年武汉市初中毕业生学业考试
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
下列各题中有且只有一个正确答案.
1.实数3的相反数是( )
1 1
A.3 B.-3C. D.-
3 3
2.下列事件中是必然事件的是( )
A.抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上
B.随意翻到一本书的某页,这一页的页码是偶数
C.打开电视机,正在播放广告
D.从两个班级中任选三名学生,至少有两名学生来自同一个班级
3.下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的,其中既是轴对称图形又是中心对称
图形的是( )
A B C D
4.计算(-a2)3的结果是( )
A.-a6 B.a6 C.-a5D.a5
5.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体,它的主视图是( )
A B C D
6.学校招募运动会广播员,从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人,则两人恰好
是一男一女的概率是( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
7.我国古代数学名著《九章算术》中记载:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、
物价各几何?”意思是:现有几个人共买一件物品,每人出8钱,多出3钱;每人出7钱,还差4钱.
问人数,物价各是多少?若设共有x人,物价是y钱,则下列方程正确的是( )
A.8(x-3)=7(x+4) B.8x+3=7x-4
y-3 y+4 y+3 y-4
C. = D. =
8 7 8 7
8.一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地,其中快车送达后立即沿原路返回,且往返速
度的大小不变.两车离甲地的距离y(单位:km)与慢车行驶时间t(单位:h)的函数关系如图,则两
车先后两次相遇的间隔时间是( )
5 3 7 4
A. h B. h C. h D. h
3 2 5 3
9.
⏜ ⏜
如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的弦,先将BC沿BC翻折交AB于点D,再将BD沿AB翻折
⏜ ⏜
交BC于点E.若BE=DE,设∠ABC=α,则α所在的范围是( )
A.21.9°<α<22.3° B.22.3°<α<22.7°
C.22.7°<α<23.1° D.23.1°<α<23.5°
10.已知a,b是方程x2-3x-5=0的两根,则代数式2a3-6a2+b2+7b+1的值是( )
A.-25 B.-24 C.35D.36
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
下列各题不需要写出解答过程.
11.计算√(-5)2的结果是 .
12.我国是一个人口资源大国.第七次全国人口普查结果显示,北京等五大城市的常住人口数
如下表,这组数据的中位数是 .
城市 北京 上海 广州 重庆 成都
常住人口数/万 2 189 2 487 1 868 3 205 2 094
m2+1
13.已知点A(a,y ),B(a+1,y )在反比例函数y= (m是常数)的图象上,且y<y,则a的取值
1 2 1 2
x
范围是 .
14.如图,海中有一个小岛A.一艘轮船由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上;
航行12 n mile到达C点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.小岛A到航线BC的距离是
n mile(√3≈1.73,结果用四舍五入法精确到0.1).15.已知抛物线y=ax2+bx+c (a,b,c是常数),a+b+c=0.下列四个结论:
①若抛物线经过点(-3,0),则b=2a;
②若b=c,则方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2;
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点;
④点A(x ,y),B(x ,y)在抛物线上,若0<a<c,则当x<x<1时,y>y.
1 1 2 2 1 2 1 2
其中正确的是 (填写序号).
16.如图(1),在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°.边AB上的点D从顶点A出发,向顶点B运动,同
时,边BC上的点E从顶点B出发,向顶点C运动,D,E两点运动速度的大小相等.设
x=AD,y=AE+CD,y关于x的函数图象如图(2),图象过点(0,2),则图象最低点的横坐标是
.
图(1)
图(2)
三、解答题(共8小题,共72分)下列各题需写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17.(本小题满分8分)
{2x≥x-1, ①
解不等式组 请按下列步骤完成解答.
4x+10>x+1.②
(1)解不等式①,得 ;
(2)解不等式②,得 ;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;
(4)原不等式组的解集是 .18.(本小题满分8分)
如图,AB∥CD,∠B=∠D,直线EF与AD,BC的延长线分别交于点E,F.求证:∠DEF=∠F.
19.(本小题满分8分)
为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况,某校从全体
学生中随机抽取部分学生,调查他们平均每周劳动时间t(单位: h),按劳动时间分为四组:A组
“t<5”,B组“5≤t<7”,C组“7≤t<9”,D组“t≥9”.将收集的数据整理后,绘制成如下两幅不完整
的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)这次抽样调查的样本容量是 ,C组所在扇形的圆心角的大小是 ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)该校共有1 500名学生,请你估计该校平均每周劳动时间不少于7 h的学生人数.
20.(本小题满分8分)
如图是由小正方形组成的5×7网格,每个小正方形的顶点叫做格点.矩形ABCD的四个顶点
都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.
(1)在图(1)中,先在边AB上画点E,使AE=2BE,再过点E画直线EF,使EF平分矩形ABCD的
面积;
(2)在图(2)中,先画△BCD的高CG,再在边AB上画点H,使BH=DH.图(1)
图(2)
21.(本小题满分8分)
如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,C是 ⏜ 的中点.过点C作AD的垂线,垂足是E.连接
BD
AC交BD于点F.
(1)求证:CE是☉O的切线;
DC
(2)若 =√6,求cos∠ABD的值.
DF
22.(本小题满分10分)在“乡村振兴”行动中,某村办企业以A,B两种农作物为原料开发了一种有机产品.A原料的
单价是B原料单价的1.5倍,若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100 kg.生产
该产品每盒需要A原料2 kg和B原料4 kg,每盒还需其他成本9元.市场调查发现:该产品每
盒的售价是60元时,每天可以销售500盒;每涨价1元,每天少销售10盒.
(1)求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本);
(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数),每天的利润是w元,求w关于x的函数解析式(不需要
写出自变量的取值范围);
(3)若每盒产品的售价不超过a元(a是大于60的常数,且是整数),直接写出每天的最大利润.
23.(本小题满分10分)
问题提出 如图(1),在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=AC,EC=DC,点E在△ABC
内部,直线AD与BE交于点F.线段AF,BF,CF之间存在怎样的数量关系?
问题探究 (1)先将问题特殊化.如图(2),当点D,F重合时,直接写出一个等式,表示AF,BF,CF
之间的数量关系;
(2)再探究一般情形.如图(1),当点D,F不重合时,证明(1)中的结论仍然成立.
问题拓展 如图(3),在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=kAC,EC=kDC(k是常数),点
E在△ABC内部,直线AD与BE交于点F.直接写出一个等式,表示线段AF,BF,CF之间的数量
关系.
图(1)
图(2)
图(3)24.(本小题满分12分)
抛物线y=x2-1交x轴于A,B两点(A在B的左边).
(1)▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上,顶点E在y轴右侧的抛物线上.
3
①如图(1),若点C的坐标是(0,3),点E的横坐标是 ,直接写出点A,D的坐标;
2
②如图(2),若点D在抛物线上,且▱ACDE的面积是12,求点E的坐标.
(2)如图(3),F是原点O关于抛物线顶点的对称点,不平行于y轴的直线l分别交线段
AF,BF(不含端点)于G,H两点,若直线l与抛物线只有一个公共点,求证:FG+FH的值是定值.
图(1)
图(2)
图(3)25
2021年武汉市初中毕业生学业考试
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D A A C C D B B D
1.B 互为相反数的两个数的绝对值相等,符号相反,所以3的相反数是-3.
2.D A、B、C选项中的事件都是随机事件,D选项中的事件是必然事件.故选D.
3.A B、C中的图形不是轴对称图形,D中的图形不是中心对称图形,只有A中的图形符合.
4.A (-a2)3=-a2×3=-a6.
5.C 由主视图的概念知,C选项中的图形为给定几何体的主视图,故选C.
6.C 设两名男生分别为A,A ,两名女生分别为B ,B ,随机选取两人有
1 2 1 2
AA,A B ,A B ,A B ,A B ,B B ,共6种等可能的情况,其中两人恰好是一男一女有4种情况,故
1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2
4 2
所求概率为 = .
6 3
y+3 y-4
7.D 按物价不变可列方程为8x-3=7x+4.按人数不变可列方程为 = ,故选D.
8 7
8.B 由题图可知线段表示慢车,折线表示快车,快车比慢车晚走2 h且往返花了6-2=4 h,∴v
2a a a a a
= = km/h,v = km/h.设两车第一次相遇的时刻为t,则 t= (t -2),解得t=3.设两
快车 4 2 慢车 6 1 6 1 2 1 1
a a 9 9 3
车第二次相遇的时刻为t,则 t+ (t -2)=2a,解得t= ,∴间隔时间为t-t = -3= (h),故选B.
2 2 2 2 2 1
6 2 2 2 2
9.B 如图所示,连接AC,CD,DE.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠A=90°-∠ABC=90°-α.∵
⏜ = ⏜ ,∴ED=EB.又∵∠ABC=∠DBC=∠DBE,∴ ⏜ = ⏜ = ⏜
DE BE AC CD DE
,∴AC=CD=DE,∴∠DCE=∠DEC=2∠DBE=2α,∠A=∠CDA.∵∠CDA=∠DCB+∠DBC=3α,∠ABC
+∠A=90°,∴α+3α=90°,解得α=22.5°,故选B.
10.D ∵a,b是方程x2-3x-5=0的两根,∴a+b=3,a2-3a-5=0,b2-3b-5=0,∴a2-3a=5,b2=3b+5,∴2a3-
6a2+b2+7b+1=2a(a2-3a)+b2+7b+1=2a×5+3b+5+7b+1=10(a+b)+6=10×3+6=36,故选D.
二、填空题
11.答案 5
解析 = =5.
√(-5)2 √52
12.答案 2 189
解析 将这5个数按从小到大排列为1 868,2 094,2 189,2 487,3 205,由中位数的定义知第3
个数为中位数,所以这组数据的中位数是2 189.
13.答案 -1<a<0解析 ∵m2+1>0,∴反比例函数的图象在第一、三象限.在第一象限内,y随x的增大而减小且
{ a<0,
y>0,在第三象限内,y随x的增大而减小且y<0.∵a<a+1,且y<y,∴ 解得-1<a<0.
1 2 a+1>0,
14.答案 10.4
解析 如图所示,作AD⊥BC于D点.由题意可知∠ABC=90°-60°=30°,∠BCA=90°
+30°=120°,∴∠BAC=180°-120°-30°=30°,∴CB=CA=12,∠ACD=∠ABC+∠BAC=30°+30°=60°.在
√3
Rt△ACD中,AD=ACsin 60°=12× =6√3≈6×1.73=10.38≈10.4,即小岛A到航线BC的距离为
2
10.4 n mile.
15.答案 ①②④
b
解析 当x=1时,a+b+c=0,∴抛物线过点(1,0).若抛物线过点(-3,0),则对称轴为直线x=- =
2a
-3+1
=-1,∴b=2a,∴①正确.由b=c,a+b+c=0,可得a=-2b,∴方程cx2+bx+a=0可化为
2
bx2+bx-2b=0.∵a≠0,∴b≠0,∴x2+x-2=0,解得x=-2或x=1,∴②正确.∵a+b+c=0,∴b=-(a+c),又Δ=b2-
4ac=[-(a+c)]2-4ac=(a-c)2≥0,∴抛物线与x轴有两个公共点或一个公共点,∴③错误.当x=0
-b a+c
时,y=c,∵0<a<c,∴抛物线开口向上, = >1,又抛物线过点(1,0),∴对称轴必在点(1,0)的右
2a 2a
侧,∴当x<1时,y随x的增大而减小,∴④正确.
16.答案 √2-1
解析 ∵图象过点(0,2),
∴当x=AD=0时,点D与点A重合,点E与点B重合,
此时y=AE+CD=AB+AC=2.
∵△ABC为等腰直角三角形,∴AB=AC=1.
过点A作AF⊥BC于点F,过点B作NB⊥BC,并使得BN=AC,连接NE,如图所示.
∵AD=BE,∠NBE=∠CAD,
∴△NBE≌△CAD(SAS),
∴NE=CD.
又∵y=AE+CD,
∴y=AE+NE.
∴当A、E、N三点共线时,y取得最小值.
√2
AF=AC·sin 45°= .
2
∵∠BEN=∠FEA,∠NBE=∠AFE,
∴△NBE∽△AFE,1 x
NB BE
∴ = ,即√2=√2 ,
AF FE -x
2 2
解得x=√2-1,∴图象最低点的横坐标为√2-1.
三、解答题
17.解析 (1)x≥-1.
(2)x>-3.
(3)
(4)x≥-1.
18.证明 ∵AB∥CD,∴∠DCF=∠B.
∵∠B=∠D,∴∠DCF=∠D.
∴AD∥BC,∴∠DEF=∠F.
19.解析 (1)100;108° .
(2)补全的条形统计图如图:
30+10
(3)1 500× =600(人) .
100
∴估计该校平均每周劳动时间不少于7 h的学生人数为600.
20.解析 (1)画图如图(1).
(2)画图如图(2).
图(1)
图(2)
21.解析 (1)证明:连接OC交BD于点G.
∵点C是 ⏜ 的中点,∴由圆的对称性得OC垂直平分BD.
BD
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠EDB=90° .
∵CE⊥AE,∴∠E=90° .∴四边形EDGC是矩形,
∴∠ECG=90°.∴CE是☉O的切线.(2)解法一:连接BC,设FG=x,x>0,OB=r.
DC
∵ =√6,∴设DF=t,DC=√6t,t>0.
DF
由(1)得,BC=CD=√6t,BG=GD=x+t.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90° .
∴∠BCG+∠FCG=90°,又∠CFB+∠FCG=90°,
∴∠BCG=∠CFB,∴Rt△BCG∽Rt△BFC.
∴BC2=BG·BF,∴(√6t)2=(x+t)(2x+t).
5
解得x=t,x =- t(不符合题意,舍去).
1 2
2
∴CG= = = t,OG=r- t.
√BC2-BG2 √(√6t)2-(2t)2 √2 √2
在Rt△OBG中,由勾股定理得OG2+BG2=OB2.
3√2
∴(r-√2t)2+(2t)2=r2,解得r= t.
2
2t
BG 2√2
∴cos∠ABD= =3√2t = .
OB 3
2
DC
解法二:如图,连接BC并延长,与AE的延长线交于点M,易得C为BM的中点,AM=AB.∵
DF
CB BD √6t y+t
=√6,∴设DF=t,DC=√6t,t>0.设BF=y,y>0,易得△BCF∽△BDM,∴ = ,即 =
BF BM y 2√6t
,∴y=3t.
∴BD=BF+DF=4t,在Rt△BDM中,DM= = =2 t.
√BM2-BD2 √(2√6t)2-(4t)2 √2
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
∴AB2=(AB-2√2t)2+(4t)2,解得AB=3√2t,
BD 4t 2√2
∴在Rt△ABD中,cos∠ABD= = = .
AB 3√2t 3
22.解析 (1)设B原料的单价为m元,则A原料的单价为1.5m元.900 900
依题意,得 - =100.解得m=3,
m 1.5m
经检验,m=3是原方程的根,且符合题意.
1.5m=4.5.
∴每盒产品的成本为4.5×2+4×3+9=30(元).
答:每盒产品的成本为30元.
(2)w=(x-30)[500-10(x-60)]=-10x2+1 400x-33 000.
(3)当a≥70且a为整数时,每天的最大利润为16 000元.
当60<a<70且a为整数时,每天的最大利润为(-10a2+1 400a-33 000)元.
23.解析 问题探究 (1)BF-AF=√2CF.
(2)证明:过点C作CG⊥CF交BE于点G,
则∠FCG=∠ACB=90°,∴∠BCG=∠ACF.
∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠BCE=∠ACD.
又∵AC=BC,DC=EC,∴△ACD≌△BCE,
∴∠CAF=∠CBG.∴△ACF≌△BCG.∴AF=BG,CF=CG,
∴△CGF是等腰直角三角形.
∴GF=√2CF.∴BF-AF=BF-BG=GF=√2CF.
问题拓展 BF-kAF= CF.
√1+k2
提示:过C点作CG⊥CF交BE于G.通过证明△BCG∽△ACF可得BG=k·AF,GC=k·CF,∴GF=
CF,∴BF-BG=BF-k·AF=GF= CF.
√1+k2 √1+k2
24.解析 (1)①A(-1,0),D(5 17).
,
2 4
②设点C的坐标为(0,s),点E的坐标为(r,r2-1) .
∵四边形ACDE是平行四边形,∴将AC沿AE平移可与ED重合,点D的坐标为(r+1,r2-1+s).
∵点D在抛物线上,∴r2-1+s=(r+1)2-1.
解得s=2r+1,∴C(0,2r+1).
连接CE,过点E作x轴的垂线,垂足为M,过点C作CN⊥EM,垂足为N.
则S =S -S -S .
△ACE 梯形AMNC △AME △CNE
∵S =12,A(-1,0),
▱ACDE
1 1 1
∴6= (r+r+1)(2r+1)- (r+1)(r2-1)- r[2r+1-(r2-1)].
2 2 2
∴r2+3r-10=0.
解得r=2,r=-5(不合题意,舍去).
1 2
∴点E的坐标是(2,3) .
(2)证明:证法一:依题意,得B(1,0),F(0,-2).设直线BF的解析式为y=kx+b(k≠0),
{k+b=0, { k=2,
则 解得
b=-2, b=-2.
∴直线BF的解析式为y=2x-2.
同理,直线AF的解析式为y=-2x-2.
设直线l的解析式为y=tx+n(t≠0).
联立{y=tx+n, 消去y得x2-tx-n-1=0.
y=x2-1,
∵直线l与抛物线只有一个公共点,
t2
∴Δ=(-t)2-4(-n-1)=0,∴n=- -1.
4
{
y=2x-2,
联立 且 t≠2,解得x =t+2.
t2 H
y=tx- -1, 4
4
t-2
同理得x = .
G
4
∵A,B两点关于y轴对称,∴∠AFO=∠BFO.
-x x 1
∴FG+FH= G + H = (x -x )=√5.
sin∠AFO sin∠BFO sin∠AFO H G
∴FG+FH的值为√5.
证法二:同证法一得直线BF的解析式为y=2x-2.
设直线l的解析式为y=px+q(p≠0),直线l与抛物线唯一的公共点为(m,m2-1).
联立{y=px+q, 消去y得x2-px-q-1=0.
y=x2-1,
∴{ m+m=p, 解得{ p=2m,
m·m=-q-1. q=-m2-1.
∴直线l的解析式为y=2mx-m2-1.
{
m+1
联立{y=2mx-m2-1,且m≠1,解得 x= ,
2
y=2x-2,
y=m-1.
∴点H坐标为(m+1 ).
,m-1
2
同理,点G坐标为(m-1 ).
,-m-1
2
∴FG+FH=√ (m-1) 2
+[-m-1-(-2)]2
2
+√ (m+1) 2
+[m-1-(-2)]2
.
2∵-1<m<1,
√5 √5 √5 √5
∴FG+FH= (1-m)2+ (1+m)2= (1-m)+ (1+m)=√5.
4 4 2 2
∴FG+FH的值为√5.
