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2019年武汉市初中毕业生学业考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.实数2 019的相反数是( )
1 1
A.2 019B.-2 019 C. D.-
2 019 2 019
2.式子√x-1在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x≥0 B.x≥-1 C.x≥1 D.x≤1
3.不透明袋子中只有4个黑球和2个白球,这些球除颜色外无其他差别.随机从袋子中一次摸出3个球,下列事件是不可能事件的是( )
A.3个球都是黑球 B.3个球都是白球
C.3个球中有黑球 D.3个球中有白球
4.现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性,下列美术字是轴对称图形的是( )
诚 信 友 善
A B C D
5.如图是由5个相同的小正方体组成的几何体,该几何体的左视图是( )
6.“漏壶”是一种中国古代计时器,在它内部盛一定量的水,不考虑水量变化对压力的影响,水从壶底小孔均匀漏出,壶内壁有刻度,人们根据壶中水面的位置计算时间.用x表示漏水时间,y表示壶底到水面的高度.下列图象适合表示y与x的对应关系的是(
)
7.从1,2,3,4四个数中随机选取两个不同的数,分别记为a,c,则关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率是( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 3
k
8.已知反比例函数y= 的图象分别位于第二、第四象限,A(x ,y),B(x ,y)两点在该图象上.下列命题:①过点A作AC⊥x轴,C为垂足,连接OA,若△ACO的面积是3,则k=-6;②若x<0<x,则y>y;③若x+x=0,则y+y=0.其中真命题个数是( )
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x
A.0 B.1 C.2 D.3
9.如图,AB是☉O的直径,M,N是 ⏜ (异于A,B)上两点,C是 ⏜ 上一动点,∠ACB的平分线交☉O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,C,E两点的运动路径长的比是( )
AB MNπ 3 √5
A.√2 B. C. D.
2 2 2
10.观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…….已知按一定规律排列的一组数:250,251,252,…,299,2100.若250=a,用含a的式子表示这组数的和是( )
A.2a2-2a B.2a2-2a-2 C.2a2-a D.2a2+a
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.计算√16的结果是 .
12.武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温(单位:℃),分别是25,20,18,23,27.这组数据的中位数是 .
2a 1
13.计算 - 的结果是 .
a2-16 a-4
14.如图,在▱ABCD中,E,F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,∠ADF=90°,∠BCD=63°,则∠ADE的大小是 .
15.抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是 .
16.问题背景:如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE.
问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=4√2.点O是△MNG内一点,则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 .
图1 图2
三、解答题(共8小题,共72分)
17.(本小题满分8分)
计算:(2x2)3-x2·x4.
18.(本小题满分8分)
如图,点A,B,C,D在一条直线上,CE与BF交于点G,∠A=∠1,CE∥DF.求证:∠E=∠F.19.(本小题满分8分)
为弘扬中华传统文化,某校开展“汉剧进课堂”的活动.该校随机抽取部分学生,按四个类别:A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”,C表示“一般”,D表示“不喜欢”,调查他们对汉剧的喜爱情况,将结果绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中提供的信
息,解决下列问题.
(1)这次共抽取 名学生进行调查统计,扇形统计图中,D类所对应的扇形圆心角的大小是 ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)该校共有1 500名学生,估计该校表示“喜欢”的B类的学生有多少人.
20.(本小题满分8分)
如图是由边长为1的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点.四边形ABCD的顶点在格点上,点E是边DC与网格线的交点.请选择适当的格点,用无刻度的直尺在网格中完成下列画图,保留连线的痕迹,不要求说明理由.
(1)如图1,过点A画线段AF,使AF∥DC,且AF=DC;
(2)如图1,在边AB上画一点G,使∠AGD=∠BGC;
(3)如图2,过点E画线段EM,使EM∥AB,且EM=AB.
图1 图221.(本小题满分8分)
已知AB是☉O的直径,AM和BN是☉O的两条切线,DC与☉O相切于点E,分别交AM,BN于D,C两点.
(1)如图1,求证:AB2=4AD·BC;
(2)如图2,连接OE并延长交AM于点F,连接CF.若∠ADE=2∠OFC,AD=1,求图中阴影部分的面积.
图1 图2
22.(本小题满分10分)
某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数.其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:
售价x(元/件) 50 60 80
周销售量y(件) 100 80 40
周销售利润w(元) 1 000 1 600 1 600
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)
(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
②该商品进价是 元/件;当售价是 元/件时,周销售利润最大,最大利润是 元;
(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件.该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1 400元,求m的值.
23.(本小题满分10分)
AB
在Rt△ABC中,∠ABC=90°, =n,M是BC边上一点,连接AM.
BC
(1)如图1,若n=1,N是AB延长线上一点,CN与AM垂直.求证:BM=BN;
(2)过点B作BP⊥AM,P为垂足,连接CP并延长交AB于点Q.
CP BM
①如图2,若n=1,求证: = ;
PQ BQ②如图3,若M是BC的中点,直接写出tan∠BPQ的值(用含n的式子表示).
24.(本小题满分12分)
已知抛物线C :y=(x-1)2-4和C :y=x2.
1 2
(1)如何将抛物线C 平移得到抛物线C ?
1 2
4
(2)如图1,抛物线C 与x轴正半轴交于点A,直线y=- x+b经过点A,交抛物线C 于另一点B,请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C 于点Q,连接AQ.
1 1 1
3
①若AP=AQ,求点P的横坐标;
②若PA=PQ,直接写出点P的横坐标;
(3)如图2,△MNE的顶点M,N在抛物线C 上,点M在点N右边,两条直线ME,NE与抛物线C 均有唯一公共点,ME,NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2,设M,N两点的横坐标分别为m,n,求m与n的数量关系.
2 2
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2019年武汉市初中毕业生学业考试
一、选择题1.B 2 019的相反数是-2 019.故选B.
2.C 由题意可知x-1≥0,所以x≥1.故选C.
3.B 袋子中一共有6个球,其中有4个黑球,所以摸出的三个球可能都是黑球,可能有黑球有白球,但不可能都是白球,因为白球最多有2个,所以一定会摸出黑球.一次摸出3个白球是不可能事件,故选B.
4.D 选项A、B、C中的图形都不是轴对称图形,选项D中的图形是轴对称图形.故选D.
5.A 从左侧看该几何体,左边上下共有2个正方形,右边只有1个正方形.故选A.
6.A 漏壶中的水是由多到少进行变化的,所以排除选项B,水是从壶底均匀漏出的,所以排除选项C,D.故选A.
3 1
7.C 从1,2,3,4四个数中随机选取两个不同的数,有6种等可能结果,分别是(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).一元二次方程有实数解需要满足Δ=16-4ac≥0,即ac≤4.满足ac≤4的结果有3种,所以所求概率为 = ,故选C.
6 2
|k|
8.D 由题意可知 =3,∴ ①k<0, k正=-确6,①;当x<0时,y>0,当x>0时,y<0,①x<0<x,∴y >y,②正确;当x=-x 时,y=-y ,③正确.故选D.
1 2 1 2 1 2 1 2
2
9.A 如图,由题意可知∠1=∠2,∠3=∠4.连接AD,可得∠2=∠6=∠1.①∠5=∠1+∠3,∠EAD=∠4+∠6=∠3+∠1,∴DE=DA,即点E在以点D为圆心,AD为半径的圆上运动,①∠6=∠2=45°,∴AD=√2AO,设☉O的半径为r,劣弧MN所对的圆心角为n°,则C,E两点的运
nπr
180
动路径长的比是 n =√2.故选A.
π·√2r
2
180
10.C ∵2+22+…+2100=2101-2①,2+22+…+249=250-2②,∴①-②得250+251+…+2100=2101-250=2·(250)2-250=2a2-a.故选C.
二、填空题
11. 答案 4
解析 √16=4.
12. 答案 23
解析 将数据从小到大排序后为18,20,23,25,27,所以中位数为23.
1
13. 答案
a+4
2a-(a+4) a-4 1
解析 原式= = = .
(a+4)(a-4) (a+4)(a-4) a+4
14. 答案 21°
解析 设∠ADE=x,①AE=EF,∠ADF=90°,∴DE=AE=EF.
∴∠DAE=x.∴∠DEC=2x.
又AE=EF=CD,∴DC=DE.∴∠DCE=2x.
①AD∥BC,∴∠BCA=∠DAE=x.
∴∠BCD=3x=63°.∴x=21°.即∠ADE=21°.
15. 答案 x=-2,x=5
1 2
解析 解法一:将方程整理可得a(x-1)2+b(x-1)+c=0,它的解是函数y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象与x轴交点的横坐标,而y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象可以看作由函数y=ax2+bx+c的图象向右平移一个单位长度得到,所以将函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交
点也向右平移一个单位长度,为(-2,0)和(5,0).所以方程的解为x=-2,x=5.
1 2
{9a-3b+c=0, { b=-a,
解法二:依题意,得 解得
16a+4b+c=0, c=-12a.
所以关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx可化为a(x-1)2-12a=-a+ax,即(x-1)2-12=-1+x,
化简得x2-3x-10=0,
解得x=-2,x=5.
1 2
16. 答案 2√29
解析 连接MO、NO、GO,将△MOG绕点M逆时针旋转60°得到△MO'G',连接OO',NG',易得△MOO'为等边三角形,∴OM=OO',则当N,O,O',G'四点共线时,NO+MO+GO取到最小值,且最小值为NG'的长度.过点G'作G'A⊥MN,垂足为A,可得
∠AMG'=45°.∴MA=G'A=4.∴NA=10.由勾股定理可得NG'=2√29.
三、解答题
17. 解析 原式=8x6-x6=7x6.18. 证明 ∵∠A=∠1,∴AE∥BF,∴∠E=∠2.
①CE∥DF,∴∠F=∠2.∴∠E=∠F.
19. 解析 (1)50;72°.
(2)如图所示.
23
(3)1 500× =690(人).
50
∴估计该校表示“喜欢”的B类的学生有690人.
20. 解析 (1)如图1.
(2)如图1.
(3)如图2.
图1 图2
21. 解析 解法一:(1)证明:如图,连接OD,OC,OE.
①AD,BC,CD是☉O的切线,
1 1
∴OA⊥AD,OB⊥BC,OE⊥CD,AD=ED,BC=EC,∠ODE= ∠ADC,∠OCE= ∠BCD.
2 2
1
又AD∥BC,∴∠ODE+∠OCE= (∠ADC+∠BCD)=90°,
2
又∵∠ODE+∠DOE=90°,∴∠DOE=∠OCE,
又∵∠OED=∠CEO=90°,
∴△ODE∽△COE,
OE EC
∴ = ,即OE2=ED·EC,
ED OE
∴4OE2=4AD·BC,∴AB2=4AD·BC.
(2)如图,连接OD,OC,①∠ADE=2∠OFC,
∴∠ODE=∠OFC,
DE EF
∴△ODE∽△CFE,∴ = ,即OE·EF=DE·EC,
OE EC
由(1)有OE2=DE·EC,
∴OE=EF,∴CD垂直平分OF.
∴∠AOD=∠DOE=∠OFD=30°,∴∠BOE=120°.
AD
易得☉O的半径r=OA= =√3,BC=OB·tan 60°=3.
tan30°
∴S =2S -S =3√3-π.
阴影 △OBC 扇形OBE解法二:(1)证明:如图,过点D作DH⊥BC,H为垂足,
①AD,BC,CD是☉O的切线,
∴OA⊥AD,OB⊥BC,AD=ED,BC=EC,
∴四边形ABHD是矩形.
在Rt△CDH中,DH2=CD2-CH2,
∴AB2=(AD+BC)2-(BC-AD)2,
∴AB2=4AD·BC.
(2)如图,连接OD,OC,易得∠ADE=∠BOE,
①∠ADE=2∠OFC,∠BOE=2∠COF,
∴∠COF=∠OFC,∴△COF是等腰三角形.
又∵OE⊥CD,∴CD垂直平分OF.
下同解法一.
22. 解析 (1)①设y与x的函数关系式为y=kx+b,
{50k+b=100, {k=-2,
依题意有 解得
60k+b=80, b=200,
∴y与x的函数关系式是y=-2x+200.
②40;70;1 800.
进价是50-(1 000÷100)=40元/件.
w=(-2x+200)(x-40)=-2(x-70)2+1 800,∴当售价为70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1 800元.
(2)依题意有w=(-2x+200)(x-40-m)
=-2x2+(2m+280)x-8 000-200m
=-2( m+140) 2+1m2-60m+1 800,
x-
2 2
m+140
∴ m>0,① >70,
2
∴ -抛2<物0,线①开口向下,
①x≤65,∴w随x的增大而增大,
∴当x=65时,w有最大值,为(-2×65+200)(65-40-m),
∴(-2×65+200)(65-40-m)=1 400,
∴m=5.
∴若周销售最大利润是1 400元,则m的值为5.
23. 解析 (1)证明:延长AM交CN于点H,
①AM与CN垂直,∠ABC=90°,
∴∠BAM+∠N=90°,∠BCN+∠N=90°,
∴∠BAM=∠BCN.
①n=1,∠ABC=90°,
∴AB=BC,∠ABC=∠CBN.
∴△ABM≌△CBN,
∴BM=BN.
(2)①证明:过点C作CD∥BP交AB的延长线于点D,
则AM与CD垂直.
由(1)得BM=BD.CP DB CP BM
①CD∥BP,∴ = ,即 = .
PQ BQ PQ BQ
1
②tan∠BPQ= .
n
详解:过点C作CK∥BP交AB的延长线于点K,延长AM,交CK于点E,
设BC=a,
①PB∥CK,∴∠QPB=∠QCK,AE⊥CK,
PE PE 2PM
∴tan∠BPQ=tan∠QCK= = = .
CE PB PB
a
PM BM 1
①△PMB∽△BMA,∴ = = 2 = .
PB AB 2n
na
1
∴tan∠BPQ= .
n
24. 解析 (1)将C 先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到C .
1 2
或将C 先向上平移4个单位长度,再向左平移1个单位长度得到C .
1 2
(2)①如图,设直线AB与y轴交于点D,延长AQ交y轴于点D',
①C :y=(x-1)2-4,∴A(3,0),
1
4
∵直线y=- x+b经过A(3,0),∴b=4,
3
∴D(0,4),则易知D'(0,-4),
4
∴直线AD'的解析式为y= x-4,
3
{y=(x-1)2-4,
由 得x=3,x=1,
4 1 2
y= x-4 3
3
1 1 1
∴x = ,∴x =x = ,∴点P的横坐标为 .
Q P Q
3 3 3
2
②点P的横坐标为- .
3
{y=(x-1)2-4,
详解:由 得x=-7,x=3,故B( 7 64).
4 1 2 - ,
y=- x+4, 3 3 9
3设点P的横坐标为a( 7 ),
- <a<3
3
∵点P在线段AB上,∴点P的坐标为( 4 ),
a,- a+4
3
∵点Q在抛物线C 上,∴点Q的坐标为(a,a2-2a-3).
1
∴PQ2=( a2- 2 a-7 ) 2,
3
又∵PA=PQ,∴PA2=(a-3)2+( - 4 a+4 ) 2 =( a2- 2 a-7 ) 2 ,
3 3
∴(a-3)2=(a-3)(a+1)(a-3)( 11),
a+
3
又∵a≠3,∴(a+1)( 11)=1,∴( 2)(a+4)=0,
a+ a+
3 3
2 2
∴a=- ,a=-4(舍),∴点P的横坐标为- .
1 2
3 3
(3)①C :y=x2,∴M(m,m2),N(n,n2),
2
设直线ME的解析式为y=kx+t,
①M(m,m2),∴t=m2-km,
由{ y=x2, 得x2-kx+km-m2=0,
y=kx+m2-km
依题意有Δ=k2-4(km-m2)=0,∴k=2m,
∴直线ME的解析式为y=2mx-m2,
同理,直线NE的解析式为y=2nx-n2,
由{y=2mx-m2, 得E(m+n
,mn
),
y=2nx-n2 2
①M(m,m2),N(n,n2),
∴直线MN的解析式为y=(m+n)x-mn,
过E作EF∥y轴交MN于点F,则F(m+n m2+n2 ),
,
2 2
m2+n2 1
∴EF= -mn= (m-n)2,
2 2
1 1 1
∴S = (m-n)· (m-n)2= (m-n)3=2,
△MNE
2 2 4
∴m-n=2.
∴m与n的数量关系为m-n=2.
