，
共有 共 种等可能的结果；
【小问2详解】
解：由树状图得， 的结果有 种，
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组学生到甲敬老院， 组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率 ．
24. 如图，在 中， ， 是 的中点．延长 至点 ，使 ．连接
，记 ， 的周长为 ， 的周长为 ，四边形 的周长为 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形 是平行四边形，再由 即可证明为矩形；
（2）由矩形的性质得到 ， ，得到二元一次方程组 ，求出 ，再
由勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形；
【小问2详解】
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解：∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长为10．
25. 请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．
素材
购买 个篮球与购买 个排球需要的费用相等；
一
素材
购买 个篮球和 个排球共需 元；
二
素材 该校计划购买篮球和排球共 个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不
三 超过购买篮球个数的 倍．
请完成下列任务：
任务
每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？
一
任务
给出最节省费用的购买方案．
二
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【答案】任务一：每个篮球 元，每个排球 元；任务二：购买篮球 个，排球 个，最节省费用．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的
应用是解题的关键．
任务一：设每个篮球 元，每个排球 元，根据题意得 ，然后解方程组即可；
任务二：设购买篮球 个，则购买排球 个，费用为 元，根据题意得 ，求出 的取
值范围，由 ，可得 随 的增大而增大，则当 时， 有最小
值，从而求解．
【详解】解：任务一：设每个篮球 元，每个排球 元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：每个篮球 元，每个排球 元；
任务二：设购买篮球 个，则购买排球 个，总的费用为 元，
根据题意得： ，
∴ 且a为整数，
∴ ，
∵
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最小值，为 元，此时 ，
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答：购买篮球 个，排球 个，最节省费用．
26. 已知 是常数，函数 ，记 ．
（1）若 ， ，求 的值；
（2）若 ， ，比较 与 的大小．
【答案】（1） 的值为 ；
（2）当 时， ；当 时， ．
【解析】
【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）把 ， 代入函数 即可求解；
（ ）将 ， 代入函数整理得 ，然后分 当 时，即
和当 时两种情况求解即可．
【小问1详解】
解：把 ， 代入函数 得，
，
∴ 的值为 ；
【小问2详解】
解：将 ， 代入函数得，
，
整理得： ，
当 时，即 ，
∴ ，
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当 时， ，
则有 ， ，
，
∴
，
综上可知：当 时， ；当 时， ．
27. 如图， 是五边形 的外接圆， 是 的直径．连接 ， ， ，
．
（1）若 ，且 ，求 的度数；
（2）求证：直线 是 的切线；
（3）探究，发现与证明：已知 平分 ，是否存在常数 ，使等式
成立？若存在，请直接写出一个 的值和一个 的值，并证明你写出的 的
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值和 的值，使等式 成立；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析； （3）存在常数 ， ，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形 的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知
识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）证明 是等边三角形即可；
（ ）延长 交 于点 ，连接 ，由圆周角定理可得 ，即
，又 ， ，所以 ，然后
由切线的判定方法即可求证；
（ ）设 与 交于点 ，由 平分 ，可得 ， ，通过圆周角定
理可得 ，证明 ， ，故有 ，
，即有 ， ，然后通过 即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ，且 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图，延长 交 于点 ，连接 ，
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∵ 是 的直径，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴直线 是 的切线；
【小问3详解】
解：存在常数 ， ，使等式 成立；
理由如下：
如图，设 与 交于点 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
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∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
20
