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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ，“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
.
C 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数 的部分图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
A. B.
.
C D.
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 16 B. 32 C. 54 D. 162
6. 已知函数 的图象关于直线 对称，且 的一个周期为4，则 的解析式可以是（
）
A. B.
C. D.
7. 鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得
名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：
cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为 ，利用最小二乘法求得相应的经验回归方
程为 ，根据以上信息，如下判断正确的为（ ）
A. 花瓣长度和花萼长度不存在相关关系
B. 花瓣长度和花萼长度负相关
C. 花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
8. 在三棱锥 中，点 M,N 分别在棱 PC,PB 上，且 ， ，则三棱锥
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和三棱锥 体积之比为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 向一条渐近线作垂线，垂足为
．若 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给
3分，全部答对的给5分．
10. 已知 是虚数单位，化简 的结果为_________．
11. 在 的展开式中， 的系数为_________．
12. 已知过原点O的一条直线l与圆 相切，且l与抛物线 交于点
两点，若 ，则 _________．
13. 把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为
．且其中的黑球比例依次为 ．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑
球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________．
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学科网（北京）股份有限公司14. 在 中， ， ，记 ，用 表示
_________；若 ，则 的最大值为_________．
15. 设 ,函数 ,若 恰有两个零点，则 的取值范围为_________．
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在 中，角 所对的边分别是 ．已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
17. 如图，在三棱台 中， 平面 ，
为 中点.，N为AB的中点，
（1）求证： //平面 ；
（2）求平面 与平面 所成夹角的余弦值；
（3）求点 到平面 的距离．
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知 ．
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）点 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形
面积的二倍，求直线 的方程．
19. 已知 是等差数列， ．
（1）求 的通项公式和 ．
的
（2）设 是等比数列，且对任意 ，当 时，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）求 的通项公式及前 项和．
20. 已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线斜率；
（2）求证：当 时， ；
（3）证明： ．
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学科网（北京）股份有限公司2023 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给
3分，全部答对的给5分．
【10题答案】
【答案】 ##
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【13题答案】
【答案】 ①. ②. ##
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
【15题答案】
【答案】
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）椭圆的方程为 ，离心率为 .
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学科网（北京）股份有限公司（2） .
【19题答案】
【答案】（1） ， ；
（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ，前 项和为 .
【20题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
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