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07 万有引力与宇宙航行
[-考点-06-] 天体的“追及”、“相遇”问题
天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时
刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，
根据＝mω2r 可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最
小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题：
1．角度关系
ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)
2．圈数关系
－＝n(n＝1、2、3…)
解得t＝(n＝1、2、3…)
同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1t－ω2t＝(2n
－1)π(n＝1、2、3…)或－＝(n＝1、2、3…)
1．相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，
相距最近．从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π 或－＝1.
2．相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，
相距最远．从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t′＝π 或－
＝.
典例当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若
2022 年9 月26 日出现一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕
太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5 倍．则下列说法
1
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正确的是( )
A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2024 年
B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2023 年
C．木星运行的加速度比地球的大
D．木星运行的周期比地球的小
答案 B
解析 设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a.对行星由牛
顿第二定律可得G＝ma＝mr，解得a＝，T＝2π，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳
距离的5 倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D
错误；地球公转周期T1＝1 年，由T＝2π 可知，木星公转周期T2＝T1≈11.2 年．设经时间
t，再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝，ω2＝，解得t≈1.1 年，因此下
一次“木星冲日”发生在2023 年，故A 错误，B 正确．
1.如图所示，A、B 为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A 为地球同步卫星，
A、B 卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0.某时刻A、B 两卫星距离达到最近，
从该时刻起到A、B 间距离最远所经历的最短时间为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由开普勒第三定律得＝，设两卫星至少经过时间t 距离最远，即B 比A 多转半圈，
－＝nB－nA＝，又由A 是地球同步卫星知TA＝T0，解得t＝.故选C.
2.如图所示，有A、B 两颗卫星绕地心O 做圆周运动，旋转方向相同．A 卫星的周期为T1，
B 卫星的周期为T2，在某一时刻两卫星相距最近，则(引力常量为G)( )
A．两卫星经过时间t＝T1＋T2再次相距最近
B．两颗卫星的轨道半径之比为
∶
C．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度
2
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D．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度
答案 B
解析 两卫星相距最近时，两卫星应该在同一半径方向上，A 比B 多转动一圈时，第二次
追上，转动的角度相差2π，即t－t＝2π，得出t＝，故A 错误；根据万有引力提供向心力
得＝mr，A 卫星的周期为T1，B 卫星的周期为T2，所以两颗卫星的轨道半径之比为
∶
，故B 正确；若已知两颗卫星相距最近时的距离，结合两颗卫星的轨道半径之比可以
求得两颗卫星的轨道半径，根据万有引力提供向心力得＝mr，可求出地球的质量，但不知
道地球的半径，所以不可求出地球密度和地球表面的重力加速度，故C、D 错误．
3.地球和海王星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，海王
星约164.8 年绕太阳一周，海王星冲日现象是指地球处在太阳与海王星之间，2018 年9 月7
日出现过一次海王星冲日，则( )
A．地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径大
B．地球的运行速度比海王星的运行速度小
C．2019 年不会出现海王星冲日现象
D．2017 年出现过海王星冲日现象
答案 D
解析 地球的公转周期比海王星的公转周期小，根据万有引力提供向心力G＝mr，可得：
T＝2π，可知地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径小，故A 错误；根据万有引力
提供向心力，有G＝m，解得：v＝ ，可知海王星的运行速度比地球的运行速度小，故B
错误； T 地＝1 年，则T 海＝164.8 年，由(ω 地－ω 海)·t＝2π，ω 地＝，ω 海＝，可得距下一次
海王星冲日所需时间为：t＝≈1.01 年，故C 错误，D 正确．
4.(2021·四川德阳二诊)2021 年2 月24 日，我国首个火星探测器“天问一号”成功进入火星
停泊轨道，开始科学探测，并为择机着陆火星做好准备.假设火星和地球绕太阳公转的运动
均可视为匀速圆周运动。某一时刻，火星会运动到日地连线的延长线上，如图所示.下列选
项正确的是( )
A.“天问一号”在发射过程中处于完全失重状态
B.火星的环绕速度大于地球的环绕速度
C.火星的公转周期大于地球的公转周期
3
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D.从图示时刻再经过半年的时间，太阳、地球、火星再次共线
答案 C
解析 “天问一号”在发射过程中，加速度向上，处于超重状态，故A 错误；根据万有引
力提供向心力可知＝m 得v＝，由于火星的轨道半径比地球的大，则火星的环绕速度小于
地球的环绕速度，故B 错误；根据开普勒第三定律＝k 可知，地球的轨道半径小，公转周
期小，火星的轨道半径大，公转周期大，故C 正确；从图示时刻再经过半年时间，地球运
动到图示位置的对称点，但由于火星的角速度小，不能运动到图示位置的对称点，此时太
阳、地球、火星不能再次共线，故D 错误.
5.(2023·云南曲靖·校考)2021 年7 月9 日，我国成功将“钟子号卫星星座02 组卫星”（用卫
星A 表示）送入预定轨道.地球半径为R，卫星B 距地面的高度为4R，运行周期为T，如图
所示.卫星A、B 均做顺时针圆周运动，某时刻两颗卫星相距最近，经时间t 两颗卫星再次相
距最近.则“钟子号卫星星座02 组卫星”的轨道半径为( )
A．
B．
C．
D．
答案 A
解析 设“钟子号卫星星座02 组卫星”的运行周期为
，轨道半径为r，由题意可得
,解得
,由开普勒第三定律得
,解得
,故选A.
6.(2023·全国·高三专题)如图，卫星甲、乙均绕地球做匀速圆周运动，轨道平面互相垂直，
乙的轨道半径是甲的
倍.将两卫星和地心在同一直线且乙在甲正上方的位置状态称为
“相遇”，则从某次“相遇”后，甲运动6 圈的时间内，甲、乙卫星将“相遇”( )
4
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A．2 次
B．3 次
C．4 次
D．5 次
答案 A
解析 由开普勒第三定律可得
,解得
,故甲每转2 周半时间内乙转
半周，就会相遇一次，故甲运动6 圈的时间内，甲、乙卫星将“相遇”2 次.故选A.
7.(2023·广东东莞·期末)2022 年10 月31 日，“梦天实验舱”发射任务取得圆满成功！中国
空间空间站将形成三舱“T”字型基本构型.假定空间站在距地面450km 高度处做理想的匀速
圆周运动，某时刻“北斗”系统中的中轨道卫星A 与空间站相距最近如图所示，该中轨道
卫星A 距地面高度为
，地球半径为
，卫星A 和空间站的运行轨道在同
一平面内且运行方向相同，则从图示位置往后开始计数(不包括图示位置)，在卫星A 运行
一周时间内，空间站与A 相距最近的次数为( )
A．7 次
B．8 次
C．9 次
D．14 次
答案 A
解析 空间站的轨道半径
,北斗卫星中轨道卫星A 的轨道半径
,可得
,根据开普勒第三定律
,从而得出二者的周期之比
为
,从图示位置开始，二者转过的角度相差
，得
5
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,化简
,在卫星A 运行一周时间T2内，n 取值
，
所以共7 次相距最近.故选A.
8.(2023·江西宜春·期中)如图所示，火星与天问一号、地球均绕太阳在同一平面内沿同一方
向做匀速圆周运动.为了节省燃料，通常选择地球与火星最近时(地球位于太阳与火星之间，
且三者共线)为最佳发射期.若下一个火星探测器的最佳发射期至少要经过n1年，则地球公
转半径的立方和火星公转半径的立方的比值为( )
A．
B．
C．
D．
答案 B
解析 地球绕太阳运行周期为
,设火星绕太阳运行周期为T2，由开普勒第三定律有
地球与火星再一次最近至少经过时间n1年，则有
,由以上三
式解得
.故选B.
9.(多选)(2023·黑龙江·校考)太阳系中某行星运行的轨道半径为R0，周期为T0.但天文学家在
长期观测中发现，其实际运行的轨道总是存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次
最大的偏离(行星仍然近似做匀速圆周运动).天文学家认为形成这种现象的原因可能是该行
星外侧还存在着一颗未知行星.假设两行星的运行轨道在同一平面内，且绕行方向相同，则
这颗未知行星运行轨道的半径R 和周期T 是(认为未知行星近似做匀速圆周运动)( )
6
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A．
B．
C．
D．
答案 BC
解析 AB．行星的运行轨道发生最大偏离时，两行星与太阳在同一直线上且位于太阳同一
侧，则有
,解得未知行星的运行周期
,故选项B 正确，A 错误；
CD．由开普勒第三定律有
,解得
,故选项C 正确，D 错误.故选BC.
10.(多选)(2023·高一单元测试)如图所示，有A、B 两颗行星绕同一恒星O 做圆周运动，运
行方向相同.A 行星的周期为T1，B 行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则(
)
A．经过时间
，两行星将再次相距最近
B．经过时间t=T1+T2，两行星将再次相距最近
C．经过时间
(n=1，3，5，…)，两行星相距最远
D．经过时间
(n=1，3，5，…)，两行星相距最远
答案 AC
解析 AB．当A、B 再次相距最近时，即A 比B 多运动一圈，设经过时间t 二者再次相距
7
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最近，有
,解得
,故A 正确，B 错误；CD．当A、B 相距最远时，即A 比
B 多运动
(
1，3，5，…)圈，设经过的时间为
，有
(
1，3，5，…),解得
(
1，3，5，…),故C 正确，D 错误.故选AC.
11.(2023·河北沧州·模拟)2022 年6 月5 日10 时44 分，神舟十四号载人飞船(简称神十四)发
射成功，约577 秒后，神十四与火箭成功分离，进入预定轨道.神十四与周期为24h 的卫星
A 在同一平面内，二者沿同一方向做匀速圆周运动，某时刻神十四、卫星A 与地心连线的
夹角为
，如图所示.已知神十四的运行周期为1.5h，若由图示位置经过时间t 后，神十四
与卫星A 第一次相距最近，则t 的值为( )
A．
B．
C．
D．
答案 A
解析 神十四与卫星A 第一次相距最近，有
,解得
.故选A.
12.(多选)地球位于太阳和行星之间且三者几乎排成一条直线的现象，天文学上称为“行星
冲日”.火星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动.不考虑火星与
8
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地球的自转，且假设火星和地球的轨道平面在同一个平面上，相关数据见下表.则根据提供
的数据可知( )
质量
半径
与太阳间距离
地球
m
R
r
火星
约0.1m
约0.5R
约1.5r
A.在火星表面附近发射飞行器的速度至少为7.9 km/s
B.理论上计算可知，相邻两次“火星冲日”的时间间隔大约为1 年
C.火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为2∶5
D.火星运行的加速度比地球运行的加速度小
答案 CD
解析 根据＝，解得v＝，则＝＝<1，则v 火<v 地＝7.9 km/s，即在火星表面附近发射飞行器
的最小速度小于7.9 km/s，选项A 错误；根据开普勒第三定律，可得＝，则T 火≈1.84T 地＝
1.84 年，相邻两次“火星冲日”的时间间隔t 里，地球多公转一周，则－＝1，解得t≈2.2
年，选项B 错误；行星对表面物体的万有引力等于物体在行星表面时受到的重力，即＝m
物g，解得g＝，则＝×＝，选项C 正确；太阳对行星的万有引力充当行星做圆周运动的向
心力，即＝m0a，解得a＝，则＝＝<1，可知火星运行的加速度比地球运行的加速度小，选
项D 正确.
13.(2021·陕西西安·统考一模)深空中，地球(X)绕太阳(Y)逆时针方向公转，月亮(Z)绕地球
逆时针方向运行(在北半球观看)，地球轨道与月亮轨道在同一平面内.如图，某时刻月亮、
地球和太阳在同一直线上，经过时间t，月亮、地球和太阳再次在同一直线上(相对位置的
顺序不变).已知月亮绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球绕太阳做匀速圆周运动的周期
大于T，地球与太阳间的距离为r，则太阳的质量为( )
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A．
B．
C．
D．
答案 A
解析 在0~t 时间内X 公转的角度设为θ，则Z 绕X 转过的角度为2π+θ,X 公转的周期
Z 绕X 运行的周期
,得
,设Y 的质量为M，X 的质量为m，由Y 对X 的万有
引力提供向心力有
,解得
,BCD 错误，A 正确.故选A.
14.(多选)如图，在万有引力作用下，a、b 两卫星在同一平面内绕某一行星c 沿逆时针方向
做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )
A．a、b 运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b 运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a、b、c 共线12 次
D．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a、b、c 共线14 次
答案 AD
解析 根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b 运动的周期之
比为1∶8，A 对，B 错；设题图所示位置ac 连线与bc 连线的夹角为θ<，b 转动一周(圆心
角为2π)的时间为Tb，则a、b 相距最远时：Tb－Tb>(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3…)，可知n＝
0,1,2，…，6，n 可取7 个值；a、b 相距最近时：Tb－Tb>(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3…)，可
知m＝0,1,2，…6，m 可取7 个值，故在b 转动一周的过程中，a、b、c 共线14 次，C 错，
D 对．
15.(2023·河南省·校考)如图，轨道在同一平面内的两颗卫星a 和b 某时刻运动到地球的同一
10
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侧，且三者在同一条直线上，经时间两颗卫星与地心的连线转过的角度分别为
和
.下
列说法正确的是( )
A．a 卫星的动能大于b 卫星的动能
B．a 卫星的角速度与b 卫星的角速度之比为
C．a 卫星的线速度与b 卫星的线速度之比为
D．a、b 卫星到下次与行星共线，还需经过的时间为
答案 D
11
