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高中数学公式大全（最新整理版）
1、二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
2
( )
(
0)
f x
ax
bx
c a
=
+
+
;
(2)顶点式
2
( )
(
)
(
0)
f x
a x
h
k a
=
−
+
;
(3)零点式
1
2
( )
(
)(
)(
0)
f x
a x
x
x
x
a
=
−
−
.
2、四种命题的相互关系
原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；
逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；
否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；
逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否
§ 函数
1、若
)
(
)
(
a
x
f
x
f
+
−
−
=
,则函数
)
(x
f
y =
的图象关于点
)
0,
2
(a
对称;
若
)
(
)
(
a
x
f
x
f
+
−
=
,则函数
)
(x
f
y =
为周期为a
2 的周期函数.
2、函数
( )
y
f x
=
的图象的对称性
(1)函数
( )
y
f x
=
的图x
a
=
象关于直线对称
(
)
(
)
f a
x
f a
x
+
=
−
(2
)
( )
f
a
x
f x
−
=
.
(2)函数
( )
y
f x
=
的图象关于直线
2
a
b
x
+
=
对称
(
)
(
)
f a
mx
f b
mx
+
=
−
(
)
(
)
f a
b
mx
f mx
+
−
=
.
3、两个函数图象的对称性
(1)函数
( )
y
f x
=
与函数
(
)
y
f
x
=
−
的图象关于直线
0
x =
(即y 轴)对称.
(2)函数
(
)
y
f mx
a
=
−
与函数
(
)
y
f b
mx
=
−
的图象关于直线
2
a
b
x
m
+
=
对称.
(3)函数
)
(x
f
y =
和
)
(
1 x
f
y
−
=
的图象关于直线y=x 对称.
4、若将函数
)
(x
f
y =
的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数
b
a
x
f
y
+
−
=
)
(
的图象；
若将曲线
0
)
,
(
=
y
x
f
的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线
0
)
,
(
=
−
−
b
y
a
x
f
的图象.
5、互为反函数的两个函数的关系：
a
b
f
b
a
f
=
=
−
)
(
)
(
1
.
6 、若函数
)
(
b
kx
f
y
+
=
存在反函数, 则其反函数为
]
)
(
[
1
1
b
x
f
k
y
−
=
−
, 并不是
)
(
[
1
b
kx
f
y
+
=
−
,而函数
)
(
[
1
b
kx
f
y
+
=
−
是
]
)
(
[
1
b
x
f
k
y
−
=
的反函数.
7、几个常见的函数方程
(1)正比例函数
( )
f x
cx
=
,
(
)
( )
( ),
(1)
f x
y
f x
f y
f
c
+
=
+
=
.
(2)指数函数
( )
x
f x
a
=
,
(
)
( ) ( ),
(1)
0
f x
y
f x f y
f
a
+
=
=
.
(3)对数函数
( )
loga
f x
x
=
,
(
)
( )
( ),
( )
1(
0,
1)
f xy
f x
f y
f a
a
a
=
+
=
.
(4)幂函数
( )
f x
x
=
,
'
(
)
( ) ( ),
(1)
f xy
f x f y
f
=
=
.
(5)余弦函数
( )
cos
f x
x
=
,正弦函数( )
sin
g x
x
=
，
(
)
( ) ( )
( ) ( )
f x
y
f x f y
g x g y
−
=
+
，
§ 数 列
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1、数列的同项公式与前n 项的和的关系
1
1
,
1
,
2
n
n
n
s
n
a
s
s
n
−
=
=
−
( 数列{
}
na
的前n 项的和为
1
2
n
n
s
a
a
a
=
+
+
+
L
).
2、等差数列的通项公式
*
1
1
(
1)
(
)
na
a
n
d
dn
a
d n
N
=
+
−
=
+
−
；其前n 项和公式为
1
(
)
2
n
n
n a
a
s
+
=
1
(
1)
2
n n
na
d
−
=
+
2
1
1
(
)
2
2
d n
a
d n
=
+
−
.
3、等比数列的通项公式
1
*
1
1
(
)
n
n
n
a
a
a q
q
n
N
q
−
=
=
；其前n 项的和公式为
1
1
(1
) ,
1
1
,
1
n
n
a
q
q
s
q
na q
−
=
−
=
或
1
1
,
1
1
,
1
n
n
a
a q q
q
s
na q
−
−
=
=
.
4、等比差数列
na
:
1
1
,
(
0)
n
n
a
qa
d a
b q
+ =
+
=
的通项公式为
1
(
1) ,
1
(
)
,
1
1
n
n
n
b
n
d q
a
bq
d
b q
d q
q
−
+
−
=
=
+
−
−
−
；其前n 项和公式为
(
1) ,(
1)
1
(
)
,(
1)
1
1
1
n
n
nb
n n
d
q
s
d
q
d
b
n q
q
q
q
+
−
=
=
−
−
+
−
−
−
.
§ 三角函数
1、同角三角函数的基本关系式
2
2
sin
cos
1
+
= ，tan=
cos
sin
，tan
1
cot
=
.
2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
2
1
2
( 1) sin
,
sin(
)
2
( 1)
s ,
n
n
n
co
−
−
+
=
−
2
1
2
( 1)
s ,
s(
)
2
( 1)
sin
,
n
n
co
n
co
+
−
+
=
−
3、和角与差角公式
sin(
)
sin
cos
cos
sin
=
;
cos(
)
cos
cos
sin
sin
=
m
;
tan
tan
tan(
)
1
tan
tan
= m
.
2
2
sin(
)sin(
)
sin
sin
+
−
=
−
(平方正弦公式);
2
2
cos(
)cos(
)
cos
sin
+
−
=
−
.
sin
cos
a
b
+
=
2
2 sin(
)
a
b
+
+
( 辅助角所在象限由点( , )
a b
的象限决
(n 为偶数)
(n 为奇数)
(n 为偶数)
(n 为奇数)
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定,
tan
b
a
=
).
4、二倍角公式
sin 2
sin
cos
=
.
2
2
2
2
cos2
cos
sin
2cos
1 1 2sin
=
−
=
−= −
.
2
2tan
tan 2
1
tan
= −
.
5、三倍角公式
3
sin3
3sin
4sin
4sin
sin(
)sin(
)
3
3
=
−
=
−
+
.
3
cos3
4cos
3cos
4cos cos(
)cos(
)
3
3
=
−
=
−
+
.
3
2
3tan
tan
tan3
tan
tan(
)tan(
)
1 3tan
3
3
−
=
=
−
+
−
.
6、三角函数的周期公式
函数
sin(
)
y
x
=
+
，x∈R 及函数
cos(
)
y
x
=
+
，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω
＞0)的周期
2
T
=
；
函数
tan(
)
y
x
=
+
，
,
2
x
k
k
Z
+
(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T
=
.
7、正弦定理
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
=
=
=
.
8、余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
−
;
2
2
2
2
cos
b
c
a
ca
B
=
+
−
;
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
−
.
9、面积定理
（1）
1
1
1
2
2
2
a
b
c
S
ah
bh
ch
=
=
=
（
a
b
c
h
h
h
、、
分别表示a、b、c 边上的高）.
（2）
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S
ab
C
bc
A
ca
B
=
=
=
.
(3)
2
2
1
(|
| |
|)
(
)
2
OAB
S
OA
OB
OA OB
=
−
uuur
uuur
uuur uuur
.
§平面向量
1、两向量的夹角公式
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
cos
x x
y y
x
y
x
y
+
=
+
+
(a=
1
1
( ,
)
x y
,b=
2
2
(
,
)
x
y
).
2、平面两点间的距离公式
,
A B
d
=|
|
AB
AB AB
=
uuur
uuur uuur
2
2
2
1
2
1
(
)
(
)
x
x
y
y
=
−
+
−
(A
1
1
( ,
)
x y
，B
2
2
(
,
)
x
y
).
3、向量的平行与垂直
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设a=
1
1
( ,
)
x y
,b=
2
2
(
,
)
x
y
，且b 0，则
a||b b=λa
1
2
2
1
0
x y
x y
−
=
.
a ⊥b(a 0) a·b=0
1
2
1
2
0
x x
y y
+
=
.
4、线段的定比分公式
设
1
1
1
( ,
)
P x y
，
2
2
2
(
,
)
P x
y
，
( , )
P x y 是线段
1
2
PP 的分点,是实数，且
1
2
PP
PP
=
uuur
uuur
，则
1
2
1
2
1
1
x
x
x
y
y
y
+
=
+
+
=
+
1
2
1
OP
OP
OP
+
=
+
uuur
uuur
uuur
1
2
(1
)
OP
tOP
t OP
=
+
−
uuur
uuur
uuur
（
1
1
t
= +
）.
5、三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为
1
1
A(x ,y )、
2
2
B(x ,y )、
3
3
C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是
1
2
3
1
2
3
(
,
)
3
3
x
x
x
y
y
y
G
+
+
+
+
.
6、 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为ABC
所在平面上一点，角
, ,
A B C 所对边长分别为, ,
a b c ，则
（1）O 为ABC
的外心
2
2
2
OA
OB
OC
=
=
uuur
uuur
uuur
.
（2）O 为ABC
的重心
0
OA
OB
OC
+
+
=
uuur
uuur
uuur
r
.
（3）O 为ABC
的垂心
OA OB
OB OC
OC OA
=
=
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
.
（4）O 为ABC
的内心
0
aOA
bOB
cOC
+
+
=
uuur
uuur
uuur
r
.
（5）O 为ABC
的
A
的旁心
aOA
bOB
cOC
=
+
uuur
uuur
uuur
.
§直线和圆的方程
1、斜率公式
2
1
2
1
y
y
k
x
x
−
=
−
（
1
1
1
( ,
)
P x y
、
2
2
2
(
,
)
P x
y
）.
2、直线的五种方程
（1）点斜式
1
1
(
)
y
y
k x
x
−
=
−
(直线l 过点
1
1
1
( ,
)
P x y
，且斜率为k )．
（2）斜截式 y
kx
b
=
+
(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
−
−
=
−
−
(
1
2
y
y
)(
1
1
1
( ,
)
P x y
、
2
2
2
(
,
)
P x
y
(
1
2
x
x
)).
(4)截距式
1
x
y
a
b
+
=
(a
b
、分别为直线的横、纵截距，
0
a
b
、
)
（5）一般式
0
Ax
By
C
+
+
=
(其中A、B 不同时为0).
3、两条直线的平行和垂直
(1)若1
1
1
:
l
y
k x
b
=
+
，2
2
2
:
l
y
k x
b
=
+
①1
2
1
2
1
2
||
,
l
l
k
k b
b
=
;
②1
2
1 2
1
l
l
k k
⊥
= −.
(2)若1
1
1
1
:
0
l
A x
B y
C
+
+
=
, 2
2
2
2
:
0
l
A x
B y
C
+
+
=
,且A1、A2、B1、B2 都不为零,
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①
1
1
1
1
2
2
2
2
||
A
B
C
l
l
A
B
C
=
；
②1
2
1
2
1
2
0
l
l
A A
B B
⊥
+
=
；
4、点到直线的距离
0
0
2
2
|
|
Ax
By
C
d
A
B
+
+
=
+
(点
0
0
(
,
)
P x
y
,直线l ：
0
Ax
By
C
+
+
=
).
5、圆的四种方程
（1）圆的标准方程
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
−
+
−
=
.
（2）圆的一般方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
+
+
+
+
=
(
2
2
4
D
E
F
+
−
＞0).
（3）圆的参数方程
cos
sin
x
a
r
y
b
r
=
+
=
+
.
（4）圆的直径式方程
1
2
1
2
(
)(
)
(
)(
)
0
x
x
x
x
y
y
y
y
−
−
+
−
−
=
(圆的直径的端点是
1
1
( ,
)
A x y
、
2
2
(
,
)
B x
y
).
6、直线与圆的位置关系
直线
0
=
+
+
C
By
Ax
与圆
2
2
2
)
(
)
(
r
b
y
a
x
=
−
+
−
的位置关系有三种:
0
相离
r
d
;
0
=
=
相切
r
d
0
相交
r
d
.
其中
2
2
B
A
C
Bb
Aa
d
+
+
+
=
.
7、圆的切线方程
(1)已知圆
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
+
+
+
+
=
．①若已知切点
0
0
(
,
)
x
y
在圆上，则切线只有一条，
其方程是
0
0
0
0
(
)
(
)
0
2
2
D x
x
E y
y
x x
y y
F
+
+
+
+
+
+
=
.
当
0
0
(
,
)
x
y
圆
外
时
,
0
0
0
0
(
)
(
)
0
2
2
D x
x
E y
y
x x
y y
F
+
+
+
+
+
+
=
表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点
的切线方程可设为
0
0
(
)
y
y
k x
x
−
=
−
，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要
漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y
kx
b
=
+
，再利用相切条件求b，
必有两条切线．
(2)已知圆
2
2
2
x
y
r
+
=
．①过圆上的
0
0
0
(
,
)
P x
y
点的切线方程为
2
0
0
x x
y y
r
+
=
;②斜率为k
的圆的切线方程为
2
1
y
kx
r
k
=
+
.
§圆锥曲线方程
1、椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
的参数方程是
cos
sin
x
a
y
b
=
=
.
2、椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
焦半径公式
)
(
2
1
c
a
x
e
PF
+
=
，
)
(
2
2
x
c
a
e
PF
−
=
.
3、椭圆的切线方程
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(1)椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
上一点
0
0
(
,
)
P x
y
处的切线方程是
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
+
=
.
(2)过椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
外一点
0
0
(
,
)
P x
y
所引两条切线的切点弦方程是
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
+
=
.
(3)椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
与直线
0
Ax
By
C
+
+
=
相切的条件是
2
2
2
2
2
A a
B b
c
+
=
.
4、双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的焦半径公式
2
1
| (
) |
a
PF
e x
c
=
+
，
2
2
| (
) |
a
PF
e
x
c
=
−
.
5、双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为
1
2
2
2
2
=
−b
y
a
x
渐近线方程：
2
2
2
2
0
x
y
a
b
−
=
x
a
b
y
=
.
(2)若渐近线方程为
x
a
b
y
=
0
=
b
y
a
x
双曲线可设为
=
−
2
2
2
2
b
y
a
x
.
(3)若双曲线与
1
2
2
2
2
=
−b
y
a
x
有公共渐近线，可设为
=
−
2
2
2
2
b
y
a
x
（
0
，焦点在x 轴上，
0
，焦点在y 轴上）.
6、 双曲线的切线方程
(1)双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
上一点
0
0
(
,
)
P x
y
处的切线方程是
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
−
=
.
（2）过双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
外一点
0
0
(
,
)
P x
y
所引两条切线的切点弦方程是
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
−
=
.
(3) 双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
与直线
0
Ax
By
C
+
+
=
相切的条件是
2
2
2
2
2
A a
B b
c
−
=
.
7、抛物线
px
y
2
2 =
的焦半径公式：抛物线
2
2
(
0)
y
px p
=
焦半径
0
2
p
CF
x
=
+
.过焦点
弦长
p
x
x
p
x
p
x
CD
+
+
=
+
+
+
=
2
1
2
1
2
2
.
8、二次函数
2
2
2
4
(
)
2
4
b
ac
b
y
ax
bx
c
a x
a
a
−
=
+
+
=
+
+
(
0)
a
的图象是抛物线：（1）顶点坐
标为
2
4
(
,
)
2
4
b
ac
b
a
a
−
−
；（2 ）焦点的坐标为
2
4
1
(
,
)
2
4
b
ac
b
a
a
−
+
−
；（3 ）准线方程是
2
4
1
4
ac
b
y
a
−
−
=
.
9、 抛物线的切线方程
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(1)抛物线
px
y
2
2 =
上一点
0
0
(
,
)
P x
y
处的切线方程是
0
0
(
)
y y
p x
x
=
+
.
（2）过抛物线
px
y
2
2 =
外一点
0
0
(
,
)
P x
y
所引两条切线的切点弦方程是
0
0
(
)
y y
p x
x
=
+
.
（3）抛物线
2
2
(
0)
y
px p
=
与直线
0
Ax
By
C
+
+
=
相切的条件是
2
2
pB
AC
=
.
1、球的半径是R，则其体积
3
4
3
V
R
=
,其表面积
2
4
S
R
=
．
2、柱体、锥体的体积
1
3
V
Sh
=
柱体
（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.
1
3
V
Sh
=
锥体
（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.
3、回归直线方程
$
y
a
bx
=
+
，其中
(
)(
)
(
)
1
1
2
2
2
1
1
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nx y
b
x
x
x
nx
a
y
bx
=
=
=
=
−
−
−
=
=
−
−
=
−
.
§极 限
1、几个常用极限
（1）
1
lim
0
n
n
→
=
，
lim
0
n
n
a
→
=
（|
| 1
a ）；（2）
0
0
lim
x
x x
x
→
=
，
0
0
1
1
lim
x
x x
x
→
=
.
（3）
0
sin
lim
1
x
x
x
→
=
；（4）
1
lim 1
x
x
e
x
→
+
=
(e=2.718281845…).
§导 数
1、几种常见函数的导数
(1)
0
=
C
（C 为常数）.
(2)
'
1
(
)
(
)
n
nx
nx
n
Q
−
=
.
(3)
x
x
cos
)
(sin
=
.
(4)
x
x
sin
)
(cos
−
=
.
(5)
x
x
1
)
(ln
=
；
e
a
x
x
a
log
1
)
(log
=
.
(6)
x
x
e
e
=
)
(
;
a
a
a
x
x
ln
)
(
=
.
2、导数的运算法则
（1）
'
'
'
(
)
u
v
u
v
=
.
（2）
'
'
'
(
)
uv
u v
uv
=
+
.
（3）
'
'
'
2
( )
(
0)
u
u v
uv v
v
v
−
=
.
3、复合函数的求导法则
设函数
( )
u
x
=
在点x 处有导数
'
'( )
x
u
x
=
，函数
)
(u
f
y =
在点x 处的对应点U 处有导数
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'
'( )
uy
f u
=
，则复合函数
( ( ))
y
f
x
=
在点x 处有导数，且
'
'
'
x
u
x
y
y
u
=
，或写作
'
'
'
( ( ))
( )
( )
xf
x
f u
x
=
.
§复 数
1、复数z
a
bi
=
+
的模（或绝对值）|
|
z =|
|
a
bi
+
=
2
2
a
b
+
.
2、复数的四则运算法则
(1)(
)
(
)
(
)
(
)
a
bi
c
di
a
c
b
d i
+
+
+
=
+
+
+
;
(2)(
)
(
)
(
)
(
)
a
bi
c
di
a
c
b
d i
+
−
+
=
−
+
−
;
(3)(
)(
)
(
)
(
)
a
bi c
di
ac
bd
bc
ad i
+
+
=
−
+
+
;
(4)
2
2
2
2
(
)
(
)
(
0)
ac
bd
bc
ad
a
bi
c
di
i c
di
c
d
c
d
+
−
+
+
=
+
+
+
+
.
3、复数的乘法的运算律
交换律:
1
2
2
1
z
z
z
z
=
.
结合律:
1
2
3
1
2
3
(
)
(
)
z
z
z
z
z
z
=
.
分配律:
1
2
3
1
2
1
3
(
)
z
z
z
z
z
z
z
+
=
+
.
4、复平面上的两点间的距离公式
2
2
1
2
2
1
2
1
|
|
(
)
(
)
d
z
z
x
x
y
y
=
−
=
−
+
−
（
1
1
1
z
x
y i
=
+
，
2
2
2
z
x
y i
=
+
）.
5、向量的垂直
非零复数
1z
a
bi
=
+
，
2z
c
di
=
+
对应的向量分别是
1
OZ
uuuur
，
2
OZ
uuuur
，则
1
2
OZ
OZ
⊥
uuuur
uuuur
1
2
z
z
的实部为零
2
1
z
z 为纯虚数
2
2
2
1
2
1
2
|
|
|
|
|
|
z
z
z
z
+
=
+
2
2
2
1
2
1
2
|
|
|
|
|
|
z
z
z
z
−
=
+
1
2
1
2
|
| |
|
z
z
z
z
+
=
−
0
ac
bd
+
=
1
2
z
iz
=
(λ为非
零实数).
6、实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
，
①若
2
4
0
b
ac
=
−
,则
2
1,2
4
2
b
b
ac
x
a
−
−
=
;
②若
2
4
0
b
ac
=
−
=
,则
1
2
2
b
x
x
a
=
= −
;
③若
2
4
0
b
ac
=
−
，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数
根
2
2
(
4
) (
4
0)
2
b
b
ac i
x
b
ac
a
−
−
−
=
−
.
