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1．若|m|＝4，|n|＝6，m 与n 的夹角为135°，则m·n 等于( )
A．12 B．12 C．－12 D．－12
2．(2023·三明模拟)已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于( )
A．5 B．6 C. D．4
3．已知a，b 为非零向量，且|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a 与b 夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4．已知|b|＝3，a 在b 上的投影向量为b，则a·b 的值为( )
A．3 B. C．2 D.
5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠A＝60°，点P 是BC 的中点，则PA·PD等于( )
A．0 B. C．3 D.
6．在△ABC 中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC 外接圆圆心为O，则AO·AB等于( )
A．8 B. C．8 D．18
7．(2023·郑州模拟)在以OA 为边，以OB 为对角线的菱形OABC 中，OA＝(4,0)，OB＝(6，
a)，则∠AOC 等于( )
A. B. C. D.
8．已知P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：PA＋PB＋PC＝0；
乙：PA·(PA－PB)＝PC·(PA－PB)；
丙：|PA|＝|PB|＝|PC|；
丁：PA·PB＝PB·PC＝PC·PA.
如果只有一个等式不成立，则该等式为( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a 与b 的夹角为________．
10．(2022·全国甲卷)设向量a，b 的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝
________.
11．(多选)(2022·佛山模拟)一物体受到3 个力的作用，其中重力G 的大小为4 N，水平拉力
F1的大小为3 N，另一力F2未知，则( )
A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5 N
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B．当F2与F1方向相反，且|F2|＝5 N 时，物体所受合力大小为0
C．当物体所受合力为F1时，|F2|＝4 N
D．当|F2|＝2 N 时，3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N
12．已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b 的夹角是锐角，则m 的取值范围是( )
A．(－6，＋∞)
B.
C.∪
D.∪
13．(多选)已知O 为坐标原点，点A(1,0)，P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)，P3(cos(α－
β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是( )
A．|OP1|＝|OP2|
B．|AP2|＝|P1P3|
C.OA·OP1＝OP2·OP3
D.OA·OP3＝OP1·OP2
14．(2023·新乡模拟)在菱形ABCD 中，∠BAD＝60°，AB＝2，E 是BC 的中点，F 是AB 上一
点，且AE·DF＝0，则BD·EF＝________.
15.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角
线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝(|AD|2－|BC|2)，我们称为极化恒等式．在△ABC
中，M 是BC 中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.
16．在2022 年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈
现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪
花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904 年研究的一种分形曲线．如图是
“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的
中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角
形的边长为3，则图③中OM·ON的值为________．
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