年湖北省宜昌市初中学业水平考试
参考公式:一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式是x=-b±√b2-4ac ,二次函数y=ax2+bx+c
2a
图象的顶点坐标是( b 4ac-b2 ),弧长公式是l=nπr,扇形面积公式是S =nπr2 .
- , 扇形
2a 4a 180 360
一、选择题(下列各小题中,只有一个选项是符合题目要求的.每小题3分,计33分)
1.-2 021的倒数是( )
1 1
A.2 021 B.-2 021C. D.-
2 021 2 021
2.下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识,其中是中心对称图形的是( )
A B C D
3.
2021年5月15日07时18分,“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面,开启了中国人自主
探测火星之旅.地球与火星的最近距离约为5 460万公里.“5 460万”用科学记数法表示为(
)
A.5.46×102 B.5.46×103 C.5.46×106 D.5.46×107
4.如图,将一副三角尺按图中所示位置摆放,点F在AC上,其中
∠ACB=90°,∠ABC=60°,∠EFD=90°,∠DEF=45°,AB∥DE,则∠AFD的度数是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
5.下列运算正确的是( )
A.x3+x3=x6 B.2x3-x3=x3 C.(x3)2=x5D.x3·x3=x922
6.在六张卡片上分别写有6,- ,3.141 5,π,0,√3六个数,从中随机抽取一张,卡片上的数为无理
7
数的概率是( )
2 1 1 1
A. B. C. D.
3 2 3 6
7.某气球内充满了一定质量m的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(单位: kPa)是气体
m
体积V(单位:m3)的反比例函数:p= ,能够反映两个变量p和V函数关系的图象是( )
V
A B C D
8.我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题,原文是:“今有共买物,人出八,盈三;人出
七,不足四.问人数、物价各几何? ”意思是:今有人合伙购物,每人出八钱,会多三钱;每人出七
钱,又差四钱.问人数、物价各多少?设人数为x人,物价为y钱,下列方程组正确的是( )
{y=8x-3 {y=8x+3 {y=8x-3 {y=8x+3
A. B. C. D.
y=7x+4 y=7x+4 y=7x-4 y=7x-4
9.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos∠ABC的值为( )
√2 √2 4 2√2
A. B. C. D.
3 2 3 3
10.如图,C,D是☉O上直径AB两侧的两点.设∠ABC=25°,则∠BDC=( )
A.85° B.75° C.70° D.65°
11.从前,古希腊一位庄园主把一块边长为a米(a>6)的正方形土地租给租户张老汉.第二年,他
对张老汉说:“我把这块地的一边增加6米,相邻的另一边减少6米,变成矩形土地继续租给你,
租金不变,你也没有吃亏,你看如何?”如果这样,你觉得张老汉的租地面积会( )
A.没有变化 B.变大了
C.变小了D.无法确定
二、填空题(每小题3分,计12分)
12.用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负.登山队攀登一座山峰,每登高1 km气温
的变化量为-6 ℃,攀登2 km后,气温下降 ℃.
13.如图,在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)向右平移2个单位长度得到点B,则点B关于x轴
的对称点C的坐标是 .14.社团课上,同学们进行了“摸球游戏”:在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外
其余均相同的黑、白两种球,将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放
回盒子中,不断重复上述过程.整理数据后,制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”
的关系图如图所示,经分析可以推断盒子里个数比较多的是 (填“黑球”或“白
球”).
15.“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形.如图,以边长为2厘米的等
边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角
形”,该“莱洛三角形”的面积为 平方厘米.(圆周率用π表示)
三、解答题(本大题共有9小题,计75分)
2 1 1
16.(本题满分6分)先化简,再求值: ÷ - ,从1,2,3这三个数中选择一个你认为适
x2-1 x+1 x-1
合的x代入求值.
{x-3(x-2)≥4,
17.(本题满分6分)解不等式组 2x-1 x+1
≤ .
3 218.(本题满分7分)如图,在△ABC中,∠B=40°,∠C=50°.
(1)通过观察尺规作图的痕迹,可以发现直线DF是线段AB的 ,射线AE是∠DAC的
;
(2)在(1)所作的图中,求∠DAE的度数.
19.(本题满分7分)国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1 h”.为此,某市就“每
天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生.根据调查结果绘制成的统计
图(部分)如图所示,其中分组情况是:
A组:t<0.5 h B组:0.5 h≤t<1 h
C组:1 h≤t<1.5 h D组:t≥1.5 h
图1
图2
请根据上述信息解答下列问题:
(1)本次调查的人数是 ;
(2)请根据题中的信息补全条形统计图;
(3)D组对应扇形的圆心角为 °;(4)本次调查数据的中位数落在 组内;
(5)若该市辖区约有80 000名初中学生,请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数.
20.(本题满分8分)甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动,苹果的标价为10元/kg,如果
一次购买4 kg以上的苹果,超过4 kg的部分按标价6折售卖.
x(单位: kg)表示购买苹果的质量,y(单位:元)表示付款金额.
(1)文文购买3 kg 苹果需付款 元;购买5 kg苹果需付款 元;
(2)求付款金额y关于购买苹果的质量x的函数解析式;
(3)当天,隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动,同样的苹果的标价也为10元/kg,且全部
按标价的8折售卖.文文如果要购买10 kg苹果,请问她在哪个超市购买更划算?
21.(本题满分8分)如图,在菱形ABCD中,O是对角线BD上一点(BO>DO),OE⊥AB,垂足为E,
以OE为半径的☉O分别交DC于点H,交EO的延长线于点F,EF与DC交于点G.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)若G是OF的中点,OG=2,DG=1.
⏜
①求HE的长;
②求AD的长.22.(本题满分10分)随着农业技术的现代化,节水型灌溉得到逐步推广.喷灌和滴灌是比漫灌
更节水的灌溉方式,喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%.去年,新丰收公司
用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式,共用水15 000吨.
(1)请问用漫灌方式每亩用水多少吨?去年每块试验田各用水多少吨?
(2)今年该公司加大对农业灌溉的投入,喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%,漫灌试验田的
面积减少了2m%.同时,该公司通过维修灌溉输水管道,使得三种灌溉方式下的每亩用水量都
9
进一步减少了m%.经测算,今年的灌溉用水量比去年减少 m%,求m的值;
5
(3)节水不仅为了环保,也与经济收益有关系.今年,该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方
面每亩投入30元,在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元.在(2)的情
况下,若每吨水费为2.5元,请判断相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上
两项投入之和.
23.(本题满分11分)如图,在矩形ABCD中,E是边AB上一点,BE=BC,EF⊥CD,垂足为F.将四
边形 CBEF绕点C顺时针旋转α (0°<α<90°),得到四边形CB'E'F'.B'E'所在的直线分别交直线
BC于点G,交直线AD于点P,交CD于点K.E'F'所在的直线分别交直线BC于点H,交直线
AD于点Q,连接B'F',交CD于点O.
(1)如图1,求证:四边形BEFC是正方形;
(2)如图2,当点Q和点D重合时.
①求证:GC=DC;
②若OK=1,CO=2,求线段GP的长;
(3)如图3,若BM∥F'B'交GP于点M,tan∠G=1,求 S △GMB 的值.
2 S
△CF'H图1
图2
图3
24.(本题满分12分)在平面直角坐标系中,抛物线y =-(x+4)(x-n)与x轴交于点A和点B(n,0)
1
(n≥-4 ),顶点坐标记为(h,k).抛物线y=-(x+2n)2-n2+2n+9的顶点坐标记为(h,k).
1 1 2 2 2
(1)写出A点坐标;
(2)求k,k 的值(用含n的代数式表示);
1 2
(3)当-4≤n≤4时,探究k 与k 的大小关系;
1 2
(4)经过点M(2n+9,-5n2)和点N(2n,9-5n2)的直线与抛物线y=-(x+4)(x-n),y =-(x+2n)2-n2+2n+9
1 2
的公共点恰好为3个不同点时,求n的值.27
2021年湖北省宜昌市初中学业水平考试
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D C D A B C B A B D C
1
1.D 乘积是1的两个数互为倒数,所以-2 021的倒数是- .故选D.
2 021
2.C 选项A,B,D中的图形不符合中心对称图形的特征,所以不是中心对称图形,选项C中的
图形是中心对称图形,此选项符合题意.故选C.
3.D 5 460万=54 600 000=5.46×107.故选D.
4.A 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,∴∠A=90°-∠ABC=90°-60°=30°,在Rt△DEF
中,∠EFD=90°,∠DEF=45°,∴∠D=90°-∠DEF=90°-
45°=45°,∵AB∥DE,∴∠1=∠D=45°,∴∠AFD=∠1-∠A=45°-30°=15°.故选A.
5.B 因为x3+x3=2x3,(x3)2=x6,x3·x3=x6,所以选项A,C,D中的运算错误,选项B中2x3-x3=x3,运算
正确.故选B.
22
6.C ∵六张卡片上分别写有6,- ,3.141 5,π,0,√3六个数,其中π,√3是无理数,∴从中随机抽
7
2 1
取一张,卡片上的数为无理数的概率是 = .故选C.
6 3
m
7.B ∵气球内气体的气压p(单位:kPa)是气体体积V(单位:m3)的反比例函数:p= ,根据实际
V
意义可知V,p都大于零,∴选项B中的函数图象能够反映两个变量p和V的函数关系.故选B.
8.A 根据“每人出八钱,会多三钱”可以列方程y=8x-3;根据“每人出七钱,又差四钱”可以
{y=8x-3,
列方程y=7x+4.所以可列方程组 故选A.
y=7x+4.
9.B 设每个正方形的边长为1,如图,在BC的格点上取点D,连接AD,则
√2
∠ADB=90°,AD=BD=3,∴在Rt△ABD中,∠ABD=∠BAD=45°,∴cos∠ABC=cos 45°= .故选
2
B.
10.D 如图,连接OC,∵∠ABC=25°,OC=OB,∴∠OCB=25°,∴∠BOC=180°-25°-
1 1
25°=130°,∴∠BDC= ∠BOC= ×130°=65°.故选D.
2 211.C 由题意知,正方形土地的面积为a2平方米,矩形土地的面积为(a+6)(a-6)=(a2-36)平方米,
∴矩形土地的面积比正方形土地的面积小了36平方米,∴张老汉的租地面积变小了.故选C.
二、填空题
12.答案 12
解析 由题意得,2÷1×(-6)=2×(-6)=-12(℃),即气温下降12 ℃.
13.答案 (1,-2)
解析 ∵将点A(-1,2)向右平移2个单位长度得到点B,∴点B的坐标为(1,2),则点B关于x轴
的对称点C的坐标是(1,-2).
14.答案 白球
解析 由题图及用频率估计概率可知,摸出黑球的概率约为0.2,∴摸出白球的概率约为0.8,∴
不透明的盒子里个数比较多的是白球.
15.答案 (2π-2√3)
解析 如图,在等边△ABC中,过A作AD⊥BC于D.
∵AB=AC=BC=2厘米,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,∴BD=CD=1厘米,AD=√3BD=√3厘
1 60×π×22 2
米,∴S = BC·AD=√3(平方厘米),S = = π(平方厘米),∴“莱洛三角形”的
△ABC 2 扇形BCA 360 3
2
面积=3× π-2×√3=(2π-2√3)平方厘米.
3
三、解答题
2 1 1
16.解析 原式= ·(x+1)- = .
(x-1)(x+1) x-1 x-1
要使原代数式有意义,x只能取2,3.
当x=2时,原式=1.
1
当x=3时,原式= .(选择一种情况即可)
2
{x-3(x-2)≥4,①
17.解析
2x-1 x+1
≤ .②
3 2
由不等式①得,x≤1,
由不等式②得,x≤5.
∴不等式组的解集为x≤1.
18.解析 (1)垂直平分线;平分线.
(2)∵DF是线段AB的垂直平分线,
∴DB=DA,∴∠BAD=∠B=40°.
∵∠B=40°,∠C=50°,∴∠BAC=90°,∴∠DAC=50°.
∵射线AE是∠DAC的平分线,∴∠DAE=25°.
19.解析 (1)400.
详解:40÷10%=400(人).(2)C组的人数为400-40-80-40=240.
补全条形统计图如图:
(3)36.
40
详解:D组所占的百分比为 ×100%=10%,∴D组对应扇形的圆心角为360°×10%=36°.
400
(4)C.
提示:将数据从小到大排列,中位数为第200个数据和第201个数据的平均数,第200个数据和
第201个数据都在C组,∴本次调查数据的中位数落在C组内.
(5)400-40-80=280(人),280÷400×100%=70%,
80 000×70%=56 000(人).
∴达到国家规定体育活动时间的学生人数为56 000.
20.解析 (1) 30;46.
(2)当0≤x≤4时,y=10x,
当x>4时,y=40+10×60%×(x-4)=6x+16,
{10x(0≤x≤4),
∴y=
6x+16(x>4).
(3)当x=10时,y =6×10+16=76,y =10×10×80%=80,
甲 乙
∵76<80,∴她在甲超市购买更划算.
21.解析 (1)证明:如图1,过点O作OM⊥BC于点M,
图1
∵BD是菱形ABCD的对角线,
∴∠ABD=∠CBD.
∵OM⊥BC,OE⊥AB,∴OE=OM,
∴BC是☉O的切线.
1
(2)①∵G是OF的中点,OF=OH,∴OG= OH.
2
∵AB∥CD,OE⊥AB,∴OF⊥CD,
1
∴∠OGH=90°,∴sin∠GHO= ,
2
∴∠GHO=30°,
∴∠GOH=60°,∴∠HOE=120°.
∴ OOGH==24,,∵
120×4×π 8
⏜
∴由弧长公式,得到 的长= = π.
HE
180 3
②解法一:如图2,过点D作DN⊥AB于点N,图2
DG OG
∵AB∥CD,∴△ODG∽△OBE,∴ = ,∴BE=2DG=2.
BE OE
易证四边形NEGD是矩形,∴NE=DG=1.
设AD=AB=x.
15
在Rt△ADN中,x2=(x-3)2+62,∴x= .
2
1
解法二:如图3,过A作AN⊥BD于点N,则ND= BD,
2
图3
∴ DOGD==1√,5O,GO=B2=,2O√E5=,OH=4,∵
3√5
∴BD=3√5,DN= ,
2
DO DG 15
易得△DOG∽△DAN,∴ = ,∴AD= .
DA DN 2
22.解析 (1)设漫灌方式每亩用水x吨,则x×100+100×30%x+100×20%x=15 000,解得x=100,
漫灌用水:100×100=10 000(吨),
喷灌用水:30%×10 000=3 000(吨),
滴灌用水:20%×10 000=2 000(吨).
答:漫灌方式每亩用水100吨,漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10 000吨、3 000吨、2
000吨.
(2)由题意,得100×(1-2m%)×100×(1-m%)+100×(1+m%)×30×(1-m%)+100×(1+m%)×20×(1-
m%)=15 000×( 9 ),
1- m%
5
解得m=0(舍去),m =20,所以m=20.
1 2
9
(3)相比去年因用水量减少所节省的水费:15 000× m%×2.5=13 500(元),
5
维修投入:300×30=9 000(元),
新增设备:100×2m%×100=4 000(元),
13 500>9 000+4 000,
∴相比去年因用水量减少所节省的水费大于今年的以上两项投入之和.
23.解析 (1)证明:在矩形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,
∵EF⊥CD,∴∠EFC=90°,∴四边形BEFC是矩形.
∴ B矩E形=BBCE,∵FC是正方形.
(2)①证明:∵∠GCK=∠DCH=90°,∠GE'H=90°,
∴∠CDF'+∠H=90°,∠G+∠H=90°,∴∠G=∠CDF',
又∵B'C=F'C,∠GB'C=∠DF'C,
∴△CGB'≌△CDF',∴GC=DC.②解法一:设正方形B'CF'E'的边长为a,
∵B'E'∥CF',∴△B'KO∽△F'CO,
B'K OK 1 1 1
∴ = = ,∴B'K= B'C=KE'= a,
F'C OC 2 2 2
∴在Rt△B'KC中,B'K2+B'C2=CK2,
∴(1 ) 2+a2=32,∴a=6√5.
a
2 5
∵B'E'∥CF',∴△DKE'∽△DCF',
1
DE' KE' a 1
∴ = =2 = ,∴DE'=E'F'=a,
DF' CF' 2
a
易得△DKE'∽△PDE',∴DE'2=KE'·PE',
1 5
∴a2= a·PE',∴PE'=2a,∴PK= a.
2 2
易得△PKD≌△GKC,∴PG=2PK=5a,
∴PG=5a=6√5.
解法二:如图,过点P作PM⊥GH,交GH的延长线于点M,
由(2)①知CG=CD,
由解法一,可知CD=2CK,∴CG=6,
由解法一,可知K为GP的中点,从而PM=2CK=6,GM=2CG=12,从而由勾股定理得PG=6√5.
(3)解法一:如图,延长B'F'与BH的延长线交于点R,
由题意可知,CF'∥GP,RB'∥BM,∴∠G=∠F'CR,
F'H 1
∴tan∠G=tan∠F'CH= = .
CF' 2
∴设F'H=x,CF'=2x,则CH=√5x.
∴CB'=CF'=E'F'=B'E'=BC=2x.
F'H RH RF' 1
∵CB'∥HE',∴△RB'C∽△RF'H,∴ = = = ,
B'C RC RB' 2
∴CH=RH,B'F'=RF',∴CR=2CH=2√5x,S =2S .
△CF'R △CF'H
∵CB'∥HE',∴△GB'C∽△GE'H,
GC B'C 2x 2 GB+2x B'C 2
∴ = = = ,∴ = = ,
GH E'H 3x 3 GB+2x+√5x E'H 3
∴GB=2(√5-1)x.
易证△GBM∽△CRF',
∴ S △GMB =(GB) 2 =[2(√5-1)x] 2 =6-2√5.
S CR 2√5x 5
△CF'R∵S
△CF'R
=2S
△CF'H
,∴ S
△GMB
=12-4√5.
S 5
△CF'H
解法二:如图,过点B作BN⊥PG,垂足为点N.
由题意可知,CF'∥GP,HE'∥BN,∴∠F'CH=∠G,∠HF'C=∠HE'G,∠BNG=∠HE'G,∴∠BNG=∠HF'C,
∴△GBN∽△CHF',∴ S
△GBN
=(GB) 2 .
S CH
△CHF'
∵CF'∥GP,∴∠G=∠F'CH.
CB' F'H 1
∴tan∠G=tan∠F'CH= = = .
GB' CF' 2
设F'H=x,则CF'=CB'=B'E'=E'F'=BC=2x,GB'=4x,
∴CH=√5x,CG=2√5x,则GB=2(√5-1)x,
∴ S △GBN =(GB) 2 =[2(√5-1)x] 2 =4(6-2√5).
S CH √5x 5
△CHF'
1 4(6-2√5)
∵S = CF'·F'H=x2,∴S = x2.
△CF'H
2
△GBN
5
∵CB'∥BN,∴△GBN∽△GCB',
BN GB 2(√5-1)x 5-√5
∴ = = = .
CB' GC 2√5x 5
∵CB'∥BN,BM∥B'F',CF'∥GB',∴△MBN∽△F'B'C.
∴ S △MBN =( BN ) 2 =(5-√5) 2 =6-2√5,
S CB' 5 5
△B'F'C
6-2√5 2(6-2√5)
∴S = S = x2,
△MBN △B'F'C
5 5
∴S
△MBG
=S
△NBG
-S
△MBN
=4(6-2√5)x2-2(6-2√5)x2=2(6-2√5)x2,∴ S
△GBM
=12-4√5.
5 5 5 S 5
△CF'H
解法三:如图,设AB与PG交于N点.
∵CF'∥GP,∴∠G=∠F'CH,
F'H 1
∴tan∠G=tan∠F'CH= = .
CF' 2
设F'H=x,则CF'=CB'=B'E'=E'F'=BC=2x,GB'=4x.
由题意可知,CF'∥GP,BM∥B'F',BN∥CO,∴△MBN∽△F'CO,∴ S
△MBN
=(BN) 2 .
S CO
△F'OC
由解法二可知,GB=2(√5-1)x,∴BN=(√5-1)x.
1 2 2
易得CK=√5x,KO= OC,∴CO= CK= √5x,
2 3 3
∴ S △MBN =9(6-2√5).
S 20
△F'OC
2 1 4
∵S =2x·2x· × = x2,
△F'OC
3 2 3
9(6-2√5) 4 3(6-2√5)
∴S = × x2= x2.
△BMN
20 3 5
1
∵S = ·BG·BN=(√5-1)2x2=(6-2√5)x2,
△GBN
2
3(6-2√5) 2(6-2√5)
∴S =S -S =(6-2√5)x2- x2= x2.
△GBM △GBN △NBM
5 5
∵S
△CF'H
=1·CF'·F'H=x2,∴ S
△GMB
=12-4√5.
2 S 5
△CF'H
24.解析 (1)∵y =-(x+4)(x-n),
1
令y=0,则-(x+4)(x-n)=0,∴x =-4,x=n,∴A(-4,0).
1 1 2
(2)∵y =-(x+4)(x-n)=-x2+(n-4)x+4n,
1
1
∴k= n2+2n+4.
1
4
∵y =-(x+2n)2-n2+2n+9,∴k =-n2+2n+9.
2 2
1
(3)k= n2+2n+4,k =-n2+2n+9.
1 2
4
1 5
k-k= n2+2n+4-(-n2+2n+9)= n2-5.
1 2
4 4
5
解法一:令y= n2-5(-4≤n≤4).如图所示,
4当-4≤n<-2时,k>k,当-2<n<2时,k<k,
1 2 1 2
当2<n≤4时,k>k,当n=-2或n=2时,k=k.
1 2 1 2
5
解法二:当 n2-5>0时,n>2或n<-2,即当-4≤n<-2或2<n≤4时,k>k.
1 2
4
5
当 n2-5<0时,-2<n<2,即当-2<n<2时,k<k.
1 2
4
5
当 n2-5=0时,n=2或n=-2,即当n=2或n=-2时,k=k.
1 2
4
解法三:如图所示,
当-4≤n<-2时,k>k,当-2<n<2时,k<k,
1 2 1 2
当2<n≤4时,k>k,当n=-2或n=2时,k=k.
1 2 1 2
(4)设直线MN的解析式为y=kx+b(k≠0),
则{(2n+9)k+b=-5n2,①
2nk+b=9-5n2,②
由①-②,得k=-1,∴b=-5n2+2n+9,
∴直线MN的解析式为y=-x-5n2+2n+9.
第一种情况,当直线MN经过两抛物线的交点时,如图,
联立抛物线y=-x2+(n-4)x+4n与y=-x2-4nx-5n2+2n+9的解析式可得(5n-4)x=-5n2-2n+9.
1 2联立直线y=-x-5n2+2n+9与抛物线y=-x2-4nx-5n2+2n+9的解析式可得x2+(4n-1)x=0,则
2
x=0,x=1-4n.
1 2
当x=0时,把x=0代入y=-x2+(n-4)x+4n得y=4n,
1
把x=0,y=4n代入直线的解析式得4n=-5n2+2n+9,
-1±√46
∴5n2+2n-9=0,∴n= .
5
此时直线MN与抛物线y=-x2+(n-4)x+4n,y =-(x+2n)2-n2+2n+9的公共点恰好为三个不同点.
1 2
当x=1-4n时,把x=1-4n代入(5n-4)x=-5n2-2n+9得(5n-4)(1-4n)=-5n2-2n+9,即15n2-23n+13=0,
该方程的根的判别式Δ<0,所以该方程没有实数根.
第二种情况:直线MN与抛物线y=-x2+(n-4)x+4n或与抛物线y=-(x+2n)2-n2+2n+9只有一个
1 2
公共点.
当直线MN与抛物线y=-x2+(n-4)x+4n只有一个公共点时,如图,
1
联立直线y=-x-5n2+2n+9与抛物线y=-x2+(n-4)x+4n的解析式,可得-x2+(n-3)x+5n2+2n-9=0,
1
易知Δ=0,即(n-3)2+4(5n2+2n-9)=0,
-1±2√142
∴21n2+2n-27=0,∴n= .
21
由第一种情况可知直线MN与抛物线y=-x2-4nx-5n2+2n+9的公共点的横坐标为x=0,x=1-
2 1 2
4n,
-1±2√142
当n= 时,1-4n≠0,∴x ≠x.
1 2
21
∴此时直线MN与抛物线y=-x2+(n-4)x+4n,y =-x2-4nx-5n2+2n+9的公共点恰好为三个不同点.
1 2
当直线MN与抛物线y=-x2- 4nx-5n2+2n+9只有一个公共点时,如图,
2
1
∵x =0,x=1-4n,∴n= ,
1 2
4
联立直线y=-x-5n2+2n+9与抛物线y=-x2+(n-4)x+4n的解析式,可得-x2+(n-3)x+5n2+2n-9=0,
1
Δ=(n-3)2+4(5n2+2n-9)=21n2+2n-27,
1
当n= 时,Δ<0,
4
1
此时直线MN与两抛物线的公共点只有一个,∴n≠ .
4
-1+√46 -1-√46 -1+2√142 -1-2√142
综上所述,n的值为 或 或 或 .
5 5 21 21
