2014 年武汉市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
下列各题中均有四个备选答案,其中有且只有一个是正确的.
1.在实数-2、0、2、3中,最小的实数是( )
A.-2B.0 C.2 D.3
2. 若代数式√x-3在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x≥-3 B.x>3 C.x≥3 D.x≤3
3.光速约为300 000千米/秒,将数字300 000用科学记数法表示为( )
A.3×104 B.3×105 C.3×106 D.30×104
4.在一次中学生田径运动会上,参加跳高的15名运动员的成绩如下表所示:
成绩(m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 1 2 4 3 3 2
那么这些运动员跳高成绩的众数是( )
A.4 B.1.75 C.1.70 D.1.65
5.下列代数运算正确的是( )
A.(x3)2=x5 B.(2x)2=2x2 C.x3·x2=x5 D.(x+1)2=x2+1
6.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)、B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内
1
将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD,则端点C的坐标为( )
2
A.(3,3) B.(4,3) C.(3,1) D.(4,1)
7.下图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体.其俯视图是( )
8.为了解某一路口某一时段的汽车流量,小明同学10天中在同一时段统计通过该路口的汽车
数量(单位:辆),将统计结果绘制成如下折线统计图:由此估计一个月(30天)该时段通过该路口的汽车数量超过200辆的天数为( )
A.9 B.10 C.12 D.15
9.观察下列一组图形中点的个数,其中第1个图中共有4个点,第2个图中共有10个点,第3个
图中共有19个点,…….
按此规律第5个图中共有点的个数是( )
A.31B.46 C.51 D.66
10.如图,PA、PB切☉O于A、B两点,CD切☉O于点E,交PA、PB于C、D,若☉O的半径为
r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是( )
5 12 3 2
A. √13 B. C. √13 D. √13
12 5 5 3
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.计算:-2+(-3)= .
12.分解因式:a3-a= .
13.如图,一个转盘被分成7个相同的扇形,颜色分为红、黄、绿三种,指针的位置固定,转动转
盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线
时,当作指向右边的扇形),则指针指向红色的概率为 .
14.一次越野跑中,当小明跑了1 600米时,小刚跑了1 400米,小明、小刚在此后所跑的路程
y(米)与时间t(秒)之间的函数关系如图所示,则这次越野跑的全程为 米.k
15.如图,若双曲线y= 与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点,且
x
OC=3BD,则实数k的值为 .
16.如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,则BD的长为 .
三、解答题(共9小题,共72分)
下列各题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分6分)
2 3
解方程: = .
x-2 x
18.(本小题满分6分)
已知直线y=2x-b经过点(1,-1),求关于x的不等式2x-b≥0的解集.19.(本小题满分6分)
如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD,求证:AB∥CD.
20.(本小题满分7分)
如图,在直角坐标系中,A(0,4),C(3,0).
(1)①画出线段AC关于y轴对称的线段AB;
②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角,得到对应线段CD,使得AD∥x轴,请画出线段CD;
(2)若直线y=kx平分(1)中四边形ABCD的面积,请直接写出实数k的值.21.(本小题满分7分)
袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球.
(1)先从袋中摸出1个球后放回,混合均匀后再摸出1个球.
①求第一次摸到绿球,第二次摸到红球的概率;
②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率;
(2)先从袋中摸出1个球后不放回,再摸出1个球,则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的
概率是多少?请直接写出结果.
22.(本小题满分8分)
如图,AB是☉O的直径,C,P是 ⏜ 上两点,AB=13,AC=5.
AB
(1)如图①,若点P是 ⏜ 的中点,求PA的长;
AB
(2)如图②,若点P是 ⏜ 的中点,求PA的长.
BC
图① 图②
23.(本小题满分10分)
九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关
信息如下表:
时间x(天) 1≤x<50 50≤x≤90售价(元/件) x+40 90
每天销量(件) 200-2x
已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4 800元?请直接写出结果.
24.(本小题满分10分)
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5
cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B
匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连结PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)连结AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值;
(3)试证明:PQ的中点在△ABC的一条中位线上.25.(本小题满分12分)
1
如图,已知直线AB:y=kx+2k+4与抛物线y= x2交于A、B两点.
2
(1)直线AB总经过一个定点C,请直接写出点C的坐标;
1
(2)当k=- 时,在直线AB下方的抛物线上求点P,使△ABP的面积等于5;
2
(3)若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°,求点D到直线AB的最大距离.
备用图
答案全解全析：
一、选择题
1.A ∵-2<0<2<3,∴最小的实数是-2,故选A.
评析 本题考查了实数的大小比较,属容易题.
2.C 要使√x-3在实数范围内有意义,则需x-3≥0,解得x≥3.故选C.
评析 本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数大于等于零,属容易题.
3.B 300 000用科学记数法可表示为3×105.故选B.
评析 本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整
数,属容易题.
4.D ∵1.65出现了4次,出现的次数最多,∴这些运动员跳高成绩的众数是1.65,故选D.
评析 本题考查了众数的定义,众数是一组数据中出现次数最多的数,属容易题.
5.C (x3)2=x6,故 A 选项错误 ;(2x)2=4x2,故 B 选项错误 ; x3·x2=x5,故 C 选项正确 ;
(x+1)2=x2+2x+1,故D选项错误.故选C.
6.A ∵线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)、B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内
1
将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD,∴端点C的坐标为(3,3).故选A.
2
评析 本题主要考查位似图形的性质,属容易题.
7.C 从上面看可得到一行正方形,其个数为3,故选C.
评析 本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图,属容易题.
4
8.C 由题图可知,10天中在同一时段通过该路口的汽车数量超过200辆的有4天,频率为
10
=0.4,所以估计一个月(30天)该时段通过该路口的汽车数量超过200辆的天数为30×0.4=12,故选C.
评析 本题考查了折线统计图及用样本估计总体的思想,属容易题.
9.B 第1个图中共有1+1×3=4个点,第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点,第3个图中共有
1+1×3+2×3+3×3=19个点,…,第n个图中有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点.
所以第5个图中共有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46.故选B.
评析 本题是规律探索题,属容易题.
10.B 连结OA、OB、OP,延长BO交PA的延长线于点F.
∵PA、PB切☉O于A、B两点,CD切☉O于点E,
∴∠OAP=∠OBP=90°,CA=CE,DB=DE,PA=PB.
3
∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r,∴PA=PB= r.
2
{∠FAO=∠FBP,
在Rt△OAF和Rt△BFP中,
∠OFA=∠PFB,
∴Rt△AFO∽Rt△BFP.
r
AF AO 2 2
∴ = =3 = ,∴AF= FB.
FB BP r 3 3
2
在Rt△FBP中,PF2-PB2=FB2,
∴(PA+AF)2-PB2=FB2,∴(3 2 ) 2-(3 ) 2=BF2,
r+ BF r
2 3 2
18
r
18 BF 5 12
解得BF= r,∴tan∠APB= = = ,故选B.
5 PB 3 5
r
2
评析 本题主要考查切线的性质,相似三角形的判定及三角函数的定义,属难题.
二、填空题
11.答案 -5
解析 -2+(-3)=-(2+3)=-5.
评析 本题考查有理数加法的运算,属容易题.
12.答案 a(a+1)(a-1)
解析 a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1).
评析 本题考查利用提公因式法和公式法分解因式,属容易题.
3
13.答案
7
3
解析 ∵一个转盘被分成7个相同的扇形,红色的有3个,∴指针指向红色的概率为 .
7
14.答案 2 200
解 析 设 小 明 的 速 度 为 a 米 / 秒 , 小 刚 的 速 度 为 b 米 / 秒 , 由 题 意 , 得{1 600+100a=1 400+100b, {a=2,
解得
1 600+300a=1 400+200b, b=4,
∴这次越野跑的全程为1 600+300×2=2 200(米).
评析 本题考查了行程问题的数量关系及二元一次方程组的解法,属容易题.
9√3
15.答案
4
解析 过点C作CE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F,
设BF=x,则DF=√3x,BD=2x.
因为OC=3BD,所以OE=3x,CE=3√3x,
所以C(3x,3√3x),D(5-x,√3x).
因为点C、D都在双曲线上,所以3x·3√3x=√3x·(5-x),
解得x=1,x=0(舍去),所以C(3 3√3),
1 2 ,
2 2 2
3√3 3 9√3
故k= × = .
2 2 4
评析 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是利用k的值相同建立
方程,属中等偏难题.
16.答案 √41
解析 作AD'⊥AD,且使AD'=AD,连结CD',DD',如图.
由已知条件可得∠BAC+∠CAD=∠DAD'+∠CAD,即∠BAD=∠CAD'.
在△BAD与△CAD'中,
{
BA=CA,
∠BAD=∠CAD',∴△BAD≌△CAD'(SAS),
AD=AD',
∴BD=CD'. 又 ∠ DAD'=90°, 由 勾 股 定 理 得 DD'= = =4 , 易 知
√AD2+(AD')2 √32 √2
∠D'DA+∠ADC=90°,由勾股定理得CD'= = = ,
√DC2+(DD')2 √9+32 √41
∴BD=CD'=√41.
评析 本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质,属难题.
三、解答题
17.解析 方程两边同乘以x(x-2),得2x=3(x-2).
解得x=6.
检验:当x=6时,x(x-2)≠0.∴x=6是原分式方程的解.
评析 本题考查了解分式方程,解分式方程一定要注意验根,属容易题.
18.解析 ∵直线y=2x-b经过点(1,-1),
∴-1=2×1-b.
∴b=3.
∴不等式2x-b≥0即为2x-3≥0,
3
解得x≥ .
2
{
OA=OC,
19.证明 在△AOB和△COD中, ∠AOB=∠COD,
OB=OD,
∴△AOB≌△COD.
∴∠A=∠C,∴AB∥CD.
20.解析 (1)如图所示:
4
(2) .
3
评析 本题考查利用旋转、轴对称变换作图,属容易题.
21.解析 (1)分别用R ,R 表示2个红球,G ,G 表示2个绿球,列表如下:
1 2 1 2
第二次
R R G G
1 2 1 2
第一次
R R R R R R G R G
1 1 1 1 2 1 1 1 2
R R R R R R G R G
2 2 1 2 2 2 1 2 2
G GR GR GG GG
1 1 1 1 2 1 1 1 2
G GR GR GG GG
2 2 1 2 2 2 1 2 2
由上表可知,有放回地摸2个球共有16个等可能结果.
①其中第一次摸到绿球,第二次摸到红球的结果有4个.
4 1
∴第一次摸到绿球,第二次摸到红球的概率P= = ;
16 4
②其中两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的结果有8个.
8 1
∴两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率P= = .
16 2
画树形图法按步骤给分(略).
2
(2) .
3
22.解析 (1)如图,连结PB,BC.
∵AB是☉O的直径,P是 ⏜ 的中点,
AB
∴PA=PB,∠APB=90°.
√2 13√2
∵AB=13,∴PA= AB= .
2 2(2)如图,连结PB,BC.连结OP交BC于D点.
∵P是 ⏜ 的中点,∴OP⊥BC于D,BD=CD.
BC
1 5
∵OA=OB,∴OD= AC= .
2 2
1 13 13 5
∵OP= AB= ,∴PD=OP-OD= - =4.
2 2 2 2
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
1
∵AB=13,AC=5,∴BC=12,∴BD= BC=6.
2
∴PB= =2 .
√PD2+BD2 √13
∵AB是☉O的直径,∴∠APB=90°,∴PA= =3 .
√AB2-PB2 √13
23.解析 (1)y={-2x2+180x+2 000(1≤x<50),
-120x+12 000(50≤x≤90).
(2)当1≤x<50时,y=-2x2+180x+2 000=-2(x-45)2+6 050.
∵-2<0,∴当x=45时,y有最大值,最大值为6 050元.
当50≤x≤90时,y=-120x+12 000,∵-120<0,∴y随x的增大而减小.
当x=50时,y有最大值,最大值为6 000元.
∴当x=45时,当天的销售利润最大,最大利润为6 050元.
(3)41天.
评析 本题考查利用函数的性质解决实际问题,属中等难度题.
24.解析 (1)由题意知,BP=5t cm,CQ=4t cm,∴BQ=(8-4t)cm.
BP BQ 5t 8-4t
当△PBQ∽△ABC时,有 = .即 = ,解得t=1.
AB BC 10 8
BQ BP 8-4t 5t 32
当△QBP∽△ABC时,有 = .即 = ,解得t= .
AB BC 10 8 41
32
∴△PBQ与△ABC相似时,t=1或 .
41
(2)如图,过点P作PD⊥BC于D.
依题意,得BP=5t cm,CQ=4t cm.则PD=PB·sin B=3t cm,
∴BD=4t cm,CD=(8-4t)cm.
∵AQ⊥CP,∠ACB=90°,
∴tan∠CAQ=tan∠DCP.CQ PD 4t 3t 7
∴ = .∴ = ,∴t= .
AC CD 6 8-4t 8
(3) 证 明 : 如 图 , 过 点 P 作 PD⊥AC 于 D, 连 结 DQ 、 BD,BD 交 PQ 于 M, 则
8
PD=AP·cos∠APD=AP·cos∠ABC=(10-5t)× =(8-4t)cm.
10
而BQ=(8-4t)cm,∴PD=BQ,又PD∥BQ,∴四边形PDQB是平行四边形.∴点M是PQ和BD的中
点.
过点M作EF∥AC交BC,BA于E,F两点.
BE BM
则 = =1,即E为BC的中点.同理,F为BA的中点.
EC MD
∴PQ的中点M在△ABC的中位线EF上.
25.解析 (1)(-2,4).
1
(2)如图,直线y=- x+3与y轴交于点N(0,3).在y轴上取点Q(0,1),易得S =5.
2
△ABQ
过点Q作PQ∥AB交抛物线于点P.
1
则PQ的解析式为y=- x+1,
2
1
{y=- x+1, {x=1,
由 2 解得{x=-2,或
1
1 y=2, y= ,
y= x2, 2
2
∴P点坐标为(-2,2)或( 1).
1,
2
(3)如图,设A(
x ,
1 x2),B(
x ,
1 x2),D(
m,
1 m2).
1 2 1 2 2 2 2{y=kx+2k+4,
联立 消去y得x2-2kx-4k-8=0.
1
y= x2,
2
∴x+x=2k,x·x=-4k-8.
1 2 1 2
过点D作EF∥x轴,过点A作y轴的平行线交EF于点E,过点B作y轴的平行线交EF于点F.
AE DE
由△ADE∽△DBF,得 = .
DF BF
1 1 m-x
x2- m2 1
∴2 1 2 =1 1 ,整理,得xx+m(x +x)+m2=-4.∴2k(m-2)+m2-4=0.
x2- m2 1 2 1 2
x -m 2 2 2
2
当m-2=0,即m=2时,点D的坐标与k无关,∴点D的坐标为(2,2).
又∵C(-2,4),所以CD=2√5,过点D作DM⊥AB,垂足为M.则DM≤CD.
当CD⊥AB时,点D到直线AB的距离最大,最大距离为2√5.
评析 本题考查解方程组、一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、相
似三角形的判定与性质等知识,考查了通过解方程组求两函数图象交点坐标等,综合性比较强,
属难题.
