动态平衡问题、平衡中的临界和极值问题
基础巩固
1.[2024·山东卷] 如图所示,国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡.若它可以在倾角不大
于30°的斜坡上稳定地站立和行走,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则它的脚和斜面间的动
摩擦因数不能小于
( )
A.1
2
B.
❑√3
3
C.
❑√2
2
D.
❑√3
2
2.[2025·浙江丽水模拟] 如图所示,一质量分布均匀的球体质量大小为m,用轻绳AC 悬挂在竖
直墙壁上的A 点,使其保持静止.墙壁光滑,球与竖直墙壁的接触点为B,细绳与墙壁的夹角为
θ,重力加速度为g,下列说法正确的是( )
A.轻绳AC 的拉力为FT=mgcos θ
B.竖直墙壁对小球的支持力为FN=mgtan θ
C.缩短绳长AC,绳的拉力减小
D.缩短绳长AC,小球受到的合力增大
3.[2025·湖北黄冈模拟] 如图所示,用一根轻质细绳将一重力大小为10 N 的相框对称地悬挂
在墙壁上,相框上两个挂钉间的距离为0.5 m.已知绳能承受的最大张力为10 N,为使绳不断
裂,绳子的最短长度为( )
A.0.5 m
B.1.0 m
C.
❑√3
3
m
D.2❑√3
3
m
4.某商场为应对经济不景气、客源不足,推出了用筷子夹金砖的游戏来刺激消费.商家为了不
让顾客夹起金砖,将金砖的竖直剖面设计为等腰梯形,并要求顾客按如图所示方向夹金砖,若
筷子与金砖之间的动摩擦因数为0.75(滑动摩擦力等于最大静摩擦力),则梯形的底角必须满
足( )
A.小于53°
B.大于53°
C.小于60°
D.大于60°
5.[2025·湖南邵阳模拟] 如图所示,一轻杆通过铰链固定在竖直墙上的O 点,轻杆的另一端C
用弹性轻绳连接,轻绳的另一端固定在竖直墙上的A 点.某人用竖直向下、大小为F 的拉力作
用于C 点,静止时AOC 构成等边三角形.下列说法正确的是
( )
A.此时弹性轻绳的拉力大小可以小于F
B.此时弹性轻绳的拉力大小为2F
C.若缓慢增大竖直向下的拉力,则在OC 到达水平位置之前,轻绳AC 的拉力增大
D.若缓慢增大竖直向下的拉力,则在OC 到达水平位置之前,轻杆OC 对C 点的作用力减小
综合提升
6.(多选)[2025·山东泰安模拟] 如图所示,将一个半球体置于水平地面上,经过球心有一内径很
小的光滑竖井,柔软光滑的轻绳绕过井口,一端连着质量为m2的物体竖直悬于竖井中,另一端
沿着球面与质量为m1的物体相连,两物体均可看成质点,整个装置处于静止状态.已知此时质
量为m1的物体与半球体的球心O 的连线与水平方向夹角θ=37°(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8),质
量为m1的物体与半球面的动摩擦因数为0.5,并假设质量为m1的物体所受到的最大静摩擦力
等于滑动摩擦力.则下列说法正确的是
( )
A.m1
m2
的最小值为 10
11
B.m1
m2
的最小值为 1
2
C.m1
m2
的最大值为2 D.m1
m2
的最大值为 11
10
7.[2025·河北唐山模拟] 如图所示,光滑轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定于竖直杆上的
a、b 两点,一质量为m 的衣服静止悬挂于绳上某点;若在绳上另一点继续悬挂另一质量为M
的衣服,已知m<M,两衣架质量均可忽略不计,则最终两衣服在绳上的状态为
( )
A
B
C
D
8.(多选)[2025·广东深圳模拟] 青少年航空学校的学员会定期开展防眩晕训练,如图甲所示.若
某学员训练时,左、右手拉住圆环,处于平衡状态,左手刚好在水平状态,右手与水平方向有一
定夹角,不考虑腿部受到的作用力,等效为如图乙模型,在圆环顺时针缓慢旋转90°过程中,保
持两手臂伸直状态(夹角AOB 保持不变),则
( )
A.左手拉力一直变大
B.两手的拉力都是先变大再变小
C.左手拉力先变大再变小
D.右手拉力一直变小
9.[2025·辽宁沈阳模拟] 如图所示,轻质弹簧上端固定,下端连接一光滑小球a(可视为质点),斜
面b 静止在水平地面上,小球放在斜面上,开始时弹簧与斜面平行.现将斜面缓慢向左移到虚
线处,小球仍静止在斜面上.下列说法正确的是( )
A.b 对a 的弹力增加
B.弹簧的长度减小
C.地面对b 的支持力增加
D.地面对b 的摩擦力减小
10.(多选)[2025·天津北辰区模拟] 在室内通过如图所示方式用绿植进行装饰,质量为M=2.4
kg 的绿植通过光滑的挂钩挂在轻绳上.长L=1 m 的光滑轻绳的一端悬挂在水平天花板上Q
点,另一端悬挂于竖直墙上的P 点,P、Q 两点到墙角O 的距离分别为OQ=0.6 m,OP=0.3 m,轻
绳能承受的最大拉力为20 N(重力加速度g 取10 m/s2),为确保轻绳不断裂,下列操作可行的是
( )
A.P 点向下移动0.3 m
B.Q 点向右移动0.3 m
C.给绿植浇水0.7 kg
D.给绿植浇水0.9 kg
11.(多选)[2025·江西上饶模拟] 如图所示,半球形物体A 和小球B 紧靠着放在一固定斜面上,
并处于静止状态,忽略小球B 表面的摩擦力.用水平力F 沿物体A 表面将小球B 缓慢拉至物体
A 的最高点C,物体A 始终保持静止状态.则下列说法中正确的是
( )
A.斜面对A 的支持力不断增大
B.物体A 受到斜面的摩擦力先减小后增大
C.外力F 不断减小
D.小球B 对物体A 的压力大小一直增加
拓展挑战
12.如图所示,表面为光滑的1
4
圆弧物体B 静置在水平地面上,有一竖直光滑挡板A 恰与B 相
切于最左端O 点,有一小球a 放置于A 与B 之间.整个装置都可以绕O 点旋转.以下说法正确
的是
( )
A.若A 保持竖直,且下端沿着B 的表面向上缓慢移动到B 的最高点,小球所受B 的弹力一直增
大
B.若A 保持竖直.且下端沿着B 的表面向上缓慢移动到B 的最高点,小球所受A 的弹力一直增
大
C.若整个装置绕过O 点且垂直于该截面的轴逆时针缓慢旋转90°的过程中,小球所受B 的弹
力一直减小
D.若整个装置绕过O 点且垂直于该截面的轴逆时针缓慢旋转90°的过程中,小球所受A 的弹
力先减小后增大
13.[2025·四川成都模拟] 单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关.
用以下简化模型进行受力分析:假设用两手指对称抓球,手指与球心在同一竖直面,手指接触
点连线水平且相距为L,球半径为R,接触点与圆心的连线与水平方向夹角为θ,手指和球间的
动摩擦因数为μ,球质量为m.已知重力加速度为g,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,忽略抓
球引起的球变形.下列说法正确的是( )
A.每个手指对球的摩擦力大小为mg
2cosθ
B.L 的取值范围为L>2R
❑√1+μ
2
C.每个手指对球的压力最小值为mg
2(μcosθ+sinθ)
D.手指对球的压力增大到原来的2 倍时,摩擦力也增大到原来的2 倍
答案解析
1.B [解析] 斜坡倾角越大,则“天工”越容易下滑,只要保证“天工”在30°倾角的斜坡上
不下滑,在小于30°倾角的斜坡上更不会下滑,对30°倾角的斜坡上的“天工”受力分析,有
μmgcos 30°≥mgsin 30°,解得μ≥
❑√3
3
,B 正确.
2.B [解析] 以球为研究对象,受重力mg、轻绳对球的拉力和墙壁对球的支持力,如图所示,
根据平衡条件,有FT=mg
cosθ
、FN=mgtan θ,缩短绳长AC,根据几何关系可知θ 增大,则绳的拉
力增大,小球处于静止状态,受到的合力依然为0,故选B.
3.C [解析] 相框受力分析如图所示,受到重力mg 和两个大小相等的细绳拉力F 的作用而处
于静止状态,当F=Fmax=10 N,对应于细绳不被拉断的最小长度L,作细绳拉力的合力F 合,如图
所示,由平衡条件得F 合=10 N,所以两绳拉力的夹角是120°,绳子的最小长度L=L0
sin60°
=
0.5
❑√3
2
m=
❑√3
3
m,故选C.
4.A [解析] 设梯形底角为θ,对金砖进行受力分析,如图所示,商家需要无论金砖质量如何,都
不能夹起金砖,则应有2Ffsin θ=2μFNsin θ≤2FNcos θ,解得θ≤53°,故选A.
5.C [解析] 轻杆通过铰链固定在竖直墙上的O 点,可知轻杆对C 端的支持力方向沿杆的方
向,由于轻绳拉力、轻杆的弹力与竖直向下拉力F 互成120°角,根据共点力平衡条件可知,此
时弹性轻绳的拉力大小为FT=F,故A、B 错误;对C 端受力分析如图所示,由相似三角形可知
F
AO
=FT
AC
=FN
OC
,若缓慢增大竖直向下的拉力F,则在OC 到达水平位置之前,由于AO、OC 长度
不变,可知轻杆OC 对C 点的作用力FN变大;由于AC 长度变大,则弹性轻绳的伸长量变大,轻
绳AC 的拉力FT增大,故C 正确,D 错误.
6.AC [解析] 对两物体受力分析,考虑质量为m1的物体的摩擦力向上和向下的两个临界,根
据公式有m2g+μm1gsin 37°=m1gcos 37°、m2'g=μm1gsin 37°+m1gcos 37°,解得m1
m2
=2,m1
m2' =10
11 ,
故选A、C.
7.D [解析] 对衣架受力分析如图所示,因为同一根绳子上的拉力大小处处相等,所以衣架两
侧绳子是对称的,与竖直方向夹角是相等的.设绳子与水平方向的夹角为θ,根据受力平衡可得
F1=F2=G
2sinθ
,由于m<M,若m 左端绳与水平方向夹角小于M 右端绳与水平方向夹角,则无
法平衡,故最终二者靠在一起才能保持平衡,故选D.
8.CD [解析] 在圆环顺时针缓慢旋转90°过程中,保持两手臂伸直状态,两手拉力夹角不变,
由三力平衡推论知三力平移后会组成一闭合三角形,如图所示,F1表示左手拉力,F2表示右手
拉力.由图可知左手拉力先变大后变小,右手拉力一直变小.故C、D 正确,B、C 错误.
9.D [解析] 根据题意,对小球受力分析,如图甲所示,设弹簧与斜面的夹角为α,斜面倾角为θ,
由平衡条件有FTcos α=magsin θ,FN+FTsin α=magcos θ,又有FT=k(L-L0),斜面缓慢向左移到
虚线处,α 增大,则FT增大,FN减小,弹簧长度增大,故A、B 错误;根据题意,对斜面受力分析,如
图乙所示,结合A、B 分析,由牛顿第三定律可知,FN'减小,由平衡条件可得,地面对b 的支持力
FN1减小,地面对b 的摩擦力Ff减小,故C 错误,D 正确.
甲
乙
10.AC [解析] 同一根轻绳上弹力大小相等,根据对称性可知,左右两侧绳与竖直方向夹角相
等,令夹角为θ,绳长为L,根据几何关系有sin θ=OQ
L
=0.6,对绿植进行受力分析有2FTcos
θ=Mg,当将P 点向下移动0.3 m 过程中,夹角θ 不变,则弹力不变,解得FT=15 N<20 N 可知,轻
绳不会断裂,故A 正确;当Q 点向右移动后,结合上述,OQ 间距增大,则有sin θ=0.9,解得FT=
120❑√19
19
N>20 N,可知此时轻绳断裂,故B 错误;给绿植浇水0.7 kg,此时绿植总重力为31 N,
结合上述解得FT=19.375 N<20 N,可知此时轻绳不会断裂,故C 正确;给绿植浇水0.9 kg,此时
绿植总重力为33 N,结合上述解得FT=20.625 N>20 N,可知此时轻绳断裂,故D 错误.
11.AC [解析] 对小球B 进行分析,B 受水平拉力、重力和支持力,三个力作用下处于平衡,则
三个力构成首尾相连的矢量三角形,如图所示,将小球B 缓慢拉至物体A 的最高点C 过程中,
图中θ 变小,可知支持力FN'变小,拉力F 也变小,根据牛顿第三定律,小球B 对物体A 的压力也
减小,故C 正确,D 错误;设斜面倾角为α,A、B 质量分别为M、m,对A、B 整体分析,受拉力、
重力、支持力和静摩擦力,根据平衡条件有Ff=(M+m)gsin α+Fcos α,FN=(M+m)gcos α-Fsin
α,结合上述可知,拉力F 减小,则静摩擦力Ff减小,斜面对A 的支持力一直增加,故A 正确,B 错
误.
12.C [解析] 若A 保持竖直,且下端沿着B 的表面向上缓慢移动到B 的最高点,对小球受力
分析如图甲所示,可知小球所受A 的弹力、B 的弹力都一直减小,故A、B 错误;若整个装置绕
过O 点且垂直于该截面的轴逆时针缓慢旋转90°的过程中,对小球受力分析如图乙所示,小球
所受A 的弹力先增大后减小,所受B 的弹力一直减小,故C 正确,D 错误.
13.B [解析] 对球受力分析,如图所示,竖直方向由平衡条件有Ffcos θ=FNsin θ+1
2
mg,则
Ffcos θ>1
2
mg,所以每个手指对球的摩擦力大小Ff>mg
2cosθ
,故A 错误;因为Ff≤μFN,化简可得
FNsin θ+1
2
mg≤μFNcos θ,即FN≥mg
2(μcosθ-sinθ)
,故每个手指对球的压力最小值为
mg
2(μcosθ-sinθ)
,故C 错误;因为FNsin θ+1
2
mg≤μFNcos θ,所以FNsin θ<μFNcos θ,可
得μ>tan θ,根据几何关系得cos θ>1
❑√μ
2+1
,由图可知cos θ=L
2R ,所以L
2R >1
❑√μ
2+1
,故L 的
取值范围为L>2R
❑√1+μ
2,故B 正确;当球受到手指的静摩擦力时,Ff≠μFN,手指对球的压力增大
到原来的2 倍时,摩擦力不增大到原来的2 倍,故D 错误.
