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2025-2026 学年福建省厦门市海沧区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10 题，每小题各4 分，共40 分）
1．（4 分）商后母戊鼎又称司母戊鼎是已知中国古代最重的青铜器，鼎身四周铸有精巧的各类纹饰，下
列纹饰中是轴对称图形的是（ ）
A．
夔龙纹
B．
牛角兽面纹
C．
饕餮纹
D．
虎噬人纹
2．（4 分）如图，将三角形纸片ABC 按下面四种方式折叠，则AD 是△ABC 的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4 分）下列运算中，正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5
B．x2•x3＝x6
C．（3x）3＝9x3
D．（x2）3＝x6
4．（4 分）如图，已知∠AOB 与∠EO′F（∠AOB＞∠EO′F），分别以点O，O′为圆心，以同样长为
半径画弧，分别交OA，OB 于点A′，B′，交O′E，O′F 于点E′，F′．以点B′为圆心，以
E′F′长为半径画弧，在∠AOB 的内部交弧A′B′于点H．下列结论正确的是（ ）
2
A．∠AOB＝2∠EO′F
B．∠AOH＝∠EO′F
C．∠AOH＝∠BOH
D．∠HOB＝∠EO′F
5．（4 分）如图，在△ABC 和△FED 中，AC＝FD，BC＝ED，下列条件中用利用“SAS”的办法判定
△ABC 与△DEF 全等的是（ ）
A．AE＝FB
B．∠CAB＝∠DFE
C．∠D＝∠C
D．∠ABC＝∠DEF
6．（4 分）如图，AE∥CD，AC 平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（ ）
A．35°
B．50°
C．60°
D．70°
7．（4 分）如图，在△ABC 中，点D、F 分别在边BC、AC 上，若BC＝ED，AC＝CD，AB＝CE，且
∠ACE＝180°﹣∠ABC﹣2m，对下列角中，大小为m 的角是（ ）
3
A．∠CDF
B．∠ABC
C．∠CFD
D．∠CFE
8．（4 分）如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，CE 为AB 边上的中线，AD，CE 交于点F，连接
BF，下列说法中错误的是（ ）
A．若CA＝CB，则BF⊥AC
B．若AB＝AC，则S△ABF＝S△BCF
C．若FA＝FB＝FC，则FD＝EF
D．若BA＝BC，则∠ABF＝∠CBF
9．（4 分）若a，b 是正整数，且满足3
a+3
a+⋯+ 3
︸
a
=
9个3
a相加3
b×3
b×⋯×3
¿
b
，则a 与b 的关系正确的
是（ ）
A．a+2＝9b
B．2a＝9b
C．a+2＝b9
D．2a＝9+b
10．（4 分）如图，已知△ABC 是等边三角形，点D、E 分别在边AB、BC 上，CD、AE 交于点F，
∠AFD＝60°．FG 为△AFC 的角平分线，点H 在FG 的延长线上，HG＝CD，连接HA 和HC．①BD
＝CE；②∠AHC＝60°；③FC＝CG；④CF：AF＝CG：AG；其中说法正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
二、填空题（本大题有6 小题，每题4 分，共24 分）
11．（4 分）计算：
（1）x3+x3＝ ；
（2）a2•a3＝ ；
（3）（﹣a3）2＝ ；
4
（4）（2x3）3＝ ．
12．（4 分）如图，作线段AB 的垂直平分线DE，交BC 于点P，连接AP．若AC＝3，BC＝7，则△APC
的周长为 ．
13．（4 分）如图，△ABC≌△EDF，BD＝10，FC＝4，BC＝ ．
14．（4 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠ABC，AB＝6，S△ABD＝12，则CD 的长为
．
15．（4 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠ABN＝∠MBC，BM＝NM，则∠NBC 的度数是
°．
16．（4 分）如图，等边△ABC 的边长为8，点E 在BC 上，CE＝2，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P 是
射线CD 上一动点，点F 是线段AB 上一动点，当EP+FP 的值最小时，AF 的长为 ．
5
三、解答题（本大题有9 小题，共86 分）
17．（8 分）计算：（1）a2•a4+（a2）3；
（2）（2x2）4+（﹣x2）3•x2﹣x3•x4•x．
18．（6 分）如图，AE∥BC，AE＝AB，∠EFA＝∠ACB．求证：△ABC≌△EAF．
19．（8 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C
（2，3）．
（1）在图中画出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1点坐标；
（2）在x 轴上找出一点P，使PB+PA1最短．
20．（8 分）如图，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，满足BE＝
CD，求∠ADE 的度数．
6
21．（8 分）若am＝an（a＞0 且a≠1，m、n 是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题：
（1）如果3×9x×27x＝326，求x 的值；
（2）已知m＝63，n＝54，用含m，n 的式子表示3036．
22．（11 分）如图，△ABC 与△ADE 是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图，若点D 在线段BE 上，且BE＝BC，请猜想∠ACB 与∠ABE 的数量关系，并说明理由．
23．（11 分）如图，在△ABC 中，CD 是∠ACG 的角平分线．
（1）尺规作图：作线段AB 的垂直平分线与射线CD 交于点E（保留作图痕迹）；
（2）过点E 作EF⊥AC，若BC＝8，CF＝2，求AC 的长度．
24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过点M（m，n），且平行于x 轴．给出如下定义：
点P（x，y）先关于x 轴对称得点P1，再将P1关于直线l 对称得到点P2，则称点P2是P 关于x 轴和直
线l 的双反射点．
（1）已知点M（0，3），
①若点P（0，﹣4），则P 关于x 轴和直线l 的双反射点P2的坐标是 ；
②若点Q（0，a），其中a＞3，点Q 关于x 轴和直线l 的双反射点Q2，求线段QQ2的长度．
（2）若点A（0，5），B（4，3），是否存在点M（m，n），使得点A 关于x 轴和直线l 的双反射点
7
A2，满足A2M＝A2B，∠MA2B＝90°．若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14 分）如图1，已知∠EAF＝30°，定点P 在射线AE 上，动点B 在射线AF 上，作四边形ABPC，
使PC＝PB，且∠CPB＝150°．
（1）如图1，当∠PBA 为锐角时．
①若∠PBA＝α，试用含α 的式子表示∠CPA＝ ；
②过点C 作CH⊥AP 于点H，求证：CH = 1
2 AP．
（2）如图2，连接BC 交AP 于点Q，当点B 运动到使PC∥AB 时，探究线段PC，PQ，AB 之间的数量
关系，并说明理由；
（3）若点B 关于直线AP 的对称点为点D，连接DP，DC，当△DPC 为等腰直角三角形时，请直接写
出S△PAC
S△PCD
的值．
8
9
2025-2026 学年福建省厦门市海沧区八年级（上）期中数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
D
C
B
A
D
A
B
11.（1）2x3；（2）a5；（3）a6；（4）8x9 12.10 13.7 14.4 15.60 16.3
选择题、填空题解法提示
10．解：①∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠CAE，
在△BCD 和△CAE 中，
{
∠B =∠ACE
BC = AC
∠BCD =∠CAE
，
∴△BCD≌△CAE（ASA），
∴BD＝CE，故①正确，符合题意；
②如图，作CM⊥AE 交AE 的延长线于M，作CN⊥HF 于N，
∵∠EFC＝∠AFD＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∵FG 为△AFC 的角平分线，
∴∠CFH＝∠AFH＝60°，
∴∠CFH＝∠CFE＝60°，
∵CM⊥AE，CN⊥HF，
∴CM＝CN，
∵∠CEM＝∠ACE+∠CAE＝60°+∠CAE，∠CGN＝∠AFH+∠CAE＝60°+∠CAE，
∴∠CGN＝∠CEM，
10
在△ECM 和△GCN 中，
{
∠CGN =∠CEM
∠CME =∠CNG =90°
CM =CN
，
∴△ECM≌△GCN（AAS），
∴CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，
∴∠MCN＝∠ECG＝60°，
由①知△BCD≌△CAE（ASA），
∴AE＝CD，
∵HG＝CD，
∴AE＝HG，
∴AE+EM＝HG+GN，即AM＝HN，
在△AMC 和△HNC 中，
{
AM = HN
∠AMC =∠HNC =90°
CM =CN
，
∴△AMC≌△HNC（SAS），
∴∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，
∴∠ACM﹣∠ECM＝∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE＝∠HCG＝60°，
∴△ACH 是等边三角形，
∴∠AHC＝60°，故②正确，符合题意；
③由②知，∠CFH＝∠AFH＝60°，
若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°相矛盾，故③错误，不符合题意；
④∵∠ECF＝∠GAF，∠CFE＝∠AFG＝60°，
∴△ECF∽△GAF，
∴CF：AF＝CE：AG＝CG：AG，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②④，
故选：B．
16．解：如图，作E 点关于CD 的对称点E′，连接PE'，E'F，过E′作E′F'⊥AB 于点F'，
11
则E'P＝EP，
∴EP+FP＝E′P+PF≥E′F≥E'F'，
即当EP+FP 的值最小时，点F 位于F'处．
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵E′F'⊥AB，
∴∠F'E′B＝30°，
∵等边△ABC 的边长为8，CE'＝CE＝2，
∴BE′＝BC+CE＝8+2＝10，
∴BF'= 1
2
BE'＝5，
∴AF＝8﹣5＝3，
∴当EP+FP 的值最小时，BF 的长为3，
故答案为：3．
解答题参考答案
17．解：（1）a2•a4+（a2）3
＝a6+a6
＝2a6；
（2）（2x2）4+（﹣x2）3•x2﹣x3•x4•x
＝16x8+（﹣x6）•x2﹣x8
＝16x8﹣x8﹣x8
＝14x8．
18．证明：∵AE∥BC，
∴∠EAF＝∠B，
在△ABC 和△EAF 中，
12
{
∠ACB =∠EFA
∠B =∠EAF
AB = AE
，
∴△ABC≌△EAF（AAS）．
19．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
由图知，A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣2，3）；
（2）如图所示，点P 即为所求．
20．解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵点D 是BC 的中点，AB＝AC，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵BE＝CD，
∴BE＝BD，
∴∠BDE＝∠BED＝65°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝25°．
21．解：（1）∵3×9x×27x＝326，
∴3×32x×33x＝31+5x＝326，
∴1+5x＝26，
∴x＝5；
（2）∵m＝63，n＝54，
∴3036
＝（6×5）36
＝636×536
＝（63）12×（54）9
13
＝m12n9．
22．（1）证明：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD 和△CAE 中，
{
AB = AC
∠BAD =∠CAE
AD = AE
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∠ACB 与∠ABE 的数量关系是：3∠ACB+∠ABE＝180°，理由如下：
设∠ACB＝α，∠ABE＝β，
∵△ABC 是等腰三角形，且AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝α﹣β，
由（1）可知：△BAD≌△CAE，
∴∠ABE＝∠ACE＝β，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝α+β，
在△BCE 中，BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝α+β，
由三角形内角和定理得：∠CBE+∠BEC+∠BCE＝180°，
∴α﹣β+α+β+α+β＝180°，
∴3α+β＝180°，
∴3∠ACB+∠ABE＝180°．
23．解：（1）图形如图所示：
（2）过点E 作EH⊥BC 于点H，连接EA，EB．
∵点E 在线段AB 的垂直平分线上，
14
∴EA＝EB，
∵CD 平分∠ACG，EF⊥AC，EH⊥BG，
∴EF＝EH，
∵∠EAF＝∠EHB＝90°，
∴Rt△AEF≌Rt△BEH（HL），
∴BH＝AF＝10，
AC＝AF+FC＝10+2＝12．
24．解：（1）①点P（0，﹣4）关于x 轴对称点P1为（0，4），
P1（0，4）关于直线y＝3 对称点为P2（0，2）；
故答案为：（0，2）；
②∵Q（0，a），
设Q1是Q 关于x 轴对称的点，
∴Q1（0，﹣a）设直线l 与y 轴相交于M 点，
∵M（0，3），a＞3，
∴MQ1＝3﹣（﹣a）＝3+a，
∴Q2的纵坐标为3+3+a＝6+a，
∴QQ2＝6+a﹣a＝6；
（2）如图，过点B 作BE⊥y 轴，过点M 作MF⊥y 轴，
∴∠A2EB＝∠A2FM＝90°，∠2+∠3＝90°，
∵∠MA2B＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
15
在△A2BE 和△MA2F 中，
{
∠3=∠1
∠A2 EB =∠A2 FM
A2B = A2 M
，
∴△A2BE≌△MA2F（AAS），
∴A2F＝BE，A2E＝MF，
∵A（0，5），
∴A 的双反射点A2（0，5+2n），
∵B（4，3），E（0，3），F（0，n），M（m，n），
∴A2F＝|5+2n﹣n|＝|5+n|，BE＝4，A2E＝|5+2n﹣3|＝|2+2n|，MF＝|m|，
∴|5+n|＝4，|2+2n|＝|m|，
∴n＝﹣1 或﹣9，
当n＝﹣1 时，|m|＝0，故m＝0，
当n＝﹣9 时，|m|＝16，故m＝±16，
∵（16，﹣9）时，∠MA2B≠90°，
∴（16，﹣9）（舍去），
∴M（0，﹣1）或（﹣16，﹣9）．
25．（1）①解：如图1 中，
∵∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α，
∵∠CPB＝150°，
∴∠CPA＝∠CPB﹣∠APB＝150°﹣（150°﹣α）＝α；
故答案为：α；
②证明：如图1 中，过点P 作PT⊥AB 于点T，
∵CH⊥AP，
∴∠CHP＝∠PTB＝90°，
∵∠CPA＝α，∠ABP＝α，
16
∴∠CPH＝∠PBT，
∴PC＝PB，
∴△CPH≌△PBT（AAS），
∴CH＝PT，
∵∠ATP＝90°，∠PAT＝30°，
∴PA＝2PT，
∴CH＝PT= 1
2
AP；
（2）解：结论：AB﹣PC＝2PQ．
理由：如图，过点Q 作KJ⊥AP 交AB 于点J．
∵PC∥AB，
∴∠APC＝∠PAB＝30°，
∵PC＝PB，∠CPB＝150°，
∴∠PCB＝∠PBC＝15°，
∴∠PCB＝∠ABC＝15°，
∴∠QBP＝∠QBJ，
∵∠PQB＝∠QPC+∠PCQ＝30°+15°＝45°，∠PQJ＝90°，
∴∠BQP＝∠BQJ＝45°，
∵BQ＝BQ，
∴△BQP≌△BQJ（ASA），
∴PQ＝JQ，PB＝BJ，
∵∠AQJ＝90°，∠QAJ＝30°，
∴AJ＝2QJ＝2PA，
∴AB﹣PC＝AB﹣PB＝AB﹣BJ＝AJ＝2PQ．
17
（3）解：①如图3 中，当点C 在点D 的左侧时，
∵△PCD 是等腰直角三角形，
∴∠CPD＝90°，
∵∠CPB＝150°，
∴∠CPD+∠CPB＝240°，
由翻折的性质可知，∠DPE＝∠BPE＝60°，
∴∠CPA＝30°＝∠PAB，
∴CP∥AB，
由（2）可知，PA＝PB＝PC＝PD，
过点C 作CH⊥PA 于点H，则CH = 1
2 PC = 1
2 PA，
∴S△PAC
S△PCD
=
1
2 PA ⋅CH
1
2 PC ⋅PD
=
1
2 P A
2
P A
2 = 1
2
；
②如图4 中，当点C 在点D 的右侧时，
18
由∠DPC＝90°，∠BPC＝150°，得到∠BPD＝60°，
∵B，D 关于AP 对称，
∴PD＝PB，
∴△PDB 是等边三角形，
∴∠APB＝∠APD＝30°，
∵∠PAB＝30°，
∴DPA＝∠PAB＝∠APB，
∴PD∥AF，AB＝PB，
延长CP 交AF 于点H．则∠BPH＝30°，∠PHB＝90°，
设BH＝a，则AB＝PB＝DP＝PC＝2a，
∴AH＝3a，
∴S△PAC
S△PCD
=
1
2 ⋅2a⋅3a
1
2 ⋅2a⋅2a
= 3
2
，
综上所述，S△PAC
S△PCD
= 1
2
或3
2
．
