文档文本内容
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位似
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1、了解位似图象和位似中心的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小；
2、经历图形的位似变换与平移、旋转的过程，体会图形间的变换过程以及内在的联系；
3、培养学生数学应用意识，形成初步的演绎推理能力．
1．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是______图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相______，那
么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应
点的坐标的比等于k 或﹣k．
2．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定__________；
②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；
③根据_______，确定能代表所作的位似图形的关键点；
④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个
图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或
外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．
②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
3．坐标与图形性质
（1）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：
①到x 轴的距离与______有关，到y 轴的距离与______有关；
②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
（2）有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解
决这类问题的基本方法和规律．
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（3）若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决
问题．
4．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新
图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减
去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度．（即：横坐
标，右移____，左移____；纵坐标，上移____，下移____．）
5．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：_________、_________．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，
再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
1. 位似变换；坐标与图形性质．
【例1】（2014•青岛即墨中学期末）如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，
2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的后得到线段CD，则端
点C 的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（4，3）
C．（3，1）
D．（4，1）
练1. 如图，△ABO 缩小后变为△A′B′O，其中A、B 的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′
均在图中在格点上．若线段AB 上有一点P（m，n），则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标
为（ ）
3
A．（，n） B．（m，n） C．（m，） D．（
）
练2. 如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段
CD 放大得到线段AB，若点B 坐标为（5，0），则点A 的坐标为（ ）
A．（2，5） B．（2.5，5）
C．（3，5）
D．（3，6）
2. 位似变换．
【例2】（2015•湖南怀化中学月考）△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的
位似比是1：2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）
A．3 B．6
C．9
D．12
练3. 已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB 向左平移一个单位，再以原点O 为位似中心，
在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A 的对应点C 的坐标为（ ）
A．（2，3）
B．（3，1）
C．（2，1）
D．（3，3）
3. 作图-位似变换．
【例3】（2014•北京第六十六中学期中）如图，在10×10 的正方形网格中，点A，B，C，D 均在格
点上，以点A 为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD 位似，且相似比为2．
（1）在图中画出四边形AB′C′D′；
（2）填空：△AC′D′是 三角形．
练4. 在13×13 的网格图中，已知△ABC 和点M（1，2）．
（1）以点M 为位似中心，位似比为2，画出△ABC 的位似图形△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．
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4．作图-位似变换；作图-平移变换．菁
【例4】（2014•吉林四平一中期末）如图，在边上为1 个单位长度的小正方形网格中：
（1）画出△ABC 向上平移6 个单位长度，再向右平移5 个单位长度后的△A1B1C1．
（2）以点B 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2 倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
（3）求△CC1C2的面积．
练5. 已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）
（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC 向下平移4 个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C2
的坐标是 ；
（3）△A2B2C2的面积是 平方单位．
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5．作图-位似变换；作图-轴对称变换．
【例5】（2015•河南信阳五中期末）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A
（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1；
（2）以M 点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比
为2：1．
故函数与轴的交点坐标为（﹣4，0），（2，0）．
练6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C
（﹣5，2）．
（1）请画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出
△A2B2C2．
（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即
：
=
1 ：
4
（不写解答过程，直
接写出结果）．
1．如图，△ABE 和△CDE 是以点E 为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D
（3，1），则点D 的对应点B 的坐标是（ ）
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A．（4，2）
B．（4，1） C．（5，2） D．（5，1）
2．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC 与△DEF 的面积之比为
（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
3．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为
，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）
B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4）
D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
4． 如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．
若B（1，0），则点C 的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，1）
C．（
，
） D．（2，1）
5．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O 为位似中心，在第一象
你限内将线段AB 缩小为原来的后得到线段CD，则端点C 和D 的坐标分别为（ ）
A．（2，2），（3，2）
B．（2，4），（3，1）
C．（2，2），（3，1）
D．（3，1），
（2，2）
6．如图，△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的，则AB：DE=
．
7
7．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1：
，点A 的坐
标为（0，1），则点E 的坐标是 ．
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1．如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO 与△A′B′O′是以
点P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P 的坐标为（
）
A．（0，0）B．（0，1）C．（﹣3，2）
D．（3，﹣2）
2．（2015•武汉）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O 位似中心，相
似比为，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD，则点C 的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，0）
C．（3，3） D．（3，1）
3．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
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③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图
形 是位似 图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①②
C．③④
D．②③④
4．如图，坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（1，t），AB∥x 轴，矩形
A′B′C′D′ 与矩形ABCD 是位似图形，点O 为位似中心，点A′，B′分别是点A，B
的对应点，
=k．已知关于x，y 的二元一次方程
（m，n 是实数）无解，在
以m，n 为坐标（记为（m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，
则k•t 的值等于（ ）
A．
B．1 C．
D．
5．如图，以O 为位似中心，将边长为256 的正方形OABC 依次作位似变换，经第一次变化后得正方
形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA 的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1
的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n 次
变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC 边长的倒数，则n= ．
6．如图，平面直角坐标系xOy 中，点A、B 的坐标分别为（3，0）、（2，﹣3），△AB′O′是
△ABO 关于点A 的位似图形，且O′的坐标为（﹣1，0），则点B′的坐标为 ．
7．如图，将△ABC 在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换
和平移变换后得到△A3B3C3．
（1）△ABC 与△A1B1C1的位似比等于 ；
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（2）在网格中画出△A1B1C1关于y 轴的轴对称图形△A2B2C2；
（3）请写出△A3B3C3是由△A2B2C2怎样平移得到的？
（4）设点P（x，y）为△ABC 内一点，依次经过上述三次变换后，点P 的对应点的坐标为
．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）
C（﹣2，6）
（1）画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1
（2）以原点O 为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2 倍后的△A2B2C2．
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），
C（﹣3，2）．
（1）画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；
（2）以原点O 为位似中心，位似比为1：2，在y 轴的左侧，画出△ABC 放大后的图形△A2B2C2，并
直接写出C2点坐标；
（3）如果点D（a，b）在线段AB 上，请直接写出经过（2）的变化后点D 的对应点D2的坐标．
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