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第29 讲 机械能守恒定律及其应用
核心考点
考点一 机械能守恒的判断....................................................................................................................................1
考点二 单物体的机械能守恒问题........................................................................................................................6
考点三 系统的机械能守恒问题..........................................................................................................................12
考点一 机械能守恒的判断
1.重力做功与重力势能
(1)重力做功的特点：重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关，重力做功不引起物
体机械能的变化。
(2)重力势能
①表达式：Ep＝mgh。
②重力势能的特点：重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有
关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。
(3)重力做功与重力势能变化的关系：重力对物体做正功，重力势能减小，重力对物体做负功，
重力势能增大，即WG＝Ep1－
E p2＝－
Δ E p。
2.弹性势能
(1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增
加。即W＝－
Δ E p。
3.机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保
持不变。
(2)表达式：mgh1＋1
2mv1
2＝mgh2＋1
2mv2
2或Ek1＋
E p1＝Ek2＋Ep2。
(3)守恒条件：只有重力或弹力做功。
【例1】（2025·贵州毕节·三模）如图所示，两根完全相同的轻质弹簧1、2 连接着一小球，
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两弹簧
端和
端分别固定，且位于同一竖直线上。小球静止于O 点时，弹簧2 处于原长
状态。现将小球从1 的原长处C 点由静止释放，已知CO 的距离为
，重力加速度大小为
。
若忽略空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内，则（ ）
A．小球到达O 点的速率为
B．小球运动到最低点时加速度大小为
C．由C 到O 的过程，小球的机械能守恒
D．由C 到O 的过程，小球的机械能先减小后增大
【例2】（24-25 高三下·甘肃·期中）如图所示为某位跳水运动员在3 米板的跳水过程中重心
的位移—时间图像。取该运动员离开跳板的时刻为零时刻，位置坐标为零，其中OPQ 为抛物
线，R 为运动员的最低点，取竖直向下为正方向，忽略入水时间，不计空气阻力。下列说法
正确的是（ ）
A．运动员在
过程中做自由落体运动
B．运动员在
过程中加速度增大
C．运动员在
时刻刚好接触到水面
D．运动员在
过程中机械能减小
【例3】（2025·山西·三模）如图所示，三角形支架放在水平台秤上，剪断斜面上固定小球的
细绳，小球沿着斜面滚下。在小球滚下的过程中（ ）
2
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A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能减少
C．台秤的示数增大
D．台秤的示数减小
【例4】（2025·广东茂名·模拟预测）2024 年珠海航展上，我国自主研发的最新隐身战斗机歼
一35A 公开亮相。如图所示，歼
表演时，先沿直线
水平向右飞行，再分别沿弧线
和
运动，整个过程中飞行轨迹在同一竖直面内且运动速率保持不变，下列说法正确的
是（ ）
A．整个过程中歼
始终处于平衡状态
B．在
段歼
处于超重状态
C．在
段歼
克服重力做功的功率逐渐增大
D．整个过程中歼
的机械能守恒
【例5】（2025·河南·三模）2025 年1 月7 日，西藏日喀则市定日县发生6.8 级地震，在短短
数小时内，中央救灾物资已通过多渠道运往灾区。将一箱应急物品由无人机以空投的方法快
捷精准投放到避难点。已知箱体脱离无人机后由静止开始竖直下落，以竖直向下为正方向，
运动过程的位移一时间图像如图所示，
和
时间内的曲线在
时刻平滑连接，两段
曲线的弯曲方向相反，
时刻后为直线。下列说法正确的是（ ）
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A．
时间内箱体的速度先增大后减小
B．箱体
时刻的速度小于
时刻的速度
C．
时间内箱体处于失重状态
D．
时刻后箱体机械能守恒
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，那么系统的机械能守恒。注意：并非系统内某个
物体的机械能守恒，而是系统的机械能守恒。
2．判断方法
(1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变。若一个物体动能不变、重力
势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变
化。
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做
功，机械能守恒。
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形
式的能的转化，则物体或系统机械能守恒。
(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，
如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。
考点二 单物体的机械能守恒问题
1.机械能守恒定律表达式
精讲考点
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说明：单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。
【例6】（2025·福建厦门·二模）如图所示，桌面高为h，质量为m 的小球从离桌面高H 处自
由落下，假设释放时的重力势能为0，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球落到地面前瞬
间的动能为 ，重力势能为 ，机械能为 。
【例7】（2024·广东惠州·模拟预测）一物块在高为2m、长为2.5m 的斜面顶端由静止开始沿
斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s 的变化关系如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度
g=10m/s2。则（ ）
A．物块下滑过程中机械能守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时，加速度大小为4.8m/s2
D．物块下滑1.25m 时，机械能损失了16J
【例8】（2024·浙江温州·一模）在缓震材料上方高度H1为0.6 m 处，将质量0.6 kg 的钢球以
一定初速度v0竖直向下抛出，钢球刚接触缓震材料时速度大小为4 m/s，与缓震材料的接触时
间为0.1 s，钢球反弹的最大高度H2为0.45 m。假设钢球始终在竖直方向运动，不计空气阻力。
钢球从抛出到反弹至最高点过程中，下列说法正确的是（ ）
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A．钢球的机械能损失0.9 J
B．钢球的平均速度大小为0.25 m/s
C．重力对钢球做的功等于钢球动能的变化量
D．合外力对钢球做的功等于钢球机械能的变化量
【例9】（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，某同学将篮球斜向上与水平方向成
角投
出后，篮球刚好落入篮筐，篮球入筐时的速度方向斜向下与水平方向成
夹角，已知篮球
投出时距离地面的高度为1.6m，篮筐距离地面的高度为3m，重力加速度
，不计
空气阻力，篮球可视为质点，
，
，则篮球投出时的速度大小为
（ ）
A．10m/s
B．8m/s
C．6m/s
D．5m/s
【例10】（2024·江西抚州·一模）如图所示，某人站在山顶上，将一质量
的石块
沿与水平方向成
夹角的方向斜向上抛出，石块出手离地面的高度
，石块落
在水平地面上的动能
，不计空气阻力作用，重力加速度g 取
，则（ ）
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A．石块抛出时的速度大小为
B．石块在空中运动的时间约为
C．石块在运动过程中，最大速度为
D．石块在运动过程中，最小速度为
1.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
考点三 系统的机械能守恒问题
1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况为：
不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2.几种实际情景的分析
(1)速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
(2)角速度相等情景
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①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
②由v＝ωr 知，v 与r 成正比。
(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
【例11】（2025·辽宁·三模）抛石机又叫抛车，最早产生于周代，是一种攻守城垒的武器。
为了方便研究，简化为图示物理模型，轻杆左端装上质量为m 的石头A，右端固定有重物
B，轻杆可绕水平转轴O 自由转动。初始时刻轻杆与水平地面的夹角为30°，A、B 到O 的距
离分别为6L、L。无初速度释放，当轻杆运动到竖直时A 脱离轻杆做平抛运动，A、B 均可视
为质点，不计转轴摩擦及空气阻力，重力加速度为g。A 平抛运动的水平射程为
，求
∶
(1)A 脱离轻杆时，A 和B 的速度大小；
(2)重物B 的质量M；
(3)A 脱离杆前瞬间杆对转轴O 的作用力大小。
【例12】（2025·山东潍坊·三模）如图所示，一轻质刚性杆可在竖直平面内绕固定转轴O 自
由转动，杆长为2L。杆的中点M 处固定一质量为2m 的小球a，另一端N 处固定一质量为m
的小球b。现将杆从水平位置由静止释放，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的
是（ ）
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A．杆转动至竖直位置时，OM 段杆对小球a 的作用力大小为
B．杆转动至竖直位置时，OM 段杆对小球a 的作用力大小为
C．从释放到转动至竖直位置过程中，杆对小球a 做的功为
D．从释放到转动至竖直位置过程中，杆对小球a 做的功为
【例13】（2025·江苏·二模）如图所示，一质量为
的物块
穿在光滑水平杆上，一长度为
的轻杆，一端固定着质量为
的小球
，另一端连接着固定在物块
上的铰链
。忽略铰
链转动的摩擦，重力加速度为
。
(1)将
固定，对小球
施加一水平向左的外力
使杆与竖直方向的夹角为
保持静止，求外
力
的大小；
(2)若物块
在水平外力
作用下向右加速，杆与竖直方向夹角始终为
，求外力
的大小；
(3)若开始时，小球
位于铰链
的正上方，系统处于静止状态，受到扰动后，杆开始转动，
已知
，
，求
从初始位置转到如图位置过程中，杆对小球
所做的功
。
【例14】（2025·山东·一模）如图所示，竖直平面内固定一根竖直杆
和水平杆
，两杆在
同一平面内，杆
的延长线与杆
的交点为
。质量为
的小球A 和质量为
的小球B 分
别套在杆
和杆
上，套在杆
上的轻质弹簧上端固定，下端与小球A 相连。小球A、B 间
用长为
的轻杆通过铰链分别连接。弹簧处于原长时AB 间的轻杆与杆
的夹角
，
小球A 从该位置由静止释放后在竖直杆上做往复运动，下降的最大距离为
。已知轻质弹
簧的弹性势能
，x 为弹簧的形变量，
为弹簧的劲度系数，整个过程弹簧始终处在
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弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度为g，
。则下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．小球
运动到
点时，小球B 的速度最大
C．小球A 从最高点运动到
点的过程，水平杆
对小球B 的作用力始终大于
D．从撤去外力到
的过程中，轻杆对球
做功为
【例15】（2025·河南·三模）如图所示，半径为R 的光滑半圆弧固定在光滑水平面上且与水
平面光滑连接于C 点，AC 是竖直直径，B 距离光滑水平面高度为R，质量均为m 的小球甲、
乙（视为质点）用轻质细杆连接，小球甲套在半圆弧细杆上的A 点，小球乙放置在C 点，甲、
乙均处于静止状态，现让小球甲受到轻微的扰动，小球甲套在半圆弧细杆上向下运动，小球
乙沿着水平面向左运动，重力加速度为g，则在小球甲从A 到B 的运动过程中，下列说法正
确的是（ ）
A．甲的重力势能全部转化为甲的动能
B．甲克服杆的作用力做的功大于杆对小球乙所做的功
C．当甲刚运动到B 点时，甲、乙的速度大小之比为
D．当甲刚运动到B 点时，甲的动能为
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非质点类物体的机械能守恒问题
1．主要类型
有质量的杆、绳、链条、水柱等物体的运动。
2．解题关键
这类物体的重力势能由重心的位置决定，确定重心位置是解题的关键。
3．常用方法
当整体重心不易确定时，可分段处理，找出各部分的重心位置，求各段的重力势能。
精讲考点
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