2014 年黄冈市初中毕业生学业水平考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共24分)
一、选择题(下列各题A,B,C,D四个选项中,有且仅有一个是正确的,每小题3分,共24分)
1.-8的立方根是( )
1
A.-2 B.±2 C.2 D.-
2
2.如果α与β互为余角,则( )
A.α+β=180° B.α-β=180° C.α-β=90° D.α+β=90°
3.下列运算正确的是( )
A.x2·x3=x6 B.x6÷x5=x
C.(-x2)4=x6 D.x2+x3=x5
4.如图所示的几何体的主视图是( )
√x-2
5.函数y= 中,自变量x的取值范围是( )
x
A.x≠0 B.x≥2 C.x>2且x≠0 D.x≥2且x≠0
6.若α,β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根,则α2+β2=( )
A.-8 B.32 C.16 D.40
7.如图,圆锥体的高h=2√3 cm,底面圆半径r=2 cm,则圆锥体的全面积为 cm2( )
A.4√3π B.8π C.12π D.(4√3+4)π
8.已知:在△ABC中,BC=10,BC边上的高h=5,点E在边AB上,过点E作EF∥BC,交AC边于点
F.点D为BC边上一点,连结DE,DF.设点E到BC的距离为x,则△DEF的面积S关于x的函数
图象大致为( )第Ⅱ卷(非选择题,共96分)
二、填空题(共7小题,每小题3分,共21分)
| 1|
9.计算: - = .
3
10.分解因式:(2a+1)2-a2= .
√3
11.计算:√12- = .
4
12.如图,若AD∥BE,且∠ACB=90°,∠CBE=30°,则∠CAD= 度.
x2-2x+1 x-1
13.当x=√2-1时,代数式 ÷ +x的值是 .
x+1 x2+x
14.如图,在☉O中,弦CD垂直于直径AB于点E,若∠BAD=30°,且BE=2,则CD= .
15.如图,在一张长为8 cm,宽为6 cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角
形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上).则剪
下的等腰三角形的面积为 cm2.
三、解答题(本大题共10小题,满分共75分)
16.(5分)
{2x-1>5, ①
解不等式组: 3x+1 并在数轴上表示出不等式组的解集.
-1≥x.②
217.(6分)
浠州县为了改善全县中、小学办学条件,计划集中采购一批电子白板和投影机,已知购买2块
电子白板比购买3台投影机多4 000元,购买4块电子白板和3台投影机共需44 000元.问购
买一块电子白板和一台投影机各需要多少元?
18.(6分)
已知,如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:DE=DF.
19.(6分)
红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中,选派两位同学分别作为①号选手和②
号选手代表学校参加全县汉字听写大赛.
(1)请用树形图或列表法列举出各种可能选派的结果;
(2)求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率.20.(7分)
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O与AB边交于点D,过点D作☉O的切线,
交BC于点E.
(1)求证:EB=EC;
(2)若以点O,D,E,C为顶点的四边形是正方形,试判断△ABC的形状,并说明理由.
21.(7分)
某市为了增强学生体质,全面实施“学生饮用奶”营养工程.某品牌牛奶供应商提供了原味、
草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶供学生饮用.浠马中学为了了解学生对不
同口味牛奶的喜好,对全校订购牛奶的学生进行了随机调查(每盒各种口味牛奶的体积相同),
绘制了如下两张不完整的人数统计图:
(1)本次被调查的学生有 名;(2)补全上面的条形统计图,并计算出喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图中所占圆
心角的度数;
(3)该校共有1 200名学生订购了该品牌的牛奶,牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配
送一盒牛奶.要使学生每天都能喝到自己喜好的口味的牛奶,牛奶供应商每天送往该校的牛奶
中,草莓味要比原味多送多少盒?
22.(9分)
如图,已知双曲线y=-1与两直线y=-1x,y=-kx( 1)分别相交于A,B,C,D四点.
k>0,且k≠
x 4 4
(1)当点C的坐标为(-1,1)时,A,B,D三点坐标分别是A( , ),B( ,
),D( , );
(2)证明:以点A,D,B,C为顶点的四边形是平行四边形;
(3)当k为何值时,▱ADBC是矩形?
23.(7分)
如图,在南北方向的海岸线MN上,有A,B两艘巡逻船,现均收到故障船C的求救信号.已知
A,B两船相距 100(√3+1)海里,船C在船A的北偏东 60°方向上,船C在船B的东南方向
上,MN上有一观测点D,测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.
(1)分别求出A与C,A与D间的距离AC和AD(如果运算结果有根号,请保留根号);
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁.若巡逻船A沿直线AC去营救船C,在去营救的
途中有无触礁危险?(参考数据:√2≈1.41,√3≈1.73)24.(9分)
某地实行医疗保险(以下简称“医保”)制度.医保机构规定:
一、每位居民年初缴纳医保基金70元;
二、居民每个人当年治病所花的医疗费(以定点医院的治疗发票为准),年底按下列方式(见表
一)报销所治病的医疗费用:
表一:
居民个人当年治病所花费的医疗费 医疗费的报销办法
不超过n元的部分 全部由医保基金承担(即全部报销)
超过n元但不超过6 000元的部分 个人承担k%,其余部分由医保基金承担
超过6 000元的部分 个人承担20%,其余部分由医保基金承担
如果设一位居民当年治病花费的医疗费为x元,他个人实际承担的医疗费用(包括医疗费中个
人承担部分和年初缴纳的医保基金)记为y元.
(1)当0≤x≤n时,y=70;当n<x≤6 000时,y= (用含n,k,x的式子表示);
(2)表二是该地A,B,C三位居民2013年治病所花费的医疗费和个人实际承担的医疗费用,根
据表中的数据,求出n,k的值;
表二:
居民 A B C某次治病所花费的治疗费用x(元) 400 800 1 500
个人实际承担的医疗费用y(元) 70 190 470
(3)该地居民周大爷2013年治病所花费的医疗费共32 000元,那么这一年他个人实际承担的
医疗费用是多少元?
25.(13分)
已知:如图所示,在四边形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,-1),B(3,-1),动点P从点O出
发,沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过点P作PQ垂直于直线OA,垂足为点
Q,设点P移动的时间为t秒(0<t<2),△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O,A,B三点的抛物线的解析式,并确定顶点M的坐标;
(2)用含t的代数式表示点P、点Q的坐标;
(3)如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或顶点Q在
抛物线上?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)求出S与t的函数关系式.答案全解全析：
一、选择题
1.A 因为(-2)3=-8,所以√3 -8=-2,故选A.
2.D 因为α与β互余,所以α+β=90°,故选D.
3.B x6÷x5=x6-5=x,故选B.
4.D 该几何体的主视图是 ,故选D.
评析 本题主要考查几何体的三视图,属容易题.
{x-2≥0,
5.B 自变量x应满足 解得x≥2,故选B.
x≠0,
6.C 由一元二次方程根与系数的关系可知 α+β=-2,αβ=-6,所以 α2+β2=(α+β)2-2αβ=(-2)2-
2×(-6)=16,故选C.
7.C 设圆锥的母线长为a cm,则a= = = =4,所以圆锥体的全面积为
√r2+h2 √22+(2√3)2 √16
πra+πr2=π×2×4+π×22=12π cm2,故选C.
8.D 如图,过A作AH⊥BC于H,交EF于G,由题意可知,△AEF的边EF上的高AG=5-x,因为
EF AG EF 5-x 5-x
EF∥BC,所以△AEF∽△ABC,可得 = ,即 = ,所以EF= ·10=10-2x,因此S =
BC AH 10 5 5
△DEF
1EF·x=1(10-2x)x=-x2+5x=-( 5) 2+25(0<x<5),它的图象是以(5 25)为顶点,开口向下的
x- ,
2 2 2 4 2 4
抛物线的一部分,故选D.
评析 本题考查相似三角形的判定及性质和二次函数的图象,需要注意的是相似比除了可以
是对应边长之比,还等于对应边上的高之比.本题综合性较强,对学生能力的要求较高.
二、填空题
1
9.答案
3
解析 | 1|=1.
-
3 3
10.答案 (3a+1)(a+1)
解析 (2a+1)2-a2=(2a+1+a)(2a+1-a)
=(3a+1)(a+1).3√3
11.答案
2
√3 √3 3√3
解析 √12- =2√3- = .
4 2 2
12.答案 60
解 析 △ ABC 中 , 因 为 ∠ ACB=90°, 所 以 ∠ CAB+∠CBA=90°. 又 因 为 AD∥BE, 所 以
∠DAB+∠EBA=180°,即∠CAD+∠CAB+∠CBA+∠CBE=180°,所以∠CAD=180°-90°-30°=60°.
13.答案 3-2√2
x2-2x+1 x-1 (x-1)2 x(x+1)
解析 ÷ +x= · +x=x(x-1)+x=x2,
x+1 x2+x x+1 x-1
当x=√2-1时,原式=(√2-1)2=(√2)2-2×√2×1+12=3-2√2.
评析 一般情况下,先化简再代入求值,可以降低计算的难度.
14.答案 4√3
解析 连结 OD,则 OA=OD,所以∠ODA=∠OAD=30°,因为∠BOD 是△OAD 的外角,所以
∠BOD=∠ODA+∠OAD=60°,所以∠ODE=30°,在Rt△ODE 中,设OE=x,则OD=2OE=2x,因为
OB=OD,所以2x=x+2,所以x=2,所以OE=2,OD=4,根据勾股定理得,DE=2√3.因为AB是直
径,AB⊥CD,所以根据垂径定理可知,CD=2DE=4√3.
25
15.答案 或5√6或10(每答对一个,给1分)
2
解析 不妨设重合的顶点为点A,则有以下三种情况:
图(1)
图(2)
图(3)
1 25
①如图(1),AE=AF=5,所以所求面积为 ×5×5= .
2 2
②如图(2),AE=EF=5,Rt△BEF中,可求出BE=1,根据勾股定理可得BF= =2 ,所
√EF2-EB2 √6
1 1
以所求面积为 AE·BF= ×5×2√6=5√6.
2 2
③如图(3),AE=EF=5,Rt△DEF中,可求出DE=3,根据勾股定理可得DF= =4,所以
√EF2-ED2
1 1
所求面积为 AE·DF= ×5×4=10.
2 225
综上所述,剪下的等腰三角形的面积为 或5√6或10.
2
三、解答题
16.解析 解不等式①得x>3;
解不等式②得x≥1.
∴原不等式组的解集为x>3,不等式组的解集在数轴上表示如下:
17.解析 设购买一块电子白板需 x 元,购买一台投影机需 y 元,依题意列方程组
{2x-3 y=4 000,
4x+3 y=44 000.
{x=8 000,
解得
y=4 000.
答:购买一台电子白板需8 000元,购买一台投影机需4 000元.
18.证明 证法一:连结AD.
∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD.
∴∠BAD=∠CAD,
∴AD是∠EAF的平分线.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
证法二:同证法一证得△ABD≌△ACD,得∠ACD=∠ABD.
∴∠DCF=∠DBE.
又∵∠DFC=∠DEB=90°,DC=DB,
∴△DFC≌△DEB.∴DE=DF.
19.解析 (1)画树形图如下:
选派方案 甲 甲 甲 乙 乙 乙 丙 丙 丙 丁 丁 丁
乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙
或列表如下:
①号选手
甲 乙 丙 丁
②号选手
甲 乙甲 丙甲 丁甲
乙 甲乙 丙乙 丁乙
丙 甲丙 乙丙 丁丙
丁 甲丁 乙丁 丙丁
∴共有12种选派方案.
(2)恰好选派一男一女两位同学参赛共有8种可能,8 2
∴P(恰好选派一男一女两位同学参赛)= = .
12 3
评析 树形图和列表法是常见的求概率的方法,学生可根据自身的能力选择其中一种方法求
解.
20.解析 (1)证法一:如图,连结CD.
∵AC为☉O的直径,∠ACB=90°,∴CB为☉O的切线.
又∵DE切☉O于D,
∴ED=EC.
∴∠CDE=∠DCE.
∵AC为☉O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠CDE+∠EDB=90°,∠DCE+∠CBD=90°,
∴∠EDB=∠CBD.
∴ED=EB.
∴EB=EC.
证法二:如图,连结OD.
∵AC为☉O的直径,∠ACB=90°,
∴CB为☉O的切线.
又∵DE切☉O于D,
∴ED=EC,∠ODE=90°.
∴∠ODA+∠EDB=90°.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,
又∵∠OAD+∠DBE=90°,
∴∠EDB=∠DBE.
∴ED=EB,
∴EB=EC.
(2)△ACB为等腰直角三角形.
理由:∵四边形ODEC为正方形,
∴OC=CE,
1 1
又∵OC= AC,CE=EB= BC,
2 2
∴AC=BC,
又∠ACB=90°,
∴△ACB为等腰直角三角形.
21.解析 (1)200.
(2)补全的条形统计图如图.50
喜好“菠萝味”学生人数在扇形统计图中所占圆心角度数: ×360°=90°.
200
(3)1 200×( 62 38 )=1 200× 24 =144(盒).
-
200 200 200
答:草莓味要比原味多送144盒.
22.解析 (1)( 1);( 1);(1,-1).
-2, 2,-
2 2
1 1
(2)证法一:∵反比例函数y=- 的图象关于原点对称,过原点的直线y=- x也关于原点对称,
x 4
∴OA=OB.
同理,OC=OD.
∴四边形ADBC是平行四边形.
1 1
证法二:∵y=- x与y=- 交于A,B两点,
4 x
∴A( 1),B( 1).∴由勾股定理知,OA2=(-2)2+(1) 2 =17,OB2=22+( 1) 2 =17,
-2, 2,- -
2 2 2 4 2 4
∴OA2=OB2,∴OA=OB.
1
∵y=-kx与y=- 交于C,D两点,
x
∴C( √k ),D(√k ).
- ,√k ,-√k
k k
1 1
∴OC2= +k,OD2= +k.
k k
∴OC2=OD2,∴OC=OD.
∴四边形ADBC是平行四边形.
(3)当k=4时,▱ADBC为矩形.
理由:当OA=OC时,AB=2OA=2OC=CD.
∴▱ADBC为矩形.
1 17 17
此时由OA2=OC2得 +k= ,∴k2- k+1=0,
k 4 4
1
∴k=4,k= .
1 2
4
1
又∵k≠ ,∴k=4.
4∴当k=4时,▱ADBC为矩形.
23.解析 (1)如图,过C作CE⊥AB于E.
设AE=a海里,则BE=AB-AE=[100(√3+1)-a]海里.
在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠EAC=60°,
a
AE
∴AC= =1=2a海里,
cos60°
2
CE=AE·tan 60°=√3a海里.
在Rt△BCE中,BE=CE,
∴100(√3+1)-a=√3a,
∴a=100.
∴AC=2a=200海里.
在△ACD和△ABC中,∠ACB=180°-45°-60°=75°=∠ADC,∠CAD=∠BAC,
AD AC
∴△ACD∽△ABC,∴ = ,
AC AB
AD 200
即 = .
200 100(√3+1)
∴AD=200(√3-1)海里.
答:A与C间的距离AC为200海里,A与D间的距离AD为200(√3-1)海里.
(2)如图,过D作DF⊥AC于F,
在Rt△ADF中,∠DAF=60°,
√3
∴DF=AD·sin 60°=200(√3-1)× =100(3-√3)≈127海里>100海里.
2
∴船A沿直线AC航行,前往船C处途中无触礁危险.
24.解析 (1)(x-n)·k%+70.
(2)由题中表二易知n≥400,且x=800时,y=190,x=1 500时,y=470.
{(800-n)·k%+70=190,
∴
(1 500-n)·k%+70=470.
{n=500,
解得
k=40.
(3)当x>6 000时,y=(6 000-500)×40%+(x-6 000)×20%+70=0.2x+1 070,
∴当x=32 000时,
y=0.2×32 000+1 070=7 470(元).[直接代入计算也可]
25.解析 (1)∵抛物线过原点O(0,0),
∴可设经过A,B,O三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx(a≠0).(或直接设y=ax2+bx+c(a≠0))
将A(1,-1),B(3,-1)代入y=ax2+bx(a≠0)中,1
{ a= ,
得{ a+b=-1, ∴ 3
9a+3b=-1, 4
b=- .
3
1 4
∴y= x2- x.
3 3
1 4 1 4
又y= x2- x= (x-2)2- ,
3 3 3 3
∴顶点M的坐标为( 4).
2,-
3
[方法不唯一,对照评分标准给分]
(2)∵点A的坐标为(1,-1),∴∠COA=45°,∴△OPQ为等腰直角三角形,
过Q作QD⊥x轴于D.
1 1 1
∵OP=2t,∴OD= OP= ×2t=t,DQ= OP=t,
2 2 2
∴点P的坐标为(2t,0),
点Q的坐标为(t,-t).
(3)当△OPQ绕点P逆时针旋转90°后,点O的坐标为(2t,-2t),点Q的坐标为(3t,-t).
1 4 1 4
①若点O在y= x2- x上,则 ×(2t)2- ×2t=-2t,
3 3 3 3
∴2t2-t=0,
1
∴t=0,t = .
1 2
2
∵0<t<2,
1
∴t= ,
2
1 1 4
∴当t= 时,点O(1,-1)在y= x2- x上.(只需求出t的值即可)
2 3 3
1 4 1 4
②若点Q在y= x2- x上,则 ×(3t)2- ×(3t)=-t,
3 3 3 3
∴t2-t=0.
∴t=0,t =1.
1 2
又∵0<t<2,∴t=1,
1 4
∴当t=1时,点Q(3,-1)在y= x2- x上.(只需求出t的值即可)
3 3
(4)如图,分三种情况讨论:
1 1
①当0<t≤1时,S=S = OP·|y |= ×2t×t=t2.
△OPQ
2
Q
2
(
或S=S =
1 OQ2=t2)
△OPQ 2
3
②当1<t≤ 时,设P'Q'交AB于点E.S=S -S .
2
△OP'Q' △AEQ'∵AB∥OC,∴∠Q'AE=∠COA=45°,∴△AEQ'也为等腰直角三角形,
√2
∴OQ'=OP'·cos 45°=2t· =√2t.
2
∴AQ'=OQ'-OA=√2t-√2=√2(t-1),
1
∴S = AQ'2=(t-1)2.
△AEQ'
2
∴S=t2-(t-1)2=2t-1.(或S=S )
梯形OAEP'
3
③如图,当 <t<2时,设P″Q″交BC于点F,交AB于点E',
2
则S=S -S -S .
OP″Q″ △AE'Q″ △CFP″
1 1 1
∵S = AQ″2=(t-1)2,S = CP″2= (2t-3)2,
△AE'Q″
2
△CFP″
2 2
1 11
∴S=t2-(t-1)2- (2t-3)2=-2t2+8t- .
2 2
(或S=S -S )
梯形OABC △BE'F
t2 (0<t≤1),
{
( 3)
2t-1 1<t≤ ,
∴S= 2
-2t2+8t- 11(3 <t<2 ) .
2 2
评析 本题的前两小题较为基础,主要考查二次函数的基础知识,后两小题需要分情况进行讨
论,对学生分析问题的能力要求较高.
