文档文本内容
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一元二次方程的应用
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1、了解有关一元二次方程的实际生活问题。
2、掌握典型类型应用题的解法和解决应用题的步骤。
3、回归生活，让学生体验数学在生活中的妙趣。
解应用题的步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
(3)找出相等关系，并用它列出方程；
(4)解方程求出题中未知数的值；
(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．
1、传播、循环问题与一元二次方程
【例1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64 人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
练1、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21 场比赛，
则参赛球队的个数是（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个 D．8 个
练2、晨怡学校有4 名学生参加黄冈市2012 年12 月15 日语数英三科测评，另一兄弟学校有n
名学生参加测这次测评，考试结束后，两校学生和双方各一名领队老师一起照了一张合影，然后每
个学生又单独照了一张，按大家的要求，老师对摄影师说：“合影照要每人一张，学生之间还要相
2
互交换相片，即每个学生除了自己的一张照片外，还要有其他每个学生的一张照片．”这样，摄影
师共冲洗了112 张相片，则n= ．
2、数式问题与一元二次方程
【例2】我们知道，32＋42=52，这是一个由三个连续正整数组成，且前两个数的平方和等于第
三个数的平方的等式，是否还存在另一个“由三个连续正整数组成，且前两个数的平方和等于第三
个数的平方”的等式？试说出你的理由．
练3、三个连续自然数的平方和比它们的和的8 倍还多2，则三个自然数的平方和为（ ）
A．77 B．149 C．194 D．245
练4、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（
）
A．25 B．36 C．25 或36 D．－25 或－36
3、增长率问题与一元二次方程
【例3】（2014•江苏南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成
本每年均为4 万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1 年的可变成本为2．6 万元，设可变成
本平均的每年增长的百分率为x．
（1）用含x 的代数式表示第3 年的可变成本为 万元．
（2）如果该养殖户第3 年的养殖成本为7．146 万元，求可变成本平均每年增长的百分率
x．
练5、（2014•湖北宜昌）在“文化宜昌•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全
校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012 年全校有1000 名学生，2013 年全
校学生人数比2012 年增加10%，2014 年全校学生人数比2013 年增加100 人．
（1）求2014 年全校学生人数；
（2）2013 年全校学生人均阅读量比2012 年多1 本，阅读总量比2012 年增加1700 本（注：
阅读总量=人均阅读量×人数）．
①求2012 年全校学生人均阅读量；
②2012 年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2．5 倍，如果2012 年、2014 年这两
年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014 年全校学生人均阅读量比2012 年
增加的百分数也是a，那么2014 年读书社全部80 名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的
25%，求a 的值．
3
4、利润问题与一元二次方程
【例4】某批发商以每件50 元的价格购进800 件T 恤，第一个月以单价80 元销售，售出了200
件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200 件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市
场调查，单价每降低1 元，可多售出10 件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批
发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40 元，设第二个月单价降低x 元．
（1）填表：（不需化简）
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价（元）
80
40
销售量
（件）
200
（2）如果批发商希望通过销售这批T 恤获利9000 元，那么第二个月的单价应是多少元？
练6、（2014•江苏徐州）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：
一间宿舍一个月用电量不超过a 千瓦时，则一个月的电费为20 元；若超过a 千瓦时，则除了交20
元外，超过部分每千瓦时要交
元．某宿舍3 月份用电80 千瓦时，交电费35 元；4 月份用电45
千瓦时，交电费20 元．
（1）求a 的值；
（2）若该宿舍5 月份交电费45 元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？
5、面积问题与一元二次方程
【例5】为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长
30m，宽20m 的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的
小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应
为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
4
练7、（2014•南京联合体一模）如图，某市近郊有一块长为60 米，宽为50 米的矩形荒地，地
方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩
形（其中三个矩形的一边长均为a 米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽度为x 米，则a= （用含x 的代数式表示）；
（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430 平方米．请问通道的宽度为多少米？
6、几何问题与一元二次方程
【例6】如图，要建造一个直角梯形的花圃．要求AD 边靠墙，CD⊥AD，AB：CD=5：4，另外三
边的和为20 米．设AB 的长为5x 米．
（1）请求出AD 的长（用含字母x 的式子表示）；
（2）若该花圃的面积为50 米2，且周长不大于30 米，求AB 的长．
练8、（2015•江苏苏州模拟）如图，矩形ABCD，AB=6cm，AD=2cm，点P 以2cm/s 的速度从顶
点A 出发沿折线A→B→C 向点C 运动，同时点Q 以1cm/s 的速度从顶点C 出发向点D 运动，当其中
一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的
4
9 ；
（2）问两动点经过多长时间使得点P 与点Q 之间的距离为√5 ？若存在，求出运动所需的时
间；若不存在，请说明理由．
1．（2014•天津市）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等
条件，赛程计划安排7 天，每天安排4 场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关
系式为（ ）
5
A．
x（x＋1）=28 B．
x（x－1）=28
C．x（x＋1）=28 D．x（x－1）=28
2．已知平面中有n 个点，A，B，C 三个点在一条直线上，A，D，E， F 四个点也在一条直线上，除
些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作直线，那么一共可以画出38 条不同的直线，
这时n 等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．一名跳水运动员从10m 高台上跳水，他每一时刻所在高度h（单位：m）与所用时间t（单位：
s）的关系是h=－5（t－2）（t＋1），则该运动员从起跳到入水所用的时间是（ ）
A．5 s B．2 s C．3 s D．1 s
4．（2014•湖北武汉元月调考）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，
他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n 个好友转发倡议书，每个好
友转发倡议书之后，又邀请n 个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，
共有111 人参与了传播活动，则n= ．
5．一个两位数，个位与十位上的数字之和为8，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，得到
一个新的两位数，所得的新两位数与原数的乘积为1855，则原两位数是 ．
6．（2014•浙江湖州模拟）甲型H1N1 流感传染能力很强．若有一人患这种流感，经过两轮传染后
共有64 人患流感，则每轮传染中平均一人传染了 人，若不加以控制，以这样的速度传播
下去，经过三轮传播，将共有 人患流感．
7．（2014•湖北鄂州）近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，
国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011 年月退休金为1500 元，2013 年达
到2160 元．设李师傅的月退休金从2011 年到2013 年年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．2016（1－x）2=1500
B．1500（1＋x）2=2160
C．1500（1－x）2=2160
D．1500＋1500（1＋x）＋1500（1＋x）2=2160
8．某商场有一种工艺品，一件工艺品进价为100 元，标价为135 元售出，每天可售出100 件，根
据销售统计，一件工艺品每降低1 元出售，则每天可多售出4 件，要使顾客尽量得到优惠，且每
天获得利润为3596 元，每件工艺品需降价（ ）
A．4 元 B．6 元 C．4 元或6 元 D．5 元
9．（2014•鄂州二模）某方便面厂10 月份生产方便面100 吨，这样1 至10 月份生产量恰好完成全
年的生产任务，为了满足市场需要，计划到年底再生产231 吨方便面，这样就超额全年生产任务
的21%，则11、12 月的月平均增长率为（ ）
A．10% B．31% C．13% D．11%
10．（2014•湖北武汉调考）武汉市某中学标准化建设规划在校园内的一块长36 米，宽20 米的矩
形场地ABCD 上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分
种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为96 平方米，设人行道的宽为x 米，下列方程：
6
①（36－2x）（20－x）=96×6，②2×20x＋（36－2x）x=36×20－96×6，③（18－x）（10－
）=
×96×6，其中正确的个数为（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
11．（2015•贵州遵义模拟）如图，矩形ABCD 的周长是20cm，以AB，AD 为边向外作正方形ABEF 和
正方形ADGH，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和68cm2，那么矩形ABCD 的面积是（ ）
A．21cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．9cm2
12．（2014•江苏宿迁）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，
则原菜地的长是 m．
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1.（2014•江苏镇江模拟）通过对苏科版九（上）教材一道习题的探索研究，“在一次聚会中，有
45 个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了多少次手？”
对这个问题，我们可以作这样的假设：第1 个学生分别与其他44 个学生握手，可握44 次手；第
2 个学生也分别与其他44 个学生握手，可握44 次手；…依此类推，第45 个学生与其他44 个学生
握手，可握44 次手，如此共有45×44 次握手，显然此时每两人之间都按握了两次手进行计算的．
因此，按照题意，45 个人每两人之间握一次手共握了
45×44
2
=990 次手．像这样解决问题的方法
我们不妨称它为“握手解法”．
（1）若本次聚会共有n 个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了 次手．
请灵活运用这一知识解决下列问题．
（2）一个QQ 群中有若干好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共有756
条信息，这个QQ 群中共有多少个好友？
（3）已知一条直线上共有5 个点，那么这条直线上共有几条线段？
（4）利用（3）的结论解决问题：已知由边长为1 的正方形拼成如图所示的矩形ABCD，图中共有
①多少个矩形？②多少个正方形？
7
2．（☆☆2012•山东潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3 个位置
相邻的9 个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9 个数中，最大数与最小数的
积为192，则这9 个数的和为（ ）
A．32 B．126 C．135 D．144
3．某旅店一楼的客房比二楼少一间，各个客房的床位同这层的房间数相同，现有36 人入住，底楼
都住满了，二楼也只剩下一间空房，则二楼的房间有（ ）
A．5 间 B．6 间 C．7 间 D．4 间
4．（☆☆☆）某书的页码是连续的自然数1，2，3，4，…9，10…，当将这些页码相加时，某人
把其中一个页码加了两次，结果和为2006，加了两次的是第（ ）页．
A．10 B．20 C．43 D．53
5．（☆☆☆）在一次象棋比赛中，实行单循环赛制（即每个选手都与其他选手比赛一局），每局
胜者记2 分，负者记0 分，如果平局，两个选手各记1 分．某位同学统计了比赛中全部选手的得
分总和为110 分，则这次比赛中共有 名选手参赛．
6．（2014•江苏淮北模拟）如图，每个大正方形是由边长为1 的小正方形组成．观察如图图形，完
成下列填空：
（1）猜想：当n 为奇数时，图n 中黑色小正方形的个数为 ，当n 为偶数时，图n 中黑色小
正方形的 个数为 ；
（2）在边长为偶数的正方形中，白色小正方形的个数是黑色小正方形个数的4 倍，求这个正方
形的边长．
7．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，
如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B 以顺时针、逆时针的方向同时做圆周运动，甲
8
运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：l=
1
2 t2＋
3
2 t（t≥0），乙以4cm/s 的速度匀速运
动，半圆的长度为21cm．
（1）甲运动4s 后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？
8.某商店将甲、乙两种糖果混合运算，并按以下公式确定混合糖果的单价：单价=
a1m1+a2m2
m1+m2
（元/千克），其中m1，m2分别为甲、乙两种糖果的重量（千克），a1，a2分别为甲、乙两种糖果
的单价（元/千克）．已知a1=20 元/千克，a2=16 元/千克，现将10 千克乙种糖果和一箱甲种糖果
混合（搅拌均匀）销售，售出5 千克后，又在混合糖果中加入5 千克乙种糖果，再出售时混合糖
果的单价为17.5 元/千克，这箱甲种糖果有 千克．
9．（2014•新疆乌鲁木齐）某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90 万元，每月另需支付设备
维护费5 万元，从今年1 月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入
达100 万元，1 至3 月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364 万元，3 月份后，每月生
产收入稳定在3 月份的水平．
（1）求使用新设备后，2 月、3 月生产收入的月增长率；
（2）购进新设备需一次性支付640 万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用
旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去就设备维护费或新设备购进费）
10．（2014•湖北随州）楚天汽车销售公司5 月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30
万元/辆，若当月销售量超过5 辆时，每多售出1 辆，所有售出的汽车进价均降低0．1 万元/辆．
根据市场调查，月销售量不会突破30 台．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x 辆（x≤30，且x 为正整数），实际进价为y 万元/辆，求y
与x 的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32 万元/辆，公司计划当月销售利润25 万元，那么月需售出多
9
少辆汽车？（注：销售利润=销售价－进价）
11．（2014•安徽安庆模拟）某市2012 年国内生产总值（GDP）比2011 年增长了12%，由于受到国
际金融危机的影响，预计今年比2012 年增长7%，若这两年GDP 年平均增长率为x%，则x%满足的关
系是（ ）
A．12%＋7%=x%
B．（1＋12%）（1＋7%）=2（1＋x%）
C．12%＋7%=2•x%
D．（1＋12%）（1＋7%）=（1＋x%）2
12．（2015•湖北黄冈二模）某厂把500 万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润，在
不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率比第一年的利润率增加了8%，这样第二年净得利润
112 万元，为求第一年的利润率，可设它为x，则解得第一年的利润率是（ ）
A．10% B．11% C．12% D．13%
13．（2014•山东泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3 株时，平均每
株盈利4 元；若每盆增加1 株，平均每株盈利减少0．5 元，要使每盆的盈利达到15 元，每盆应
多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3＋x）（4－0.5x）=15
B．（x＋3）（4＋0.5x）=15
C．（x＋4）（3－0.5x）=15
D．（x＋1）（4－0.5x）=15
14．随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分
别为10 万元和15 万元，三月份销售额甲店比乙店多10 万元．已知甲店二、三月份销售额的月
平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2 倍，那么乙店这两个月的月平均增长率是 ．
15．燃放烟花爆竹是中国春节的传统民俗，可注重低碳、环保、健康的市民让今年的烟花爆竹遇冷．
在江北区北滨路一烟花爆竹销售点了解到，某种品牌的烟花2013 年除夕每箱进价100 元，售价
250 元，销售量40 箱．而2014 年除夕当天和去年当天相比，该店的销售量下降了4a%（a 为正整
数），每箱售价提高了a%，成本增加了50%，其销售利润仅为去年当天利润的50%．则a 的值为
．
16．某汽车销售公司6 月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关
系：若当月仅售出1 部汽车，则该部汽车的进价为27 万元，每多售出1 部，所有售出的汽车的
进价均降低0．1 万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10 部以内
（含10 部），每部返利0．5 万元；销售量在10 部以上，每部返利1 万元．
（1）若该公司当月售出3 部汽车，则每部汽车的进价为
10
万元；
（2）如果汽车的售价为28 万元/部，该公司计划当月盈利12 万元，那么需要售出多少部汽车？
（盈利=销售利润＋返利）
17．（2014•重庆A 卷）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资
建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000 元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，
另一部分用于购买书刊．
（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3 倍，问最多用多少资
金购买书桌、书架等设施？
（2）经初步统计，有200 户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150 元．镇政府了解情况后，
赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000 元．经筹委会进一步宣传，
自愿参与的户数在200 户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150 元
的基础上减少了
a%，求a 的值．
18．（2014•江苏宿迁）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，
则原菜地的长是 m．
19．（2015•江苏苏州模拟）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD 利用已有的围墙，另外
三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB 的长度是 m（可利用的围墙长
度超过6m）．
20．（2014•山西省）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000 米2，施工队在绿化了22000
米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5 倍，结果提前4 天完成了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？
（2）该项绿化工程中有一块长为20 米，宽为8 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形
绿地，它们的面积之和为56 米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所
示），问人行通道的宽度是多少米？
11
21．（2014•江苏秦淮区一模）如图，正方形ABCD 的边长为10cm，点P 从A 开始沿折线A→D→C 以
2cm/s 的速度移动，点Q 从D 开始沿CD 边以1cm/s 的速度移动，如果点P、Q 分别从A、D 同时出
发，当其中一点到达C 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）t 为何值时，△PQB 为直角三角形；
（2）t 为何值时，△PQB 面积为正方形ABCD 面积的
1
4 ？
22．（2014•湖北咸宁）用一条长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a 的值不可能为
（ ）
A．20 B．40 C．100 D．120
23．（2014•江岸区模拟）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横
竖彩条的宽度比为2：1，如果要使彩条所占面积是图案面积的
，则竖彩条宽度为（ ）
A．1cm B．2cm C．19cm D．1cm 或19cm
24．如图，正方形ABCD 的边长为1，E、F 分别是BC、CD 上的点，且△AEF 是等边三角形，则BE 的
长为（）
12
A．2−
B．2＋
C．2＋
D．
−2
25．（2014•黑龙江牡丹江）现有一块长80cm、宽60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长
为xcm 的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可
得 ．
26．（2014•天桥区三模）如图，矩形ABCD 是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是
24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为 ．
27．（2014•江苏淮安）用长为32 米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积
为y 平方米．
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60 平方米？
（3）能否围成面积为70 平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
28．（2015•江苏徐州二模）如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=2．点P、Q 同时从点A 出发，点P 以
每秒2 个单位的速度沿A→B→C→D 的方向运动；点Q 以每秒1 个单位的速度沿A→D→C 的方向运
动，当P、Q 两点相遇时，它们同时停止运动．设P、Q 两点运动的时间为x（秒），△APQ 的面
积为S（平方单位）．
（1）点P、Q 从出发到相遇所用的时间是 秒．
（2）当S=
7
2 时，求x 的值．
（3）当△AQP 为锐角三角形时，直接写出x 的取值范围．
13
课程顾问签字： 教学主管签字：
