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专题16 机械振动和波
一、简谐运动
（1）动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不一定是
弹簧的劲度系数．
二、单摆
（1）单摆的振动可视为简谐运动的条件是最大摆角小于
10°
。
（2）单摆做简谐运动的周期公式：T＝2π 。单摆做简谐运动的周期(或频率)跟振幅及摆球质量
无关，摆长l 指悬点到摆球重心的距离，g 为单摆所在处的重力加速度。
（3）秒摆的周期为2 s，根据单摆周期公式，可算得秒摆的摆长约为 1 m。
[例题1] 将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图甲），
让秋千以小摆角（小于5°）自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传
感器中得到了其垂直手机平面方向的a﹣t 关系图如图乙所示。则以下说法正确的是（ ）
A．忽略空气阻力，秋千的回复力由重力和拉力的合力提供
B．当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力等于手机所受的重力
C．秋千摆动的周期为t3﹣t1
D．该地的重力加速度g= 4 π
2 L
(t2-t1)
2
[例题2] 如图甲所示，O 点为单摆的固定悬点，在其正下方的P 点有一个钉子，现将小球
拉开一定的角度后开始运动，小球在摆动过程中的偏角不超过5°。从某时刻开始计时，绳中的
拉力大小F 随时间t 变化的关系如图乙所示，重力加速度g 取10m/s2，忽略一切阻力。下列说
法正确的是（ ）
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A．t＝0.1πs 时小球位于B 点
B．t＝0.4πs 时小球位于C 点
C．OA 之间的距离为1.5m
D．OP 之间的距离为1.2m
[例题3] 如图所示，树梢的摆动可视为周期12s、振幅1.2m 的简谐运动。某时刻开始计时，
36s 后树梢向右偏离平衡位置0.6m。下列说法正确的是（ ）
A．开始计时的时刻树梢恰位于平衡位置
B．树梢做简谐运动的“圆频率”约为0.08Hz
C．树梢在开始计时后的36s 内通过的路程为4.8m
D．再经过4s，树梢可能处于向左偏离平衡位置1.2m 处
[例题4] 将一个力传感器连接到计算机上就可以记录力随时间变化的情况。如图甲所示，
单摆的固定悬点O 与力传感器（图中未画出）相连，现将小摆球（可视为质点）拉至A 点，
此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C 之间来回摆动，其中B 点
为运动中的最低位置，∠AOB＝∠COB＝θ（θ 小于5°且是未知量），测得单摆的摆长L＝
0.39m，由计算机DIS 软件绘制的细线对摆球的拉力大小F 随时间t 变化的曲线如图乙所示。
（1）求单摆所处位置的重力加速度大小g0；
（2）测得摆球的质量为m，求摆球运动过程中的最大速度（用题中g0、m、L、Fmax表示）。
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[例题5] 秋千、钟摆等运动都是我们熟悉的摆动现象。它们形状各异，却遵循着相似的规
律。如图1 所示，一个摆的摆长为L，小球质量为m，拉起小球使摆线与竖直方向夹角为θ 时
将小球由静止释放，忽略空气阻力。
（1）求小球运动到最低点时的角速度大小。
（2）如果只把小球的质量改为2m，还是从相同的位置由静止释放，则小球从静止到最低点的
时间与原来相比是否会发生变化？简要说明理由。
（3）如果把摆线换成长仍为L 的轻杆，如图2 所示，一端可绕固定在O 点的光滑轴承在竖直平
面内转动，在距O 点为L
2
和L 处分别固定一个质量均为m、可看作质点的小球，忽略轻杆的质
量和空气阻力。
a．将杆与小球组成的系统仍拉到与竖直方向成θ 角的位置由静止释放，当系统向下运动到最低
点时，求此时系统的角速度大小。
b．当θ 角较大时，单摆的运动将不能看作简谐运动，周期公式也不能使用。如果通过实验测得
上面（2）中的运动周期为T，能否推算出此时轻杆系统的运动周期？如果不能，请说明理由；
如果能，请写出推导过程并算出结果。
三、机械波的特点
(1)介质依存性：机械波离不开介质．
3
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(2)能量信息性：机械波传播的是振动的形式、能量和信息．
(3)传播不移性：在传播方向上，各质点只在各自平衡位置附近振动，并不随波迁移．
(4)时空重复性：机械波传播时，介质中的质点不断地重复着振源的振动形式．
(5)周期、频率同源性：介质中各质点的振动周期均等于振源的振动周期且在传播中保持不变．
(6)起振同向性：各质点开始振动的方向与振源开始振动方向相同．
(7)波长、波速和频率的关系：v＝λf，f 由波源决定，v 由介质决定．
四、振动图像和波的图像的比较
图像类型
振动图像
波的图像
研究对象
一振动质点
沿波传播方向
上所有质点
研究内容
一质点的位移随时间变化规律
某时刻所有质点的空间分布规律
图像
物理意义
表示某质点各个时刻的位移
表示某时刻各质点的位移
图像信息
(1)质点振动周期
(2)质点振幅
(3)各时刻质点位移
(4)各时刻速度、加速度方向
(1)波长、振幅
(2)任意一质点在该时刻的位移
(3)任意一质点在该时刻加速度方向
(4)传播方向、振动方向的互判
形象比喻
记录着一个人一段时间内活动的录
像带
记录着许多人某时刻动作、表情的集体照
片
图像变化
随时间推移，图像延续，但已有形
状不变
随时间推移，图像沿传播方向平移
一完整曲线占
横坐标距离
表示一个周期
表示一个波长
[例题6] 如图所示，是一个人两次抖动同一细绳形成的机械波，第一次抖动形成图甲所示
波形，第二次抖动形成图乙所示的波形，下列说法中正确的是（ ）
A．机械波向外传递的过程中频率会逐渐减小
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B．在传播方向上相邻两个波峰间的距离是一个波长
C．甲、乙两列绳波的起振方向相同
D．机械波以传递振动，所以绳上的各点随波向外迁移
[例题7] B 超成像的基本原理是探头向人体发射一组超声波，遇到人体组织会产生不同程
度的反射，探头接收到的超声波信号输入计算机，形成B 超图像。血管探头发送的简谐超声波
图像如图所示，t＝0 时刻波恰好传到质点M，t＝2.5×10﹣8s 时刻恰好传到质点N。下列说法正
确的是（ ）
A．血管探头发出的超声波在血管中的传播速度为8×102m/s
B．质点N 开始振动的方向沿y 轴负方向
C．质点M 的振动方程为y＝0.4sin（2π×108t）mm
D．t＝3.125×10﹣8s 时，质点M 与质点N 的位移大小相等、方向相反
[例题8] 两列简谐横波分别沿x 轴正方向和负方向传播，波速均为v＝0.2m/s，两个波源
分别位于x＝﹣0.2m 和x＝1.2m 处，波源的振幅均为2cm。如图所示为t＝0 时刻两列波的图象，
此刻平衡位置在x＝0.2m 和x＝0.8m 处的P、Q 两质点刚开始振动。质点M 的平衡位置位于x
＝0.5m 处，下列说法正确的是（ ）
A．这两列波的频率均为2Hz
B．t＝3.5s 时，质点P 的位移为2cm
C．0～4s 时间内，质点P 经过的路程为20cm
D．质点M 始终在平衡位置附近振动
[例题9] 清晨，在平静的湖面上，老张和老李分别在甲、乙两只小船上静坐钓鱼，两船相
距40m。突然湖边的水受到扰动，引起一列水波在水面上从左向右传播。某时刻甲船和乙船的
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位置如图，甲位于波峰时，乙恰位于波谷，且峰、谷间的高度差为0.4m。若水波的周期为
4s，则（ ）
A．水波波速为5m/s
B．甲、乙振动的振幅等于0.4m
C．水波波长为16m
D．9s 内乙运动的路程为36m
[例题10] 一列沿x 轴正方向传播的简谐横波，t＝0 时刻波源质点O 从平衡位置开始振动，
图甲是简谐横波在t＝0.6s 时的部分波形图，图乙是这列波上x＝0.7m 处的质点从t＝0.7s 时刻
开始振动的图像，下列说法正确的是（ ）
A．波源的起振方向向上
B．t＝0.6s 时，x＝0.1m 处的质点在波谷处
C．波的频率f＝0.5Hz
D．波源的振动方程为y＝5sin（5πt）cm
五、波的干涉
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[例题11] 2022 年12 月安徽省某地发生3 级地震，震源深度8 千米。地震发生时监测站监
测到一列沿x 轴传播的地震横波，t＝0 时刻波形如图（a）所示，质点P 从t＝0 时刻开始的振
动图像如图（b ）所示。则下列说法正确的是（ ）
A．该波沿x 轴正方向传播
B．该波沿x 轴传播20km 距离需要5s
C．该波在传播过程中遇到4km 尺寸的障碍物时不会发生明显的衍射现象
D．该波与频率为2Hz 的简谐横波相遇，一定能形成干涉图样
[例题12] 图甲描绘了在t＝0 时刻，由两波源S1、S2 在均匀介质中形成的波阵面平面图
（实线和虚线分别代表波峰和波谷）。已知这两个波源的振动频率相等，振幅相同。P 和Q 是
该平面上的两个固定点，S1、S2间的距离是0.2m。图乙是P 点的振动图像（位移﹣时间关系）。
下列说法中正确的是（ ）
A．S1S2的连线上共有4 个干涉减弱点
B．S1S2连线的延长线上没有干涉增强点
C．t＝0.2s 时，Q 点的位移是A
D．波源S1发出的机械波波速为0.2m/s
[例题13] 图中S1、S2为两个相干波源，实线和虚线分别表示发出的波的波峰和波谷位置，
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下列关于图中a、b 两位置正确的说法是（ ）
A．a 为振动加强的位置，b 为振动减弱的位置
B．a 为振动减弱的位置，b 为振动加强的位置
C．a、b 都为振动加强的位置
D．a、b 都为振动减弱的位置
[例题14] 消除噪声污染是当前环境保护的一个重要课题。内燃机、通风机等在排
放各种高速气流的过程中都发出噪声，干涉型消声器可以用来削弱高速气流
产生的噪声。干涉型消声器的结构及气流运行如图所示，波长为A 的声波沿
水平管道自左向右传播，当声波到达a 处时，分成两束相干波，它们分别通
过r1和r2的路程，再在b 处相遇，从而达到削弱噪声的目的。下列说法正确的是（ ）
A．若Δr＝r2﹣r1，则Δr 等于半波长的偶数倍
B．若b 和c 在同一条直线上，b 和c 之间的距离为1
2
λ，则c 为声波的加强点
C．若声波的振动频率发生改变，则声波的传播速度也发生改变
D．若声波的振动频率发生改变，b 点有可能是振动加强的点
[例题15] 手机上一般会有两个麦克风，一个比较大的位于手机下方，另一个位于手机顶部。
小亮同学查阅手机说明书后知道手机顶部的麦克风为降噪麦克风。该同学进一步查阅资料得知：
降噪麦克风通过降噪系统产生与外界噪音相位相反的声波，与噪音叠加从而实现降噪的效果。
理想情况下的降噪过程如图所示，实线对应环境噪声，虚线对应降噪系统产生的等幅反相声波。
下列说法正确的是（ ）
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A．降噪过程应用的是声波的干涉原理，P 点振动减弱
B．降噪声波的频率与环境噪声的频率不相同
C．降噪声波与环境噪声声波的波长大小不相等
D．质点P 经过一个周期向外迁移的距离为一个波长
六、光的折射、全反射
(1)折射率：n＝ n＝
(2)全反射：sin C＝ (发生全反射的两个条件：①光从光密介质射入光疏介质；②入射角大于或等于
临界角．)
七、平行玻璃砖、三棱镜和圆柱体对光的偏折作用
类别
项目
平行玻璃砖
三棱镜
圆柱体(球)
结构
玻璃砖上下表面是平行
的
横截面为三角形的三棱
镜
横截面是圆
对光线的作用
通过平行玻璃砖的光线
不改变传播方向，但要
发生侧移
通过三棱镜的光线经两
次折射后，出射光线向
棱镜底面偏折
圆界面的法线是过圆心
的直线，经过两次折射
后向圆心偏折
应用
测定玻璃的折射率
全反射棱镜，改变光的
传播方向
改变光的传播方向
【特别提醒】不同颜色的光的频率不同，在同一种介质中的折射率、光速也不同，发生全反射现象
的临界角也不同.
[例题16] 如图所示，楔形玻璃的横截面POQ 的顶角为30°，OP 边上的点光源S 到顶点O
的距离为d，垂直于OP 边的光线SN 在OQ 边的折射角为45°。不考虑多次反射，OQ 边上有
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光射出部分的长度为（ ）
A．1
2 d
B．√2
2 d
C．d
D．√2d
[例题17] 在水池底部水平放置三条细灯带构成的等腰直角三角形发光体，直角边的长度为
0.9m，水的折射率n= 4
3
，细灯带到水面的距离h= √7
10
m，则有光射出的水面形状（用阴影表
示）为（ ）
A．
B．
C．
D．
[例题18] 如图所示为一斜边镀银的等腰直角棱镜的截面图。一细黄光束从直角边AB 以角
度θ 入射，依次经AC 和BC 两次反射，从直角边AC 出射。出射光线相对于入射光线偏转了α
角，则α（ ）
A．等于90°
B．大于90°
C．小于90°
D．与棱镜的折射率有关
[例题19] （多选）等腰三角形△abc 为一棱镜的横截面，ab＝ac；一平行于bc 边的细光束
从ab 边射入棱镜，在bc 边反射后从ac 边射出，出射光分成了不同颜色的两束，甲光的出射点
在乙光的下方，如图所示。不考虑多次反射。下列说法正确的是（ ）
A．甲光的波长比乙光的长
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B．甲光的频率比乙光的高
C．在棱镜中的传播速度，甲光比乙光的大
D．该棱镜对甲光的折射率大于对乙光的折射率
E．在棱镜内bc 边反射时的入射角，甲光比乙光的大
[例题20] 柱状光学器件横截面如图所示，OP 右侧是以O 为圆心，半径为R 的1
4
圆，左侧
是直角梯形，AP 长为R，AC 与CO 夹角45°，AC 中点为B，a、b 两种频率的细激光束，垂直
AB 面入射，器件介质对a，b 光的折射率分别为1.42、1.40，保持光的入射方向不变，入射点
从A 向B 移动过程中，能在PM 面全反射后，从OM 面射出的光是（不考虑三次反射以后的
光）（ ）
A．仅有a 光
B．仅有b 光
C．a、b 光都可以
D．a、b 光都不可以
八、光的波动性
九、多普勒效应:当波源与观察者相互靠近时,观察者接收到的频率变大;当波源与观察者相互远离时,
观察者接收到的频率变小。
[例题21] 如图所示为一种干涉热膨胀仪原理图。G 为标准石英环，C 为待测柱形样品，C
的上表面与上方标准平面石英板之间存在劈形空气层。用单色平行光垂直照射上方石英板，会
形成干涉条纹。已知C 的膨胀系数小于G 的膨胀系数，当温度升高时，下列说法正确的是（
）
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A．劈形空气层的厚度变大，条纹向左移动
B．劈形空气层的厚度变小，条纹向左移动
C．劈形空气层的厚度变大，条纹向右移动
D．劈形空气层的厚度变小，条纹向右移动
[例题22] （多选）某同学采用图甲所示的实验装置研究光的干涉与衍射现象，狭缝S1、S2
的宽度可调，狭缝到屏的距离为L。同一单色光垂直照射狭缝，实验中分别在屏上得到了图乙、
图丙所示图样。下列描述正确的是（ ）
A．图乙是光的双缝干涉图样，当光通过狭缝时，也发生了衍射
B．遮住一条狭缝，另一狭缝宽度增大，其他条件不变，图丙中亮条纹宽度增大
C．照射两条狭缝时，增加L，其他条件不变，图乙中相邻暗条纹的中心间距增大
D．照射两条狭缝时，若光从狭缝S1、S2到屏上P 点的路程差为半波长的奇数倍，P 点处一定是
暗条纹
[例题23] 如图所示，由波长为λ1和λ2的单色光组成的一束复色光，经半反半透镜后分成
透射光和反射光。透射光经扩束器后垂直照射到双缝上并在屏上形成干涉条纹。O 是两单色光
中央亮条纹的中心位置，P1和P2分别是波长为λ1和λ2的光形成的距离O 点最近的亮条纹中心
位置。反射光入射到三棱镜一侧面上，从另一侧面M 和N 位置出射，则（ ）
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A．λ1＜λ2，M 是波长为λ1的光出射位置
B．λ1＜λ2，N 是波长为λ1的光出射位置
C．λ1＞λ2，M 是波长为λ1的光出射位置
D．λ1＞λ2，N 是波长为λ1的光出射位置
[例题24] 光盘上刻有很多“凹槽”，它与“盘面”相互间隔，其中一部分的侧视图如图所
示。一定宽度的激光束向下入射到光盘后，在“凹槽”、“盘面”发生反射，“凹槽”反射光
与“盘面”反射光叠加后削弱，探测器探测到“凹槽”产生的极小光强，而“盘面”处的反射
光叠加后得到加强，探测器探测到“盘面”产生的极大光强，这两种光强等级代表二进制数字
0 和1。当激光束照射整个光盘时，探测器就可以探测到比如0100100001 二进制信息。下列说
法正确的是（ ）
A．入射光与反射光的传播速度不同
B．激光束波长可能为“凹槽”深度的2 倍
C．“凹槽”反射光与“盘面”反射光的频率相同
D．“盘面”处的反射光叠加后得到加强是由于光的衍射
[例题25] 如图1 是干涉检平仪的原理图，此检平仪在两块夹角很小的平板玻璃之间有一空
气膜（空气可视为真空，折射率为n0＝1），当单色光垂直照射到玻璃板上时，空气膜的上下
表面反射的光会产生等间距的干涉条纹（如图2）。
某小组的同学受此启发想出了一个思路，利用这个检平仪来测量某未知液体的折射率，他们保
持两平板玻璃的夹角不变，想办法在此两块平板玻璃之间充满该未知液体，依然用同种单色光
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垂直照射玻璃板，得出该液体对应的干涉条纹，然后就能想办法测量出该液体的折射率。
请你说说他们是怎么测量出折射率的（只说测量步骤即可，不用推导原理），并设出需要测量
的物理量，写出该液体的折射率表达式。
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