2013 年武汉市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 30 分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.下列各数中,最大的是( )
A.-3 B.0 C.1 D.2
2.式子√x-1在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x<1 B.x≥1 C.x≤-1 D.x<-1
{x+2≥0,
3.不等式组 的解集是( )
x-1≤0
A.-2≤x≤1 B.-2<x<1
C.x≤-1 D.x≥2
4.袋子中装有4个黑球和2个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条
件下,随机地从袋子中摸出三个球.下列事件是必然事件的是( )
A.摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B.摸出的三个球中至少有一个
球是白球
C.摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D.摸出的三个球中至少有两个
球是白球
5.若x,x 是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则xx 的值是( )
1 2 1 2
A.-2 B.-3 C.2 D.3
6.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是( )
A.18° B.24°
C.30° D.36°
7.如图是由四个大小相同的正方体组合而成的几何体,其主视图是( )8.两条直线最多有1个交点,三条直线最多有3个交点,四条直线最多有6个交点,….那么六条
直线最多有( )
A.21个交点 B.18个交点
C.15个交点 D.10个交点
9.为了解学生课外阅读的喜好,某校从八年级随机抽取部分学生进行问卷调查,调查要求每人
只选取一种喜欢的书籍,如果没有喜欢的书籍,则作“其他”类统计.图(1)与图(2)是整理数据
后绘制的两幅不完整的统计图.以下结论不正确的是( )
图(1) 图(2)
A.由这两个统计图可知喜欢“科普常识”的学生有90人
B.若该年级共有1 200名学生,则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有360
人
C.由这两个统计图不能确定喜欢“小说”的人数
D.在扇形统计图中,“漫画”所在扇形的圆心角为72°
10.如图,☉A与☉B外切于点D,PC,PD,PE分别是圆的切线,C,D,E是切点,若
∠CED=x°,∠ECD=y°,☉B的半径为R,则 ⏜ 的长度是( )
DE
π(90-x)R π(90- y)R π(180-x)R
A. B. C. D.
90 90 180
π(180- y)R
180
第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.计算cos 45°= .
12.在2013年的体育中考中,某校6名学生的分数分别是27、28、29、28、26、28.这组数据
的众数是 .
13.太阳的半径约为696 000千米,用科学记数法表示数696 000为 .14.设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶,开始甲车在乙车的前面,当乙车追上甲车后,两
车停下来,把乙车的货物转给甲车,然后甲车继续前行,乙车向原地返回.设x秒后两车间的距
离为y米,y关于x的函数关系如图所示,则甲车的速度是 米/秒.
15.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,BC=2AB,A,B两点的坐标分别是(-1,0),(0,2),C,D两
k
点在反比例函数y= (x<0)的图象上,则k等于 .
x
16.如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连结CF交BD于点G,连结
BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 .
三、解答题(共9小题,共72分)
17.(本小题满分6分)
2 3
解方程 = .
x-3 x
18.(本小题满分6分)
直线y=2x+b经过点(3,5),求关于x的不等式2x+b≥0的解集.19.(本小题满分6分)
如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证∠A=∠D.
20.(本小题满分7分)
有两把不同的锁和四把不同的钥匙,其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁,其余的钥匙不能
打开这两把锁.现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁.
(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果;
(2)求一次打开锁的概率.
21.(本小题满分7分)
如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△AB C;平移△ABC,若点A的对
1 1
应点A 的坐标为(0,-4),画出平移后对应的△AB C ;
2 2 2 2
(2)若将△AB C绕某一点旋转可以得到△AB C ,请直接写出旋转中心的坐标;
1 1 2 2 2
(3)在x轴上有一点P,使得PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.
22.(本小题满分8分)如图,已知△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,点P是 ⏜ 的中点,连结PA,PB,PC.
AB
(1)如图①,若∠BPC=60°,求证AC=√3AP;
24
(2)如图②,若sin∠BPC= ,求tan∠PAB的值.
25
图①
图②
23.(本小题满分10分)
科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度
的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表).
温度x/℃ …… -4 -2 0 2 4 4.5 ……
植物每天高度增长量y/mm …… 41 49 49 41 25 19.75 ……
由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函数是反比例函数、
一次函数和二次函数中的一种.
(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由;
(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?
(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm,那么实验
室的温度x应该在哪个范围内选择?请直接写出结果.
24.(本小题满分10分)
已知四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD边上的点,DE与CF交于点G.
DE AD
(1)如图①,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF.求证 = ;
CF CD
DE
(2)如图②,若四边形ABCD是平行四边形,试探究:当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得 =
CF
AD
成立?并证明你的结论;
CD
DE
(3)如图③,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE⊥CF.请直接写出 的值.
CF图① 图② 图③
25.(本小题满分12分)
如图,点P是直线l:y=-2x-2上的点,过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A,B两点.
1 3
(1)若直线m的解析式为y=- x+ ,求A,B两点的坐标;
2 2
(2)①若点P的坐标为(-2,t),当PA=AB时,请直接写出点A的坐标;
②试证明:对于直线l上任意给定的一点P,在抛物线上都能找到点A,使得PA=AB成立;
(3)设直线l交y轴于点C,若△AOB的外心在边AB上,且∠BPC=∠OCP,求点P的坐标.答案全解全析：
1.D 因为正数大于0,负数小于0,在数轴上,越往右边的点所表示的数越大,
所以有-3<0<1<2.故选D.
2.B 根据“二次根式的被开方数大于或等于0”,得x-1≥0,解得x≥1.故选B.
评析 本题考查二次根式的概念、不等式解法的简单应用,通常学生易忽略“等于0”的情
形,属容易题.
3.A 解不等式 x+2≥0 得 x≥-2,解不等式 x-1≤0 得 x≤1,所以不等式组的解集
为-2≤x≤1.故选A.
4.A 因为必然事件是一定会发生的事件,所以在装有4个黑球和2个白球的袋子中,“摸出
的三个球中至少有一个球是黑球”一定会发生,而选项B、C、D中的事件都是可能会发生也
可能不会发生的,是随机事件,故选A.
5.B 根据一元二次方程的根与系数的关系易得xx=-3,故选B.
1 2
6.A ∵AB=AC,∠A=36°,
1
∴∠ABC=∠C= ×(180°-36°)=72°.
2
∵BD是AC边上的高,
∴∠BDC=90°.
∴∠DBC=90°-72°=18°.故选A.7.C 主视图是指从正面看几何体得到的平面图形,该几何体有三列正方体,且第三列的正方
体有上下2层,故选C.
8.C ∵两条直线最多有一个交点,在此基础上增加一条直线,则最多增加2个交点,即三条
直线最多有1+2=3个交点;在此基础上再增加一条直线,则最多增加3个交点,即四条直线最
多有1+2+3=6个交点;…,以此类推,六条直线最多有1+2+3+4+5=15个交点.故选C.
9.C 由统计图可知喜欢“其他”类的人数为 30人,占总体的10%,∴抽取的样本总数为
30÷10%=300(人).喜欢“科普常识”的学生占30%,
∴喜欢“科普常识”的学生有300×30%=90(人),显然选项A正确,不符合题意;
若该年级共有1 200名学生,
1 200
则可估计喜爱“科普常识”的学生约有 ×90=360(人),显然选项B也正确,不符合题
300
意;
又由统计图知喜欢“小说”的人数为300-90-60-30=120(人),显然选项C不正确,符合题意;
又由条形统计图可知喜欢“漫画”的人数为 60人,占抽取样本的比例为20%,∴“漫画”所
在扇形的圆心角为20%×360°=72°,显然选项D正确,不符合题意.综上,选C.
评析 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,体现了用样本估计总体的统计思
想.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地
表示出每个项目的数据;扇形统计图能直接反映部分占总体的百分比.
10.B 过D作☉B的直径DM,连结ME、BE,则∠MED=90°,BE⊥PE.
∴∠BEM+∠BED=90°,∠PEB=∠BED+∠PED=90°.
∴∠PED=∠BEM.
又∵BE=BM,
∴∠BEM=∠BME, ∴∠DBE=∠BEM+∠BME=2∠BEM.
1
∴∠BEM= ∠DBE,
21
∴∠PED=∠BEM= ∠DBE.
2
由已知及切线长定理知PE=PD,PD=PC,
∴∠PED=∠PDE,∠PDC=∠PCD,∠PEC=∠PCE.
在△CDE中,∵∠CED=x°,∠ECD=y°,则x°+∠PDE+∠PDC+y°=180°,
即x°+x°+∠PEC+y°+∠PCE+y°=180°,
1
∴x°+y°+∠PEC=90°,∴∠PED=x°+∠PEC=90°-y°,即 ∠DBE=90°-y°.
2
∴∠DBE=2(90°-y°),
2(90- y)πR (90- y)πR
⏜
∴由弧长公式可知 的长度= = ,故选B.
DE
180 90
评析 本题主要考查了圆的切线长定理、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质、
三角形内角和定理以及圆的弧长公式等知识的综合应用,解题关键是通过等角转化求出圆心
角∠DBE的大小.属中等难度题.
√2
11.答案
2
解析 由特殊角的三角函数值直接可得.
12.答案 28
解析 因为28是这组数据中出现最多的数据,所以根据众数的概念可知这组数据的众数是
28.
13.答案 6.96×105解析 因为科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,所以696
000=6.96×105,故填6.96×105.
14.答案 20
解析 设甲车的速度是m米/秒,乙车的速度为n米/秒,由题意,得
{100n-100m=500, {m=20,
解得 故甲车的速度为20米/秒.
20m+20n=900, n=25.
15.答案 -12
解析 如图.过D作DH⊥y轴于H,过C作CF⊥DH于F.则∠CFD=∠BOA=90°,
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠CDH=∠BAO,DC=AB,
∴△CFD≌△BOA.∴DF=OA=1,CF=OB=2.
设D(x,y),则C(x+1,y+2).
∵C、D在反比例函数图象上,
∴xy=(x+1)(y+2),即y=-(2x+2).
过C作CE⊥y轴于E,由勾股定理得AB=√5,EC2+EB2=BC2.
即(x+1)2+y2=(2√5)2,
解方程组{ y=-(2x+2),
(x+1)2+ y2=(2√5)2,
{x=-3, {x=1,
得 或 (不合题意,舍去).
y=4 y=-4
∴D(-3,4) .∴k=-12 .故答案为-12.评析 本题主要考查反比例函数图象与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性
质、勾股定理等知识的综合应用,解题关键是巧妙构造全等三角形,利用勾股定理和反比例
函数的意义列出方程组,求出反比例函数上某一点的坐标.
16.答案 √5-1
解析 ∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=DC,∠BAD=∠ADC=90°,∠ADG=∠CDG=45°.
又∵AE=DF,DG=DG,
∴△ABE≌△DCF,△ADG≌△CDG,
∴∠ABE=∠DCG,∠DAG=∠DCG,
∴∠ABE=∠DAG.
∵∠BAH+∠DAG=90°,
∴∠BAH+∠ABE=90°,
∴∠AHB=90°.
∴H在以AB为直径的☉M上.
连结MD、MH (如图所示).
则MH+HD≥MD.
∵AB=AD=2,
∴AM=BM=MH=1.
∴在Rt△ADM中,由勾股定理得DM= = .
√AD2+AM2 √5
∴DH≥√5-1,∴DH的最小值是√5-1.评析 本题是一道以正方形为载体的动态几何探究题,主要考查了正方形的性质、全等三角
形的判定与性质、勾股定理以及圆周角定理的推论等相关知识的综合应用,其解题关键是通
过等角转化,确定动点H运动的路径,从而求出线段DH的最小值,属中等偏难题.
17.解析 方程两边同乘以x(x-3),得2x=3(x-3),解得x=9.
经检验,x=9是原方程的解.
18.解析 ∵直线y=2x+b经过点(3,5),
∴5=2×3+b,∴b=-1.
1
即不等式为2x-1≥0,解得x≥ .
2
19.证明 ∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
{
AB=DC,
在△ABF和△DCE中, ∠B=∠C,
BF=CE,
∴△ABF≌△DCE,∴∠A=∠D.
20.解析 (1)设两把不同的锁分别为A,B,能把A,B两锁打开的钥匙分别为a,b,其余两把钥
匙分别为m,n.根据题意,可以画出如下的树状图:
由上图可知上述试验共有8种等可能的结果.
(2)由(1)可知,任意取出一把钥匙去开任意的一把锁共有8种可能的结果,一次打开锁的结
2 1
果有2种,且所有结果的可能性相等,∴P(一次打开锁)= = .
8 4
21.解析 (1)画出△ABC如图,画出△ABC 如图.
1 1 2 2 2(2)旋转中心坐标:(3 ).
,-1
2
(3)点P的坐标:(-2,0).
22.解析 (1)证明:∵ ⏜ = ⏜ ,∠BPC=60°,∴∠BAC=∠BPC=60°.
BC BC
又∵AB=AC,∴△ABC为等边三角形,
∴∠ACB=60°,∵点P是 ⏜ 的中点,∴∠ACP=30°.
AB
又∠APC=∠ABC=60°,∴∠PAC=90°.
在Rt△PAC中,∠ACP=30°,∴AC=√3AP.
(2)连结AO并延长交PC于E,交BC于F,过点E作EG⊥AC于点G,连结OC.
∵AB=AC,且O为△ABC的外心,∴AF⊥BC,BF=CF.
∵点P是 ⏜ 的中点,
AB
∴∠ACP=∠PCB,
∴EG=EF.
易知∠BPC=∠FOC,
24
∴sin∠FOC=sin∠BPC= .
25设FC=24a,则OC=OA=25a.
∴OF=7a,AF=32a.
在Rt△AFC中,AC2=AF2+FC2,
∴AC=40a.
EG FC
在Rt△AGE和Rt△AFC中,sin∠FAC= = ,
AE AC
EG 24a
∴ = ,∴EG=12a.
32a-EG 40a
EF 12a 1
∴tan∠PAB=tan∠PCB= = = .
CF 24a 2
23.解析 (1)选择二次函数,设y=ax2+bx+c(a≠0),得
{
c=49, {a=-1,
4a-2b+c=49,解得 b=-2,
4a+2b+c=41, c=49.
∴y关于x的函数关系式是y=-x2-2x+49.
不选另外两个函数的理由:
注意到点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,∴y不是x的反比例函数;点(-4,41),
(-2,49),(2,41)不在同一直线上,∴y不是x的一次函数.
(2)由(1),得y=-x2-2x+49=-(x+1)2+50.
∵a=-1<0,∴当x=-1时,y的最大值为50.
即当温度为-1 ℃时,这种植物每天高度增长量最大.
(3)-6<x<4.
24.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADC=90°,∴∠ADE+∠CDE=90°,
∵DE⊥CF,∴∠CDE+∠DCF=90°,∴∠ADE=∠DCF,
DE AD
∴△ADE∽△DCF,∴ = .
CF DCDE AD
(2)当∠B+∠EGC=180°时, = 成立.证明如下:
CF DC
在AD的延长线上取点M,使CF=CM,则∠CMF=∠CFM.
∵AB∥CD,∴∠A=∠CDM.
∵AD∥BC,∴∠CFM=∠FCB.
∵∠B+∠EGC=180°,∴∠FCB+∠GEB=180°,又∠AED+∠GEB=180°,∴∠AED=∠FCB,
∴∠CMF=∠AED.
DE AD DE AD
∴△ADE∽△DCM,∴ = ,即 = .
CM DC CF DC
DE 25
(3) = .
CF 24
{ 1 3
25.解析 (1)依题意,得
y=- x+ ,
2 2
y=x2,
3
{x =- ,
解得 1 2 {x =1,∴A( 3 9),B(1,1).
2 - ,
9 y =1. 2 4
y = , 2
1 4
(2)①A(-1,1),A(-3,9).
1 2
②证明:过点P,B分别作过点A且平行于x轴的直线的垂线,垂足分别为点G,H.
设P(a,-2a-2),A(m,m2).∵PA=AB,∴△PAG≌△BAH.
∴AG=AH,PG=BH.∴B(2m-a,2m2+2a+2).
将点B坐标代入抛物线y=x2,得2m2-4am+a2-2a-2=0.∵Δ=16a2-8(a2-2a-2)=8a2+16a+16=8(a+1)2+8>0,
∴无论a为何值时,关于m的方程总有两个不等的实数解,即对于任意给定的点P,抛物线上
总能找到两个满足条件的点A.
(3)设直线m:y=kx+b(k≠0)交y轴于点D,
设A(m,m2),B(n,n2).
过A、B两点分别作AG、BH垂直x轴于G、H.
∵△AOB的外心在AB上,∴∠AOB=90°.
AG OH
易得△AGO∽△OHB,∴ = ,∴mn=-1.
OG BH
联立{y=kx+b,得x2-kx-b=0,
y=x2,
依题意,得m,n是方程x2-kx-b=0的两根.∴mn=-b,∴b=1,即D(0,1).由题可得C(0,-2).
∵∠BPC=∠OCP,∴DP=DC=3.
设P(a,-2a-2),过点P作PQ⊥y轴于Q,
在Rt△PDQ中,PQ2+DQ2=PD2,
即a2+(-2a-2-1)2=32,∴a
1
=0(舍去),a
2
=-12,∴P(
-
12
,
14).
5 5 5
