1
数列考查的九个热点
热点题型速览
热点一等差数列的基本计算
热点二等比数列的基本计算
热点三等差数列与等比数列的综合计算
热点四数列与函数的交汇
热点五数列与不等式交汇
热点六数列与解析几何交汇
热点七数列与概率统计交汇
热点八等差数列、等比数列的判断与证明
热点九数列中的“新定义”问题
热点一等差数列的基本计算
1 (2023 春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习) 已知等差数列an
为递增数列，Sn为
其前n 项和，a3+a7= 34,a4⋅a6= 280，则S11= (
)
A. 516
B. 440
C. 258
D. 220
2 (2022 秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中) 某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直
径为60mm，满盘时直径为120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约( ) (π ≈
3.14，精确到1m)
A. 65m
B. 85m
C. 100m
D. 120m
3 (2020·全国高考真题(理)) 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块
圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9 块，下一层的第一
环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则
三层共有扇面形石板(不含天心石) (
)
A. 3699 块
B. 3474 块
C. 3402 块
D. 3339 块
公众号：一枚试卷君
2
4 (2022·全国·统考高考真题) 记Sn为等差数列an
的前n 项和．若2S3= 3S2+6，则公差d =
．
【规律方法】
1. 等差数列中的基本量a1,an,d,n,Sn，
“知三可求二”，在求解过程中主要运用方程思想. 要注意使用公式时
的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使
运算更加便捷．
2. 在等差数列{an} 中，若出现am-n，am，am+n等项时，可以利用等差数列的性质将其转化为与am有关的
条件；若求am项，可由am= 1
2 (am-n+am+n) 转化为求am-n，am+n或am-n+am+n的值．
3. 数列的基本计算，往往以数学文化问题为背景.
热点二等比数列的基本计算
5 (2020·全国·统考高考真题) 设{an} 是等比数列，且a1+a2+a3= 1，a2+a3+a4= 2，则a6+a7+a8=
(
)
A. 12
B. 24
C. 30
D. 32
6 (2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测) 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：
“三百七十
八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”. 其大意是：有人要去某关口，路程为378 里，
第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地. 则此
人后3 天共走的里程数为(
)
A. 6
B. 12
C. 18
D. 42
7 (2023·全国高考真题) 已知an
为等比数列，a2a4a5= a3a6，a9a10=-8，则a7=
.
【规律方法】
1. 等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q, 然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)
求解.
2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式, 共涉及五个量a1,an,q,n,Sn, 知其中三个就能求另外两个, 体现了
用方程的思想解决问题.
3. 根据题目特点，可选用等比数列的性质.
热点三等差数列与等比数列的综合计算
8 (2019·北京·高考真题) 设{an} 是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列．
(Ⅰ) 求{an} 的通项公式；
(Ⅱ) 记{an} 的前n 项和为Sn，求Sn 的最小值．
9 (2022·全国·统考高考真题) 记Sn为数列an
的前n 项和．已知2Sn
n
+ n = 2an+1．
(1) 证明：an
是等差数列；
(2) 若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．
10 (2023·天津·统考高考真题) 已知an
是等差数列，a2+a5= 16,a5-a3= 4．
(1) 求an
的通项公式和
2n-1
i=2n-1ai
．
(2) 已知bn
为等比数列，对于任意k ∈N *，若2k-1≤n ≤2k-1，则bk< an< bk+1，
(Ⅰ) 当k ≥2 时，求证：2k-1 < bk< 2k+1；
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3
(Ⅱ) 求bn
的通项公式及其前n 项和．
热点四数列与函数的交汇
11 (2018·浙江·高考真题) 已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4= ln(a1+a2+a3)．若a1> 1，则
A. a1< a3,a2< a4
B. a1> a3,a2< a4
C. a1< a3,a2> a4
D. a1> a3,a2> a4
12 (2023 秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习) 如图1 所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，
雁柱用于调整音高和音质. 图2 是根据图1 绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图. 在图2 中，每根弦都垂直
于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为y = 1.1x，第n 根弦(n ∈N，从左数首根弦在y 轴
上，称为第0 根弦) 分别与雁柱曲线和直线l：y = x + 1 交于点An xn,yn
和Bn xn
,yn
，则
20
n=0
ynyn
=
.
(参考数据：取1.122= 8.14.)
13 (2023 秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习) 已知数列an
满足a1> 0，an+1=
log2an,n = 2k - 1,k ∈N ∗
2
an+2,n = 2k,k ∈N ∗
.
(1) 判断数列a2n-1
是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2) 若数列an
的前10 项和为361，记bn=
1
log2a2n+1
⋅a2n+2
，数列bn
的前n 项和为Tn，求证：Tn< 1
2 .
14 (2023·全国·高三专题练习) 已知A x1,y2
、B x2,y2
是函数f x
=
2x
1 - 2x,x ≠1
2
-1,x = 1
2
的图象上的任意
两点，点M 在直线x = 1
2 上，且AM
= MB
．
(1) 求x1+x2的值及y1+y2的值；
(2) 已知S1= 0，当n ≥2 时，Sn= f
1
2
+ f
2
n
+ f
3
n
+⋅⋅⋅+f
n - 1
n
，设an= 2
Sn，Tn数列an
的前n
项和，若存在正整数c，m，使得不等式Tm-c
Tm+1-c < 1
2 成立，求c 和m 的值；
热点五数列与不等式交汇
15 (2022·浙江·统考高考真题) 已知数列an
满足a1= 1,an+1= an- 1
3 a2
n n ∈N∗
，则(
)
A. 2 < 100a100< 5
2
B. 5
2 < 100a100< 3
C. 3 < 100a100< 7
2
D. 7
2 < 100a100< 4
16 (2023·浙江嘉兴·统考模拟预测) 如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4 个边长为1
2 的小正
方形，保留一组不相邻的2 个小正方形，记这2 个小正方形的面积之和为S1；然后将剩余的2 个小正方形分
别继续四等分，各自保留一组不相邻的2 个小正方形，记这4 个小正方形的面积之和为S2．以此类推，操
公众号：一枚试卷君
4
作n 次，若S1+S2+ ⋅⋅⋅+Sn≥2023
2024 ，则n 的最小值是(
)
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
17 (2023 秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习) 已知等差数列an
的前n 项和为Sn，且S4= 4S2,
a3n= 3an+2 n ∈N *
(1) 求an
的通项公式，
(2) 设bn=
1
anan+1
，且bn
的前n 项和为Tn，证明，1
3 ≤Tn< 1
2 .
18 (2022·全国·统考高考真题) 记Sn为数列an
的前n 项和，已知a1= 1, Sn
an
是公差为1
3 的等差数
列．
(1) 求an
的通项公式；
(2) 证明：1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an < 2．
19 (2021·全国·统考高考真题) 设an
是首项为1 的等比数列，数列bn
满足bn= nan
3 ．已知a1，3a2，
9a3成等差数列．
(1) 求an
和bn
的通项公式；
(2) 记Sn和Tn分别为an
和bn
的前n 项和．证明：Tn< Sn
2 ．
20 (2023·河南郑州·统考模拟预测) 已知数列an
与bn
的前n 项和分别为An和Bn，且对任意n ∈N
*，an+1-an= 3
2 bn+1-bn
恒成立.
(1) 若An= 3n2+3n
2
，b1= 2，求Bn；
(2) 若对任意n ∈N *，都有an= Bn及
b2
a1a2
+
b3
a2a3
+
b4
a3a4
+⋯+ bn+1
anan+1
< 1
3 恒成立，求正整数b1的最小值.
21 (2023 秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习) 已知an
为等差数列，bn
为等比数列，b1= 2a1
= 2，a5= 5 a4-a3
，b5= 4 b4-b3
，数列cn
满足cn=
1
anan+2,n 为奇数
bn,n 为偶数
.
(1) 求an
和bn
的通项公式；
(2) 证明：
2n
i=1
ci
≥13
3 .
热点六数列与解析几何交汇
22 (2022·全国·统考高考真题) 图1 是中国古代建筑中的举架结构，AA,BB,CC,DD是桁，相邻桁的
水平距离称为步，垂直距离称为举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD1,CC1,BB1,AA1是举，
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OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1
OD1
= 0.5, CC1
DC1
= k1, BB1
CB1
= k2, AA1
BA1
= k3．已
知k1,k2,k3成公差为0.1 的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k3= (
)
A. 0.75
B. 0.8
C. 0.85
D. 0.9
23 (重庆·高考真题) 设A x1,y1
,B 4, 9
5
,C x2,y2
是右焦点为F 的椭圆x2
25 + y2
9 = 1 上三个不同的
点，则“|AF|,|BF|,|CF| 成等差数列”是“x1+x2= 8”的(
)
A. 充要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分而不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
24 (2021·浙江·统考高考真题) 已知a,b ∈R,ab > 0，函数f x
= ax2+b(x ∈R). 若f(s - t),f(s),f(s +
t) 成等比数列，则平面上点s,t
的轨迹是(
)
A. 直线和圆
B. 直线和椭圆
C. 直线和双曲线
D. 直线和抛物线
热点七数列与概率统计交汇
25 (2023 秋·江西·高三校联考阶段练习) 甲同学现参加一项答题活动，其每轮答题答对的概率均为1
3 ，
且每轮答题结果相互独立. 若每轮答题答对得5 分，答错得0 分，记第i 轮答题后甲同学的总得分为Xi，其
中i = 1,2,⋅⋅⋅,n.
(1) 求E X99
；
(2) 若乙同学也参加该答题活动，其每轮答题答对的概率均为2
3 ，并选择另一种答题方式答题：从第1 轮答
题开始，若本轮答对，则得20 分，并继续答题；若本轮答错，则得0 分，并终止答题，记乙同学的总得分为Y.
证明：当i > 24 时，E Xi
> E Y
.
26 (2023 秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习) 在正三棱柱ABC - A1B1C1中，点A 处有一只小蚂
蚁，每次随机等可能地沿各条棱或侧面对角线向另一顶点移动，设小蚂蚁移动n 次后仍在底面ABC 的顶
点处的概率为Pn.
公众号：一枚试卷君
6
(1) 求P1，P2的值.
(2) 求Pn.
27 (2019·全国·高考真题(理)) 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，
为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一
只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比
另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对
于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得-1 分；若施以乙药的
白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分．
甲、乙两种药的治愈率分别记为α 和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
(1) 求X 的分布列；
(2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，pi(i = 0,1,⋯,8) 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比
乙药更有效”的概率，则p0= 0，p8= 1，pi= api-1+bpi+cpi+1(i = 1,2,⋯,7)，其中a = P(X =-1)，b = P(X =
0)，c = P(X = 1)．假设α = 0.5，β = 0.8．
(i) 证明：{pi+1-pi} (i = 0,1,2,⋯,7) 为等比数列；
(ii) 求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
热点八等差数列、等比数列的判断与证明
28 【多选题】(2022·广东茂名·模拟预测) 已知数列an
的前n 项和为S，a1= 1，Sn+1= Sn+2an+1，数
列
2n
an⋅an+1
的前n 项和为Tn，n ∈N*，则下列选项正确的为(
)
A. 数列an+1
是等比数列
B. 数列an+1
是等差数列
C. 数列an
的通项公式为an= 2n-1
D. Tn> 1
29 (2021·全国·统考高考真题) 记Sn为数列an
的前n 项和，bn为数列Sn
的前n 项积，已知2
Sn
+
1
bn
= 2．
(1) 证明：数列bn
是等差数列;
(2) 求an
的通项公式．
热点九数列中的“新定义”问题
30 (2020·全国·统考高考真题)0 - 1 周期序列在通信技术中有着重要应用. 若序列a1a2⋯an⋯满足ai∈
{0,1} (i = 1,2,⋯)，且存在正整数m，使得ai+m= ai(i = 1,2,⋯) 成立，则称其为0 - 1 周期序列，并称满足
ai+m= ai(i = 1,2,⋯) 的最小正整数m 为这个序列的周期. 对于周期为m 的0 - 1 序列a1a2⋯an⋯，C(k) =
1
m
m
i=1
aiai+k
(k = 1,2,⋯,m - 1) 是描述其性质的重要指标，下列周期为5 的0 - 1 序列中，满足C(k) ≤1
5 (k
= 1,2,3,4) 的序列是(
)
A. 11010 ⋯
B. 11011 ⋯
C. 10001 ⋯
D. 11001 ⋯
31 【多选题】(2023 秋·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒
和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点
个数：1，3，6，10，⋯称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，⋯称为正方形数，记三角形
数构成数列an
，正方形数构成数列bn
，则下列说法正确的是(
)
公众号：一枚试卷君
7
A. 1
b1
+ 1
b2
+ 1
b3
+⋯+ 1
bn
< 2；
B. 1225 既是三角形数，又是正方形数；
C.
10
i=1
1
bi+1-ai+1
= 9
5
；
D. ∀m ∈N *，m ≥2 总存在p，q ∈N*，使得bm= ap+aq成立；
32 (2022 秋·山东·高三校联考阶段练习) 若项数为n 的数列an
满足：ai= an+1-i i = 1，2，3，⋯，n
我
们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1 为4 项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1 为5 项的“对称
数列”．设数列cn
为2k + 1 项的“对称数列”，其中c1，c2⋯ck+1是公差为2 的等差数列，数列cn
的最大
项等于8，记数列cn
的前2k + 1 项和为S2k+1，若S2k+1= 32，则k =
．
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