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统计与概率--知识讲解
【学习目标】
1.了解三种常见的统计图，知道它们的优缺点，能从统计图中获取所需要的信息，并能根据信息进行合
理的推断和预测；
2.回顾并掌握概率的求解方法.
【要点梳理】
要点一、统计图与统计表
统计图：利用“条形图”、“扇形图”、“折线图”描述数据，这样做的最大优点是将表格中的数据
所呈现出来的信息直观化；
统计表：利用表格将要统计的数据填入相应的表格内，表格统计法可以很好地整理数据.
（1）条形统计图：用线段长度表示数据，根据数据的多少画成长短不同的长方形直条，然后按顺序把这
些直条排列起来，条形统计图很容易看出数据的大小，便于比较，但不能清楚地反映各部分占总体的百分
比．
（2）扇形统计图：用整个圆表示总体，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量，从扇形上可清楚地看出
各部分量和总数量之间的关系，但不能直接表示出各个项目的具体数据．
（3）折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次
连接起来，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，但不能清楚
地反映数据的分布情况．
要点二、用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和树形图法.
1.列表法：
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结
果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能
的次数和方式，并求出概率的方法.
要点诠释：
（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
2.树形图：
当一次试验要涉及3 个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可
能的次数和方式，并求出概率的方法.
要点诠释：
(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
要点三、利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估
计概率.
要点诠释：
用实验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为
精确.
【典型例题】
类型一、统计图与统计表
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1.某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一
次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不
完整）
请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）在这次问卷调查中，一共抽查了 名学生；
（2）请将上面两幅统计图补充完整；
（3）在图1 中，“踢毽”部分所对应的圆心角为 度；
（4）如果全校有1860 名学生，请问全校学生中，最喜欢“球类”活动的学生约有多少人？
【思路点拨】找好扇形统计图和条形统计图之间的对应关系.
【答案】（1）200； （2）如图； （3）54； （4）744
【解析】
解：（1）8040％=200（人）
（2）如图：
（3）360°15％=54°
（4）186040％=744（人）
【总结升华】条形统计图能反映出各部分数量的大小，而扇形统计图能反映出各部分占总体的比例大小，
两者结合，则此类题容易求解.
举一反三：
【变式】某校为了了解该校初二年级学生阅读课外书籍的情况，随机抽取了该年级的部分学生，对他们某
月阅读课外书籍的情况进行了调查，并根据调查的结果绘制了如下的统计图表．
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请你根据以上信息解答下列问题：
（1）这次共调查了学生多少人？E 组人数在这次调查中所占的百分比是多少？
（1）求出表1 中a 的值，并补全图1；
（2）若该年级共有学生300 人，请你估计该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少于12 小时的学
生约有多少人．
【答案】
解：（1）这次共调查了学生50 人，E 组人数在这次调查中所占的百分比是8 ％.
（2）表1 中a 的值是15，补全如图．
（3）54 人．
类型二、利用频率估计概率
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2. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10 元以上能获得一次转动转
盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统
计数据： (1)计算并完成表格：
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
546
701
落在“铅笔”的频率
(2)请估计，当
很大时，频率将会接近多少？
(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？
(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)
【答案与解析】(1) 0.68、0.74、0.68、
0.69、0.6825、0.701；
(2) 0.69；
(3) 由（1）的频率值可以得出P（获得铅笔）=0.69；
(4) 0.69×360°≈248°.
【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、
直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．
举一反三：
【变式】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000 条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段
时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200 条，若其中有标记的鱼有10 条，则估计池塘里
有鱼______________条．
【答案】
条.
类型三、游戏公平吗
3.小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若
两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则
小亮获胜．这个游戏（ ）
A．对小明有利 B．对小亮有利
C．游戏公平 D．无法确定对谁有利
【思路点拨】根据游戏规则：总共结果有4 种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇；由此可得：两人获胜的概
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率相等；故游戏公平．
【答案】C.
【解析】解：两人写得数字共有奇偶、偶奇、偶偶、奇奇四种情况，因此同为奇数或同为偶数概率为
1
2 ；
一奇一偶概率也为
1
2 ，所以公平．
【总结升华】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率
相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
举一反三：
【变式】甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（ ）
A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定
C．游戏的规则由甲乙双方商定 D．游戏双方要各有50%赢的机会
【答案】D.
4. 把一副扑克牌中的
张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是
、、）洗匀后正面朝下放在桌
面上．
（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是
的概率是多少？
（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后
正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当
张牌面数字相同时，小王赢；当
张牌面数字
不相同时，小李赢．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.
【答案与解析】（1）P（抽到牌面数字４）=
；
（2）游戏规则对双方不公平．
理由如下：
3
4
5
3
（3，3）
（3，4）
（3，5）
4
（4，3）
（4，4）
（4，5）
5
（5，3）
（5，4）
（5，5）
P（牌面数字相同）=
；P（牌面数字不相同）=
2
3 .
【总结升华】列表法可以不重不漏的列出所有可能的结果.
举一反三：
【变式】有两个布袋，甲袋中装有两个完全相同的球，分别标有数字“1”“2”；乙袋中装有三个完全相
同的球，分别标有数字“1”“2”“3”．小颖和小明共同设计了一个游戏：小颖每次从甲袋中随机摸
出一个球，小明就从乙袋中随机摸出一个球．如果小颖所摸球上的数字与小明所摸球上的数字之和为
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偶数，则小颖获胜；如果和为奇数，则小明获胜．你认为这个游戏公平吗？请用概率知识说明理由．
【答案】解：根据已知画出树状图：
所以每次游戏可能出现的结果为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6 种．
此时，小颖获胜的概率为1
2 ，小明获胜的概率也为1
2 ，
所以游戏公平．
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