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2022 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）
数学
本试卷共4 页，22 小题，满分150 分。考试用时120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在
答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上
角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以
上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1. 若集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2．若
，则
（ ）
A．
B．
C．1 D．2
3．在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔
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时，相应水面的面积为
；水位为海拔
时，相应水面的面积为
，将该水
库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
上升到
时，增加的水量约为（
）（ ）
A．
B．
C．
D．
5．从2 至8 的7 个整数中随机取2 个不同的数，则这2 个数互质的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．记函数
的最小正周期为T．若
，且
的图像关于点
中心对称，则
（ ）
A．1 B．
C．
D．3
7．设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，且
，则该正四
棱锥体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9．已知正方体
，则（ ）
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A．直线
与
所成的角为
B．直线
与
所成的角为
C．直线
与平面
所成的角为
D．直线
与平面ABCD 所成的角为
10．已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点 B．
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心 D．直线
是曲线
的切线
11．已知O 为坐标原点，点
在抛物线
上，过点
的直线交C 于P，Q 两点，
则（ ）
A．C 的准线为
B．直线AB 与C 相切
C．
D．
12.已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
.若
，
均为偶函
数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．
的展开式中
的系数为________________（用数字作答）．
14．写出与圆
和
都相切的一条直线的方程________________．
15．若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．
16．已知椭圆
，C 的上顶点为A，两个焦点为
，
，离心率为
．过
且垂直
于
的直线与C 交于D，E 两点，
，则
的周长是________________．
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四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数列．
（1）求
的通项公式；
（2）证明：
．
18．（12 分）
记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
（1）若
，求B；
（2）求
的最小值．
19．（12 分）
如图，直三棱柱
的体积为4，
的面积为
．
（1）求A 到平面
的距离；
（2）设D 为
的中点，
，平面
平面
，求二面角
的正弦值．
20．（12 分）
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关
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系，在已患该疾病的病例中随机调查了100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100
人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该
疾病”，
与
的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）利用该调查数据，给出
的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．
附：
，
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
21．（12 分）
已知点
在双曲线
上，直线l 交C 于P，Q 两点，直线
的斜率之和为
0．
（1）求l 的斜率；
（2）若
，求
的面积．
22．（12 分）
已知函数
和
有相同的最小值．
（1）求a；
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（2）证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三
个交点的横坐标成等差数列．
绝密☆启用前 试卷类型：A
2022 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）
数学
参考答案
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.D 2. D 3. B 4. C 5. D 6. A 7. C 8. C
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．
9. ABD 10. AC 11. BCD 12. BC
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13. -28
14.
或
或
15.
16. 13
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四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（1）
（2）
∴
18.（1）
；
（2）
．
19.（1）
（2）
20. （1）由已知
，
又
，
，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）（i）因为
，
所以
所以
；
(ii)
；
21.（1）
；
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（2）
．
22.（1）
（2）由（1）可得
和
的最小值为
.
当
时，考虑
的解的个数、
的解的个数.
设
，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上为减函数，在
上为增函数，
所以
，
而
，
，
设
，其中
，则
，
故
在
上为增函数，故
，
故
，故
有两个不同的零点，即
的解的个数为2.
设
，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上为减函数，在
上为增函数，
所以
，
而
，
，
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有两个不同的零点即
的解的个数为2.
当
，由（1）讨论可得
、
仅有一个零点，
当
时，由（1）讨论可得
、
均无零点，
故若存在直线
与曲线
、
有三个不同的交点，
则
.
设
，其中
，故
，
设
，
，则
，
故
在
上为增函数，故
即
，
所以
，所以
在
上为增函数，
而
，
，
故
在
上有且只有一个零点
，
且：
当
时，
即
即
，
当
时，
即
即
，
因此若存在直线
与曲线
、
有三个不同
交点，
故
，
此时
有两个不同的零点
，
此时
有两个不同的零点
，
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故
，
，
，
所以
即
即
，
故
为方程
的解，同理
也为方程
的解
又
可化为
即
即
，
故
为方程
的解，同理
也为方程
的解，
所以
，而
，
故
即
.
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