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名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．若z=1+i，则|z2–2z|=
A．0
B．1
C．
D．2
2．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=
A．–4
B．–2
C．2
D．4
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的
正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比
值为
A．
B．
C．
D．
4．已知A 为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p=
A．2
B．3
C．6
D．9
5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x（单位：°C）的关系，在20 个不同的温
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度条件下进行种子发芽实验，由实验数据
得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程
类型的是
A．
B．
C．
D．
6．函数
的图像在点
处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
7．设函数
在
的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为
A．
B．
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C．
D．
8．
的展开式中x3y3的系数为
A．5
B．10
C．15
D．20
9．已知
，且
，则
A．
B．
C．
D．
10．已知
为球
的球面上的三个点，⊙
为
的外接圆，若⊙
的面积为
，
，则球
的表面积为
A．
B．
C．
D．
11．已知⊙M：
，直线：
，
为上的动点，过点
作⊙M 的切
线
，切点为
，当
最小时，直线
的方程为
A．
B．
C．
D．
12．若
，则
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．若x，y 满足约束条件
则z=x+7y 的最大值为 .
14．设
为单位向量，且
，则
.
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15．已知F 为双曲线
的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x
轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .
16．如图，在三棱锥P–ABC 的平面展开图中，AC=1，
，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，
则cos∠FCB= .
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）
设
是公比不为1 的等比数列，
为
，
的等差中项．
（1）求
的公比；
（2）若
，求数列
的前
项和．
18．（12 分）
如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
为底面直径，
．
是底面的内接正
三角形，
为
上一点，
．
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（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
19.（12 分）
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行
下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其
中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为
，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
20.（12 分）
已知A、B 分别为椭圆E：
（a>1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，
，P 为直
线x=6 上的动点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另一交点为D．
（1）求E 的方程；
（2）证明：直线CD 过定点.
21．（12 分）
已知函数
.
（1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≥
x3+1，求a 的取值范围.
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（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
为参数．以坐标原点为极点，
轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（1）当
时，
是什么曲线？
（2）当
时，求
与
的公共点的直角坐标．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数
．
（1）画出
的图像；
（2）求不等式
的解集．
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案(A 卷)
选择题答案
一、选择题
1．D
2．B
3．C
4．C
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5．D
6．B
7．C
8．C
9．A
10．A
11．D
12．B
非选择题答案
二、填空题
13．1
14．
15．2
16．
三、解答题
17．解：（1）设
的公比为
，由题设得
即
.
所以
解得
（舍去），
.
故
的公比为
.
（2）设
为
的前n 项和.由（1）及题设可得，
.所以
，
.
可得
所以
.
18．解：（1）设
，由题设可得
，
.
因此
，从而
.
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又
，故
.
所以
平面
.
（2）以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
.
由题设可得
.
所以
.
设
是平面
的法向量，则
，即
，
可取
.
由（1）知
是平面
的一个法向量，记
，
则
.
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所以二面角
的余弦值为
.
19．解：（1）甲连胜四场的概率为
．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为
；
乙连胜四场的概率为
；
丙上场后连胜三场的概率为
．
所以需要进行第五场比赛的概率为
．
（3）丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为
．
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜
胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为
，
，
．
因此丙最终获胜的概率为
．
20．解：（1）由题设得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.
则
，
=（a，–1）.由
=8 得a2–1=8，即a=3.
所以E 的方程为
+y2=1．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.
若t≠0，设直线CD 的方程为x=my+n，由题意可知–3<n<3.
由于直线PA 的方程为y=
（x+3），所以y1=
（x1+3）.
直线PB 的方程为y=
（x–3），所以y2=
（x2–3）.
可得3y1（x2–3）=y2（x1+3）.
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由于
，故
，可得
，
即
①
将
代入
得
所以
，
．
代入①式得
解得n=–3（含去），n=
.
故直线CD 的方程为
，即直线CD 过定点（
，0）．
若t=0，则直线CD 的方程为y=0，过点（
，0）.
综上，直线CD 过定点（
，0）.
21．解：（1）当a=1 时，f（x）=ex+x2–x，则
=ex+2x–1．
故当x∈（–∞，0）时，
<0；当x∈（0，+∞）时，
>0．所以f（x）在（–∞，0）单调递
减，在（0，+∞）单调递增．
（2）
等价于
.
设函数
，则
.
（i）若2a+1≤0，即
，则当x∈（0，2）时，
>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g
（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.
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（ii）若0<2a+1<2，即
，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，
g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1 当且
仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥
.
所以当
时，g(x)≤1.
（iii）若2a+1≥2，即
，则g(x)≤
.
由于
，故由（ii）可得
≤1.
故当
时，g(x)≤1.
综上，a 的取值范围是
.
22．解：（1）当k=1 时，
消去参数t 得
，故曲线
是圆心为坐标原点，半径为1
的圆．
（2）当k=4 时，
消去参数t 得
的直角坐标方程为
．
的直角坐标方程为
．
由
解得
．
故
与
的公共点的直角坐标为
．
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23．解：（1）由题设知
的图像如图所示．
（2）函数
的图像向左平移1 个单位长度后得到函数
的图像．
的图像与
的图像的交点坐标为
．
由图像可知当且仅当
时，
的图像在
的图像上方，
故不等式
的解集为
．
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