2016 年武汉市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的)
1.实数√2的值在( )
A.0和1之间 B.1和2之间
C.2和3之间 D.3和4之间
1
2.若代数式 在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是( )
x-3
A.x<3 B.x>3 C.x≠3 D.x=3
3.下列计算中正确的是( )
A.a·a2=a2B.2a·a=2a2
C.(2a2)2=2a4 D.6a8÷3a2=2a4
4.不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球,其中4个黑球、2个白球,从袋
子中一次摸出3个球.下列事件是不可能事件的是( )
A.摸出的是3个白球
B.摸出的是3个黑球
C.摸出的是2个白球、1个黑球
D.摸出的是2个黑球、1个白球
5.运用乘法公式计算(x+3)2的结果是( )
A.x2+9 B.x2-6x+9 C.x2+6x+9 D.x2+3x+9
6.已知点A(a,1)与点A'(5,b)关于坐标原点对称,则实数a,b的值是( )
A.a=5,b=1 B.a=-5,b=1
C.a=5,b=-1 D.a=-5,b=-1
7.如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体,其左视图是( )
8.某车间20名工人日加工零件数如下表所示:
日加工零件
4 5 6 7 8
数
人数 2 6 5 4 3
这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是( )
A.5,6,5 B.5,5,6 C.6,5,6 D.5,6,6
9.如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=2√2,点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长是( )
A.√2π B.π C.2√2 D.2
10.平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足
条件的点C的个数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.计算5+(-3)的结果为 .
12.某市2016年初中毕业生人数约为63 000,数63 000用科学记数法表示为 .
13.一个质地均匀的小正方体,6个面分别标有数字1,1,2,4,5,5,若随机投掷一次小正方体,则朝
上一面的数字是5的概率为 .
14.如图,在▱ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD'E处,AD'与CE交于点F,
若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED'的大小为 .
15.将函数y=2x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后,所得的折线
是函数y=|2x+b|(b为常数)的图象,若该图象在直线y=2下方的点的横坐标x满足0<x<3,则
b的取值范围为 .
16.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5√5,则BD长为 .
三、解答题(共8小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分8分)
解方程5x+2=3(x+2).
18.(本小题满分8分)
如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证AB∥DE.19.(本小题满分8分)
某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况,随机调查
了若干名学生,根据调查数据进行整理,绘制了如下的不完整统计图.
请你根据以上的信息,回答下列问题:
(1)本次共调查了 名学生,其中最喜爱戏曲的有 人;在扇形统计图中,最喜爱
体育的对应扇形的圆心角大小是 ;
(2)根据以上统计分析,估计该校2 000名学生中最喜爱新闻的人数.
20.(本小题满分8分)
4
已知反比例函数y= .
x
(1)若该反比例函数的图象与直线y=kx+4(k≠0)只有一个公共点,求k的值;
4
(2)如图,反比例函数y= (1≤x≤4)的图象记为曲线C ,将C 向左平移2个单位长度,得曲线
1 1
x
C .请在图中画出C ,并直接写出C 平移至C 处所扫过的面积.
2 2 1 2
21.(本小题满分8分)
如图,点C在以AB为直径的☉O上,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,AD交☉O于点E.
(1)求证:AC平分∠DAB;
4 AF
(2)连接BE交AC于点F,若cos∠CAD= ,求 的值.
5 FC22.(本小题满分10分)
某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.已知产销两种产品的有
关信息如下表:
产
每件售价(万元)每件成本(万元)每年其他费用(万元)每年最大产销量(件)
品
甲 6 a 20 200
乙 20 10 40+0.05x2 80
其中a为常数,且3≤a≤5.
(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y 万元、y 万元,直接写出y ,y 与x的函数关系式;
1 2 1 2
(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;
(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由.
23.(本小题满分10分)
在△ABC中,P为边AB上一点.
(1)如图1,若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP·AB;
(2)若M为CP的中点,AC=2.
①如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;
②如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.
图1 图2 图3
24.(本小题满分12分)
抛物线y=ax2+c与x轴交于A,B两点,顶点为C,点P在抛物线上,且位于x轴下方.
(1)如图1,若P(1,-3),B(4,0).
①求该抛物线的解析式;②若D是抛物线上一点,满足∠DPO=∠POB,求点D的坐标;
OE+OF
(2)如图2,已知直线PA,PB与y轴分别交于E,F两点,当点P运动时, 是否为定值?若
OC
是,试求出该定值;若不是,请说明理由.
答案全解全析：
一、选择题
1.B ∵√1<√2<√4,∴1<√2<2,故选B.
2.C 由分式有意义的条件得x-3≠0,解得x≠3.故选C.
3.B A 项:a·a2=a1+2=a3,错误;B 项:2a·a=2a1+1=2a2,正确;C 项:(2a2)2=4a2×2=4a4,错误;D
项:6a8÷3a2=2a8-2=2a6,错误.故选B.
4.A 袋子中只有2个白球,所以“摸出的是3个白球”是不可能事件.故选A.
5.C 根据乘法公式得(x+3)2=x2+6x+9.故选C.
6.D ∵点A(a,1)与点A'(5,b)关于坐标原点对称,∴a=-5,b=-1,故选D.
7.A 从左面看到的是上下叠放且有一条等于a的公共边的两个长方形.故选A.
评析 主视图、左视图、俯视图分别是从正面、左面、上面三个方向看同一个物体所得到
的平面图形.
8.D 日加工零件数为5的有6人,出现的次数最多,则众数是5;把这些数据从小到大排列,中
6+6
位 数 是 第 10 和 第 11 个 数 据 的 平 均 数 , 则 中 位 数 = =6; 平 均 数 是
2
4×2+5×6+6×5+7×4+8×3
=6,故选D.
20
评析 解此类题的关键是掌握中位数、众数、平均数的概念.
9.B 如图,当点P位于弧AB的中点时,M为AB的中点.∵AC=BC=2√2,∴AB=4,CM=2,设
M ,M 分别为AC,BC的中点,连接M M ,交CP于点O,则M M =2,OM =OM =OC=OM=1,当
1 2 1 2 1 2 1 2
点P沿半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径是以点O为圆心,1为半径的半圆.所以点
M运动的路径长为π,故选B.10.A 如图,①当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),
即O(0,0),C (0,4),其中点C 与A、B两点共线,不符合题意;②当AB=BC时,以点B为圆心,AB
0 0
长为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;③当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标
轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.
二、填空题
11.答案 2
解析 5+(-3)=2.
12.答案 6.3×104
解析 63 000=6.3×104.
1
13.答案
3
解析 因为小正方体6个面分别标有数字1,1,2,4,5,5,其中数字为5的情况有2种,所以随机
2 1
投掷一次小正方体,朝上一面的数字是5的概率为 = .
6 3
14.答案 36°
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∠B=52°,∴∠D=52°,∵∠DAE=20°,
∴ ∠ AED=180°-20°-52°=108°,∠ AEC=20°+52°=72°. 由 折 叠 的 性 质 可 得
∠AED'=∠AED=108°,∴∠FED'=∠AED'-∠AEC=108°-72°=36°.
评析 本题是平行四边形与折叠相结合的问题,要熟练掌握平行四边形的性质,解决折叠问题
的关键是折叠前后的图形全等,把对应边和对应角进行转化.
15.答案 -4≤b≤-2
b b
解析 令|2x+b|<2,则-1- <x<1- ,∵函数y=|2x+b|(b为常数)的图象在直线y=2下方的点
2 2
b b
的横坐标x满足0<x<3,∴- -1≥0,1- ≤3,解得-4≤b≤-2.
2 2
16.答案 2√41
解 析 如 图 , 连 接 AC, 过 点 D 作 DE⊥ BC, 交 BC 的 延 长 线 于
E.∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=5,∵CD=10,DA=5√5,∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°,∴
∠ACB+∠DCE=90°,
AC
∵∠ACB+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DCE,又∵∠ABC=∠DEC=90°,∴△ABC∽△CED,∴ =
CD
AB BC 5 3 4
= , 即 = = ,∴ CE=6,DE=8. 在 Rt△ BED 中 ,BD=√BE2+DE2=
CE DE 10 CE DE
=2 .
√(4+6)2+82 √41三、解答题
17.解析 5x+2=3x+6,(3分)
2x=4,(6分)
x=2.(8分)
18.证明 ∵BE=CF,∴BC=EF.(2分)
{AB=DE,
在△ABC和△DEF中, BC=EF,(5分)
AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).(6分)
∴∠B=∠DEF,
∴AB∥DE.(8分)
19.解析 (1)本次调查的学生人数为4÷8%=50,
其中最喜爱戏曲的有50×6%=3(人).
18
最喜爱娱乐的学生人数占总人数的百分比为 ×100%=36%,则最喜爱体育的学生人数占总
50
人数的百分比为 1-6%-8%-30%-36%=20%,则最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小为
360°×20%=72°.(6分)
(2)2 000×8%=160(人).
答:估计该校最喜爱新闻的学生有160人.(8分)
{ 4
20.解析 (1)由 y= , 得kx2+4x-4=0(k≠0).(2分)
x
y=kx+4
∵反比例函数的图象与直线只有一个公共点,
∴Δ=16+16k=0.
∴k=-1.(4分)
(2)曲线C 如图.(6分)
2
C 平移至C 处扫过的面积为6个平方单位.(8分)
1 2
21.解析 (1)证明:连接OC.
∵CD为☉O的切线,且AD⊥CD,
∴AD∥OC,(1分)∴∠CAD=∠ACO.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠ACO,
∴∠CAD=∠CAO,即AC平分∠DAB.(3分)
(2)连接BC,记OC交BE于点G.
设AD=4t,OG=x.
4
∵∠D=90°,cos∠CAD= ,∴AC=5t.
5
4
∵cos∠BAC=cos∠CAD= ,
5
AC 4 25t
∴ = ,AB= .(5分)
AB 5 4
∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°.
则易知四边形DCGE为矩形,G为BE的中点,
25t
∴AE=2OG=2x,DE=CG= -x.
8
由2x+(25t )=4t,得x=7t.(6分)
-x
8 8
由AD∥OC可得△AEF∽△CGF,
2x
AF AE 7
∴ = =25t = .(8分)
FC CG -x 9
8
评析 对于含有切线的证明题,通常需要作辅助线构造直角三角形,一般的方法为“见切点,
连圆心”.
22.解析 (1)y =(6-a)x-20,
1
y =-0.05x2+10x-40.(2分)
2
(2)∵3≤a≤5,∴6-a>0,
∴y 随x的增大而增大.
1
∵x≤200,
∴当x=200时,y 取得最大值1 180-200a.(4分)
1
∵y =-0.05x2+10x-40=-0.05(x-100)2+460,(5分)
2
而-0.05<0,∴当x<100时,y 随x的增大而增大.
2
∵x≤80,∴当x=80时,y 取得最大值440.
2
综上,若产销甲种产品,最大年利润为(1 180-200a)万元,若产销乙种产品,最大年利润为440
万元.(7分)
(3)解法一:设w=1 180-200a-440=-200a+740.
∵-200<0,∴w随a的增大而减小.由-200a+740=0,解得a=3.7.(9分)
∵3≤a≤5,
∴当3≤a≤3.7时,选择产销甲种产品;当3.7≤a≤5时,选择产销乙种产品.(10分)
解法二:由1 180-200a<440,解得a>3.7.(9分)
∵3≤a≤5,
∴当3≤a≤3.7时,选择产销甲种产品;当3.7≤a≤5时,选择产销乙种产品.(10分)
评析 函数的应用题大多数以生活情境为背景命题,解答此类问题,应在弄懂题意的前提下,
建立函数模型,然后结合函数的图象与性质以及方程(组)、不等式的知识解答.
23.解析 (1)证明:∵∠ACP=∠B,∠A=∠A,
∴△ACP∽△ABC.(2分)
AC AB
∴ = ,∴AC2=AP·AB.(3分)
AP AC
(2)①解法一:延长PB至点D,使BD=PB,连接CD.
∵M为CP中点,∴CD∥MB.∴∠D=∠PBM,(4分)
∵∠PBM=∠ACP,
∴∠D=∠PBM=∠ACP.
由(1)得AC2=AP·AD,(5分)
设BP=x,则22=(3-x)(3+x).
解得x=√5(舍去负根),即BP=√5.(7分)
解法二:取AP的中点E,连接EM.
1
∵M为CP中点,∴ME∥AC,EM= AC=1.(4分)
2
∴∠PME=∠ACP,
∵∠PBM=∠ACP,∴∠PME=∠PBM.
由(1)得EM2=EP·EB,(5分)
设BP=x,则12=3-x·( 3-x).
3-
2 2
解得x=√5(舍去负根),即BP=√5.(7分)
②BP=√7-1.(10分)
{a+c=-3,
24.解析 (1)①依题意有 (1分)
16a+c=0,1
{ a= ,
解得 5
16
c=- .
5
1 16
∴抛物线的解析式为y= x2- .(3分)
5 5
②当点D在OP左侧时,
∵∠DPO=∠POB,∴PD∥OB.
∴D,P两点关于y轴对称,∴D(-1,-3).(4分)
当点D在OP右侧时,延长PD交x轴于点G.
作PH⊥OB于点H,则OH=1,PH=3.
∵∠DPO=∠POB,∴PG=OG.
设OG=x,则PG=x,HG=x-1.
Rt△PGH中,由x2=(x-1)2+32,得x=5.
∴点G(5,0).(6分)
3 15
∴直线PG的解析式为y= x- .
4 4
3 15 11
{y= x- , { x = ,
解方程组 4 4 得{ x =1, 2 4
1
1 16 y =-3, 27
y= x2- , 1 y =- .
5 5 2 16
∵P(1,-3),∴D(11 27).
,-
4 16
∴点D的坐标为(-1,-3)或(11 27).(8分)
,-
4 16
OE+OF
(2)解法一: 的值为定值2.理由如下:(9分)
OC
作PQ⊥AB于Q点.
设P(m,am2+c),A(-t,0),B(t,0),则at2+c=0,c=-at2.PQ BQ
∵PQ∥OF,∴ = ,
OF BO
PQ·BO -(am2+c)·t (am2-at2)·t
∴OF= = = =amt+at2.(10分)
BQ t-m m-t
同理,OE=-amt+at2.(11分)
∴OE+OF=2at2=-2c=2OC,
OE+OF
∴ =2.(12分)
OC
OE+OF
解法二: 的值为定值2.理由如下:(9分)
OC
设直线PA的解析式为y=k x+b ,直线PB的解析式为y=k x+b .
1 1 2 2
由{y=ax2+c,得ax2-k
x+c-b =0.
1 1
y=k x+b
1 1
c-b
∴x ·x = 1.(10分)
P A
a
c-b
同理,x ·x = 2.
P B
a
c-b c-b
∵x =-x ,∴ 1=- 2.(11分)
A B
a a
∴b -c=c-b ,即-b -b =-2c,OE+OF=2OC,
1 2 1 2
OE+OF
∴ =2.(12分)
OC
