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微专题86 带电粒子在交变电、磁场中的运动
1．先分析在一个周期内粒子的运动情况，明确运动性质，再判断周期性变化的电场或磁场
对粒子运动的影响。2.画出粒子运动轨迹，分析运动空间上的周期性、时间上的周期性，并
注意是否存在多种可能性。
1．空间存在垂直于纸面方向的匀强磁场。其方向随时间周期性变化，磁感应强度B 随时间t
变化的图线如图所示。规定B>0 时，磁场的方向穿出纸面，一电荷量 q＝5π×10－7 C，质
量 m＝5×10－10 kg 的带电粒子，位于某点O 处，在t＝0 时刻以初速度v0＝π m/s 沿垂直磁
场方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的一切其他影响。则在磁场变
化N 个(N 为整数)周期的时间内带电粒子的平均速度大小为( )
A．π m/s
B. m/s
C．2 m/s
D. m/s
答案 C
解析 带电粒子在磁场中的运动半径为r＝＝0.01 m，周期为T＝＝0.02 s＝5×10－3 s×4，
作出粒子的轨迹示意图如图所示，磁场变化一个周期内，带电粒子的位移为2×10－2 m，所
以在磁场变化N 个(N 为整数)周期的时间内，带电粒子的平均速度的大小等于2 m/s，故C
选项正确。
2．(多选)(2023·湖北襄阳市阶段练习)两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空
间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图甲、图乙所示(规定
垂直纸面向里为磁感应强度的正方向)。在t＝0 时刻由负极板某位置释放一个初速度为零的
带负电的粒子(不计重力)，若电场强度E0、磁感应强度B0、粒子的比荷均已知，且t0＝，两
板间距为，下列说法正确的是( )
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A．粒子在t0时刻的动能为
B．粒子在t0～t0时间内的速度变化量大小为
C．粒子在2t0～3t0时间内做匀加速直线运动
D．粒子在极板间运动的最大位移大小为
答案 ACD
解析 由题可知，0～t0时间内带电粒子做匀加速直线运动，有a＝，x1＝·t0
2＝，v1＝at0＝，
故粒子在t0时刻的动能为Ek＝mv1
2＝，故A 正确；t0～t0时间段内，带电粒子只受洛伦兹力
的作用做圆周运动，故r1＝＝，T＝＝2t0，t0时粒子的速度方向水平，故t0～t0时间内的速度
变化量大小为Δv＝v1＝，故B 错误；t0～2t0时间段内，磁场方向改变，带电粒子只受洛伦兹
力的作用做圆周运动，2t0时，粒子运动方向竖直向上。
根据带电粒子的受力可知，2t0～3t0带电粒子向上做匀加速直线运动。x2＝v1t0＋at0
2＝，v2＝
v1＋at0＝，故C 正确；3t0～t0、t0～4t0带电粒子做圆周运动，r2＝＝，两板间距为d＝，故粒
子在极板间的运动轨迹如图所示。由上分析可知，当粒子到达对面极板时的水平位移为x＝
2r1＋2r2＝，故粒子在极板间运动的最大位移大小为s＝＝＝，故选D 正确。
3．(2023·江苏常州市模拟)如图甲所示，在平面直角坐标系xOy 的第二象限中，有平行于y
轴向下的匀强电场，在y 轴的右侧区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直坐标平面，磁感应强
度大小B 随时间变化的关系如图乙所示，在t＝0 时刻有一比荷为1×104 C/kg 的带正电粒子
(不计重力)从坐标原点O 沿x 轴正方向以初速度v0＝2×103 m/s 进入磁场，开始时，磁场方
向垂直纸面向里，粒子最后到达x 轴上坐标为(－2 m,0)的P 点，求：
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(1)粒子在磁场中运动的轨迹半径；
(2)粒子到达y 轴时与O 点的距离s；
(3)匀强电场的电场强度大小E。
答案 (1)0.4 m (2)1.6 m (3)3.2×102 V/m
解析 (1)粒子进入磁场后在磁场中做圆周运动，设轨迹半径为R，由洛伦兹力提供向心力有
qv0B＝m
解得R＝＝0.4 m
(2)设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则T＝＝4π×10－4 s
0～π×10－4 s 时间内，粒子运动的周期数为N1＝＝
运动轨迹对应的圆心角为120°；
π×10－4～2π×10－4 s 内，粒子运动的周期数为N2＝＝
运动轨迹对应的圆心角为60°；
2π×10－4～π×10－4 s 内，粒子运动的周期数为N3＝＝
运动轨迹对应的圆心角为120°，故粒子运动轨迹如图所示
粒子恰好在t＝π×10－4 s 时到达y 轴，由图知粒子到达y 轴时与O 点的距离s＝4R＝1.6 m
(3)粒子进入电场后做类平抛运动，则竖直方向有s＝at2＝t2
水平方向有x＝v0t
解得E＝3.2×102 V/m。
4．(2024·湖南长沙市长郡中学月考)如图a 所示，水平直线MN 下方有竖直向上的匀强电场，
现将一重力不计、比荷＝1×106 C/kg 的正电荷置于电场中的O 点由静止释放，经过t1＝×10
－5 s 后，电荷以v0＝1.5×104 m/s 的速度通过MN 进入其上方的匀强磁场，磁场与纸面垂直，
磁感应强度B 按图b 所示规律周期性变化(图b 中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷第一次
通过MN 时为t＝0 时刻)，计算结果可用π 表示。
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(1)求正电荷在正向磁场和负向磁场中运动的半径及周期；
(2)如果在O 点右方43.5 cm 处有一垂直于MN 的足够大的挡板，求电荷从O 点出发运动到挡
板所需的时间。
答案 (1)见解析 (2)π×10－5 s
解析 (1)当磁场垂直纸面向外时，设电荷运动的半径为r1，由B1qv0＝
可得r1＝＝5 cm
当磁场垂直纸面向里时，设电荷运动的半径为r2，同理可得r2＝＝3 cm
由圆周运动规律得T＝
当磁场垂直纸面向外时，周期T1＝＝×10－5 s
磁场垂直纸面向里时，周期T2＝＝×10－5 s
(2)电荷从t＝0 时刻开始做周期性运动，结合磁场的周期性可知运动轨迹如图甲所示
从电荷第一次通过MN 开始，其运动的周期
T′＝4t1＋＋＝×10－5 s
每个周期电荷沿MN 向挡板移动距离为Δd＝2(r1－r2)＝4 cm
根据电荷的运动情况可知，电荷到达挡板前运动的完整周期数为9 个，即s＝9Δd＝36 cm
则最后(43.5－36)cm＝7.5 cm 的距离的轨迹如图乙所示
由几何关系可得r1＋r1cos α＝7.5 cm
解得cos α＝0.5，即α＝60°
故电荷运动的总时间t 总＝t1＋9T′＋T1－T1＝π×10－5 s。
5．(2024·江苏扬州市阶段练习)如图甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L 区域内有沿y 轴正
方向的匀强电场，右侧有以点(2L,0)为圆心、半径为L 的圆形磁场区域，磁场区域边界与x
轴的交点分别为M、N。在xOy 平面内，从电离室产生的质量为m、带电荷量为e 的电子以
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几乎为零的初速度从P 点飘入加速电场中，加速后以速度v0经过右侧极板上的小孔Q 点沿x
轴正方向进入匀强电场，已知O、Q 两点之间的距离为，电子飞出电场后从M 点进入圆形
磁场区域，进入磁场时取t＝0，在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场(以垂直于纸面向外
为正方向，图中B0是未知量)，最后电子从N 点飞出，不考虑电子的重力。求：
(1)加速电场的电压U；
(2)电子运动到M 点时的速度大小和方向；
(3)磁场变化周期T 满足的关系式。
答案 (1) (2)2v0，方向与x 轴正方向的夹角为60°斜向下 (3)T＝(n＝1,2,3…)
解析 (1)在加速电场中，从P 点到Q 点，由动能定理得eU＝mv0
2，可得U＝
(2)电子从Q 点到M 点做类平抛运动，有＝at2，L＝v0t，电子运动至M 点时vM＝，解得vM＝
2v0
cos θ＝＝，解得θ＝60°，即速度方向与x 轴正方向的夹角为60°斜向下；
(3)电子在磁场中的运动具有周期性，轨迹如图所示
电子到达N 点符合要求的空间条件为n(2Rsin 60°)＝3L－L(n＝1,2,3…)
电子在磁场中做圆周运动的轨道半径R＝解得B0＝(n＝1,2,3…)
电子在磁场变化的半个周期内恰好转过圆周，同时在MN 间的运动时间是磁场变化周期的整
数倍时，可使粒子到达N 点且速度满足题设要求，应满足的时间条件是T0＝，T0＝
所以T 应满足的条件为T＝(n＝1,2,3…)。
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