文档文本内容
1
概率
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1.掌握求概率的两种方法列举法和频率估计法；
2.掌握求概率的不同方法的应用.
1．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能
事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，
其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A 为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
2.可能性大小
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类
概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验
的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发
生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
3.概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A 发生的频率mn 会稳定在某个常数p 附近，那么
这个常数p 就叫做事件A 的概率，记为P（A）=p．
图1
2
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：_________．
（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密
切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏
的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
4.求概率的方法
（1）用_______求概率
（2）利用________概率
5.游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，
否则就不公平．
（2）概率=所求情况数总情况数．
1.事件与概率
【例1】下列事件是必然发生事件的是（ ）
A.打开电视机，正在转播足球比赛
B．小麦的亩产量一定为1000 公斤
C.在只装有5 个红球的袋中摸出1 球，是红球
D.农历十五的晚上一定能看到圆月
【解析】必然事件的定义是一定会发生的事，可选出答案。
【答案】C
练习1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 篮球队员投篮一次，未投中； B.种子发芽； C. 抛一枚硬币，正面朝上；
D.一口袋中装有2 个红球和1 个白球，从中摸出2 个球，有1 个是红球
练习2. . 下列事件中是必然事件的是（ ）
A．小菊上学一定乘坐公共汽车
B．某种彩票中奖率为
4
15 ，买10000 张该种票一定会中奖
C．一年中，大、小月份数刚好一样多
D．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上
【例2】一只小狗在如图1 的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（ ）
A．
4
15 B.
1
3 C.
1
5 D.
【解析】阴影部分面积占全部面积的概率即为小狗听阴影部分的概率。
【答案】B
蓝
黄
红
绿
3
练习3.气象台预报“本市明天降水概率是80%”．对此信息，下列说法正确的是（）
A.本市明天将有80％的地区降水 B．本市明天将有80％的时间降水
C.明天肯定下雨 D.明天降水的可能性比较大
练习4.小晃用一枚质地均匀的硬币做抛掷试验，前9 次掷的结果都是正面向上，如果下一次
掷得的正面向上的概率为P(A)，则（）
A.P(A)＝1 B．P(A)＝ C. P(A)＞ D. P(A)＜
2. 利用面积求概率
【例3】如图是一个被等分成6 个扇形可自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针
指向红色区域的概率是多少？
【解析】圆形分成6 部分，其中3 部分是红色，就可以求出概率。
【答案】解：由于一个圆平均分成6 个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指
针指向每个扇形的可能性相等，即有6 种等可能的结果，在这6 种等可能结果中，指
针指向
写有红色的扇形有三种可能结果，所以指针指到红色的概率是
，也就是
1
100 。
练习5. 小明和小亮用如下（图4）的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续
转
动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，
另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1 分，否则小亮得1 分．你认为这个游
戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平。
练习6. 小莉和小慧用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字和为奇
数，则小莉胜；若两次数字和为偶数，则小慧胜。这个游戏对双方公平吗？试用列表
法或树状图加以分析。
3.列举法求概率
【例4】有两个可以自由转动的均匀转盘1
4
，都被分成了3 等份，并在每份内均标有数字，
如图所示．规则如下：
①分别转动转盘
；
②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那
1
2
3
A
4
6
5
B
图2
4
么重转一次，直到指针指向某一份为止）。
（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3 的倍数和数字之积为5 的倍数的
概率；
（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3 的倍数时，小亮
得2 分；数字之积为5 的倍数时，小芸得3 分．这个游戏对双方公平吗？请说明
理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏对双方公平。
【解析】（1）求两个转盘的数字之积的问题，可以把所有情况罗列出来，再找相应的结论
所占的概率即可。（2）分别确定每种情况的概率，再确定是否公平。
【答案】解：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：
转盘B 的数字
转盘A 的数字
4
5
6
1
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，4）
（3，5）
（3，6）
表格中共有9 种等可能的结果，则数字之积为3 的倍数的有五种，其概率为
；
数字之积为5 的倍数的有三种，其概率为
。
（2）这个游戏对双方不公平。
小亮平均每次得分为
（分），小芸平均每次得分为
（分）。
，
游戏对双方不公平。
修改得分规定为：若数字之积为3 的倍数时，小亮得3 分；若数字之
积为5 的倍数时，小芸得5 分即可。
练习7．小颖为九年级1 班毕业联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：如图是两个可以自由
转动
的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，两个转盘
停止转动时，若有一个转盘的指针指向蓝色，另一个转盘的指针指向红色，则“配紫
色”
成功，游戏者获胜，求游戏者获胜的概率。
红
蓝
蓝
红
红
5
练习8. 如图，甲转盘被分成3 个面积相等的扇形、乙转盘被分成2 个面积相等的扇形．小夏
和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲盘一次、小秋转乙盘一次为
一次游戏（当指针指在边界线上时视为无效，重转）。
（1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为6 或7，则我获胜；否则你获
胜”。
按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少?
（2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法
(例如：树状图，列表)说明其公平性。
4. 频率法估算概率
【例5】小明为了检验两枚六个面分别刻有点数1、2、3、4、5、6 的正六面体骰子的质量是
否都合格，在相同的条件下，同时抛两枚骰子20000 次，结果发现两个朝上面的点数
和是7 的次数为20 次．你认为这两枚骰子质量是否都合格(合格标准为：在相同条件
下抛骰子时，骰子各个面朝上的机会相等)？并说明理由。
【解析】本题可通过分别计算出现两个朝上面点数和为7 的概率和实验20000 次出现两个
朝上面点数和为7 的频率，然后依据大量重复实验时事件发生频率与事件发生概率
的差距将很小，来确定质量是否都合格。
【答案】解：两枚骰子质量不都合格．同时抛两枚骰子两个朝上面点数和有以下情况：
2、3、4、5、6、7；3、4、5、6、7、8；4、5、6、7、8、9；5、
6、7、8、9、10；6、7、8、9、10、11；7、8、9、10、11、12。
∵抛两枚骰子两个朝上面点数和有36 种情况，出现两个朝上面点数和为7 有6
次情况。
∴出现两个朝上面点数和为7 的概率为
。
而试验20000 次出现两个朝上面点数和为7 的频率为1
2
。
因为多数次试验的频率应接近概率，而0.001 和0.167 相差很大，所以两枚骰子
质量不都合格。
练习9．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20 只，某学习
小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不
断重复.
表是活动进行中的一组统计数据：
图2
6
⑴ 请估计：当
1
2 很大时，摸到白球的频率将会接近 ；
⑵ 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；
⑶ 试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?
⑷ 解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问
题是:在一个不透明的口袋里装有若干个白球,在不允许将球倒出来数的情况下,如
何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品)？请你应用统计与概率的思想和方法
解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法。
练习10．要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任
意摸出一个乒乓球是黄色的概率是，可以怎样放球： （只写一
种）。
1．从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从A 地到B 地有2 条水路、2.
条陆路，从B 地到C 地有3 条陆路可供选择，走空中从A 地不经B 地直接到C 地.则从A 地
到C 地可供选择的方案有（ ）
A．20 种
B.8 种
C. 5 种
D.13 种
2．下列事件发生的概率为0 的是（ ）
A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上；
B．今年冬天黑龙江会下雪；
C．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1；
D．一个转盘被分成6 个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色
区域。
3.某商店举办有奖储蓄活动，购货满100 元者发对奖券一张，在10000 张奖券中，设特等奖1
个，一等奖10 个，二等奖100 个。若某人购物满100 元，那么他中一等奖的概率是 （
）
A.
1
100
B.
C.
D.
111
10000
4.有6 张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上（如图2），从中任意一张
是数字3 的概率是（ ）
A.
1
6
B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
5.在李咏主持的“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20 个商标牌中，有5
摸球的次数
3
8
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
1
4
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
1
3
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
图3
图4
7
个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”
就不获奖,参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻．有一位观众已翻
牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.如图3,一飞镖游戏板,其中每个小正方形的大小相等,则随意投掷一个飞镖,击中黑色区域的概
率是 ( )
A.
1
2
B.
3
8
C.
1
4
D.
1
3
7.（2014 湖北南昌一模）如图4，一小鸟受伤后，落在阴影部分的概率为（ ）
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．1
8.连掷两次骰子，它们的点数都是4 的概率是（ ）
A.
B.
1
4
C.
1
16
D.n
9. （2014 福建福州一模）在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的2 个红球和3 个白球，从
中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是____________
10.小明、小刚、小亮三人正在做游戏，现在要从他们三人中选出一人去帮王奶奶干活，则小
明被选中的概率为______,小明未被选中的概率为______
11.在一次抽奖活动中，中奖概率是0.12，则不中奖的概率是 ．
12.从一副扑克牌（除去大、小王）中任抽一张，则抽到红心的概率为；抽到黑桃的概率为
；抽到红心3 的概率为_______
13.任意翻一下2007 年日历，翻出1 月6 日的概率为 ;翻出4 月31 日的概率为
。
14.小猫在如图9 所示的地板上自由地走来走去，它最终停留在红色方砖上的概率是
1
4 ，你试
着把每块砖的颜色涂上。
图9
图10
8
15.如图10 依据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏”的奥秘：
（1）用列表的方法表示有可能的闯关情况；
（2）求出闯关成功的概率.
16.（2014 广东茂名一中期末）透明的口袋里装有3 个球，这3 个球分别标有数字1、2、3，这
些球除了数字以外都相同．
（1）如果从袋中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是2 的球的概率是多少？
（2）小明和小东玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小明随机摸出一个球，记下球的数字后放
回，搅匀后再由小东随机摸出一个球，记下球的数字．谁摸出的球的数字大，谁获胜．现
请你利用树状图或列表的方法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由．
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1.（2014 山东聊城一模）在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个试
验中哪个不能代替（ ）
A.两张扑克，“黑桃” 代替“正面”，“红桃” 代替“反面”，
B．两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球，
C.扔一枚图钉，
D.人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取一人。
2．十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30 秒，绿灯亮25 秒，黄灯亮5 秒当你抬头看信号灯
时，是黄灯的概率是（ ）
A.
B．
C.
D.
B
A
C
图1
2 1
6 4 3
8
图2
9
3．某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1~10 号共10 道综合素质测试题共选手
随机抽取作答。在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2 号，7 号题，第3 位选手抽中8
号题的概率是（ ）
A.
B．
C.
D.
4．某市民政部门：“五一”期间举行“即开式福利彩票”的销售活动，发行彩票10 万张（每
张彩票2 元），在这此彩票中，设置如下奖项：
如果花2 元
钱购买1 张彩票，那么所得奖金不少于50 元的概率是（ ）
A.
B．
C.
D.
5．（2014 台湾中考）有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12 个月大的婴儿3 块分别写有
“20”，“10”和“北京”的字块，如果婴儿能够拼排成“2010 北京”或者“北京2010”，则
他们就给婴儿奖励。假设婴儿能将字块横着排列，那么这个婴儿能得到奖励的概率是（
）
A.
B．
C.
D.
6．甲、乙、丙三位同学参加一次节日活动，很幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物。
事情是这样的：墙上挂着两串礼物（如图1），每次只能从其中一串的最下端取一件，直
到礼物取完为止.甲第一个取得礼物，然后，乙、丙依次取得第2 件、第3 件礼物，事后他
们打开这些礼物仔细比较发现礼物B 最精美，那么取得礼物B 可能性最大的是（ ）
A.甲
B．乙
C.丙
D.无法确定
7．一个均匀的立方体各面上分别标有数字1，2，3，4，6，8，其表面展开图是如图2 所
示，抛掷这个立方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面上的数字的2 倍的概率是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8.单项选择题是数学试题的重要组成部分，当你遇到不会做的题目时，如果你随便选一个答案
（假设每个题目有4 个选项），那么你答对的概率为 。
9.某班的联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为圆珠笔、软皮本和水果，
标在一个转盘的相应区域上（转盘被均匀等分为四个区域，如图5）。转盘可以自由转动。
参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一区域，就获得哪种奖品，则获得圆珠笔的概
率为 。
奖金
（元）
1000
500
100
50
10
2
数量
（个）
10
40
150
400
1000
10000
圆珠笔
水果
水果
软皮本
图5
A 区
B 区
图6
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13
14 15
16 17 18 19
20 21ѧºÅ
¿Ú´üÊý
图7
10
10.一位汽车司机准备去商场购物，然后他随意把汽车停在某个停车场内，如图6,停车场分A、
B 两区，停车场内一个停车位置正好占一个方格且一个方格除颜色外完全一样，则汽车停在
A 区蓝色区域的概率是 ，停在B 区蓝色区域的概率是
11.如图7 表示某班21 位同学衣服上口袋的数目。若任选一位同学，则其衣服上口袋数目为5
的概率是 .
12.一个小妹妹将10 盒蔬
菜的标签全部撕掉了。现在每个盒子看上去都一样,但是她知道有三盒玉米、两盒菠菜、四盒豆角、
一盒土豆。她随机地拿出一盒并打开它。则盒子里面是玉米的概率是 ，盒子里面不是菠菜的
概率是 。
13.将下面事件的字母写在最能代表它的概率的点上。
A．投掷一枚硬币时，得到一个正面。
B．在一小时内，你步行可以走80 千米。
C．给你一个骰子中，你掷出一个3。
D．明天太阳会升起来。
14.一个桶里有60 个弹珠——一些是红色的，一些是蓝色的，一些是白色的。拿出红色弹珠的
概率是35%，拿出蓝色弹珠的概率是25%。桶里每种颜色的弹珠各有多少？15.在一个不透
明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20 只，某学习小组做摸球实验，将
球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复。下表是活动进行中
的一组统计数据：
0
1
11
（1）请估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近 ；
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?
16.某同学抛掷两枚硬币，分10 级实验，每组20 次，下面是共计200 次实验中记录下的结果.
实验组别
两个正面
一个正面
没有正面
第1 组
6
11
3
第2 组
2
10
8
第3 组
6
12
2
第4 组
7
10
3
第5 组
6
10
4
第6 组
7
12
1
第7 组
9
10
1
第8 组
5
6
9
第9 组
1
9
10
第10 组
4
14
2
①在他的每次实验中，抛出_____、_____和_____都是随机事件.
②在他的10 组实验中，抛出“两个正面”概率最多的是他第_____组实验，抛出“两个正
面”概率最少的是他的第_____组实验.
③在他的第1 组实验中抛出“两个正面”的概率是_____，在他的前两组(第1 组和第2 组)实
验中抛出“两个正面”的概率是_____.
④在他的10 组实验中，抛出“两个正面”的概率是_____，抛出“一个正面”的概率是
_____，“没有正面”的概率是_____，这三个概率之和是_____.
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
m
n
0.5
8
0.6
4
0.5
8
0.5
9
0.60
5
0.60
1
课程顾问签字： 教学主管签字：
