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第4 节 随机事件、频率与概率
考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义
以及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
1.概率与频率
一般地，随着试验次数n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生
的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A 发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率
的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
2.事件的运算
定义
表示法
图示
并事件
事件A 与事件B 至少有一个发
生，称这个事件为事件A 与事件
B 的并事件(或和事件)
A ∪
B (或A＋B)
交事件
事件A 与事件B 同时发生，称这
样一个事件为事件A 与事件B 的
交事件(或积事件)
A ∩
B (或AB)
3.事件的关系
定义
表示法
图示
包含关系
若事件A 发生，事件B 一定发
生，称事件B 包含事件A(或事
件A 包含于事件B)
B ⊇ A (或A⊆B)
互斥事件
如果事件A 与事件B 不能同时
发生，称事件A 与事件B 互斥
(或互不相容)
若A∩B＝∅，则
A 与B 互斥
对立事件
如果事件A 和事件B 在任何一
次试验中有且仅有一个发生，
称事件A 与事件B 互为对立，
事件A 的对立事件记为A
若A∩B＝∅，且
A∪B＝Ω，则A
与B 对立
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1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A 的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果
组成的集合的补集.
2.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，
即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.( )
(3)若随机事件A 发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.( )
(4)6 张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙
中奖的概率.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
解析 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故(1)错.(4)中，
甲中奖的概率与乙中奖概率相同.
2.(2021·珠海期末)一个人打靶时连续射击两次，与事件“至少有一次中靶”互
斥的事件是( )
A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶
答案 D
解析 “两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D 正确.
3.已知随机事件A，B 发生的概率满足条件P(A∪B)＝，某人猜测事件A∩B发生，
则此人猜测正确的概率为( )
A.1
B.
C.
D.0
答案 C
解析 ∵事件A∩B与事件A∪B 是对立事件，∴事件A∩B发生的概率P(A∩B)＝
1－P(A∪B)＝1－＝，则此人猜测正确的概率为.
4.(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天
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能完成1 200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，
许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500 份订单未配货，预
计第二天的新订单超过1 600 份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50 份订单
的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至
少需要志愿者( )
A.10 名
B.18 名
C.24 名
D.32 名
答案 B
解析 由题意，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，即
第二天确保完成新订单1 600 份，减去超市每天能完成的1 200 份，加上积压的
500 份，共有1 600－1 200＋500＝900(份)，至少需要志愿者900÷50＝18(名).
5.(多选)(2022·烟台模拟)下列命题正确的是( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A∩B 为不可能事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C.若事件A，B，C 两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D.事件A，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B 是对立事件
答案 AB
解析 由对立事件的定义可知A 正确；由于A∩B 为不可能事件，所以A，B 互
斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即B 正确；事件A，B，C 两两互斥，并不代表
A∪B∪C 是必然事件，故C 不正确；D 中，设掷一枚硬币3 次，事件A：“至
少出现一次正面”，事件B：“3 次出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)
＋P(B)＝1，但A，B 不是对立事件，故D 不正确.
6.一只袋子中装有7 个红球，3 个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取
一个球，若取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜
色的球的概率为________，至少取得一个红球的概率为________.
答案
解析 由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，则要取得两个
同颜色的球，只需两个互斥事件中有一个事件发生即可，因而取得两个同颜色
的球的概率P＝＋＝.
记事件A 为“至少取得一个红球”，事件B 为“取得两个绿球”，事件A 与事
件B 是对立事件，则至少取得一个红球的概率P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
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考点一 随机事件的关系
1.(多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是( )
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙不站排尾”
C.“甲站排头”与“乙站排尾”
D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”
答案 BCD
解析 排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B，C，D
中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥.故选
BCD.
2.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D 发生的概率分别是0.2，
0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是( )
A.A∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件
B.B∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件
C.A∪C 与B∪D 是互斥事件，但不是对立事件
D.A 与B∪C∪D 是互斥事件，也是对立事件
答案 D
解析 A 中，A∪B 与C 是互斥事件，但不对立，因为P(A∪B)＋P(C)＝
0.7≠1，故A 错误；
B 中，B∪C 与D 是互斥事件，但不对立，因为P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B
错误；
C 中，A∪B 与C∪D 是互斥事件，也是对立事件，因为P(A∪B)＋P(C∪D)＝
1，故C 错误；
D 中，A 与B∪C∪D 是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)＋P(B∪C∪D)＝
1，故D 正确.
3.(多选)口袋里装有1 红，2 白，3 黄共6 个除颜色外完全相同的小球，从中取出
两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄
球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，
E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是( )
A.A 与D 为对立事件
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B.B 与C 是互斥事件
C.C 与E 是对立事件
D.P(C∪E)＝1
答案 AD
解析 当取出的两个球为一黄一白时，B 与C 都发生，B 不正确；当取出的两
个球中恰有一个白球时，事件C 与E 都发生，C 不正确；显然A 与D 是对立事
件，A 正确；C∪E 为必然事件，P(C∪E)＝1，D 正确.
感悟提升 1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时
发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对
立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.
2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互
斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事
件一定是互斥事件.
考点二 随机事件的频率与概率
例1 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售
价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完.根据
往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低
于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300 瓶；
如果最高气温低于20，需求量为200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前
三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高
气温
[10，
15)
[15，
20)
[20，
25)
[25，
30)
[30，
35)
[35，
40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的
进货量为450 瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率.
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶，当且仅当最高气温低于25，由表
中数据可知，最高气温低于25 的频率为＝0.6，
所以这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450 瓶时，
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若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润Y 的所有可能值为－100，300，900.
Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20 的频
率为＝0.8.
因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.
感悟提升 1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概
率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也
用频率来作为随机事件概率的估计值.
2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频
率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
训练1 (2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按
标准分为A，B，C，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，
厂家每件分别收取加工费90 元、50 元、20 元；对于D 级品，厂家每件要赔偿
原料损失费50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为
25 元/件，乙分厂加工成本费为20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，
在两个分厂各试加工了100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100 件产品的平均利润，以平均利润为依据
厂家应选哪个分厂承接加工业务？
解 (1)由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为＝0.4；
乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为＝0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100 件产品利润的频数分布表为
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利润
65
25
－5
－75
频数
40
20
20
20
因此甲分厂加工出来的100 件产品的平均利润为
＝15.
由数据知乙分厂加工出来的100 件产品利润的频数分布表为
利润
70
30
0
－70
频数
28
17
34
21
因此乙分厂加工出来的100 件产品的平均利润为
＝10.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务.
考点三 互斥事件与对立事件的概率
例2 某商场有奖销售中，购满100 元商品得1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为
一个开奖单位，设特等奖1 个，一等奖10 个，二等奖50 个.设1 张奖券中特等
奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)1 张奖券的中奖概率；
(2)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
解 (1)设“1 张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C 两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.
故1 张奖券中奖的概率为.
(2)设“1 张奖券既不中特等奖也不中一等奖”为事件N，则事件N 与事件“1 张
奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－＝.
故1 张奖券既不中特等奖也不中一等奖的概率为.
感悟提升 1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件
用已知概率的事件表示出来.
2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的
概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；
二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)求出所
求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法比较简便.
训练2 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
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排队人数
0
1
2
3
4
5 人及5 人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多2 人排队等候的概率；
(2)至少3 人排队等候的概率.
解 记“无人排队等候”为事件A，“1 人排队等候”为事件B，“2 人排队等
候”为事件C，“3 人排队等候”为事件D，“4 人排队等候”为事件E，“5
人及5 人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F 彼此互斥.
(1)记“至多2 人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一 记“至少3 人排队等候”为事件H，
则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二 记“至少3 人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)
＝1－P(G)＝0.44.
1.下列说法正确的是( )
A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5 场，甲胜3 场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9 个病人没有治愈，则第10 个病人
一定治愈
C.随机试验的频率与概率相等
D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
答案 D
解析 由概率的意义知D 正确.
2.在5 张电话卡中，有3 张移动卡和2 张联通卡，从中任取2 张，若事件“2 张
全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( )
A.至多有一张移动卡
B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡
D.至少有一张移动卡
答案 A
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解析 由题意知“2 张全是移动卡”的对立事件是“至多有一张移动卡”，又1
－＝，故“至多有一张移动卡”的概率是.
3.(2022·太原模拟)已知随机事件A 和B 互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则
P(A)＝( )
A.0.5
B.0.1
C.0.7
D.0.8
答案 A
解析 ∵随机事件A 和B 互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，∴P(A)＝P(A∪B)
－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，∴P(A)＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5.
4.(多选)(2021·武汉调研)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概
率是，下面结论正确的是( )
A.甲不输的概率
B.乙不输的概率
C.乙获胜的概率
D.乙输的概率
答案 ABD
解析 因为甲、乙两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，所以甲不输的概
率＋＝，故A 正确；
所以乙不输的概率1－＝，故B 正确；
所以乙获胜的概率1－－＝，故C 错误；
所以乙输的概率即为甲获胜的概率是，故D 正确，故选ABD.
5.(多选)(2022·重庆诊断)将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A＝“向上的一面出
现奇数点”，事件B＝“向上的一面出现的点数不超过2”，事件C＝“向上的
一面出现的点数不小于4”，则下列说法中正确的有( )
A.AB＝∅
B.BC＝“向上的一面出现的点数大于3”
C.AB＋BC＝“向上的一面出现的点数不小于3”
D.ABC＝“向上的一面出现的点数为2”
答案 BC
解析 由题意知事件A 包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，3，5；
事件B 包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，2；
事件C 包含的样本点：向上的一面出现的点数为4，5，6.
所以AB＝“向上的一面出现的点数为2”，故A 错误；
BC＝“向上的一面出现的点数为4 或5 或6”，故B 正确；
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AB＋BC＝“向上的一面出现的点数为3 或4 或5 或6”，故C 正确；
ABC＝Ω，故D 错误，故选BC.
6.(多选)下列说法正确的是( )
A.若事件A 与B 互斥，则A∪B 是必然事件
B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大
名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼
梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E 与F 是互斥但不对立事件
C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件
B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A
D.10 个产品中有2 个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2
个样本点
答案 BCD
解析 对于A，事件A 与B 互斥时，A∪B 不一定是必然事件，故A 错误；
对于B，事件E 与F 不会同时发生，所以E 与F 是互斥事件，但除了事件E 与
F 之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E 与F 不是对立事件，
故E 与F 是互斥但不对立事件，故B 正确；
对于C，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B 包含于A，故
C 正确；
对于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2 个样本点，故D 正确.
7.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：
年降水量(mm)
(100，150)
(150，200)
(200，250)
(250，300)
概率
0.21
0.16
0.13
0.12
则年降水量在(200，300)(mm)范围内的概率是________.
答案 0.25
解析 设年降水量在(200，300)，(200，250)，(250，300)的事件分别为A，B，
C，则A＝B∪C，且B，C 为互斥事件，所以P(A)＝P(B)＋P(C)＝0.13＋0.12＝
0.25.
8.若事件A 与B 是互斥事件，且事件A∪B 发生的概率是0.64，事件B 发生的概
率是事件A 发生的概率的3 倍，则事件A 发生的概率为________.
答案 0.16
解析 设P(A)＝x，则P(B)＝3x，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，所
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以P(A)＝x＝0.16.
9.某城市2022 年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50 时，空气质量为优；50＜T≤100 时，空气质量为良；100
＜T≤150 时，空气质量为轻微污染，则该城市2022 年空气质量达到良或优的
概率为________.
答案
解析 由题意可知2022 年空气质量达到良或优的概率P＝＋＋＝.
10.盒子里有6 个红球、4 个白球，现从中任取3 个球，设事件A＝{3 个球中有1
个红球、2 个白球}，事件B＝{3 个球中有2 个红球、1 个白球}，事件C＝{3 个
球中至少有1 个红球}，事件D＝{3 个球中既有红球又有白球}.
(1)事件D 与A，B 是什么样的运算关系？
(2)事件C 与A 的积事件是什么事件？
解 (1)对于事件D，可能的结果为1 个红球、2 个白球或2 个红球、1 个白球，
故D＝A＋B.
(2)对于事件C，可能的结果为1 个红球、2 个白球或2 个红球，1 个白球或3 个
红球，故CA＝A.
11.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一
类
第二
类
第三
类
第四
类
第五
类
第六
类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电
影的概率；
(2)随机选取1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评
率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的
好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样
本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)?
解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2
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000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.
故所求概率为＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1
＝56＋10＋45＋50＋160＋51
＝372.
故所求概率估计为1－＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.
12.(多选)(2022·海口模拟)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通
堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：
所需时间(分钟)
30
40
50
60
线路一
0.5
0.2
0.2
0.1
线路二
0.3
0.5
0.1
0.1
则下列说法正确的是( )
A.任选一条线路，“所需时间小于50 分钟”与“所需时间为60 分钟”是对立
事件
B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C.如果要求在45 分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100 分钟的概率为0.04
答案 BD
解析 “所需时间小于50 分钟”与“所需时间为60 分钟”是互斥而不对立事
件，A 错误；
线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39 分钟，线路
二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40 分钟，所以B 正
确；
线路一所需时间小于45 分钟概率为0.7，线路二所需时间小于45 分钟概率为
0.8，小张应选线路二，故C 错误；
所需时间之和大于100 分钟则线路一，线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)
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和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，故D 正确.故
选BD.
13.某学校成立了数学、英语、音乐3 个课外兴趣小组，3 个小组分别有39，
32，33 名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取
一名成员，则他至少参加2 个小组的概率为________，他至多参加2 个小组的
概率为________.
答案
解析 记“恰好参加2 个小组”为事件A，“恰好参加3 个小组”为事件B，随
机选取一名成员，恰好参加2 个小组的概率P(A)＝＋＋＝，恰好参加3 个小组
的概率P(B)＝＝，则至少参加2 个小组的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝，至多参加
2 个小组的概率为1－P(B)＝1－＝.
14.甲、乙二人用4 张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他
们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，
各抽一张.
(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3 大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此
游戏是否公平？为什么？
解 (1)分别用2，3，4，4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到
牌的所有情况为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，
(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12 种不同的情况.
(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到牌的数
字比3 大的概率是.
(3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，
共5 种情况，因此甲胜的概率为，乙胜的概率为.
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因此＜，所以此游戏不公平.
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