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2024 高考二轮复习二十五讲
第四讲、抛体运动
第一部分 织网点睛，纲举目张
一. 运动和合成与分解
1．合运动与两个分运动的关系
(1)利用运动的合成或分解，可以简化复杂运动，是分析曲线运动的方法和手段．
合运动是物体的实际运动，与分运动具有等效性和等时性，这是合成和分解运动的
基本依据．合运动与分运动满足平行四边形定则．
(2)合理地分解运动
分解运动时，不仅要遵从分解法则，还要注意各分运动的实际意义及效果，按照效
果将运动进行分解．
2．船渡河运动的分解
v1为水流速度，v2为船相对静水的速度，θ 为v2与v1的夹角，d 为河宽．
(1)沿水流方向：船的运动是速度为v1＋v2cosθ 的匀速直线运动．
(2)沿垂直河岸方向：船的运动是速度为v2sinθ 的匀速直线运动．
(3)船垂直河岸渡河时：渡河位移最小，有lmin＝d.在水流方向上有v1＋v2cosθ＝0，即
船头指向上游，满足cosθ＝－.
(4)船头垂直河岸渡河时：渡河时间最短，有tmin＝.
3. 绳（杆）端速度分解
把绳（杆）端的实际速度分解为沿绳子的分速度和垂直绳子的分速度。
4．关联速度问题
用绳、杆相牵连的物体在运动过程中的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的分速
度大小相等。
关联速度问题的解题步骤
①确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度。
1
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②分解合速度：按平行四边形定则进行分解，作好矢量图。合运动所产生的实际效果：
一方面产生使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果。两个分速度的方向
沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向。
常见的模型如图所示：
③沿绳或杆方向的分速度大小相等，列方程求解。例如：v＝v∥(图甲)；v∥＝v∥′(图乙、
丙)。
二、平抛运动
1．解题思想——化曲为直
2．二级结论——速解斜面上的平抛运动
(1)如图甲所示，若平抛的物体垂直打在斜面上，此时水平速度与竖直速度之比等于斜
面倾角的正切值，即tan θ＝。
(2)如图乙所示，对于在斜面上水平抛出又落到斜面上的物体，其竖直位移与水平位移
之比等于斜面倾角的正切值，即tan α＝＝；速度偏角的正切值一定为位移偏角(斜面倾角)
的正切值的2 倍，即tan β＝＝＝2tan α。
第二部分 实战训练，高考真题演练
1. （2023 高考全国乙卷）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用
带箭头
线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（ ）
2
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A.
B.
C.
D.
【参考答案】D
【命题意图】本题考查加速曲线运动及其相关知识点。
【解题思路】根据题述，动能一直增加，所受合力方向可能正确的是D。
2. （2023 高考选择性考试辽宁卷）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线
所示，篮球所受合力F 的示意图可能正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】A
【名师解析】
篮球做曲线运动，所受重力竖直向下，空气阻力与速度方向相反，所受合力指向运动轨迹
的凹侧。图A 正确。
3. （2023 高考全国甲卷）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平
3
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抛运动过程中，
A. 机械能一直增加
B. 加速度保持不变
C. 速度大小保持不变
D. 被推出后瞬间动能最大
【参考答案】B
【命题意图】本题考查平抛运动及其相关知识点。
【解题思路】将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中，
只有重力做功，动能和重力势能相互转化，机械能守恒，速度大小变化，AC 错误；铅球
在平抛运动过程中，只受重力，加速度为g，B 正确；被推出后，重力做功，动能逐渐增
大，所以被推出后瞬间动能最小，D 错误。
4. （2023 高考江苏学业水平选择性考试）达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐
子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图
中能反映空中沙子排列的几何图形是（ ）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】D
【名师解析】
罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间
内水平方向增加量
，竖直方向
做在自由落体运动，在时间
增加
；说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加
4
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量比值一定，则连线的倾角就是一定的。
D 正确。
5. （2023 高考湖南卷）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。
某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均
为
，且轨迹交于
点，抛出时谷粒1 和谷粒2 的初速度分别为
和
，其中
方向水平，
方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ）
A. 谷粒1 的加速度小于谷粒2 的加速度
B. 谷粒2 在最高点的速度小于
C. 两谷粒从
到
的运动时间相等
D. 两谷粒从
到
的平均速度相等
【参考答案】B
【名师解析】抛出的两粒谷粒在空中运动都是只受重力，加速度都是重力加速度，所以谷
粒1 的加速度等于谷粒2 的加速度，A 错误；根据抛体运动规律，可知谷粒2 在最高点的速
度小于
，两谷粒从
到
的运动时间不相等，B 正确C 错误；由于两谷粒在空中运动时
间不相等，所以两谷粒从
到
的平均速度不相等，D 错误。
6. （2023 高考全国甲卷）（12 分）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固
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定在墙上。用质量为m 的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小球在
弹簧作用下有静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面
碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰
撞前瞬间的4/5。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空
气阻力。求：
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
【参考答案】（1）
（2）
【命题意图】本题考查机械能守恒定律、平抛运动及其相关知识点。
【解题思路】（1）由Ep=
，解得v0=
（2）根据题述，小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h，由
解得v’y=
由题述，碰撞地面后垂直于地面速度分量大小变为碰撞前瞬间的4/5，即
vy= v’y，
可知碰撞前瞬间垂直于地面速度分量大小为vy=
v’y=
。
由vy=gt，x=v0t，
解得x=
。
【方法总结】平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，
依据相关物理规律列方程解答。
6
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7．（2023 全国高考新课程卷）（10 分）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水
面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石
子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石
子从距水面高度为h 处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的
空气阻力，重力加速度大小为g）
【名师解析】可以把“打水漂”理想化为平抛运动。
从高h 处水平抛出扁平石子，落到水面时竖直方向速度为vy=
（3 分）
要使扁平石子落水速度与水平面夹角小于θ，则
＜tanθ，（3 分）
解得v0≥
（3 分）
即抛出的速度最小值为vmin=
（1 分）
第三部分 思路归纳，内化方法
1．合运动性质的判断
(1)若加速度与初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。
(2)加速度恒定则为匀变速运动，加速度不恒定则为非匀变速运动。
2．三种过河情景分析
过河时间最短
船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d 为河宽)
过河路径最短
(v 水<v 船时)
合速度垂直于河岸时，航程最短，xmin＝d。船头指向上游与河岸夹角
为α，cos α＝
过河路径最短
(v 水>v 船时)
合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河，最短航程s 短＝＝d
3.绳、杆牵连速度问题
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的
分速度大小相等求解。如下为四种常见的速度分解模型：
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4. 处理平抛运动问题的五个关键点
(1)平抛运动(或类平抛运动)，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，
先按分运动规律列式，再用运动的合成法则求合运动。
(2)对于从斜面上平抛又落到斜面上的问题，竖直位移与水平位移的比值等于斜面倾角
的正切值。
(3)若平抛的物体垂直打在斜面上，打在斜面上的水平速度与竖直速度的比值等于斜面
倾角的正切值。
(4)做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同。
(5)抓住两个三角形：速度三角形和位移三角形，结合题目呈现的角度或函数方程找到
解决问题的突破口。
第四部分 最新模拟集萃，提升应试能力
1． (2024 江苏盐城期初摸底质检)如图所示，足够大的粗糙斜面倾角为θ，小滑块以大小为
v0的水平初速度开始沿斜面运动，经过一段时间后，小滑块速度大小为v、方向与初速度
垂直。此过程小滑块加速度的最大值为a1、最小值为a2。已知小滑块与斜面动摩擦因数
μ= tanθ，则（ ）
A．v = v0
B．v >v0
C．a2=√2 gsinθ
D．a1=√2gsinθ
【参考答案】．D
【名师解析】．小滑块在斜面上滑动，摩擦力力大小始终不变为
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其大小与重力沿着斜面向下的分力大小相等，滑块速度从水平到竖直过程中根据动能定理
其中为垂直初速度方向滑块沿斜面下滑的长度，为滑块运动轨迹的长度，根据几何关系
可知
可知
故AB 错误；
摩擦力速度的方向始终与滑块相对斜面的速度方向相反，可知的方向与重力沿斜面向下
的分力的方向
的夹角为
到
，则合力的大小范围
结合牛顿第二定律
可得
则
，a2=0，故D 正确，C 错误。
2. （2023 广东韶关期末）在农田灌溉中往往需要扩大灌溉面积，常用的方法是在水管的末
端中心加装一段细管，如图所示。保持细管水平且高度不变，农田水平，不考虑空气阻力
及管口粗细变化对高度的影响，单位时间内的进水量不变，则加装细管后，下列说法正确
的是（ ）
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A. 喷出的水的出口速度不变
B. 喷出的水在空中运动的时间将变长
C. 喷出的水的水平射程将变大
D. 单位时间内的出水量将显著增加
【参考答案】C
【名师解析】
．单位时间的出水量与单位时间输入水管的量有关，与是否加装细管无关，所以单位时间
内的出水量不变，故D 错误；根据题意可知，水离开水管做平抛运动，竖直方向上有
解得
，由于高度不变，则喷出的水在空中运动的时间不变，故B 错误；
设加细管时水
流速为
，不加细管时水的流速为
，不加细管时水管的半径为
，细管
半径为
，根据相同时间内水的流量相同，可得
由于
，可得
即喷出的水的出口速度变大，由于水离开水管做平抛运动，水平射程为
运动时间不变，出口速度变大，则水平射程将变大，故A 错误，C 正确。
3. (2023 山东烟台重点高中期末)如图所示，某同球以
的速度斜向上击出，击球点
到竖直墙壁的距离
。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为
的P
点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75 倍。平行墙面的速度分量
不变。重力加速度g 取
，网球碰墙后的速度大小v 和着地点到墙壁的距离d 分别为
（ ）
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A.
B.
C.
D.
【参考答案】BD
【名师解析】
设网球飞出时的速度为
，竖直方向
代入数据得
则
排球水平方向到
点的距离
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量
平行墙面的速度分量
反弹后，垂直墙面的速度分量
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则反弹后的网球速度大小为
网球落到地面的时间
着地点到墙壁的距离
故BD 正确，AC 错误。
4 . (2023 山东烟台重点高中期末)如图所示，小船以大小为
。方向与上游河岸成θ 的速
度（在静水中的速度）从A 处过河，经过t 时间，正好到达正对岸的B 处。现要使小船在
更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B 处，在水流速度不变的情况下，可采取下列方
法中的哪一种（ ）
A. 只要增大
大小，不必改变
角
B. 只要增大
角，不必改变
大小
C. 在增大
的同时，也必须适当增大
角
D. 在增大
的同时，也必须适当减小
角
【参考答案】C
【名师解析】
由题意可知，水流的速度和河岸的宽度为
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，
现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B 处，在水流速度不变的情况下，
应满足（
和
是变化后的速度和夹角）
，
当
时，则
ABD 错误，C 正确。
5. （2023 安徽合肥六校联考）在2022 年卡塔尔世界杯赛场上，梅西在一次主罚定位球时，
踢出的足球划出一条完美弧线，轨迹如图所示。下列关于足球在飞行过程中的说法正确的
是（ ）
A. 在空中只受到重力的作用
B. 合外力的方向与速度方向在一条直线上
C. 合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧
D. 合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向
【参考答案】D
【名师解析】
若在空中只受到重力的作用，则其应该做抛体运动，不会划出一条完美弧线绕过人墙，故
A 错误；
球做曲线运动，则合外力的方向与速度方向不在一条直线上，故B 错误；
做曲线运动的物体，合外力的方向沿指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向，故C 错误，
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D 正确。
。
6. （2023 安徽合肥六校联考）湖面上有一只小船，湖面的西风给小船一个恒定的作用力，
小船自身动力与风力大小相等，方向始终与小船的速度方向一致。在如图所示的正方形区
域，小船初始自O 点有向北的初速度
，经过一段时间后小船驶出正方形区域，下列图线
中，带箭头的图线表示小船的运动大致轨迹，可能正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】BD
【名师解析】
湖面的西风给小船一个恒定的作用力，即风给小船的作用力始终向东，小船有向北的初速
度，可知小船运动轨迹向东偏转，v0的方向是轨迹的切线方向，因小船自身提供的动力与
速度方向相同且等于风力，可知初始状态合力方向北偏东45°，则选项AC 错误；
BD．随着小船速度方向不断偏转，合力方向逐渐靠近正东方向，即合速度方向逐渐靠近正
东方向，若初速度较小，则图像为B，若初速度较大，则图像为D。即BD 正确。
7.（2023 南昌二中开学质检） 如图所示为内燃机中轻质活塞和曲柄连杆结构的示意图和简
图。气缸内高压气体推动活塞使其往复运动，某时刻活塞的速度为
，连杆AO 与活塞轴
线BO 垂直，气缸中高压气体及外部大气对活塞作用力的合力大小为F，已知
，
不计一切摩擦，则此刻（ ）
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A. 活塞对连杆AB 的作用力为2F
B. 气缸壁对活塞的作用力为
C. 连杆AB 的A 端沿连杆AB 方向的线速度为
D. 连杆OA 的A 端绕O 点转动的线速度为
【参考答案】BD
【名师解析】
连杆AO 与活塞轴线BO 垂直时，由几何关系可知BA 与BO 之间的夹角
由于是轻质活塞，所以活塞所受合外力为零，活塞受连杆AB 对其的推力
、气缸壁对其
的弹力
和高压气体及外部大气对活塞的作用力作用，如图所示
根据平衡条件可得
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解得
故A 错误，B 正确；
．
沿连杆AB 方向和垂直于连杆AB 方向分解，如图所示
沿连杆AB 方向的速度
连杆OA 的A 端绕O 转动的线速度
故C 错误，D 正确。
8. （2023 安徽合肥六校联考） 如图所示，小球以v0=12m/s 的速度水平抛出，在落地之前
经过空中A、B 两点，在A 点小球速度方向与水平方向的夹角为37°，在B 点小球速度方
向与水平方向的夹角为53°。空气阻力忽略不计，g 取10m/s2，sin37°=0.6，
cos37°=0.8。以下判断正确的是（ ）
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A. 小球经过A、B 两点间的时间t=0.7s
B. 小球经过A、B 两点间的时间t=1.6s
C. 抛出点到B 点间的竖直高度差h=15m
D. 抛出点到B 点间的竖直高度差h=12.8m
【参考答案】AD
【名师解析】
小球经过A 点时，有
小球经过B 点时，有
小球竖直方向做匀加速直线运动，有
联立，可得
故A 正确；B 错误；
小球经过B 点时，竖直方向满足
代入数据，得h=12.8m，故C 错误；D 正确。
。
9 . (2023 重庆期末)如图所示，一小球以速度
从倾角为
的斜面顶端A 处水平抛
出，垂直落到在斜面底端与斜面垂直的挡板上的B 点，已知重力加速度为g，
，
，则下列说法正确的是（ ）
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A. 小球到达B 点的速度大小为
B. 斜面的长度为
C. 小球到达B 点时经历的时间为
D. B 点到水平面
高度为
【参考答案】AD
【名师解析】
将B 点速度分解为水平和竖直方向，根据几何关系B 点速度与水平方向的夹角为
，分
解速度
，A 正确；
B 点的竖直分速度
，由几何关系
得
小球离开桌面到B 点的时间
初速度沿斜面方向的分量
重力加速度沿斜面的分量
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由匀变速直线运动的公式得斜面长为
BC 错误；
斜面的竖直高度为
平抛的竖直位移为
则B 点到水平面的高度为
D 正确。
。
10 . （2024 年1 月江苏期末）如图所示,在水平地面上M 点的正上方h 高度处,将小球S1
以速度大小为v 水平向右抛出,同时在地面上N 点处将小球S2以速度大小为v 竖直向上抛出.
在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇,不计空气阻力.则在这段过程中,下列说法中正确的是
( )
A. 两球的速度变化量大小相同
B. 相遇时小球S1的速度方向与水平方向夹角为30°
C. 两球的相遇点在N 点上方h
3
处
D. M、N 间的距离为2h
【参考答案】. A
【名师解析】:两球加速度均为重力加速度,则相同时间内速度变化量大小相同,A 正确;两球
相遇时间t=v
g
,则tan θ=gt
v =1,相遇时小球S1的速度方向与水平方向夹角为45°,B 错误;两球
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竖直方向的分位移相等,则相遇点在N 点上方h
2处,C 错误;M、N 间的距离为x=vt=v
2
g
,又h=2·
v
2
2g
,则x=h,D 错误.
10. （2023 浙江十所名校期中联考）如图所示，某空军部队进行陆空军事演习。红军战机
在高度为
空中匀速向左飞行，发现与其水平相距
的蓝军地面基地后，立即
对其水平发射一枚无动力导弹。不计空气阻力，重力加速度g 取
，则：
（1）红军导弹将在多久之后击中蓝军基地？导弹的发射速度为多少？
（2）蓝军地面基地雷达监测到有导弹来袭击，在红军发出导弹
后，位于基地同海拔前
方
处的拦截阵地竖直向上发射一枚动力拦截导弹。假设动力拦截导弹在空中做匀速
直线运动，若想拦截成功，拦截导弹的速度为多少？
【参考答案】（1）
，
；（2）
【名师解析】
（1）导弹离开战机后做平抛运动，由
（2）红军发出导弹
后，位于基地同海拔前方
处的拦截阵地竖直向上发射一枚拦
截导弹。可得拦截成功时，红军发射导弹飞行时间：
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红军发射导弹下落高度为
蓝军拦截导弹上升高度为
蓝军拦截导弹飞行时间
蓝军拦截导弹运行速度
12 . (2023 重庆期末)如图所示，质量为
、长
、高
的矩形滑块
A 置于水平面上，上表面的左端有一质量为
的小物块B，A 与B、地面间的动摩擦
因数分别为
、
，用水平力打击滑块A 的右端，使之获得向左的速度
，
重力加速度
．
开始运动时，滑块A
加速度；
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要使小物块B 不滑出滑块，
应满足的条件；
如果
，则小物块B 落地时，跟滑块A 右端的距离．
【参考答案】（1）
，方向向右（2）
（3）
【名师解析】
（1 ）当滑块A 开始运动时，上下表面均受到摩擦力的作用：
，方向向右
当小物块B 滑到大物块的最右端时，速度相同，则小物块不滑出，对小物块B：
速度为：
位移为
对大滑块A：
速度为：
位移为为：
由
，
联立以上各式解得：
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即给大滑块的速度不大于2m/s
此时小滑块一定从大滑块上滑下，滑出后做平抛运动，大滑块做减速运动；
由
联立解得：
取
小滑块滑出后，B 的速度为：
A 的速度为：
B 平抛，竖直方向上有：
水平位移为：
联立解得：
A 滑块做减速运动时的加速度为：
A 做减速时的位移：
相距距离为：
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