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第3 讲 机械能守恒定律及应用
一、重力做功与重力势能的关系
1.重力做功的特点
(1)物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动
的路径无关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
2.重力势能
(1)表达式：Ep＝mgh。
(2)重力势能的特点
重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重
力势能的变化与参考平面的选取无关。
3.重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能
就增大。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝－
( E p2－
Ep1)＝－ΔEp。
二、弹性势能
1.定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势
能。
2.弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加。定量表达式为
W＝－
Δ E p。
三、机械能守恒定律
1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的
机械能保持不变。
2.表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv。
3.机械能守恒的条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力。
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做
1
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功。
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的
代数和为零。
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能
发生转化。
【自测】 在忽略空气阻力的情况下，小球在如下所列运动过程中，机械能不守恒
的是( )
A.小球被抛出后在空中飞行的过程
B.小球沿斜面匀速下滑的过程
C.小球沿光滑曲面下滑的过程
D.悬挂的小球自由摆动的过程
答案 B
命题点一 机械能守恒的判断
机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其
他力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒。
(2)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机
械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。
(3)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒。
【例1】 (2021·广
潮州
东
质检)轮滑等极限运动深受青少年的喜欢，轮滑少年利用
场地可以进行各种炫酷的动作表演。为了研究方便，把半球形下沉式场地简化成
半圆形轨道，两轮滑少年可以看作光滑小球A 和B，如图1 所示。两小球分别从半
圆形轨道边缘无初速滑下，则下列说法正确的是( )
图1
A.A、B 两小球在最低点都处于失重状态
B.A、B 两小球在最低点的速度方向相同
C.A、B 两小球从边缘滑到最低点重力的功率都是一直增大
D.A、B 两小球从边缘滑到最低点机械能都是一直增大
答案 B
2
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解析 两小球在最低点
支持力和重力的合力提供向心力，
支持力大于重力，
时
则
于超重状
，
处
态
A
；
错误
A、B 两小球在最低点的速度方向沿切
方向，即速度方
线
向相同，B 正确；小球在初位置重力做功的功率
零，在最低点，由于重力的方向
为
与速度方向垂直，重力做功的功率
零，因
初末位置都
零，
则
为
为
为
则A、B 两小球
从
滑到最低点的
程中重力的功率先增大后减小，
边缘
过
C
；由于两
滑少年
错误
轮
可以看作光滑小球A 和B，则A、B 两小球从
滑到最低点的
程中只有重力做
边缘
过
功，机械能守恒，D
。
错误
【针对训练1】 (2021·湖南永州模拟)伽利略在研究力和运动的关系的时候，采用
两个平滑对接的斜面，一个斜面固定，让小球从斜面上滚下，小球又滚上另一个
倾角可以改变的斜面，斜面倾角逐渐减小直至为零，如图2 所示。关于这个理想
斜面实验，下列说法正确的是( )
图2
A.如果没有摩擦，小球运动过程中机械能守恒
B.如果没有摩擦，小球将在另一斜面上运动相同的路程
C.如果没有摩擦，小球运动到另一斜面上最高点的高度与释放时的高度不同
D.如果没有摩擦，小球运动到水平面时的机械能小于释放时的机械能
答案 A
解析 如果没有摩擦，小球运
程中只有重力做功，机械能守恒，
动过
选项A 正确，
D
；如果没有摩擦，小球机械能守恒，小球运
到另一斜面上最高点的高度
错误
动
将与
放
的高度相同，
释
时
选项B、C
。
错误
命题点二 单物体的机械能守恒问题
1.表达式
2.一般步骤
3
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3.选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用
选取零势能面。
【例2】 (2021·湖南株洲检测)如图3 甲所示，轻绳的一端固定在O 点，另一端系一
小球。小球在竖直平面内做完整的圆周运动的过程中，绳子的拉力F 的大小与小
球离最低点的高度h 的关系如图所示。忽略空气阻力，重力加速度g 取10 m/s2，
则( )
图3
A.圆周半径为1.0 m
B.小球质量为0.4 kg
C.轻绳转至水平时拉力为30 N
D.小球通过最高点的速度为4 m/s
答案 D
解析 由
可知，当
图
h＝0
，的拉力
时绳
为F2＝41 N，当h＝1.0 m
的拉力
时绳
为F1
＝11 N，可知小球做
周运
的半径
圆
动
R＝ m＝0.5 m，故A
；小球运
到最
错误设
动
高点
的速度
时
为v1，最低点
的速度
时
为v2，由机械能守恒可得mv＋mg·2R＝mv，
在最高点和最低点，分
根据牛
第二定律可知
别
顿
F1＋mg＝m，F2－mg＝m，解得m
＝0.5 kg，v1＝4 m/s，故B
，
错误D 正确，
至水平
小球的速度
设轻绳转
时
为v，从最
高点到
水平
，由机械能守恒可得
轻绳
时
mv＋mg·R＝mv2，解得v＝ m/s，由牛
第
顿
4
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二定律可知，
至水平
拉力
轻绳转
时
为F＝m＝26 N，故C
。
错误
命题点三 连接体的机械能守恒问题
1.对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
3.列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
【例3】 (2021·山
省
中学月考
东
实验
)如图4 所示，小球a 被一根长为L 的可绕O
轴自由转动的轻质细杆固定在其端点，同时又通过绳跨过光滑定滑轮与另一个质
量为m 的小球b 相连，整个装置平衡时杆和绳与竖直方向的夹角均为30°。若将
小球a 由水平位置(杆呈水平状态)开始释放，不计摩擦，竖直绳足够长，(重力加
速度为g)求：
图4
(1)小球a 的质量；
(2)当杆转动到竖直位置时，小球b 的速度大小。(结果可用根式表示)
答案 (1)m (2)
解析 (1)当a 球
于平衡状
处
态时
2FTcos 30°＝Mg，FT＝mg
解得M＝m。
(2)当a 球
到
直位置
，
转
竖
时
b 球上升的高度为h＝L
此
设
时a 球、b 球的速度分别为va、vb，由速度分解可得va＝vb
在整个运
程中，机械能守恒
动过
MgL－mg·L＝Mv＋mv
解得vb＝。
【针对训练2】 如图5 所示，物体A、B 质量相同，在倾角为30°的光滑斜面上，滑
轮及绳子质量均不计，现将系统由静止释放，不计空气阻力，则物体A 在下降h
距离时的速度大小为( )
5
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图5
A.
B.2
C.
D.
答案 A
解析
物体
设
A 在下降h 距离
的速度
时
为v，
此
则
时B 物体的速度
，由机械能
为
守恒得mgh＋mg×hsin 30°＝mv2＋m，解得v＝。
命题点四 含“弹簧类”机械能守恒问题
1.由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外
力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
2.弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速
度，弹性势能最大。
3.如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内
弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)。
【例4】 (2021·江
七市
研
苏
调
)如图6 所示，光滑斜面底端有一固定挡板，轻弹簧一
端与挡板相连一滑块从斜面上某处由静止释放，运动一段时间后压缩弹簧，已知
弹簧始终在弹性限度内，则( )
图6
A.弹簧劲度系数越大，弹簧的最大弹性势能越大
B.弹簧劲度系数越大，滑块的最大速度越大
C.滑块释放点位置越高，滑块最大速度的位置越低
D.滑块释放点位置越高，滑块的最大加速度越大
答案 D
解析 滑
从
放到
簧
至最短的
程中，滑
的重力
能
化
簧的
性
块
释
弹
压
过
块
势
转
为弹
弹
能，
簧
度系数越大，
簧被
至最短
位置越高，滑
减小的重力
能越
势
弹
劲
弹
压
时
块
势
少，
簧的最大
性
能越小，故
则弹
弹
势
A
；滑
接触
簧
的速度
错误设
块刚
弹
时
为v0，速
度最大
簧的
量
时弹
压缩
为x，有
则
kx＝mgsin θ，簧
度系数越大，
弹
劲
x 越小，重力
能减少量越小，最大速度
势
则
vm越小，故B
；簧
力等于滑
重力沿斜面
错误弹
弹
块
6
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分力
，即
时
kx＝mgsin θ，此
滑
速度最大，
滑
最大速度的位置不
，故
时
块
则
块
变
C
；滑
放点位置越高，滑
接触
簧
能越大，
簧
量越大，簧
错误
块释
块
弹
时动
则弹
压缩
弹
力越大，
滑
的最大加速度越大，故
弹
则
块
D 正确。
【针对训练3】 (2021·广
肇
东
庆测试)如图7 所示，将一直铁棒AC 固定在与水平地
面垂直的墙角，铁棒与水平面夹角为45°，B 为AC 的中点。在墙角固定一轻弹簧，
使轻弹簧另一端与一带孔的小球相连，小球穿过铁棒并可在铁棒上移动，小球到
达B 点时，弹簧恰好处于原长状态。现将小球从铁棒顶端自由释放，小球到达铁
棒底端时速度恰好为零，下列说法正确的是( )
图7
A.小球和弹簧组成的系统机械能守恒
B.小球从A 点运动到B 点和从B 点运动到C 点的过程中摩擦力做功不相同
C.小球从A 点运动到B 点和从B 点运动到C 点的过程中弹簧弹力做功相同
D.小球从A 点运动到B 点的过程中，动能的增加量等于弹簧弹力所做的功
答案 D
解析 由于摩擦力做
功，系
机械能不守恒，故
负
统
A
；由
称性可知，小球从
错误
对
A 点运
到
动
B 点的
程中和从
过
B 点运
到
动
C 点的
程中摩擦力做功相同，故
过
B 错
；小球从
误
A 点运
到
动
B 点的
程中
簧
过
弹
弹力做正功，从B 点运
到
动
C 点的
程
过
中
簧
力做
功，故
弹
弹
负
C
；小球从
错误
A 点运
到
动
B 点的
程中和从
过
B 点运
到
动
C 点的
程中，重力做功相同，簧
力做功大小相等，整个运
程中，由
能
过
弹
弹
动过
动
定理可知，重力做的功等于克服摩擦力做的功，小球从
则
A 点运
到
动
B 点的
程
过
中，重力做的功等于克服摩擦力做的功，由
能定理可知，
能的增加量等于
动
动
弹
簧
力所做的功，故
弹
D 正确。
对点练1 机械能守恒的判断
1.(2020·浙江金
模
华
拟)下列对各图的说法正确的是( )
7
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A.图甲中汽车匀速下坡的过程中机械能守恒
B.图乙中卫星绕地球匀速圆周运动时所受合力为零，动能不变
C.图丙中弓被拉开过程弹性势能减少了
D.图丁中撑竿跳高运动员在上升过程中机械能增大
答案 D
解析
甲中汽
匀速下坡的
程中
能不
，重力
能减小，机械能减小，故
图
车
过
动
变
势
A
；
乙中
星
地球匀速
周运
所受合力提供向心力
不
错误
图
卫
绕
圆
动时
则
为0，匀速
周运
速度大小不
，
能不
，故
圆
动
变
则动
变
B
；
丙中弓被拉开
程橡皮筋形
错误
图
过
增大，
性
能增大，故
变
弹
势
C
；
丁中撑竿跳高运
在上升
程中竿
运
错误
图
动员
过
对
做正功，其机械能增大，故
动员
D 正确。
2.(2020·北京市丰台区二模)摩天轮是游乐场里的大型娱乐项目，它的直径可以达
到几百米。乘客乘坐时，转轮始终不停地匀速转动，下列说法中正确的是( )
图1
A.在最高点，乘客处于超重状态
B.任一时刻乘客受到的合力都不等于零
C.乘客在乘坐过程中对座椅的压力始终不变
D.乘客在乘坐过程中的机械能始终保持不变
答案 B
解析 在最高点，乘客具有向下的加速度，于失重状
，
处
态选项A
；乘客做
错误
圆
周运
，任一
刻受到的合力都不等于零，
动
时
选项B 正确；乘客在乘坐
程中匀速
过
8
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，向心力
刻指向
心，大小不
，座椅的
力不可能始
不
，
转动
时
圆
变对
压
终
变选项C 错
；乘客在乘坐
程中匀速
，能不
，但重力
能在
化，所以机械能也在
误
过
转动动
变
势
变
化，
变
选项D
。
错误
对点练2 单个物体的机械能守恒
3.(2021·1 月重
市考适
性
，
庆
应
测试1)一质量为m 的物块仅在重力作用下运动，物
块位于r1和r2时的重力势能分别为3E0和E0(E0＞0)。若物块位于r1时速度为0，
则位于r2时其速度大小为( )
A.2
B.
C.2
D.4
答案 A
解析 物体
在重力作用下运
，物体的机械能守恒，根据机械能守恒定律可知
仅
动
E1＝E2，代入已知条件为3E0＋0＝E0＋mv2，解得r2
的速度
处
为v＝2，故选A。
4.如图2 所示，在竖直平面内有一可视为质点的光滑小球在圆筒最低点，内壁光
滑、半径为R 的圆筒固定在小车上。小车与小球一起以速度v0向右匀速运动，当
小车遇到墙壁时突然停止运动，后一直保持静止，要使小球不脱离圆筒运动，初
速度v0应满足(半径R＝0.4 m，小球的半径比R 小很多，不计空气阻力，g＝10
m/s2)( )
图2
A.v0≥2 m/s
B.v0≥4 m/s
C.v0≤3 m/s
D.v0≤2 m/s
答案 D
解析 “小球不脱离
筒运
圆
动”所包含的两种情况：(1)小球通
最高点并完成
过
周运
；
圆
动
(2)小球没有通
最高点，但小球没有脱离
道。
于第
过
圆轨
对
(1)种情况，
当v0
大
，小球能
通
最高点，
小球在最高点
需要
足的条件是
较
时
够
过
这时
处
满
mg≤，又根据机械能守恒定律有＋2mgR＝，可求得v0≥2 m/s，故选项A、B
；
错误
于第
对
(2)种情况，当v0
小
，小球不能通
最高点，
的
界条件是小
较
时
过
这时对应
临
球上升到与
心等高位置
，速度恰好减
零，根据机械能守恒定律有
圆
处
为
mgR＝，
可求得v0≤2 m/s，故选项C
，
错误
D 正确。
对点练3 连接体的机械能守恒
9
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5.如图3 所示，A、B 两点位于同一高度，细线的一端系有质量为M 的小物块，另
一端绕过B 点处的定滑轮固定在A 点，质量为m 的小球固定在细线上C 点。现将
小球从图示水平位置由静止释放，已知小球运动到D 点时速度恰好为零(此时小
物块未到达B 点)，然后向上运动。已知图中△ABD 为直角三角形，小物块和小球
均可视为质点，∠DBA＝37°，忽略一切摩擦，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8，则( )
图3
A.小球还能回到初始位置C 点
B.M∶m＝5∶6
C.运动过程中小物块的速度和小球的速度大小相等
D.小球运动到最低点D 时，小物块受到的拉力大小为Mg
答案 A
解析 根据系
机械能守恒可知，小球
能回到初始位置
统
还
C 点，故A 正确；设AD
长为3L，根据机械能守恒定律有Mg·2L＝mg·3Lcos 37°，解得M∶m＝6∶5，故B
；
错误AC
度不
，小球做
周运
，小球速度沿
长
变
圆
动
BD 方向的分速度大小等于小
物
的速度大小，故
块
C
；
小球
错误
设
在最低点D
，沿
时
BD 方向的加速度大小为
a，BD 中的拉力为FT，根据牛
第二定律有
顿
Mg－FT＝Ma，FT－mgcos 53°＝ma，
解得FT＝Mg，故D
。
错误
对点练4 含“弹簧类”机械能守恒问题
6.(2021·广
深圳
研
东
调
)“蹦极”运动时，运动员身上绑好弹性绳从高空平台静止
跳下，如图4 所示(图中水面重力势能为零)。向下运动的过程中，不计空气阻力，
运动员的机械能E、动能Ek与下落位移x 之间关系的图像可能正确的是( )
图4
10
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答案 B
解析 向下运
的
程中，不
空气阻力，人和
系
机械能守恒。在
子未
动
过
计
绳
统
绳
绷
，人的机械能不
，在
子
后，人受到
子拉力作用，随着
的推移，
紧时
变
绳
绷紧
绳
时间
人的机械能
化
子的
性
能，且
转
为绳
弹
势
化速率越来越大，察
像，故
转
观
图
A
，
错误
B 正确；
子未
，
能
性增
，
子
后，根据机械能守恒定律，有
绳
绷紧时
动
线
长
绳
绷紧
mgx＝Ek＋m(x－l)2，在平衡点之前，人做加速度减小的加速运
，能曲
增加，
动动
线
增加速率减小，当二力平衡
，达到平衡点，加速度反向增加，能减小，由于加
时
动
速度反向增加，
能减小，速率也在增大，故
动
C、D
。
错误
7.(2020·湖南衡阳模拟)如图5 所示，一根轻弹簧一端固定在O 点，另一端固定一
个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A 点时，弹簧
处于原长，现将小球从A 点由静止释放，小球向下运动，经过与A 点关于B 点对
称的C 点后，小球能运动到最低点D 点，OB 垂直于杆，则下列结论正确的是(
)
图5
A.小球从A 点运动到D 点的过程中，其最大加速度一定等于重力加速度g
B.小球从B 点运动到C 点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增
大
C.小球运动到C 点时，重力对其做功的功率最大
D.小球在D 点时弹簧的弹性势能一定最大
答案 D
解析 在B 点
，小球的加速度
时
为g，在BC
簧
于
状
，小球在
直方
间弹
处
压缩
态
竖
向除受重力外
有
簧
力沿
直方向向下的分力，所以小球从
还
弹
弹
竖
A 点运
到
动
D
11
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点的
程中，其最大加速度一定大于重力加速度
过
g，故A
；由机械能守恒定律
错误
可知，小球从B 点运
到
动
C 点的
程，小球做加速运
，即
能增大，所以小球的
过
动
动
重力
能和
簧的
性
能之和一定减小，故
势
弹
弹
势
B
；小
错误
球运
到
动
C 点
，由于
时
簧的
力
零，合力
重力
弹
弹
为
为
G，所以小球从C 点往下
会加速一段，所以小球
还
在C 点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C
；
错误
D 点
小球运
的
为
动
最低点，即速度
零，簧形
量最大，所以小球在
为
弹
变
D 点
簧的
性
能最大，
时弹
弹
势
故D 正确。
8.(2021·山
日照期末
东
)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆
周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，如图6 甲所
示，曲线上A 点的曲率圆定义为：通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一个
圆，在极限情况下，这个圆叫做A 点的曲率圆，其半径叫做A 点的曲率半径。现将
一物体沿着与水平面成α 角的方向以某一速度从地面抛出，如图乙所示，其轨迹
最高点P 离地面的高度为h，曲率半径为，忽略空气阻力，则tan α 的值为( )
图6
A.
B.
C.2
D.4
答案 C
解析 在P 点
，重力恰好作
向心力，足
时
为
满
mg＝m，又由
意可知
题
R＝，立可
联
解得vP＝，vP即
抛出
速度的水平分量，
抛出
速度的
直分量
为
时
设
时
竖
为vy，抛出
的速度
时
为v，由机械能守恒定律可得mv2＝mgh＋mv，又有v2＝v＋v，立可得
联
vy＝，物体抛出
速度
时
v 与水平面所成α 角
足
满
tan α＝，代入数据可得tan α＝2，
C 正确。
9.如图7 所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间
的距离忽略不计。两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a 球套在竖直杆L1上，b
球套在水平杆L2上，a、b 通过铰链用长度为l 的刚性轻杆L 连接，将a 球从图示
位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g。
在此后的运动过程中，下列说法中正确的是( )
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图7
A.a 球和b 球所组成的系统机械能不守恒
B.b 球的速度为零时，a 球的加速度大小为零
C.b 球的最大速度为
D.a 球的最大速度为
答案 C
解析 a 球和b 球
成的系
除重力外没有其他力做功，只有
组
统
a 球和b 球的
能
动
和重力
能相互
，因此
势
转换
a 球和b 球所
成的系
机械能守恒，
组
统
A
；
杆
错误设轻
L 和水平杆L2的
角
夹
为θ，由运
关
可知
动
联
vbcos θ＝vasin θ，则vb＝vatan θ，可知
当b 球的速度
零
，
杆
为
时
轻
L
于水平位置且与杆
处
L2平行，
此
则
时a 球在
直方
竖
向只受重力mg，因此a 球的加速度大小为g，B
；当杆
错误
L 和杆L1第一次平行
，
时a 球运
到最低点，
动
b 球运
到
动
L1和L2交点位置，b 球的速度达到最大，此时a
球的速度为0，因此由系
机械能守恒有
统
mg(l＋l)＝mv，解得vb＝，C 正确；当轻
杆L 和杆L2第一次平行
，由运
的关
可知此
时
动
联
时b 球的速度
零，由系
机械
为
统
能守恒有mg·l＝mv，解得va＝，此时a 球具有向下的加速度g，故此时a 球的速度
不是最大，a 球将
向下做加速度减小的加速运
，到加速度
继续
动
为0
速度达到
时
最大，D
。
错误
10.(2021·重
市新高考模
庆
拟)如图8 所示，小滑块P、Q 的质量分别为3m、m，P、Q
间通过轻质铰链用长为L 的刚性轻杆连接，Q 套在固定的水平横杆上，P 和竖直
放置的轻弹簧上端相连，轻弹簧下端固定在水平横杆上。当杆与竖直方向的夹角
α＝30°时，弹簧处于原长，此时，将P 由静止释放，下降到最低点时α＝60°。整个
运动过程中，P、Q 始终在同一竖直平面内，滑块P 始终没有离开竖直墙壁，弹簧
始终在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则在P 下降过程中( )
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图8
A.P、Q 组成的系统机械能守恒
B.轻杆始终对Q 做正功
C.弹簧弹性势能最大值为2(－1)mgL
D.P 和弹簧组成的系统机械能最小时，Q 受到水平横杆的支持力大小等于mg
答案 D
解析 由于不
摩擦，
计
P、Q 和
簧三者
成的系
机械能守恒，故
弹
组
统
P、Q
成的系
组
机械能不守恒，故
统
选项A
；在
错误
P 下降
程中，
过
Q 一直沿着杆向左运
，
动P 下
降至最低点
，
时P 的速度
零，
为
Q 速度也
零，故在
为
P 下降
程中，
过
Q 一定
先
经历
加速后减速的
程，由受力分析知，
过
Q 加速
程，杆
其做正功，
过
轻
对
Q 减速
程，
过
杆
其做
功，故
轻
对
负
选项B
；
错误P 下降至最低点
，簧
性
时弹
弹
势能最大，此时P、
Q 的速度都
零，由于
为
P、Q 和
簧三者
成的系
机械能守恒，故此
簧
性
弹
组
统
时弹
弹
能即
系
减少的重力
能，亦即
势
为
统
势
P 减少的重力
能
势
Ep＝3mgL(cos 30°－cos
60°)＝(－1)mgL，故选项C
；分析可知，
错误经
P 和
簧
成的系
机械能最小
弹
组
统
时
Q 的
能最大，速度最大，加速度
零，杆
动
为
轻
对Q 的作用力
零，此
，
为
时对Q 受力
分析可知，水平横杆对Q 的支持力大小等于Q 的重力mg，故选项D 正确。
11.如图9 所示，半径R＝0.5 m 的光滑半圆轨道固定在竖直平面内，半圆轨道与光
滑水平地面相切于圆轨道最低端点A。质量m＝1 kg 的小球以初速度v0＝5 m/s，
从A 点冲上竖直圆轨道，沿轨道运动到B 点飞出，最后落在水平地面上的C 点，g
取10 m/s2，不计空气阻力。
图9
(1)求小球运动到轨道末端B 点时的速度vB；
(2)求A、C 两点间的距离x；
(3)若小球以不同的初速度冲上竖直圆轨道，并沿轨道运动到B 点飞出，落在水平
地面上。求小球落点与A 点间的最小距离xmin。
答案 (1) m/s (2)1 m (3)1 m
解析 (1)
水平地面
零
能参考面，由机械能守恒定律得
选
为
势
mv＝mv＋mg·2R
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解得vB＝ m/s。
(2)由平抛运
律得
动规
2R＝gt2，x＝vBt
解得x＝1 m。
(3)
小球运
到
设
动
B 点半
道
小球的
力
圆轨
对
压
为FN
周运
向心力
圆
动
FN＋mg＝
得当FN＝0
，小球运
到
道末端
时
动
轨
B 点
的速度最小
时
vBmin＝ m/s
由(2)的
算可知，最小距离
计
xmin＝x＝1 m。
12.如图10 所示，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A 点，轨道半径R
＝1 m，将滑块由B 点无初速度释放，滑块恰能运动到圆周的C 点，OC 水平，OD
竖直，xAB＝2 m，滑块可视为质点，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
图10
(1)滑块在斜面上运动的时间；
(2)若滑块能从D 点抛出，滑块仍从斜面上无初速度释放，释放点至少应距A 点多
远。
答案 (1)1 s (2)5.75 m
解析 (1)
滑
到达
设
块
A 点的速度为vA，从A 到C
程机械能守恒有
过
mgRcos 37°＝mv
从B 到A
程，滑
做匀加速直
运
，由匀
速直
运
律可知
过
块
线
动
变
线
动规
v＝2axAB，vA＝at
立各式解得
联
a＝4 m/s2，t＝1 s。
(2)
滑
能从
设
块
D 点抛出的最小速度为vD，在D 点，
由重力提供向心力，有mg＝m
从A 到D 由机械能守恒有
mvA′2＝mgR(1＋cos 37°)＋mv
vA′2＝2ax′
立各式解得
联
x′＝5.75 m。
15
