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2022 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅱ卷）
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，
是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
，若
是公差为0.1 的等差数列，且直线
的斜率为
0.725，则
（ ）
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A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
4．已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5 D．6
5．有甲乙丙丁戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（
）
A．12 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种
6．角
满足
，则（ ）
A．
B．
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C．
D．
7．正三棱台高为1，上下底边长分别为
和
，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若函数
的定义域为R，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0 D．1
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9．函数
的图象以
中心对称，则（ ）
A．
在
单调递减
B．
在
有2 个极值点
C．直线
是一条对称轴
D．直线
是一条切线
10．已知O 为坐标原点，过抛物线
的焦点F 的直线与C 交于A，B 两点，点A 在第一象
限，点
，若
，则（ ）
A．直线
的斜率为
B．
C．
D．
11 ．如图，四边形
为正方形，
平面
，
，记三棱锥
，
，
的体积分别为
，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
12．对任意x，y，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．已知随机变量X 服从正态分布
，且
，则
____________．
14．写出曲线
过坐标原点的切线方程：____________，____________．
15．已知点
，若直线
关于
的对称直线与圆
存在公共点，则
实数a 的取值范围为____________．
16．已知椭圆
，直线l 与椭圆在第一象限交于A，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M，N 两点，且
，则直线l 的方程为___________．
四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10 分）已知
为等差数列，
是公比为2 的等比数列，且
．
（1）证明：
；
（2）求集合
中元素个数．
18．（12 分）记
的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c 为边长的三个
正三角形的面积依次为
，已知
．
（1）求
的面积；
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（2）若
，求b．
19．（12 分）在某地区进行流行病调查，随机调查了100 名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率
分布直方图．
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间
的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为
，该地区年龄位于区间
的人口占该地区总人口的
，
从该地区任选一人，若此人年龄位于区间
，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位
于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）
20．（12 分）如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）若
，
，
，求二面角
的正弦值．
21．（12 分）设双曲线
的右焦点为
，渐近线方程为
．
（1）求C 的方程；
（2 ）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点
在C 上，且
．过P 且斜率为
的直线与过Q 且斜率为
的直线交于点M，请从下面①②③中选取
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两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M 在
上；②
；③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
22．（12 分）已知函数
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）当
时，
，求a 的取值范围；
（3）设
，证明：
．
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参考答案
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一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. B 2. D 3. D 4. C 5. B 6. D 7. A 8. A
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.
9. AD 10. ACD 11. CD 12. BC
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13.
##
．
14. ①.
②.
15.
16.
四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（1）设数列
的公差为
，所以，
，即可解得，
，所以原
命题得证．
（2）
．
18.（1）
（2）
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19.（1）
岁；
（2）
；
（3）
．
20.（1）证明：连接
并延长交
于点
，连接
、
，
因为
是三棱锥
的高，所以
平面
，
平面
，
所以
、
，
又
，所以
，即
，所以
，
又
，即
，所以
，
，
所以
所以
，即
，所以
为
的中点，又
为
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
（2）
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21.（1）
（2）由已知得直线
的斜率存在且不为零，直线
的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线
的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则
为线段
的中点，假若直线
的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知
在
轴上，
即为焦点
,此时由对称性可知
、
关于
轴对称，与从而
，已知不符；
总之，直线
的斜率存在且不为零.
设直线
的斜率为
,直线
方程为
,
则条件①
在
上，等价于
；
两渐近线的方程合并为
,
联立消去y 并化简整理得：
设
,线段中点为
,则
,
设
,
则条件③
等价于
,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即
,
即
；
由题意知直线
的斜率为
, 直线
的斜率为
,
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∴由
,
∴
,
所以直线
的斜率
,
直线
,即
,
代入双曲线的方程
,即
中，
得：
,
解得
的横坐标：
,
同理：
，
∴
∴
,
∴条件②
等价于
，
综上所述：
条件①
在
上，等价于
；
条件②
等价于
；
条件③
等价于
；
选①②推③:
由①②解得：
,∴③成立；
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选①③推②：
由①③解得：
，
，
∴
，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：
，
，∴
，
∴
，∴①成立.
22.（1）
的减区间为
，增区间为
.
（2）
（3）取
，则
，总有
成立，
令
，则
，
故
即
对任意的
恒成立.
所以对任意的
，有
，
整理得到：
，
故
，
故不等式成立.
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