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学科网（北京）股份有限公司
绝密★启用前
2024 年普通高等学校招生全国统一考试
全国甲卷理科数学
使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1
若
，则
（ ）
A.
B.
C. 10
D.
2
已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 若
满足约束条件
，则
最小值为（ ）
A. 1
2
B.
C.
D.
4. 记
为等差数列
的前
项和，已知
，
，则
（ ）
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A.
B.
C.
D.
5. 已知双曲线的两个焦点分别为
，点
在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（
）
A. 4
B. 3
C. 2
D.
6. 设函数
，则曲线y = f (x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
7. 函数
在区间
的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 已知
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 设向量
，则（ ）
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A. “
”是“
”的必要条件
B. “
”是“
”的必要条件
C. “
”是“
”的充分条件
D. “
”是“
”的充分条件
10. 设
为两个平面，
为两条直线，且
.下述四个命题：
①若
，则
或
②若
，则
或
③若
且
，则
④若
与
,
所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A. ①③
B. ②④
C. ①②③
D. ①③④
11. 在
中,内角
所对的边分别为
，若
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 已知b 是
的等差中项，直线
与圆
交于
两点，则|AB)的最
小值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D.
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13.
的展开式中，各项系数中的最大值为______．
14. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为
,下底面半径均为
，圆台的母线长分别为
,
，
则圆台甲与乙的体积之比为______．
15. 已知
且
，则
______．
16. 有6 个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3 次，每次取1 个球.记
为
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前两次取出的球上数字的平均值，
为取出的三个球上数字的平均值，则
与
之差的绝对值不大于
的
概率为______．
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17 题~第21 题为必
考题，每个考题考生必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60 分．
17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150 件
进行检验，数据如下：
优级
品
合格
品
不合格
品
总
计
甲车
间
26
24
0
50
乙车
间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
（1）填写如下列联表：
优级
品
非优级
品
甲车
间
乙车
间
能否有
的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有
的把握认为甲，乙两车间产
品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率
，设
为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150 件产品的数据，能否认
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为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（
）
附：
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18. 记
为数列
的前
项和，已知
．
（1）求
的通项公式；
（2）设
，求数列{bn)的前
项和
．
19. 如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点
五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值．
20. 已知椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴．
（1）求
的方程；
（2）过点
的直线交
于
两点，
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，证明：
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轴．
21. 已知函数
．
（1）当
时，求
的极值；
（2）当
时，
，求
的取值范围．
（二）选考题：共10 分，请考生在第22、23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂
黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）写出
的直角坐标方程；
（2）设直线l：
（
参数），若
与l 相交于
两点，若
，求
.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知实数
满足
．
（1）证明：
；
（2）证明：
．
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2024 年普通高等学校招生全国统一考试
全国甲卷理科数学
使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
【1 题答案】
【答案】A
【2 题答案】
【答案】D
【3 题答案】
【答案】D
【4 题答案】
【答案】B
【5 题答案】
【答案】C
【6 题答案】
【答案】A
【7 题答案】
【答案】B
【8 题答案】
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【答案】B
【9 题答案】
【答案】C
【10 题答案】
【答案】A
【11 题答案】
【答案】C
【12 题答案】
【答案】C
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
【13 题答案】
【答案】5
【14 题答案】
【答案】
【15 题答案】
【答案】64
【16 题答案】
【答案】
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17 题~第21 题为必
考题，每个考题考生必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60 分．
【17 题答案】
【答案】（1）答案见详解
（2）答案见详解
【18 题答案】
【答案】（1）
（2）
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【19 题答案】
【答案】（1）证明见详解；
（2）
【20 题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析
【21 题答案】
【答案】（1）极小值为
，无极大值.
（2）
（二）选考题：共10 分，请考生在第22、23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂
黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
【22 题答案】
【答案】（1）
（2）
[选修4-5：不等式选讲]
【23 题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
