年初中学业水平考试
一、精心选一选(本大题共8小题,每小题3分,满分24分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符
合题目要求的)
1.-3的相反数是( )
1 1
A.-3B. C.- D.3
3 3
2.2021年5月15日07时18分,我国首个火星探测器“天问一号”经过470 000 000公里旅
程成功着陆在火星上,从此,火星上留下中国的脚印,同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要
一步.将470 000 000用科学记数法表示为( )
A.47×107B.4.7×107
C.4.7×108 D.0.47×109
3.下列图形中,是轴对称图形,不是中心对称图形的是( )
A.正三角形 B.正方形
C.正六边形 D.圆
4.下列计算正确的是( )
A.a3+a2=a5 B.a3÷a2=a
C.3a3·2a2=6a6 D.(a-2)2=a2-4
5.如图是由四个相同的正方体组成的几何体,其俯视图是( )
A B C D
6.高尔基说:“书,是人类进步的阶梯.”阅读可以丰富知识,拓宽视野,充实生活,给我们带来愉快.
英才中学计划在各班设立图书角,为合理搭配各类书籍,学校团委以“我最喜爱的书籍”为主
题,对全校学生进行抽样调查,收集整理喜爱的书籍类型(A.科普,B.文学,C.体育,D.其他)数据
后,绘制出两幅不完整的统计图,则下列说法错误的是( )
A.样本容量为400
B.类型D所对应的扇形的圆心角为36°C.类型C所占百分比为30%
D.类型B的人数为120
7.如图,☉O是Rt△ABC的外接圆,OE⊥AB交☉O于点E,垂足为点D,AE,CB的延长线交于点
F.若OD=3,AB=8,则FC的长是( )
A.10B.8 C.6 D.4
8.如图,AC为矩形ABCD的对角线,已知AD=3,CD=4,点P沿折线C—A—D以每秒1个单位
长度的速度运动(运动到D点停止),过点P作PE⊥BC于点E,则△CPE的面积y与点P运动的
路程x间的函数图象大致是( )
A B C D
二、细心填一填(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
9.式子√a+2在实数范围内有意义,则a的取值范围是 .
10.正五边形的一个内角是 度.
11.东方红学校举行“学党史,听党话,跟党走”讲故事比赛,七位评委对其中一位选手的评分
分别为85,87,89,91,85,92,90,则这组数据的中位数为 .
12.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可以是 .
(写出一个即可)
13.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点
1
E,F;再分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点
2
D,则CD与BD的数量关系是 .
14.如图,建筑物BC上有一高为8 m的旗杆AB,从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°,观测旗
杆底部B的仰角为45°,则建筑物BC的高约为 m(结果保留小数点后一位).(参考数
据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)√5-1
15.人们把 这个数叫做黄金分割数,著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了
2
√5-1 √5+1 1 1 1 1
黄金分割数,设a= ,b= ,得ab=1,记S= + ,S = + ,……,S =
2 2 1 1+a 1+b 2 1+a2 1+b2 10
1 1
+ ,则S+S +…+S = .
1+a10 1+b10 1 2 10
16.如图,正方形ABCD中,AB=1,连接AC,∠ACD的平分线交AD于点E,在AB上截取
AF=DE,连接DF,分别交CE,CA于点G,H,点P是线段GC上的动点,PQ⊥AC于点Q,连接PH.
√2
下列结论:①CE⊥DF;②DE+DC=AC;③EA=√3AH;④PH+PQ的最小值是 .其中所有正确结
2
论的序号是 .
三、专心解一解(本大题共8小题,满分72分.请认真读题,冷静思考,解答题应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤)
17.(本题满分7分)计算:|1- |-2sin 60°+(π-1)0.
√3
18.(本题满分7分)如图,在△ABC和△DEC中,∠A=∠D,∠BCE=∠ACD.
(1)求证:△ABC∽△DEC;
(2)若S ∶S =4∶9,BC=6,求EC的长.
△ABC △DEC19.(本题满分8分)2021年,黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题,为确保联合命题的公平
性,决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科.第一轮,各市从语文、数学、
英语三个学科中随机抽取一科;第二轮,各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科;
第三轮,各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科.
(1)黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是 ;
(2)用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中,抽到的学科恰好是历史和地理的概
率.
k
20.(本题满分9分)如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=mx+n的图象相交于
x
A(a,-1),B(-1,3)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)设直线AB交y轴于点C,点N(t,0)是x轴正半轴上的一个动点,过点N作NM⊥x轴交反比
k
例函数y= 的图象于点M,连接CN,OM.若S >3,求t的取值范围.
x 四边形COMN21.(本题满分9分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O与BC,AC分别相切于点E,F,BO平分
∠ABC,连接OA.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若BE=AC=3,☉O的半径是1,求图中阴影部分的面积.
22.(本题满分10分)2021年中国共产党建党100周年,红旗中学以此为契机,组织本校师生参
加红色研学实践活动.现租用甲、乙两种型号的大客车(每种型号至少一辆)送549名学生和
11名教师参加此次实践活动,每辆汽车上至少要有一名教师.
甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如下表所示:
甲种客车 乙种客车
载客量(人/辆) 40 55
租金(元/辆) 500 600
(1)共需租 辆大客车;
(2)最多可以租用多少辆甲种型号大客车?
(3)有几种租车方案?哪种租车方案最节省钱?23.(本题满分10分)红星公司销售一种成本为40元/件的产品,若月销售价格不高于50元/件,
一个月可售出5万件;月销售价格每涨价1元,月销售量就减少0.1万件.其中月销售价格不低
于成本.设月销售价格为x(单位:元/件),月销售量为y(单位:万件).
(1)直接写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当月销售价格是多少元时,月销售利润最大,最大利润是多少万元?
(3)为响应国家“乡村振兴”政策,该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元,
已知该公司捐款当月的月销售价格不高于70元/件,月销售最大利润是78万元,求a的值.
24.(本题满分12分)已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点
C,点N(n,0)是x轴上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若n<3,过点N作x轴的垂线交抛物线于点P,交直线BC于点G,过点P作PD⊥BC
于点D,当n为何值时,△PDG≌△BNG?
3
(3)如图2,将直线BC绕点B顺时针旋转,使它恰好经过线段OC的中点,然后将它向上平移
2
个单位长度,得到直线OB .
1
①tan∠BOB = ;
1
②当点N关于直线OB 的对称点N 落在抛物线上时,求点N的坐标.
1 1
图1
图226
黄冈市2021年初中学业水平考试(参考答案)
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
D C A B C C A D
1.D 根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得-3的相反数是3.故选D.
2.C 470 000 000=4.7×108.故选C.
3.A 正方形、正六边形和圆既是轴对称图形又是中心对称图形,正三角形是轴对称图形,不
是中心对称图形.故选A.
4.B a3与a2不是同类项,不能合并,选项A错误;a3÷a2=a,选项B正确;3a3·2a2=6a5,选项C错误;
(a-2)2=a2-4a+4,选项D错误.故选B.
5.C 从上面往下看,只有一行,包含三个小正方形.故选C.
6.C 根据两个统计图中的信息可得100÷25%=400(人),所以样本容量为400,选项A中说法正
确;
类型D所对应的扇形的圆心角为360°×10%=36°,选项B中说法正确;
140
类型C所占百分比为 ×100%=35%,选项C中说法错误;
400
400-100-140-400×10%=120(人),所以类型B的人数为120,选项D中说法正确.故选C.
7.A 由已知可得AC为☉O的直径,∴∠ABC=90°.
∵OE⊥AB,∴OE∥BC.
∵OA=OC,∴OD为△ABC的中位线,OE为△ACF的中位线,
1
∴AD= AB=4,FC=2OE.
2
在Rt△AOD中,OD=3,∴OE=OA= = =5,
√AD2+OD2 √42+32
∴FC=2OE=10.故选A.
8.D ∵四边形ABCD是矩形,BC=AD=3,CD=AB=4,
∴∠D=∠B=90°,∴AC= =5.
√AD2+CD2
当P在CA上,即0≤x≤5时.
∵∠PEC=∠B=90°,∠PCE=∠ACB,∴△PCE∽△ACB,
PC CE PE x CE PE 3 4
∴ = = .即 = = ,∴CE= x,PE= x.
AC CB AB 5 3 4 5 5
1 1 4 3 6
∴y= PE·CE= · x· x= x2,∴函数图象为开口向上的抛物线,故排除选项A、C.
2 2 5 5 25
当P在AD上,即5<x≤8时.易知PE=CD=4,
1 1
CE=PD=8-x,∴y= PE·CE= ×4(8-x)=16-2x,
2 2
∴函数图象为直线,故排除选项B.故选D.二、填空题
9.答案 a≥-2
解析 根据被开方数大于等于0,得a+2≥0,解得a≥-2.
10.答案 108
解析 正五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,每一个内角为540°÷5=108°.
11.答案 89
解析 将这组数据按从小到大排序为85,85,87,89,90,91,92,位于中间的数为89,所以这组数据
的中位数为89.
12.答案 0(答案不唯一)
解析 ∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根,∴Δ=(-2)2-4·1·m=4-4m>0,
解得m<1,故可取m=0.(答案不唯一)
13.答案 BD=2CD
解析 过点D作DG⊥AB,垂足为点G.
由尺规作图可知AD平分∠CAB.
∵∠C=90°,DG⊥AB,∴CD=DG.
在Rt△BDG中,∠B=30°,∴2DG=BD,∴BD=2CD.
14.答案 24.2
解析 在Rt△BCD中,∠BCD=90°,∠BDC=45°,∴BC=CD.
设BC=CD=x m,则AC=(x+8)m.
AC x+8
在Rt△ACD中,tan∠ADC= = =tan 53°,
CD x
∴x+8≈1.33x,解得x≈24.2.
∴建筑物BC的高约为24.2 m.
15.答案 10
1 1 1+b+1+a 2+a+b 2+a+b
解析 S= + = = = =1,
1 1+a 1+b (1+a)(1+b) 1+a+b+ab 2+a+b
S= 1 + 1 = 1+b2+1+a2 = 2+a2+b2 =2+a2+b2 =1,
2
1+a2 1+b2 (1+a2)(1+b2) 1+a2+b2+a2b2 2+a2+b2
S= 1 + 1 = 1+b3+1+a3 = 2+a3+b3 =2+a3+b3 =1,
3
1+a3 1+b3 (1+a3)(1+b3) 1+a3+b3+a3b3 2+a3+b3
……,
1 1
以此类推,S = + =1.
10 1+a10 1+b10
⏟1+1+…+1
所以S+S +…+S = =10.
1 2 10
10个
16.答案 ①②④
解析 在正方形ABCD中,CD=DA,∠CDE=∠DAF=90°.
∵DE=AF,∴△CDE≌△DAF(SAS),∴∠DCE=∠ADF.
∵∠CDF+∠ADF=90°,∴∠CDF+∠DCE=90°,
∴∠DGC=90°,即CE⊥DF,故①正确.
∵CE平分∠ACD,∴∠DCG=∠HCG.
∵CG=CG,∠CGD=∠CGH=90°,∴△GCD≌△GCH(ASA),
∴CD=CH,∠CDH=∠CHD.
在正方形ABCD中,CD∥AB,∴∠CDF=∠AFD.
∵∠CHD=∠AHF,∴∠AFD=∠AHF,∴AF=AH,∴DE=AH,
∴AC=AH+CH=DE+CD,故②正确.
在正方形ABCD中,AB=BC=1,则AC=√2.∵AC=DE+CD,∴DE=√2-1=AH,
∴EA=1-(√2-1)=2-√2,
EA 2-√2
∴ = =√2,即EA=√2AH,故③错误.
AH √2-1
连接DP.∵△GCD≌△GCH,∴GD=GH.
∵CE⊥DF,∴CG垂直平分DH,∴DP=PH.
当DQ⊥HC时,PH+PQ=DP+PQ取得最小值,此时DQ的长度是对角线BD长度的一半.
√2
∴PH+PQ的最小值是 ,故④正确.
2
三、解答题
√3
17.解析 原式=√3-1-2× +1=0.
2
18.解析 (1)∵∠BCE=∠ACD,
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,即∠DCE=∠ACB.
又∵∠A=∠D,∴△ABC∽△DEC.
(2)∵△ABC∽△DEC,∴S ∶S =BC2∶CE2.
△ABC △DEC
又∵S ∶S =4∶9,BC=6,∴CE=9.
△ABC △DEC
1
19.解析 (1)黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是 .
3
(2)列表如下:
物理 化学 历史
道法 (物理,道法) (化学,道法) (历史,道法)
地理 (物理,地理) (化学,地理) (历史,地理)
生物 (物理,生物) (化学,生物) (历史,生物)
由表可知共有9种等可能的结果,其中抽到的学科恰好是历史和地理的只有1种,
1
所以抽到的学科恰好是历史和地理的概率为 .
9
k
20.解析 (1)将B(-1,3)代入反比例函数y= 得k=-3,
x
3
∴反比例函数解析式为y=- .
x
3
将A(a,-1)代入y=- 得a=3,即点A坐标为(3,-1).
x
{3m+n=-1, {m=-1,
将A,B两点坐标代入y=mx+n得 解得
-m+n=3, n=2.
∴一次函数解析式为y=-x+2.
(2)∵直线AB交y轴于点C,∴点C(0,2),OC=2.
3
根据反比例函数的几何意义得S = ,
△OMN
2
3 1
∴S =S +S = + ×2×t.
四边形COMN △OMN △OCN
2 2
3 1
∵S >3,∴ + ×2×t>3,
四边形COMN
2 2
3
解得t> .
2
21.解析 (1)证明:连接OE,OF,过点O作OD⊥AB,垂足为点D.
∵☉O与BC,AC分别相切于点E,F,∴OE⊥BC,OF⊥AC.
∵BO平分∠ABC,∴OD=OE.
∵OE是☉O的半径,
∴AB是☉O的切线.
(2)连接OC.
∵∠ACB=90°,OE⊥BC,OF⊥AC,OE=OF,
∴四边形OECF是正方形,
∴OE=OF=EC=FC=1,∴BC=BE+EC=4.
又AC=3,∴AB= =5.
√42+32
∵四边形OECF是正方形,∴CO平分∠ACB.
又BO平分∠ABC,∴AO平分∠BAC,
∴∠AOB=180°-(1 1 )=135°.
∠BAC+ ∠ABC
2 2
1 135π×12 5 3π
设OA,OB分别与圆交于点H,G.∴S =S -S = ×5×1- = - .
阴影 △ABO 扇形GOH 2 360 2 8
22.解析 (1)师生总人数为549+11=560.
∵乙种客车载客量大,若不考虑租金,则尽可能多地选乙种客车,∴560÷55=10(辆)……10(人),∴
至少需租11辆大客车.
又共有11名教师,且每辆汽车上至少要有一名教师,
∴需租11辆大客车.
(2)设租用x辆甲种型号大客车,
则租用乙种型号大客车(11-x)辆,
根据题意,得40x+55(11-x)≥560,解得x≤3,
又∵x为正整数,∴x的最大值为3.
答:最多可以租用3辆甲种型号大客车.
(3)∵x≤3,且x为正整数,∴x=1或2或3,∴有3种租车方案,
方案1:租用1辆甲种型号大客车,10辆乙种型号大客车;
方案2:租用2辆甲种型号大客车,9辆乙种型号大客车;
方案3:租用3辆甲种型号大客车,8辆乙种型号大客车.
方案1所需租车费用为500×1+600×10=6 500(元),
方案2所需租车费用为500×2+600×9=6 400(元),
方案3所需租车费用为500×3+600×8=6 300(元).
∵6 500>6 400>6 300,∴按方案3租车最节省钱.
{ 5,40≤x≤50,
23.解析 (1)y=
10-0.1x,50<x≤100.
详解:当40≤x≤50时,y=5;
当50<x≤100时,根据“月销售价格每涨价1元,月销售量就减少0.1万件”,可得y=5-
(x-50)×0.1,整理得y=10-0.1x.
(2)设月销售利润为w万元,
当40≤x≤50时,w=5(x-40)=5x-200,
当x=50时,w有最大值,最大值为5×50-200=50;
当50<x≤100时,w=(x-40)(10-0.1x)=-0.1x2+14x-400=-0.1(x-70)2+90,
当x=70时,w有最大值,最大值为90.
综上所述,当月销售价格是70元时,月销售利润最大,最大利润是90万元.
(3)由题意得w=(x-40-a)(10-0.1x)=-0.1x2+(14+0.1a)x-(400+10a),
∵-0.1<0,其图象的对称轴为直线x=70+0.5a,
∴当x<70+0.5a时,w随x的增大而增大.
∴当x=70时,w有最大值78,即(70-40-a)×(10-0.1×70)=78,解得a=4,∴a的值为4.
24.解析 (1)∵抛物线y=ax2+bx-3与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,{ a-b-3=0, { a=1,
∴ 解得
9a+3b-3=0, b=-2.
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
(2)由C(0,-3),B(3,0),得OB=OC=3,则∠OBC=∠OCB=45°,∴△BNG与△PDG都是等腰直角三角
形.
∵N(n,0),B(3,0),
∴NB=3-n=NG,BG=√2(3-n).
∵△PDG≌△BNG,
∴PG=BG=√2(3-n),
∴PN=3-n+√2(3-n).
∵点P在抛物线上,
∴坐标为(n,n2-2n-3),
∴3-n+√2(3-n)=-n2+2n+3,
解得n=3(舍去)或n=√2.
∴当n=√2时,△PDG≌△BNG.
(3)①设OC的中点为S,
易知S( 3),连接BS.
0,-
2
3
将直线BS向上平移 个单位长度,得到直线OB ,
1
2
∴∠BOB =∠OBS.
1
3
OS 1
∴tan∠BOB =tan∠OBS= =2= .
1
OB 2
3
1
故答案为 .
2
②连接NN ,设直线NN 交直线OB 于点H.
1 1 1
∵点N和点N 关于直线OB 对称,
1 1
∴∠OHN=90°,NH=N H.
1
过点H作HK⊥x轴,垂足为K,则∠KOH=∠KHN,
1
∴tan∠BOB =tan∠KOH=tan∠KHN= .
1
2
设KN=m,则HK=2m,OK=4m.
n
当点N在点O右侧时,OK+KN=4m+m=n,解得m= ,
5
∴点H的坐标为(4n 2n).
,
5 5∵点N的坐标为(n,0),∴点N
1
的坐标为(3n
,
4n).
5 5
将点N
1
的坐标代入抛物线解析式得(3n) 2 -2·3n-3=4n,整理得9n2-50n-75=0,
5 5 5
25+10√13 25-10√13
解得n= 或n= (舍去).
9 9
25-10√13
当点N在点O左侧时,同理可求得n= .
9
∴点N的坐标为(25+10√13 )或(25-10√13 ).
,0 ,0
9 9
