文档文本内容
义务教育教科书
数学
教师教学用书
九年级下册
湖南教育出版社
微信公众号：电子课本大全
总
体
说
明
湘教版《义务教育教科书·数学》
（七～九年级）是依据教育部制订的《义务教育数学课程标准
（2011 年版）》（以下简称《课程标准（2011 年版）》），在原实验教科书的基础上修订而成的，全套书分
为6 册，每学期一册，内容包括“数与代数”
“图形与几何”
“统计与概率”
“综合与实践” 四个领
域，知识体系中的重要概念和数学思想按照学生的认知规律螺旋式上升，重视知识之间的联系与综
合，体现“数与代数”
“图形与几何”
“统计与概率” 以及“综合与实践” 之间的实质性关联，形成
一个有机的整体.
一、教材的主要特点
1. 重视培养学生科学理性的思维方式.
本教材按照“观察—抽象—探索—猜测—分析和论证” 的数学思维方式编写，通过设立“观察”
“探究”
“动脑筋”
“做一做”
“议一议” 等栏目，加强抽象、分析的环节，同时辅以设问的方式，
让学生在“观察—抽象—探索—猜测—分析和论证” 的活动过程中生动活泼地学习数学，受到数学思
维方式全过程的熏陶.
2. “数与代数” 部分强调建立数学模型和渗透算法，并且把握数学的实质，准确阐述初中数学的
基本概念.
教材高度重视建立数学模型并渗透算法，采取螺旋上升的方式将模型思想贯穿于整个初中代数部
分，同时，为了浅显易懂地渗透算法，我们常采用形象、生动的卡通流程图给出一般的解法步骤.
3. “图形与几何” 部分用变换的观点来研究图形的性质.
考虑到初中阶段是学生处在形象思维逐步向抽象思维转变的过渡阶段，一开始学生很难接受严格
的演绎证明，而通过图形变换来研究图形的性质，在此基础上再进一步证明这些性质，这对学生来讲
既直观、形象，又易于理解和接受. 教材尝试将几何的直观性和思维的严谨性有机地结合起来，用变
换的观点来研究图形的位置关系和度量关系.
4. “统计与概率” 部分强调数据分析观念的培养和“随机性” 的渗透.
教材通过设计有效的统计活动，使学生经历完整的统计过程，包括收集数据、整理数据、描述数
据、分析数据，同时注重在数据分析的过程中渗透随机思想，使学生在这样的统计过程中，不断积累
统计活动经验，发展数据分析观念并加深对统计思想与方法的理解.
5. “综合与实践” 更具可操作性，
“数学与文化” 力求通俗易懂.
“综合与实践” 是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动. 教材每册设置1 个“综合
与实践”，强调问题情境与学生所学的知识以及生活经验相结合，鼓励学生独立思考、合作交流，自
主设计解决问题的方案和步骤，经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学
与生活实际、数学与其他学科、数学各部分内容之间的联系，加深对所学数学内容的理解. 同时，通
过该活动，帮助学生积累数学活动经验，培养学生的应用意识和创新意识.
“数学与文化” 栏目中的内容主要是介绍数学学科知识背景、数学在自然与社会中的应用、数学
发展史的有关材料等，目的是帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，激发学生学习数学的兴
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趣，感受数学家治学的严谨性，欣赏数学的美.
二、使用说明
关于本套教材栏目设置的说明：
1. 正文设置“观察”
“探究”
“动脑筋”
“做一做”
“议一议” 等栏目，加强抽象、分析的环
节，同时辅以设问的方式，让学生在“观察—抽象—探索—猜测—分析和论证” 的活动过程中生动活
泼地学习数学，受到数学思维方式全过程的熏陶.
2. 正文针对易错点、归纳的结论或启发学生思考的问题，增设小贴士.
3. 每章安排“小结与复习” 栏目，包括“回顾”
“本章知识结构”
“注意” 三个环节. 其中“回
顾” 环节以提问的方式引导学生全面回顾、梳理本章所学知识；
“本章知识结构” 以结构图的形式，
呈现本章知识间的内在联系，从整体上把握全章知识全貌；
“注意” 环节突出本章容易忽视的关键
点，同时提示本章隐含出现的一些重要的数学思想和方法.
4. 本书的习题分为练习、习题、复习题三类，每一课时安排一个“练习”，供课内使用；每一大
节安排一个“习题”，习题分A、B 组，与课时对应，便于学生课外巩固提高；每一章安排一个“复
习题”，供复习全章时使用，并按A、B、C 组分类，其中C 组不做要求，供学有余力的学生选择完成.
5. 每册教材安排一个“综合与实践”，视本册内容灵活安排在最恰当的知识点之后.
6. 每册分别安排两个“数学与文化” 和“IT 教室” 栏目，供学有余力或有兴趣的学生自行阅读或
操作.
关于教师教学用书栏目的说明：
本套教师教学用书与《义务教育教科书·数学》
（七~九年级）相对应，供教师教学参考使用. 全
套书分为6 册，每册书按章编排，具体栏目设置如下：
（一）概述
1. “课程内容” 将《课程标准（2011 年版）》关于本章内容的要求进行罗列，便于教师掌握本章
的基本要求.
2. “课时建议” 分别列出本章各节内容教学所需的课时数.
3. “教材说明” 介绍本章的线索和设计思路，本章各小节之间的内在逻辑性和关联.
4. “评价建议” 结合本章内容，提出了在本章学习中评价学生发展的建议.
（二）教学建议
1. 按节描述本节知识在“知识技能”
“数学思考”
“问题解决”
“情感态度” 等方面的目标.
2. 按节描述本节的教学重点和难点.
3. 按节阐述教材编写意图与教学参考建议，便于教师更好地理解、使用教材.
4. “补充例题” 为教师在上课时补充课内例题的需要.
5. “资源拓展” 提供与本节内容相关的学科背景介绍、数学史料等.
6. 按节提供教材练习、习题、复习题的参考答案.
（三）本章相关链接
提供本章相应的拓展资料，供教师教学时参考.
在本书的最后附有与本册教材配套的教学资源光盘，光盘内容包括两部分，第一部分是主编对本
册教材特点的解读，第二部分是教学课件示例，供教师设计课件时参考.
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第1 章
二次函数
Ⅰ.
概
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
述
1
Ⅱ.
教学建议!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5
1.1
二次函
!!!!!!!!!!!!!!!!!
数
6
1.2
二次函数的图象与性
!!!!!!!!!!!
质
9
*1.3
不共线三点确定二次函数的表达
!!!!!!
式
25
1.4
二次函数与一元二次方程的联
!!!!!!!
系
28
1.5
二次函数的应
!!!!!!!!!!!!!!
用
33
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习
39
Ⅲ.
本章相关链接!!!!!!!!!!!!!!!! 46
第2 章圆
Ⅰ.
概
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
述
47
Ⅱ.
教学建议!!!!!!!!!!!!!!!!!! 50
2.1
圆的对称
!!!!!!!!!!!!!!!!
性
51
2.2
圆心角、圆周
!!!!!!!!!!!!!!
角
55
*2.3
垂径定
!!!!!!!!!!!!!!!!!
理
66
2.4
过不共线三点作圆
!!!!!!!!!!!! 69
2.5
直线与圆的位置关
!!!!!!!!!!!!
系
72
2.6
弧长与扇形面
!!!!!!!!!!!!!!
积
85
2.7
正多边形与
!!!!!!!!!!!!!!!
圆
91
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习
95
Ⅲ.
本章相关链接!!!!!!!!!!!!!!! 102
第3 章投影与视图
Ⅰ.
概
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
述
105
Ⅱ.
教学建议!!!!!!!!!!!!!!!!! 108
3.1
投
!!!!!!!!!!!!!!!!!
影
109
目录
1
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3.2
直棱柱、圆锥的侧面展开图
!!!!!!!! 115
3.3
三视
!!!!!!!!!!!!!!!!!
图
119
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!!!
习
128
Ⅲ.
本章相关链接!!!!!!!!!!!!!!! 132
第4 章概
率
Ⅰ.
概
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
述
137
Ⅱ.
教学建议!!!!!!!!!!!!!!!!!! 140
4.1
随机事件与可能
!!!!!!!!!!!!
性
141
4.2
概率及其计
!!!!!!!!!!!!!!
算
146
4.3
用频率估计概
!!!!!!!!!!!!!
率
156
小结与复
!!!!!!!!!!!!!!!!!
习
163
Ⅲ.
本章相关链接!!!!!!!!!!!!!!! 169
目录
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第1 章
二次函数
Ⅰ. 概
述
一、课程内容
１郾通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.
2. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质.
3. 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a （x-h）2+k 的形式，并能由此得到二次函数
图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题.
4. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
5. * 知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.
二、课时建议
1．１
二次函数
1 课时
1．２
二次函数的图象与性质
5 课时
*1．３
不共线三点确定二次函数的表达式
1 课时
1．４
二次函数与一元二次方程的联系
1 课时
1．５
二次函数的应用
1 课时
小结与复习
!!!!!!
２课时
三、教材说明
二次函数是第三学段研究的最重要、内容最丰富的函数，也是今后进一步学习函数的重要基础.
学生在前面已学习了一次函数和反比例函数，对于函数已经有基本的认识. 函数学习大致包括以下内容：
（1）通过具体实例抽象出这种函数；
（2）探索这种函数的图象和性质；
（3）探索这种函数与相应方程等的关系；
（4）利用这种函数解决实际问题.
本章“二次函数” 的学习就是按照这种思路来展开的.
作为本章的主体——
—二次函数，其图象和性质的研究是重点，而二次函数与一元二次方程的联系
以及二次函数的应用既是重点，也是难点.
根据知识间的内在联系，本章的教学内容分为5 个小节，顺序安排如下：
本章教材在编写中力图体现以下几个特点：
1. 凸显函数教学的主线
二次函数来源于实际又服务于实际，教材从实际中抽象出二次函数的概念，又运用二次函数解决
实际问题，这是贯穿于函数学习的主线. 二次函数的图象和性质是函数理论的主体，通过对函数图象
二次函数
二次函数的
图象与性质
不共线三点确定二
次函数的表达式
二次函数与一元
二次方程的联系
二次函数
的应用
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与性质的研究，从数量和图形两个侧面以及相互联系中，显示出函数的本质特征是联系和变化，这
也是函数教学的主线. 因此教材编写紧扣这两条主线来编排内容.
2.重视几何变换思想在代数部分的应用，科学地探究二次函数的图象与性质
通常研究二次函数的图象与性质的方法是：先列表、描点、连线，然后从图象上看出它的单调
性、对称性等性质. 这种做法有科学性的错误. 因为在描点之后，为什么可以用一条光滑（或平滑）曲
线顺次连接各点呢？而不是用锯齿形曲线顺次连接各点呢？这表明写书的作者心目中已经默认了函
数的单调性. 可是又让学生从这样画出的图象上看出二次函数的单调性等，可见其逻辑上是有问题
的. 本教材创造性地提出了一整套的解决方案：在让学生探究画二次函数y=x2 的图象时，在列表，
描点之后，先让学生进行观察和分析：描出的若干个点，成对地关于y 轴对称，并且y 轴右边描出
的几个点，其纵坐标随着横坐标的增大而增大，由此猜想：y=x2 的图象关于y 轴对称；并且y 轴右边
的部分，函数值随自变量取值的增大而增大. 进而指出：数学上可以证明y=x2 的图象的确具有这两种
性质. 因此我们可以用一条光滑曲线把原点和y 轴右边各点顺次连接起来，然后利用对称性，画出图
象在y 轴左边的部分. 这样就得到了y=x2 的图象.
类似地，当a ＞0 时，y=ax2 的图象也具有上述性质，于是今后在画y=ax2 （a＞0）的图象时，可以
先画出图象在y 轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分. 在画右边部分时，只
要“列表、描点、连线” 三个步骤就可以了（因为我们已经知道了y=ax2 （a＞0）的图象的性质）.
接着我们分析了y=- 1
2 x2 的图象（在未画出它之前）与y= 1
2 x2 的图象关于x 轴对称，从而只要把y=
1
2 x2 的图象沿着x轴翻折并将图象“复制” 下来，就得到y=- 1
2 x2 的图象. 进一步我们探究y= 1
2 x2 的
图象E 向右平移1 个单位后得到的图形F 的性质. 由于平移不改变图形的形状和大小，因此图象E
向右平移1 个单位后得到的图形F 的性质，可以由图象E 的性质推导出来. 通过分析得出图形F 是函
数y= 1
2 （x+1）2 的图象，从而得出了函数y= 1
2 （x+1）2 的性质. 其他二次函数图象的画法以及性质的得
出均采取类似的推理方式和呈现方式，详见“教材说明” .
3. 进一步凸显模型思想
模型思想是数学的一种基本的数学思想，而二次函数是刻画现实世界变量之间关系的重要的数
学模型. 本章在编写时高度重视通过设置“问题情境—建立模型—求解验证” 的数学活动过程，让学
生在精心设计的问题解决的过程之中经历数学建模的一般过程，逐步感悟模型思想. 而且，随着学生
经历建立模型、分析模型、求解模型、解释规律等过程，一方面使学生加深对函数的理解；另一方
面使学生逐渐深化对数学模型的理解、把握与构建，也使学生自然地养成从不同的问题情境中找出
同一类的数学结构关系的数学模型的思维习惯和观念意识，从而也就有可能使学生日后在面对不熟
悉的问题情境乃至数学学科以外的现实世界时，像数学家那样进行“模型化” 的处理，这个过程就
是逐步理解和掌握模型思想的过程.
在本章的教学中，要注意以下几点：
1. 重视通过实际问题情境，由具体到抽象地认识二次函数
现实中存在大量的问题涉及具有简单函数关系的变量，其中许多问题中的数量关系是二次的，
这为学习本章内容提供了大量的现实素材. 在本章中，实际问题多次出现，其目的一是引入或解释二
次函数的概念，二是作为函数的应用举例，以体现函数的广泛应用性. 在教学中，教师要积极引导学
生经历“问题情境—建立模型—求解验证” 的数学活动过程，在此过程中使学生理解、掌握有关知
识（二次函数的概念、图象、性质）、技能（从情境中抽象出数量关系，列出函数表达式，借助图象分
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析、解决实际问题等），积累数学活动思想，感悟模型思想的本质，这也有利于学生去发现、提出、分
析、解决问题，培养其创新意识.
2. 重视数形结合的研究方法
本章讨论的对象是二次函数，函数的表示法之一是图象法. 这种表示法将数量关系直观化、形象
化，为数形结合地研究问题提供了载体，这在数学发展中具有重要地位. 在教学中，教师一方面要使
学生了解二次函数图象的意义和画法，分析二次函数图象的性质；另一方面要引导学生学会结合图象，
从数与形两个角度来分析和解决问题，使其体会图象的作用和数形结合研究问题的思想. 事实上，数
形结合是研究每一类函数的基本思路和方法，应当引起教师足够的重视.
3.加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用
此前在“一次函数” 一章介绍了一次函数与一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式的
联系. 本章专设一节，探讨二次函数与一元二次方程的关系. 通过本节的学习，要使学生了解一元二次
方程的根的几何意义（抛物线与x 轴的公共点的横坐标），知道抛物线与x 轴的三种位置关系对应着一元
二次方程的根的三种情况，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 在这里，再一次展示了
函数与方程的联系. 教师应体会这一内容编排的意图，指导学生关注二次函数与一元二次方程的内在
联系，发挥函数对相关内容的统领作用，同时构建学生自己的知识网络.
四、评价建议
1. 本章涉及的二次函数概念、表示方法、性质以及解决问题的方法与前面所学习的函数内容一脉
相承，关注从变化和对应的角度来思考数量之间的变化规律，并且在分析和解决问题的过程中运用了
数形结合、建模等数学思想. 因此在确定本章评价方法时，既要选择纸笔测验，还要考虑运用课堂观
察思考、开展综合与实践活动等方式（例如本章后的“综合与实践” 内容）考查学生对基础知识和基本
技能的熟练掌握程度. 针对纸笔测验内容，应有针对性地着眼于本章核心内容（利用函数图象和性质解
决问题、数学建模及函数应用等等）进行合理的布局，同时还要适当关注对函数与线性运算的内在联系
的认识，为后续学习打好基础.
2. 过程性评价很难在一般的测验中完成，更多地体现在学生学习过程中，体现在学生参与学习活
动和解决问题的过程中. 着眼于本章，教师应该考虑评价学生能从各种具体的数学事实中抽象出数学
概念、结果、方法、思想，同时对抽象出来的数学概念、结果、方法、思想能给出具体、简洁、生动
的实例，还能总结出知识间的联系、脉络、结构，形成整体理解，知晓哪些地方是关键；能够有条理
地表述问题，养成讲道理的习惯，逐步掌握数学推理；在讨论问题时，能主动地、自然地运用数学的
三种语言（符号语言、图形语言、自然语言），针对不同的问题选择适合的语言进行描述等. 教师应针
对学生所表现出来的创造性和闪光点予以鼓励，同时还可以考虑学生的自评与互评形式.
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本章章前图呈现了奥运会跳
水比赛中运动员的跳水轨迹，这
与本章要学习的二次函数的图象
很相似. 事实上，所有的抛物体
的轨迹都是抛物线. 在这里，教
师还可以通过投篮球或掷铅球的
例子，让学生对抛物线这种新学
的曲线加以认识.
针对章前图，我们可以进一
步发现，人体在自由下落过程
中，下落的距离s 随下落时间t
的变化而变化，我们如何从函数
的角度来分析s 与t 之间有什么
关系？从而引入本章新知识.
Ⅱ. 教学建议
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教学目标
１郾通过对实际问题的分析，
体会二次函数的意义．
２郾初步理解二次函数的概
念．
３郾进一步体验建立函数模型
的思想方法．
教学重点、难点
能够表示简单变量之间的二
次函数关系，并体会二次函数的
意义.
第1 节是通过具体实例认识
二次函数. 由于学生已有了有关
一元二次方程知识的储备以及学
过一次函数的意义，因此教材通
过分析实际问题中的数量关系，
列出函数表达式，在此基础上，
设置“说一说” 栏目，分析列出
的函数表达式（①式和②式）的
共同点，即这些函数表达式是自
变量的二次多项式，从而引出二
次函数的定义.
需说明的是，上述过程实质
上渗透了函数建模，但由于本节
课的重点是通过实例认识二次函
数，因此，在教学中要注意控制
难度.
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练习
（1）S=x2；
（2）C=2πr；
（3）S=πr2；
（4）y=2S
x .
其中（1）、（3）式是二次函数，
（2）式是一次函数，（4）式是反比
例函数.
由二次函数的定义可以看出
与前面所学的一次函数、反比例
函数的定义相类似，均是由其解
析表达式的特征来定义的.
任何一个二次函数的解析式
都可以化成ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，
ｃ是常数，ａ≠０）的形式，因此
把ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）叫作二次
函数的一般形式．这里应强调条
件ａ≠０．
从实际问题中抽象出的函
数，其自变量取值范围是有限制
的．一般地，对函数自变量取值
范围的确定，主要从两方面考
虑：一是自变量的取值要使函数
解析式有意义；二是自变量取值
要使实际问题有意义．
补充例题
1. 多边形的对角线条数d 与边数n 有什么关系？
2. 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S 与半径r 之间的关系式.
［1］
［1］一元二次多项式是最常见的一种多项式，它的标准形式为ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），ａ，ｂ，ｃ为常数. 另
单项式是多项式的特例，参见《数学辞海》.
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习题1.1
A组
1. （2）、（3）、（4）、（6）是二次
函数；
（1）是一次函数；
（5）是
反比例函数.
2. y=-2x2+8x.
3. y=x2-180x+8 000，0 < x <
80.
B组
4. Ｓ＝１
２πｒ２＋５ｒ．
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教学目标
1郾会用描点法画二次函数
ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）的图象．
２郾能结合图象直观，初步地
了解函数ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）的性质．
教学重点、难点
二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）的图象
的画法及其函数性质的归纳.
本节内容是全章的重点. 教
材首先从最简单的二次函数ｙ＝ｘ２
开始探究图象画法. 为了描点画出
其图象，先要列出函数的对应值
表. 由函数的表达式可以看出ｘ可
以取任意实数，不妨以0 为中
心，均匀选取一些便于计算的ｘ
的值.
“描点” 环节有两个作用：
一是直观地发现ｙ＝ｘ２的图象具
有关于ｙ轴对称及“右升” 的性
质；二是说明为什么是用光滑曲
线连接各点，而不是剧齿形曲
线，为第三个步骤（连线）打下
基础.
通常研究二次函数的图象与性质的方法是：先列表、描点、连线，然后从图象上看出它的单调
性、对称性等性质. 这种做法有科学性的错误. 因为在描点之后，为什么可以用一条光滑曲线来顺次连
接各点，而不是用锯齿形曲线顺次连接各点呢？这表明作者心中已默认了函数的单调性. 本教材提出
了一套新的解决方案. 在根据函数表达式列表、描点之后，进行观察和分析（小贴士中的问题）：描出
的若干个点，成对关于y 轴对称，y 轴右边描出的几个点，其纵坐标随着横坐标的增大而增大，由此
猜想：ｙ＝ｘ２的图象关于y 轴对称；并且y 轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大. 教材接着
指出：数学上可以证明ｙ＝ｘ２的图象的确具有这两种性质. 因此我们可以用一条光滑的曲线把原点和y
轴右边各点顺次连接起来，然后利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分，这样就得到了ｙ＝ｘ２的图象.
从上述过程可以看出，教材在追求一种科学严谨性. 教师在开展本节课的讲授前需领会上述编写
意图，从而在带领学生“探究” 的过程中按新的画函数图象的做法予以实施.
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“ 观察” 栏目意在对函数
ｙ＝ｘ２的性质予以归纳总结. 除了
画图过程中归纳出的两条性质
（关于ｙ轴对称和“右升” ）外，
还可以从教材图1-4 中看出二次
函数ｙ＝ｘ２的图象是一条曲线，
它的开口向上，对称轴与图象的
交点是原点（0，0），图象在对称轴
左边的部分是“左降”，当x＝0 时，
函数值最小，为0.
在义务教育阶段，对函数性
质的研究是初步的，这包括单调
性（增减性）、奇偶性（对称性暗
含了奇偶性）、最大（小）值. 数
形结合是研究每一类函数的数量
特征以及图象的几何特征的基本
方法，需引起教师足够的重视，
可引导学生自行观察，用自己的
语言进行抽象、归纳，教师最后
用数学语言进行总结.
在“观察” 栏目后，教材总
结归纳了ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）的图象画法步骤，例1 是利用画法进行作图. 教师可引导学生自学例1，按照步
骤画出ｙ＝1
2 ｘ２的图象.
“连线” 环节出现“然后利
用对称性，画出图象在y 轴左边
的部分（把y 轴左边的点和原点
用一条光滑曲线顺次连接起
来）”，这是教材第一次指明如何
画二次函数对称轴左边的部分，
后面叙述从简，教师在后续教学
中，可再次指明这点.
资源拓展
函数图象的画法
列表、描点、连线是画初等函数图象的常用三步骤. 这么做简单易行，便于学生模仿，符合“双
基” 教学，但问题也有. 例如画好图象后，从图上观察函数的性质，难免有一些疑问：只靠眼睛观察
得到的认识是不是准确呢？比如，从有界限的图怎能看出函数值是无界限的呢？描点连线画图的可靠
性如何保证呢？
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练习
1. 图略.
（1）y 轴，
（0，0）；
（2）上；
（3）减小，增大.
2.
共同点：均开口向上，对称
轴为y 轴，对称轴与图象的交点
是（0，0）；
图象均是“左降”
“右升”；
当x＝0 时，函数值最小，为0.
不同点：开口大小不一样.
（对于ｙ＝ａｘ２（ａ＞０），ａ越大，其函
数图象开口越小.）
例1 完整地展示了画二次函
数ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）的图象的全过程.
从画法中可以看出，较以往传统
画法简单：一是“列表” 环节只
需列原点一侧的点，简化计算；
二是由已描点作出关于ｙ轴的对
称点，方便精准作图.
教学目标
1郾会用描点法画二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ<０）的图象．
２郾能结合图象了解ｙ＝ａｘ２（ａ<０）的性质．
教学重点、难点
二次函数ｙ＝ａｘ２（ａ<０）的图象的画法及其函数性质的归纳.
二次函数的图象与性质第2 节课重点探讨ｙ＝ａｘ２（ａ<０）的图象的画法及性质，从而形成对ｙ＝ａｘ２
（ａ≠０）函数图象的整体认识.
由于我们并不知道ｙ＝- 1
2 ｘ２的函数图象是怎样的，因而，我们可以借助已学的ｙ＝1
2 ｘ２的图象，探
究要画的ｙ＝- 1
2 ｘ２与ｙ＝1
2 ｘ２的关系，从而画出ｙ＝- 1
2 ｘ２的图象，画出图象后，再归纳其图象性质.
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通过探究，可以发现ｙ＝- 1
2 ｘ２
与ｙ＝1
2 ｘ２的图象关于x 轴对称，
因此只要把ｙ＝1
2 ｘ２的图象沿着x
轴翻折并将图象“复制” 出来，
就可以得到ｙ＝- 1
2 ｘ２的图象，有
了图象，我们可以数形结合地研
究其性质. 需注意的是：此时并
未介绍函数ｙ＝ａｘ２（ａ<０）的画法，
需研究完性质，并以此做保障，
进而用“列表、描点、连线”
三个步骤画出函数ｙ＝ａｘ２（ａ<０）
的图象.
教师在总结归纳ｙ＝ａｘ２（ａ≠０）
的函数图象的性质时，可以以教
材当中的图1-6 作为参考，归纳
ａ>０及ａ<０时函数图象的性质.
上接10 页
下图是计算机用描点连线方法画出的同一个函数的两个图象．虚线是取10 个点描出的，实线是取
50 个点描出的，两者明显不同．
可见，光靠描点作图看图来研究函数的性质还不够．从解析式出发研究函数的性质，在数学推理
的指导下画图，对函数的性质会了解得更全面、更准确．
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例2 是一道函数图象画法的
示范题，学生需切实掌握.
在例2 后，教师可让学生在
同一直角坐标系中画出二次函数
ｙ＝-ｘ２，ｙ＝－１
2 ｘ２，ｙ＝-2ｘ２的图象，
找出这些函数图象的共同点和不
同点.
二次函数ｙ＝ａｘ２的图象的开
口大小由｜ａ｜确定，｜ａ｜越大，开口
越小；｜ａ｜越小，开口越大．
“抛物线” 一词，源于物体
运动轨迹．
抛物线的主要特征包括：开
口方向、对称轴和顶点坐标．
一般而言，作函数图象，通常先对函数解析式进行讨论，以了解曲线的大致形态，然后列表、描
点、连线. 主要步骤如下：（1）讨论曲线的存在范围；（2）讨论曲线的对称性；（3）求曲线的截距；
（4）曲线的变化情况（如渐近线，函数的周期性、增减性、凹凸性以及极值点、拐点、尖点等）；
（5）列表；（6）描点、连线.
因为初等函数的图象一般是光滑的曲线，所以用描点法画这类函数的图象时要把所描的点用光滑
的曲线连接起来. 但应注意某些曲线在某些点处不光滑，例如有尖点.
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练习
1. 图略.
（1）y 轴，
（0，0）；
（2）下；
（3）增大，减小.
2. 略.
教学目标
１郾运用平移知识，体会二次
函数ｙ＝ａ（ｘ-h）２与ｙ＝ａｘ２的图象的
位置关系．
２郾能结合图象，说出抛物线
ｙ＝ａ（ｘ-h）２的对称轴、顶点坐标
和开口方向．
3. 会用描点法画出ｙ＝ａ（ｘ-h）２
的函数图象.
教学重点、难点
教学重点：能结合图象说出
抛物线ｙ＝ａ（ｘ-h）２的性质，及用
描点法画出其函数图象.
教学难点：运用平移知识，体会二次函数ｙ＝ａ（ｘ-h）２与ｙ＝ａｘ２的图象之间的关系.
关于“抛物线” 的研究始于
16 世纪，其研究的成果应用十
分广泛，教师可适当补充一些史
料，以激发学生的兴趣.
资源拓展
聚光的曲线——
—抛物线
16 世纪的欧洲人认为，炮弹是沿着折线飞行的，他们往往这样认为：炮弹是沿着直线飞出去的，
又沿着直线从天而降，把二者结合在一起，炮弹就是按照折线飞行的. 意大利的科学家伽利略纠正了
人们的错误认识，他指出：炮弹并不是沿着折线飞行，而是沿着一条曲线飞行. 他给这条曲线起名叫
作“抛物线” .
抛物线有一个奇特的性质：它有一根对称轴，一束和对称轴平行的光线照射到抛物线上，这些光
线被全部聚焦到对称轴的一点上，这个点叫作“焦点” . 反过来，如果在抛物线的焦点处放置一个点光
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由探究过程，我们发现二次
函数ｙ＝ａ（ｘ-h）２的图象可以由抛
物线ｙ＝ａｘ２向左（或向右）平移
得到，当h＞０时，向右平移h 个
单位；当h＜０时，向左平移｜h｜
个单位．
源，其发出的光经抛物线的反射，就会变成一束平行光发射出去. 我们把抛物线绕它的对称轴旋转一
周，就会形成一个曲面——
—旋转抛物面，此时，把一颗电珠放到焦点处，电珠发出的光经过旋转抛物
面的反射，就变成一束平行光照射出去，手电筒、探照灯就是根据这个原理制作出来的，而雷达也往
往设计成旋转抛物面，这样能将电磁波发射得更远.
科学家为了研究宇宙中不可见的射线，设计了射电望远镜，他们把射电望远镜的天线做成巨大的
抛物面，以便最大限度地把来自宇宙的电磁聚集到它的焦点处，在这种望远镜的帮助下，科学家相继
发现了类星体、脉冲星等等. 我国于2011 年在贵州的喀斯特地形上开始建设全球最大的单体射电望远
镜，预计2016 年完工.
第3 节课依然是沿续前面几
节课的思路，先探究ｙ＝ａ（ｘ-h）２
的图象是什么形状，再结合图象
研究其性质，最后用“描点法”
画出其函数图象.
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练习
1. （1）对称轴直线x＝5，顶
点坐标（5，0），开口向上；
（2）对称轴直线x ＝-2，
顶点坐标（-2，0），开口向下.
2.
有了函数性质做保障，我
们就可以用“描点法” 画出ｙ＝
ａ（ｘ-h）２的函数图象.
例3 是函数图象画法的示范
题，学生需切实掌握.
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教学目标
１郾了解怎样平移ｙ＝ａ（ｘ-h）２
的图象得到ｙ＝ａ（ｘ-h）２＋k 的图象
（ａ≠０）．
２郾能结合图象，说出抛物线
ｙ＝ａ（ｘ-h）２＋k 的对称轴、顶点坐
标和开口方向．
3. 会用描点法画出ｙ＝ａ（ｘ-h）２＋
k 的函数图象.
教学重点、难点
教学重点：能结合图象说出
抛物线ｙ＝ａ（ｘ-h）２＋k 的性质，用
描点法画出其函数图象.
教学难点：运用平移知识，
体会二次函数ｙ＝ａ（ｘ-h）２＋k 与ｙ＝
ａ（ｘ-h）２的图象之间的关系.
第4 节课仍然沿袭“探究函
数图象形状→性质→画法” 的思
路.
“探究” 过程并不难，教师
可借助多媒体演示来说明道理.
事实上，限于篇幅，教材只探讨
了ａ>0 时的情况，教师应补充
ａ<0 时的平移情况，以此为基
础，归纳出二次函数ｙ＝ａ（ｘ-h）２＋
k 的性质.
一般地，抛物线ｙ＝ａ（ｘ-h）２＋k 与ｙ＝ａｘ２形状相同，位置不同.
（1）当h>0，k>0 时，把抛物线ｙ＝ａｘ２向上平移k 个单位，再向右平移h 个单位就得到抛物线ｙ＝
ａ（ｘ-h）２＋k.
（2）当h>0，k<0 时，把抛物线ｙ＝ａｘ２向下平移｜k｜个单位，再向右平移h 个单位就得到抛物线ｙ＝
ａ（ｘ-h）２＋k.
（3）当h<0，k>0 时，把抛物线ｙ＝ａｘ２向上平移k 个单位，再向左平移｜h｜个单位就得到抛物线ｙ＝
ａ（ｘ-h）２＋k.
（4）当h<0，k<0 时，把抛物线ｙ＝ａｘ２向下平移｜k｜个单位，再向左平移｜h｜个单位就得到抛物线ｙ＝
ａ（ｘ-h）２＋k.
简单地说，就是“左加右减，上加下减” .
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由于平移时，抛物线上所有
点的移动规律都相同，所以研究
抛物线的平移问题，只需研究其
顶点的移动情况即可．在画抛物
线时，也应首先找出顶点坐标和
对称轴．
例4 是函数图象画法的示范
题，学生需切实掌握.
补充例题
1. 抛物线ｙ＝- 1
2 ｘ２经过怎样的变换可以得到抛物线ｙ＝- 1
2 （ｘ+1）２-1？
（把抛物线ｙ＝- 1
2 ｘ２向左平移1 个单位，再向下平移1 个单位，就得到抛物线ｙ＝- 1
2 （ｘ+1）２-1）.
2. 抛物线ｙ＝5ｘ２向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位，得到的抛物线是（
）
A. ｙ＝5（ｘ+2）２+3
B. ｙ＝5（ｘ+2）２-3
C. ｙ＝5（ｘ-2）２+3
D. ｙ＝5（ｘ-2）２-3
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练习
1. （1）对称轴直线x=9，顶
点坐标（9，7），开口向上；
（2）对称轴直线x=-18，顶
点坐标（-18，-13），开口向下.
2. 画图略.
3. ｙ＝- 1
2 （ｘ+3）２+2
＝- 1
2 ｘ２-3ｘ- 5
2 .
ｙ＝ａ（ｘ-h）２＋k 是二次函数非
常重要的解析式之一，它清楚地
体现了二次函数的顶点及函数性
质，凸显了“数” 与“形” 的相互
联系. 教材设置的例5，是一道利用
“顶点式” 并借助待定系数法来确
定二次函数表达式的例题. 本例的
解法具有一定的代表性，教师可适
当补充一些例子，使学生体会确定
二次函数表达式的方法.
教学目标
１郾利用配方法将二次函数
ｙ＝ａｘ２+bｘ+c 化为函数ｙ＝ａ（ｘ-h）２＋
k 的形式.
２郾掌握二次函数ｙ＝ａｘ２+bｘ+c
的图象画法.
3. 通过图象了解二次函数
ｙ＝ａｘ２+bｘ+c 的性质.
4. 会求二次函数ｙ＝ａｘ２+bｘ+c 的最大（小）值.
教学重点、难点
用配方法将二次函数ｙ＝ａｘ２+bｘ+c 化为函数ｙ＝ａ（ｘ-h）２＋k 的形式，画出其函数图象，探究其最大（小）
值性质.
为了画出ｙ＝ａｘ２+bｘ+c（a≠0）的函数图象，以第4 节课为基础，我们可以借助配方法，将二次函数
的一般式ｙ＝ａｘ２+bｘ+c 转化为我们熟悉的ｙ＝ａ（ｘ-h）２＋k 的形式.""在这里，配方法需要学生熟练掌握.
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在画二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋
ｃ的图象时，通常先通过配方，
将其变形为ｙ＝ａｘ＋ｂ
２ａ
ａ
"
２
＋４ａｃ－ｂ２
４ａ
的形式，
再确定顶点
－ｂ
２ａ，４ａｃ－ｂ２
４ａ
ａ
"，然后以顶点开
始取值并列表，最后画出函数图
象.
补充例题
1. 画出函数ｙ＝1
2 ｘ２-6ｘ+21 的图象.
2. 已知二次函数ｙ＝ａｘ２+bｘ+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（
）
Ａ. ａ<０，b>０，c>０
Ｂ. ａ<０，b>０，c<０
Ｃ. ａ<０，b<０，c>０
Ｄ. ａ<０，b<０，c<０
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例6 是求函数最大值的问
题，教师可适当补充求最小值的
问题.
教材对于一般形式的二次函
数ｙ＝ａｘ２+bｘ+c 进行配方，得到当
x＝- b
2a时，函数达到最大（最小）
值4ac-b２
4a
，以后可直接运用该结
论求二次函数的最大（最小）值.
关于二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ
的性质的归纳，主要从抛物线的
开口方向、顶点、对称轴、函数
的增减性（函数的最大或最小
值）等几方面来研究．
补充例题
飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t-1.5t2. 飞机
着陆后滑行多远才能停下来？
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练习
1. （1）对称轴直线x=1，顶点
坐标（1，-2），开口向上，图略；
（2）对称轴直线x=2，顶点
坐标（2，2），开口向下，图略.
2. （1）
3
2 ，- 1
4
!
"；
（2）
（-3，4）.
3. （1）最小值为- 1
4 ；
（2）最大值为4.
习题1.2
A组
1. 画图略.
2. （1）对称轴直线x=0，顶
点坐标（0，3），图略；
（2）对称轴直线x=0，顶点
坐标（0，-4），图略；
（3）对称轴直线x= 3
4 ，顶
点坐标
3
4 ，
!
"
0 ，图略；
（4）对称轴直线x=-2，顶点
坐标（-2，0），图略.
3. （1）对称轴直线x=-3，
顶点坐标（-3，-2），开口向上，
图略；
（2）对称轴直线x=3，顶点
坐标（3，5），开口向上，图略；
（3）对称轴直线x=- 4
5 ，顶
点坐标- 4
5 ，-
!
"
6 ，开口向下，
图略；
（4）对称轴直线x=2，顶点
坐标（2，1），开口向下，图略.
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4. ｙ＝- 1
2 （ｘ-2）２+3
＝- 1
2 ｘ２+2ｘ+1.
5. （1）对称轴直线x=1，顶
点坐标（1，-1），图略；
（2）对称轴直线x=2，顶点
坐标（2，5），图略；
（3）对称轴直线x= 3
2 ，顶
点坐标
3
2 ，
7
4
!
"，图略；
（4）对称轴直线x= 5
2 ，顶
点坐标
5
2 ，
3
4
!
"，图略.
6.
（Ａ）.
7. （1）最小值为-32；
（2）最大值为8 1
4 ；
（3）最小值为-2；
（4）最大值为- 9
2 .
B组
8. （1）Ｑ-a，
1
2 a
!
"
２；
（2）Ｑ点在ｙ＝1
2 ｘ２的图象
上，代入验证即可；
（3）图象关于y 轴对称.
9. （1）上，直线x=- b
2a，
- b
2a，4ac-b2
4a
!
"，- b
2a，- b
2a，- b
2a，小值.
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（2）下，直线x=- b
2a，
- b
2a，4ac-b2
4a
a
"，- b
2a，- b
2a，
- b
2a，大值.
10. 这是一道开放性题，重
在培养学生的读图能力.
从图中可以发现，蔬菜在一
年中的最低价是7 月的1 元/kg，
一年当中的最高价出现在上半
年，1 至7 月，价格随月份的增
长而降低；7 至12 月，价格随
月份的增长而增长.
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教学目标
１．掌握用待定系数法确定二
次函数的表达式．
２．知道满足何种条件的三点
确定一个二次函数．
教学重点、难点
教学重点：用待定系数法确
定一个二次函数的表达式．
教学难点：知道满足何种条
件的三点确定一个二次函数.
会利用待定系数法确定二次
函数的表达式是本次《课程标准
（2011 年版）》新增的选学内容.
待定系数法在前面已学习过，再
加上三元一次方程组的解法（选
学）基础，本课时内容更强调综
合应用. 在这里，重在方法的掌
握，可适度训练，务求落实.
例2 在方法上仍使用待定系数法，但在思维方式上是逆向思维，即强调满足什么条件的三点确定
一个二次函数，这一点，教师在归纳环节应结合具体例子说明.
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通过例2 说明给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定一个二次函数；而
给定共线三点的坐标，则不能确定二次函数. 需注意的是，条件中强调的是三点的横坐标要两两不等，
结论中强调的是二次函数而不是抛物线.
高中将学习如下类型的抛物线，它们满足不共线三点确定一个二次曲线，但存在两个点的横坐标
相等的情形，这并不是二次函数.
（注：这一点教师有所了解即可）
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练习
ｙ＝-ｘ２+2ｘ+2.
习题1.3
A组
1. ｙ＝-ｘ２+ｘ+2.
2. ｙ＝-2ｘ２-12ｘ-13.
当x＝1 时，ｙ＝-27.
3. ｙ＝2
3 ｘ２+ 4
3 ｘ-2.
B组
4. ｙ＝ｘ２
2 - 5
2 ｘ+3.
5. （1）ｙ＝3ｘ２-4ｘ+7；
（2）没有这样一个二次函
数，它的图象经过P，Q，M三
点.
资源拓展
二次函数图象与抛物线的异同
我们知道二次函数的图象是抛物线，更准确地说，它的图象是以y 轴或平行于y 轴的直线为对称
轴的一条抛物线.
抛物线是解析范畴的内容，我们把平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫作抛
物线，其标准方程为ｙ２＝±2pｘ（p>0），x２＝±2py（p>0），对于标准方程x２＝±2py（p>0），其实质等同于
二次函数ｙ＝ａｘ２，即a＝± 1
2p，其他位置的二次函数图象可通过平移坐标轴而得到. 由此可见二次函数的
图象是抛物线的一种情况.
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教学目标
１．经历探索二次函数与一元
二次方程的关系的过程，体会方
程与函数之间的联系. 使学生知
道二次函数的图象与x 轴的三种
位置关系对应着一元二次方程的
根的三种情况．
２．会利用二次函数的图象求
一元二次方程的近似解．
３．运用二次函数与一元二次
方程的关系解决实际问题．
教学重点、难点
教学重点：二次函数与一元
二次方程的关系.
教学难点：运用二次函数与
一元二次方程的关系解决实际问
题．
本节通过“探究” 与“动脑筋” 两个栏目来使学生了解二次函数与一元二次方程的联系．数形结
合是分析问题的基本方法. 由分析可知：若二次函数的图象与x 轴有交点，当自变量取交点的横坐标
时，函数的值为0，而此时对应的一元二次方程的根就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，若二
次函数的图象与x 轴没有交点时，表明当自变量取任何实数值时，函数的值都不会为0，相应的一元
二次方程没有实数根.
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驻>0 圳抛物线与x 轴有两
个交点；
驻＝0 圳抛物线与x 轴有一
个交点；
驻<0 圳抛物线与x 轴没有
交点.
例1的解法涉及图象观察法
和计算器法，重点在前者，其目
的是让学生借助图象体会函数与
方程的联系.
补充例题
已知二次函数ｙ＝ａｘ２+bｘ+c 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象，
由图象可知关于x 的一元二次方程ａｘ２+bｘ+c＝0 的两个根分别是x1＝1.3
和x2＝
.
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对于二次函数ｙ＝ａｘ２+bｘ+c，
当已知函数的某个值y，求对应
的自变量x 的值时，就变成了求
某一个一元二次方程的根的问题.
例2 的教学，除了使用代数
方法求解外，还应从函数图象的
角度来加以分析，如第（1）题，就
是直线y＝2.1 与抛物线有两个交
点；第（2）题，直线y=2.5 与抛物
线有一个交点；第（3）题，直线y=
3 与抛物线没有交点.
补充例题
如图，无论x 为何值，ｙ＝ａｘ２+bｘ+c 恒为正的条件是（
）
Ａ. ａ>０，b2-4ac>０
Ｂ. ａ<０，b2-4ac>０
Ｃ. ａ>０，b2-4ac<０
Ｄ. ａ<０，b2-4ac<０
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练习
1. （1）两个交点；
（2）一个交点；
（3）没有交点.
2. x1≈0.6，x2≈-1.6.
3. （1）4个月，4月末开始
赢利；
（2）10月末；
（3）16万元.
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习题1.4
A组
1. （1）两个交点；
（2）一个交点；
（3）两个交点；
（4）没有交点.
2. x1≈-0.8，x2≈1.8.
3. x1=2，x2=-1.
B组
4. t=±
5
姨
；
5. （1）3.5 m；
（2）由y = - 1
5
x2 + 3.5 得
x2 ＝5（3.5-y），所以水平距离为：
5（3.5-2.25）
摇姨
+
5（3.5-3.05）
摇姨
=
2.5+1.5=4（m）.
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教学目标
１．会分析实际问题中的数量
关系和变化规律，能建立二次函
数模型（包括确定二次函数的表
达式）来解决简单的实际问题.
２．体会数形结合在解决实际
问题中的作用，能运用二次函数
的性质解决最值问题.
3. 经历函数建模的过程，体
会函数建模的方法和思想，进一
步提高学生的应用意识.
教学重点、难点
教学重点：从实际问题中抽
象出数量关系，确定二次函数的
表达式，运用二次函数的性质解
决最值问题，体会数形结合的重
要性.
教学难点：从实际问题中抽
象出二次函数的模型；理解自变
量取值范围的限制对函数最值的
影响.
“动脑筋” 栏目呈现的是一个比较经典的函数建模问题，它需要先建立适当的直角坐标系，建立
函数模型，通过待定系数法确定二次函数的表达式，最后利用二次函数的性质解决实际问题（其中需
根据实际问题的背景确定自变量的取值范围）. 教师可结合该例清晰地展示函数建模的步骤，让学生体
会函数建模的方法，感受数学应用的价值.
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补充例题
如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为a，点P，Q，R，S 分别在AB，BC，CD，
DA 上，且BQ=2AP，CR=3AP，DS=4AP. 问AP 为多少时，四边形PQRS 的
面积有最小值？最小值是多少？
在求二次函数何时达到最大
（小）值时，需要注意顶点的横坐
标是否在实际问题中ｘ的允许值
范围之内．
这个“动脑筋” 栏目中的问
题不同于上一个栏目，它不需要
数形结合地构建函数模型，而是
直接分析问题中蕴含的数量关
系，并根据面积公式确定函数的
表达式. 随后，运用配方法，并
利用二次函数的性质求得问题的
最大值. 要注意提示学生思考
x= 4
3 在不在自变量x 的取值范
围之内.
上述数学建模体现了实际问
题→数学问题→数学结果→实际
结果这样一个过程.
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练习
1. 为简便起见，可以以悬索
桥的中心点为原点，抛物线的对
称轴为y 轴建立平面直角坐标
系. 如图：
这个二次函数的表达式是
ｙ＝
ｘ２
1 350 ，-450≤ｘ≤450.
2. 设剪断后的彩带其中一段长为ｘcm，则分别围成的两个正方形的面积和为
ｙ＝（
x
4 ）
2
+ （
72-x
4 ）
2
= x2
8 -9ｘ+324，0<ｘ<72.
当x=36 cm 时，y取最小值162 cm2.
上一个“动脑筋” 栏目中的
问题与这个例题均是求最值的问
题，教材的解答过程是用配方法
来求，这是强调配方法是学生必
须掌握的一种基本方法."实际上，
待学生熟练掌握配方法求最值
后，也可采用二次函数的顶点公
式来求最大（小）值.
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习题1.5
A组
1. 为简便起见，可以点A
为原点，BC 所在直线为x 轴，
AO 所在直线为y 轴建立直角坐
标系. 这个二次函数的表达式是：
ｙ＝
1
2.25 ｘ２-1，-1.5≤x≤1.5.
当x=0.5 时，y=- 8
9 ，即DE
的高度为8
9 m.
2. （1）ｙ＝-ｘ２+18ｘ（0<x<18）；
（2）当x=9 时，y=81，即最
大面积为81 m2.
3. （1）每天获取的利润为
（-10x+700）（x-10）＝-10（x-40）2+
9 000，x>0，当x=40 时，最大
利润为9 000 元；
（2）当0<x<40 时，利润随
x 的增大而增大，因此，当x=35
时，最大利润为8 750 元.
B组
4. （1）y=2x2-4x+4，0<x<2；
（2）有，当x=1 时，ymin＝2.
注：本题应当先证边上四个
三角形全等，再求y关于x的函数
表达式.
5. 本题是一道开放题，直角
坐标系的建法不同，则所得函数的表达式不同. 为方便起见，我们以起跳后达到的最高处为原点，抛
物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，对应的抛物线的表达式为y=-x2，-1≤x≤
11
姨
.
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这篇材料介绍了如何使用计
算机软件“几何画板” 画二次函
数的图象. 用计算机画二次函数
图象的基本原理与描点法画二次
函数图象是一致的，只是它的取
值、计算、描点和连线由计算机
完成，描点数不受人工描点的限
制，因而用计算机画图比人工画
图要快速准确.
这里使用的几何画板软件，
是一种简单易用的具备函数画图
功能的软件，输入一般的初等函
数的解析式，计算机就能自动画
出相应的图象. 有条件的学校可
以尝试让学生亲自动手操作，学
习使用几何画板的基本功能，对
后续学习函数以及其他相关内
容，构建数学实验探究平台，培
养学生动手操作与探究创新能力
是大有好处的.
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二次函数是第三学段研究的
最重要、内容最丰富的函数，本
章函数学习沿袭以往的思路：
（1）通过具体实例抽象出这
种函数；
（2）探索这种函数的图象和
性质；
（3）探索这种函数与相应方
程等的关系；
（4）利用这种函数解决实际
问题.
按照这个思路，从实际中抽
象出二次函数的概念，进而运用
二次函数解决实际问题，这是贯
穿于函数学习的主线；而对函数
图象与性质的研究，也是函数学
习的主线. 因此，“小结与复习”
仍要按照这几条主线，结合实际
问题来帮助学生梳理本章所学的
主要知识点，总结出知识间的联
系、脉络，知晓哪些地方是关键，
以形成整体理解，这将对今后进
一步学习函数打下重要的基础.
同时，通过复习，应使学生
进一步体会本章内容中蕴含的丰
富的数学思想与方法，如函数建
模、几何变换在函数中的应用
（运用轴反射和平移）、数形结
合、函数与方程的转化、分类、
配方法以及待定系数法等.
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抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的特征与
系数ａ，ｂ，ｃ的关系：（１）ａ决定
抛物线的开口方向：ａ＞０，开口
向上；ａ＜０，开口向下．（２）ａ，
ｂ决定对称轴的位置：ａ，ｂ同
号，对称轴在ｙ轴左侧；ａ，ｂ
异号，对称轴在ｙ轴右侧．（３）
ｃ决定抛物线与ｙ轴交点的位
置：ｃ＞０，图象与ｙ轴的交点在ｙ
轴正半轴上；ｃ＝０，图象与ｙ轴
的交点是原点；ｃ＜０，图象与ｙ
轴的交点在ｙ轴负半轴上．（４）
抛物线与ｘ轴的交点个数由Δ＝
ｂ２－４ａｃ确定．
教师可结合右侧的图让学生
说一说将二次函数沿ｘ轴翻折改
变了什么，而什么没变；将二次
函数平移改变了什么，而什么没
变.
同时，可结合实例说明二次
函数的平移规律：即“左加右
减、上加下减” .
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复习题1
A组
1. ｙ＝2ｘ２-8ｘ+16，0<x<4.
2. （1）对称轴为y 轴，顶
点坐标（0，0），开口向下；
（2）对称轴为直线x＝2，顶
点坐标（2，0），开口向上；
（3）对称轴为直线x＝3，顶
点坐标（3，2），开口向下；
（4）对称轴为直线x＝7
2 ，
顶点坐标
7
2 ，
，
"
2 ，开口向上；
（5）对称轴为直线x＝7
2 ，
顶点坐标
7
2 ，
5
4
，
"，开口向下；
（6）对称轴为直线x＝5，顶
点坐标（5，-4），开口向上.
3. （1）ｙ＝3（ｘ+2）２，ｙ＝3（ｘ+
2）２+1；
（2）ｙ＝- 1
3 ｘ２，ｙ＝- 1
3 （ｘ-5）２，
ｙ＝- 1
3 （ｘ-5）２-2.
4. ｙ＝1
5 （ｘ+3）２+ 1
2
＝1
5 ｘ２+ 6
5 ｘ+23
10，
与y轴的交点坐标为0，23
10
，
".
5. （1）ｙ＝- ｘ- 3
2
，
"
２+25
4 ，最大值为25
4 ；
（2）ｙ＝1
4 （ｘ-4）２-3，最小值为-3.
*6. ｙ＝1
2 ｘ２- 1
2 ｘ-1，顶点坐标为
1
2 ，- 9
8
，
".
7. x1≈0.6，x2≈-4.6.
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8. （1）当t＝2 s 时，小球达
到最高点，此时离地面20 m；
（2）当t＝4 s 时，小球落到
地上.
9. （1）S＝ｘ２+20ｘ，0<x<80；
（2）x＝40 cm.
B组
10. （1）ｙ＝ｘ- 5
2
2
"
２- 9
4 ；
（2）
（1，0），（4，0）；
（3）当x<1或x>4时，y>0；
当x＝1或x＝4时，y＝0；当1<x<4
时，y<0.
11. b２-4ac>0，有两个不同
的交点；
b２-4ac＝0，有两个重合的交
点；
b２-4ac<0，没有交点.
（1）有两个不同的交点；
（2）有两个重合的交点；
（3）没有交点.
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12. （1）ｙ＝- 1
60ｘ２+ 1
5 ｘ+2.
（2）当x =9 时，y =2.45 >
2.43，因此球能越过球网；
当x=18 时，y= 1
5 >0，因此
球会出界.
13. （1）S＝t2-6t+72，0<t≤
6；
（2）当t=3 时，S 最小，为
63.
Ｃ组
1４. 根据题意可得
xA , B ＝±
2
姨
2
+2, yp=- 1
2 ,
∴S△PAB＝1
2 × 1
2 ×
2
姨
＝
2
姨
4
.
1５. （1）y1= 2
5 ｘ，y2=-0.2ｘ２+
1.6ｘ；
（2）设Ⅰ型投入ｘ万元，则
Ⅱ型投入（10-ｘ）万元，补贴金
额为y 万元. 因此
ｙ＝2
5 ｘ+［-0.2（10-ｘ）２+1.6（10-ｘ）］
＝-0.2ｘ２+2.8ｘ-4，
当x＝7 时，y＝5.8，即最大
补贴金额为5.8 万元.
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一、教学目标
1. 经历“问题解决” 的全过
程，体会“函数建模” 的方法和
思想．
2．能通过建立函数模型解决
简单的实际问题，感受数学应用
的价值.
二、教学建议
１．本课题在课前可让学生预
习，思考如何将实际问题数学
化，怎样建立直角坐标系，怎样
建立二次函数模型．在教学中，
可按照“选题（问题导入）—开题
（探寻路径）—做题（实践操作）—
结题（交流评价）” 这样四个环
节进行.
“微科研” 活动，使得
学生在“微科研” 中提升问题意
识、应用意识，并培养其创新精
神.
2. 让学生以小组合作形式经
历“数学建模” 过程，体会函数
建模的思想与方法. 同时，要反
思活动过程，将研究过程和结果
形成报告或小论文，并进行班级
交流，这能进一步促使学生获得
数学活动的经验.
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Ⅲ. 本章相关链接
用图解一元二次方程
一元二次方程ax2+bx+c=0 的求解可转化为二次函数y=ax2+bx+c 的图象与横轴的交点问
题. 抛物线与横轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解.
也就是说，我们只要把二次函数的图象画出来，就可以得到一元二次方程的解了. 可问
题是，在传统作图工具中，只有直尺、圆规，没有作一元二次函数图象的作图工具. 即使使
用描点法，作出来的函数图象也未必精确. 对于现代人而言，我们可以采用计算机来作图，
但假如没有计算机呢？下面我们就来介绍一种古代数学家采用的图解法求一元二次方程解的
方法.
作法如下：如图，作A（0，1），B - b
a ，c
a
a
"，取AB 中点C，以点C 为圆心，AC 为半径
画圆，此时圆与横轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+ bx + c = 0 的解.
证明：因为D 0，c
a
a
"，设E（x1，0），F（x2，0）为圆与横轴的交点，
则x1 + x2 = 2xc =xa + xb = - b
a ，x1x2 = OE×OF = OA×OD = c
a .
这种作图方式看似简单，但涉及的知识点不少，包括韦达定理、垂径定理、圆幂定理.
我们不得不佩服前辈们在作图工具极其简单的条件下，能够发挥聪明才智，利用直尺和圆
规，求出方程的准确解. 更为神奇的是，当二次函数与横轴不相交，将此种作图法进一步推
广，也可以求出方程的复根.
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第2 章
圆
Ⅰ. 概
述
一、课程内容
1. 理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置
关系.
2. 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于
它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接
四边形的对角互补.
*3. 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
4. 知道三角形的内心和外心.
5. 了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过
圆上一点画圆的切线.
*6. 探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
7. 会计算圆的弧长、扇形的面积.
8. 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
9. 探索圆、正多边形的轴对称性质及中心对称性质.
10. 会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的
内接正方形和正六边形.
11. 通过实例体会反证法的含义.
二、课时建议
2郾１
圆的对称性
1 课时
2．２
圆心角、圆周角
3 课时
*2郾３
垂径定理
1 课时
2郾４
过不共线三点作圆
1 课时
2郾５
直线与圆的位置关系
5 课时
2郾6
弧长与扇形面积
2 课时
2郾7
正多边形与圆
1 课时
小结与复习
２课时
三、教材说明
圆是常见的一类几何图形，也是平面几何中的基本图形，它应用广泛，因此，也是第三学段“图形与
几何” 的主要研究对象. 本章是在小学已经学习过的圆的一些知识的基础上，对圆作进一步较系统的学习和
研究.
本章从生活实例出发，介绍圆的概念及点与圆的位置关系，接着探究圆的对称性，利用圆的对称
性（轴对称及旋转对称性）来推导圆的诸多性质：圆的弧、弦、圆心角的关系定理，证明圆周角定理及
其推论；证明垂径定理及切线长定理（选学内容）；推导圆的弧长公式和扇形面积公式；推导正多边形
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与圆的关系. 其间，还穿插介绍了直线与圆的位置关系（包括切线的性质和判定），从而完成对圆的性
质较为完整的认识.
本章涉及的概念多，性质多，学习的重点是圆的诸多性质及其应用，而这些性质的推导和证明是
本章学习的难点. 特别是对于选学内容（垂径定理及切线长定理），一方面可根据学情，利用这些知识
点帮助学生提高逻辑思维能力和分析解决问题的能力，另一方面要把握好度，不列入考试范围.
根据知识间内在的逻辑性，本章的教学内容分为7 个小节，顺序安排如下：
在本章小结与复习时，教师可结合“本章知识结构” 图，帮助学生在头脑中建立起本章的知识结
构，理解知识之间的逻辑关联，以完成对圆的系统认识.
本章教材在编写中力图体现以下几个特点：
1. 以“圆的对称性” 为主线贯穿始终，科学地探究圆的诸多性质
圆是一种具有独特对称性的平面几何图形：它不仅是轴对称图形、中心对称图形，而且圆绕圆心
旋转任意一个角度都能与原来的图形重合（旋转对称性）. 本章在编写过程中，注意以“圆的对称性”
为主线来展开对圆的性质的探究.
具体来说，教材首先从图片入手，引入圆的定义，接着借助圆规介绍了圆的另一个定义：圆也可
以看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形. 这个定义为圆具有旋转对称性埋下了伏
笔. 教材设置“探究” 栏目，让学生在硬纸板和薄的白纸上分别画一个圆，它们的半径相等，把白纸
放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合，让学生观察两个圆是否重合. 然后用一根大头针穿过这两个
圆的圆心，让硬纸板保持不动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸上的圆是否仍与硬纸
板上的圆重合. 并提问：这体现了圆具有什么样的性质？接着指出：由于圆是由一个动点绕一个定点
旋转一周所形成的图形（定义），因此圆具有旋转对称性，即圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合.
显然，圆是中心对称图形. 接着，将任意画下的一个圆，使其沿圆的任意一条直径对折，发现圆的两
部分重合，由此得到圆是轴对称图形.
有了圆的对称性做基础，我们利用圆具有旋转对称性证明了：在同一个圆中，如果圆心角相等，那
么它们所对的弧相等，所对的弦也相等. 利用圆的轴对称性，我们可以探究得出垂径定理和切线长定理.
在推导弧长和扇形面积时，课本利用圆的旋转对称性推出计算公式. 最后一节，课本利用圆的旋
转对称性等分圆来画出正n 边形，同时借助圆的轴对称性分析正多边形与圆的关系，最后利用圆的旋
转对称性分析得出正n 边形（n 为偶数）是中心对称图形.
教师在教学中，要理解编者的意图，强调用变换的观点来研究图形的位置关系和度量关系. 在探
索图形的性质时，合理地运用图形变换来说理，对于培养学生的几何直观和思维的严谨是有好处的，
在教学时应予以重视.
2. 重视图形性质的探索，突出直观操作（合情推理）和证明（演绎推理）的有机结合
本章要研究的图形性质较多，在图形性质的探索过程中，课本一如既往地重视直观操作和证明的
有机结合. 例如，教材通过折纸、旋转实验操作等方法来探索图形的性质（实质渗透了图形变换的手
法），用合情推理来获得猜想，然后对猜想进行证明. 强调合情推理与演绎推理相结合的做法，既是培
养学生科学的数学思维方式的良好方式，同时也有利于实现增强学生发现和提出问题的能力、分析和
解决问题的能力的课标要求.
在教学本章的过程中，需注意以下几点：
1. 要重视数学思想方法的渗透
圆的对称性
圆心角、圆周角
* 垂径定理
过不共线三点作圆
直线与圆的位置关系
正多边形与圆
弧长与扇形面积
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本章涉及的数学思想方法较多，如诸多性质的推导运用了合情推理和演绎推理，这其中渗透抽象、
推理等数学基本思想；教学点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，比较典型地体现了“形” 与“数” 的
内在联系，蕴含着数形结合的数学思想方法；还比如圆周角定理的证明，通过分类讨论，把一般问题转
化为特殊情况来证明；讲“过不共线三点作圆” 分别讨论了过一点、过两点、过不共线三点作圆，能作多
少个，在渗透分类思想的同时达到教学目的；等等. 在教学中，教师应把握这些数学知识所蕴含的教育
价值，把握数学内容所蕴含的数学思想和教育理念，在实际教学中把这些重要的思想落实在具体的教学中.
2. 要重视推理论证能力的培养
本章实际上是初中阶段推理证明要求的最后一章，在内容呈现上不仅是圆的问题，也有很多是和
前面所学的几何问题的结合，具有一定的综合性；在教学上也处于推理论证方法的巩固和提高阶段.对
此，教师一方面要多帮助学生复习前面所学的几何知识，强调学生熟练地掌握用综合法证明命题，进
一步提高其推理论证能力；另一方面，教师可结合实例适当归纳图形性质及其证明的依据和要求，总
结证明的思路、途径、方法，以落实《课程标准（2011 年版）》所提出的教育目标.
反证法在八上“三角形” 中的“命题与证明” 一节就介绍过，反证法是一种间接证法，它在思维
方式上与直接证法有所不同，而真正掌握它需要一个长期的过程，并且《课程标准》对此提出要求：
借助相当数量的实例感悟反证法的思想，在适当的时机结合课程内容呈现反证法及其步骤（作出反
设→推出矛盾→肯定结论）. 为此，本章在“圆的切线垂直于过切点的半径” 的证明时应用了反证法，
让学生结合实例进一步体会反证法的思想.值得注意的是，教师要把握好反证法的要求，要求学生体会
其含义，不要求学生独立运用反证法证明命题，因此，教材后没有安排相应的习题.
3. 重视信息技术的应用
本章许多圆的性质的探索借助实验操作、图形变换来探究，例如探索圆的对称性、探索点（或直
线）与圆的位置关系等. 在这一过程中，应充分重视利用信息技术来辅助教学. 许多软件具有测量的功
能，可以很方便地让图形动起来，这将有利于学生在图形运动变化的过程中去发现其中变与不变的关
系（例如探究圆的旋转对称性，探究弧、弦、圆心角之间的关系等），从而为推理论证找到思路，丰富
探索图形性质的多种方法.
四、评价建议
1. 恰当评价学生的基础知识和基本技能
本章内容基本属于“双基” 范畴，因此除了传统纸笔测验考核学生是否对重要的性质和判定定理
理解和灵活运用外，还要采取多样的考核形式，如创造交流、讨论的机会，考查学生对知识的掌握程
度，对演绎推理的理解，对所学知识的归纳概括能力，以形成系统的知识体系等.
在实施笔试测验时，题型难度不要超过教材的水平，应尽可能使所有的学生能主动参与. 值得指
出的是：在实施笔试测验时，要认真落实《课程标准（2011 年版）》提出的要求，超出范围的定理不
作为证明命题的依据，不列入考查范围.
2. 关注对学生学习过程的评价
（1）在教学中，应重点关注学生经历数学知识的形成过程，例如圆的诸多性质定理和判定定理的
得出渗透了观察—抽象—探索—分析和论证这一思维过程，要关注学生在这一探索过程中所表现出的
思维水平和闪光点，关注学生参与活动过程的积极性和对数学基本思想的领悟，鼓励学生联系已学的
知识作出思考判断，对于学生从不同角度来思考问题，应给予充分重视和鼓励.
（2）本章的概念多、定理多，教师在引导学生探索并理解数学本质的同时，要关注学生思维能力的
提升，可以要求学生自我设计“学习小结”，用合适的形式归纳学到的知识和方法、学习中的收获、遇到的
问题等等，教师可通过学习小结对学生的学习情况进行评价，也可以组织学生将自己的小结在班级展示
交流，通过这种形式总结自己的进步，反思自己的不足以及需要改进的地方，汲取他人值得借鉴的经验.
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本章的章前图是摩天轮的照
片，通过对章前图的观察，让学
生了解本章将要学习的主要内
容.
由于圆是学生熟悉的、生活
中常见的几何图形，因此在开启
本章教学前，可让学生多举出一
些生活中的圆形案例，回忆圆的
知识，让学生思考它的特征，为
后面给出圆的定义做准备. 同时，
让其感受圆的应用广泛，圆中蕴
含的数学美，以提高学生的学习
兴趣.
Ⅱ. 教学建议
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教学目标
１．理解圆、弧、弦的概念，
了解等圆、等弧的概念．
２．探索并了解点与圆的位置
关系．
３．探索圆的中心对称性质和
轴对称性质.
教学重点、难点
教学重点：理解圆的概念、
点与圆的位置关系、圆的中心对
称性质和轴对称性质.
教学难点：探索并理解圆的
中心对称性质（含旋转对称性质）
以及轴对称性质.
本节主要介绍圆的定义和相
关概念以及圆的对称性，这是今
后进一步学习圆的相关内容的基
础.
教材首先举出了一些生活中
常见的圆的形象，并引出圆的定
义. 这是从集合的角度对圆下定
义. 关于满足某种条件的点的集
合的说法，本套教材在介绍角平
分线、线段和垂直平分线的性质
时有所渗透，在这里，教材仍采
取进一步渗透的做法.
接着，教材结合圆规画图的
过程介绍了圆的另一种描述性定义. 上述两种定义是从静态和动态两个角度给出了圆的概念.
由圆的定义可知，圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径. 实际上，平面上的一个圆，把平面上
的点分成三类：圆上的点、圆内的点和圆外的点，教师可结合圆的定义指明“圆上的点” .
“圆” 这个概念，包含两层意思．一是圆周，二是圆面．如本节中，把圆看成是一个动点绕一个定
点旋转一周所形成的图形，显然这里的“圆” 是指“圆周”．但在高中立体几何中，又说圆柱、圆锥、
圆台的底面都是圆，这里的“圆” 指的却是“圆面”．关于“圆” 何时取何意义，应视具体情形而定．
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点与圆的位置关系是由圆的
定义所决定的. 它的内容包括三
种情况及其正反两个方面.
点与圆的位置关系可转化为
点到圆心的距离与半径的数量关
系，反过来，也可通过这种数量
关系判断点与圆的位置关系．这
样一来，点与圆的位置关系可以
和点到圆心的距离的数量关系建
立一一对应. 教材给出了双推符
号（即等价符号）来表示这种对
应关系，这应让学生掌握.
本节课与圆有关的概念比较
多，在教学时要引导学生分析它
们之间的区别与联系. 如直径和
弦——
—直径是弦，是经过圆心的
特殊弦，但弦不一定是直径；又
如弧与优弧、劣弧——
—优弧、劣
弧都是弧，但优弧大于半圆，劣
弧小于关圆.
圆有许多重要性质，这其中
最主要的是圆的对称性（旋转不
变性和轴对称）. 教材设置“探
究” 栏目，重点研究圆的旋转不
变性，即圆绕圆心旋转任意角
度，都能与自身重合（又称旋转对
称性），从而圆也是中心对称图
形. 同时，有这些性质做基础，
后续内容将从圆的旋转不变性出
发，推导出弧、弦、圆心角之间
的相等关系和弧长、面积公式.
教学中，可采用多媒体或模型进
行演示，使学生了解圆的旋转对
称性的确切含义.
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教材设置“说一说” 栏目，
强调通过学生动手实验——
—折叠
的方法，让学生发现圆是一种特
殊的轴对称图形，应当注意的
是，学生可能会把圆的对称轴说
成是每一条直径，教学中要强调
对称轴是直线而不是线段.
把车轮设计成圆形，车轮边
缘上各点到车轮中心（圆心）的距
离都等于车轮的半径，当车轮在
平面上滚动时，车轮中心与平面
的距离保持不变，因此，当车辆
在平坦的路上行驶时，坐车的人
会感觉到平稳，这就是把车轮设
计成圆形的道理.
从物理的角度考虑：滚动摩
擦阻力小于滑动摩擦阻力.
资源拓展
大家也许见过这样一道题：设有数量足够多的硬币，让两个人轮流在圆形桌面上摆硬币，每次摆
一个，不能互相重叠，也不能有一部分落在桌面的边缘外. 这样经过多次以后，谁先摆不下硬币就算
准输. 问先摆的人有何办法使对方一定输？
先摆的人为什么能稳操胜券呢？就因为圆形桌面是中心对称图形！
“先手” 只要把第一个硬币摆
在桌面的中心，以后不管“后手” 把硬币摆在哪里，
“先手” 总可以把相同的硬币摆在与“后手” 所
摆硬币（关于中心）对称的地方. 这样，只要“后手” 有地方摆得下，
“先手” 也总可以摆得下，因
此“后手” 准输.
这里，就是利用了圆的中心对称性质.
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练习
1. （1）对；
（2）不对，弦是连接圆上任
意两点的线段，包括直径，但不
仅限于直径；
（3）对；
（4）对.
2. （1）点B 在圆内；
（2）点B 在圆上；
（3）点B 在圆外.
习题2.1
A组
1. AB 是直径；OA，OB，
OC 是半径；AB，DC 是弦.
2. （1）对；
（2）对；
（3）错，过圆心的线段的两
个端点不一定在圆上；
（4）对；
（5）错.
3. C 在圆上，D 在圆内，E
在圆外.
B组
4. 由于矩形的对角线相等且
互相平分，因此矩形的四个顶点
在以对角线的交点为圆心，以对
角线的1
2 长为半径的圆上.
54
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教学目标
１．理解圆心角的概念．
2．掌握圆心角、弧、弦之间
的关系．
3. 体验利用旋转变换来研究
圆的性质的思想方法.
教学重点、难点
教学重点：圆心角定理.
教学难点：根据圆的旋转不
变性推导出圆心角定理.
教材在给出圆心角概念的基
础上，设置“动脑筋” 栏目，让
学生探究在同圆中，已知两个圆
心角相等，还有哪些等量关系.
55
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在说理过程中，要明确每一
步的理论依据. 例如由点A 与点
C 重合，点B 与点D 重合，得
到A
!
B =C
!
D ，根据的是圆的旋转
不变性；弦AB 与CD 重合，根
据的是两点确定一条直线. 在这
里应让学生感受旋转变换在说理
过程中带来的方便，但不要求学
生运用旋转变换来写出证明过
程. 教学中要把握好这个要求.
注意圆心角定理不能丢掉
“同圆或等圆” 这个前提.
在同圆或等圆中，如果两个
圆心角、两条劣（优）弧、两条
弦中有一组量相等，那么它们所
对应的其余各组量分别相等．可
简记为：圆心角相等圳劣（优）
弧相等圳弦相等．
在同一个圆中，如果弦相
等，那么它们所对的圆心角相
等．但因一条非直径的弦所对的
弧有劣弧与优弧之分，故应分别
说明．即在同一个圆中，如果弦
相等，那么它们所对的劣弧（或优
弧）相等．不要笼统地说成“等弦
对等弧”．
例1 是圆心角定理的应用.
补充例题
如图，AB，CD 是⊙Ｏ的两条弦.
（1）如果AB=CD，那么
，
；
（２）如果A
!
B =C
!
D ，那么
，
；
（3）如果∠AOB=∠COD，那么
，
；
（4）如果AB=CD，OE⊥AB 于Ｅ，ＯＦ⊥ＣＤ于Ｆ，ＯＥ与ＯＦ相等吗？为什么？
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练习
1. ∠COD＝4０°.
2. ∠COE＝8０°.
教学目标
１．理解圆周角的概念及圆周
角与它所对圆心角之间的关系．
２．经历探索圆周角与圆心角
之间关系的过程，加深对分类讨
论和由特殊到一般的转化等数学
思想方法的理解．
３．会运用圆周角定理及其推
论解决简单的几何问题.
教学重点、难点
教学重点：圆周角定理.
教学难点：圆周角定理的证
明过程（分类讨论，由特殊到一般
的转化）.
圆周角不像圆心角那样容易识别，教学中应强调作为圆周角的两个必须具备的条件：一是一个角
的顶点在圆上；二是角的两边必须与圆相交，这里的“相交” 是指角边与圆除了顶点外还有公共点.
教学中也可以举一些反例来说明.
补充例题
如图，在⊙Ｏ中，弦AB=CD，求证：AD=BC.
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“探究” 栏目注重探索与证
明的有机结合. 其中探索环节让
学生通过度量同弧所对的圆周角
与圆心角的度数来发现它们之间
的规律. 教师可借助几何软件的
测量功能，让学生在角的动态变
化中发现这种规律.
圆周角定理的证明，分三种
情况进行讨论. 这对学生来说是
一个难点，在教学中应加强引导
和分析. 首先通过画图和观察，
使学生明确，以圆上任意一点为
顶点的圆周角虽然有无数多个，
但它们与圆心的位置关系，归纳
起来只有三种情况. 在这三种情
况中，第一种情况是特殊情况，
是证明的基础，其他两种情况都
可以转化为第一种情况来解决，
转化的条件是添加以角的顶点为
端点的直径为辅助线，这里渗透
了分类讨论和特殊到一般的思想
方法，应当让学生注意和掌握.
58
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圆周角定理的证明实际上使
用了完全归纳法. 完全归纳法是
把要研究的某类事物的所有情
况，逐一加以讨论，再概括得出
一般结论，有时也可以把所有情
况分成几类，对每类加以讨论，
再概括出一般情况.
“动脑筋” 栏目讨论了圆周
角定理的一个重要推论."这个结
论在今后的证明和计算中经常要
用到，需让学生理解和掌握.
补充例题
1. 如图，点A，B，C，D 在同一个圆上，四边形ABCD
的对角线把4 个内角分成8 个角，这些角中哪些是相等的角？
2. 如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点O，求证：
△ADO∽△CBO.
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练习
1. （1）、（2）是圆周角；
（3）、（4）不是圆周角.
因为（3）、
（4）中的角不
满足圆周角定义，角的顶点不在
圆上.
2. ∵∠CAB 与∠CDB 所对的
弧为B
B
C ，
∴∠CDB=∠CAB=25°.
同理，∠ACD=∠ABD=95°.
3. ∵AC∥OB，∠OBA=25°，
∴∠BAC=∠OBA=25°.
∵圆心角∠BOC 与圆周角
∠BAC 所对的弧为B
B
C ，
∴∠BOC=2∠BAC=50°.
例2 是圆周角定理的应用，
教师可根据学情适当补充一些例
子.
60
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本节课重点讨论圆周角定理
的两个推论.
这个推论，为在圆中确定直
角，构成垂直关系，创造了条
件. 在今后的证明和计算中经常
用到，是圆的一条很重要的性
质，需学生理解和掌握.
补充例题
如图，⊙Ｏ的直径AB=10 cm，弦AC 为6 cm，∠ACB 的平分线交⊙Ｏ于
D，求BC，AD，BD 的长.
61
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“接” 是说明四边形的顶点
与圆的关系.
“内”
“外” 是相
对的概念，是以一个图形为准，
说另一个图形是在它的里面或外
面.
这个结论是圆周角定理的一
个推论.
补充例题
如图，四边形ABCD 内接于⊙Ｏ，且AB∥DC，AD∥BC.
求证：四边形ABCD 是矩形.
62
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练习
1. 连接CO，DO.
∵AC=AD，
∴∠AOC=∠AOD.
∴∠COB=∠DOB.
∴BC=BD.
2. 将直角三角板的直角顶点
放在圆上，则三角板的两边与圆
的交点的连线是圆的直径，直径
的中点即为圆心.
理由是“90°的圆周角所对
的弦是直径” .
3. ∵∠DCB+∠DCE=180°，
∴∠DCB=180°-∠DCE
=180°-85°=95°.
又∵∠A+∠DCB=180°，
∴∠A=85°.
这道题的结论是：圆内接四
边形的外角等于它的内对角.
补充例题
如图，A，B，C，D 是⊙Ｏ上四点，AD，BC 的延长线相交于点E，直径AD=8，OE=12.
（1）求证：EC
EA = ED
EB ；
（2）计算EC·EB 的值.
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习题2.2
A组
1. ∵A
!
C =B
!
D ，
又B
!
C 公共，
∴A
!
B =C
!
D .
∴AB=CD.
2. ∵A
!
C =B
!
C ，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OA =OB，M，N 为OA，
OB 的中点，
∴OM=ON.
又∵OC 公共，
∴△OMC≌△ONC （SAS）.
∴MC=NC.
3. ∵∠AOB=100°，
∴优弧A
!
B 所对应的圆心角
为260°.
∴∠ACB= 1
2 ×260°=130°.
4. ∵∠A=72°，
∴∠BOC=2×72°＝144°.
∵OB=OC，
∴∠OBC= 180°-144°
2
=18°.
5. ∵∠BCD=40°，∠BFD=70°，
∴∠B=30°.
∵∠B 与∠ADC 所对应的弧
都是A
!
C ，
∴∠ADC=30°.
64
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6. 当曲尺的两边紧靠凹面，
且曲尺的直角顶点落在圆弧上，
由圆周角定理的推论可知90°的圆
周角所对的弦是直径，则凹面是
半圆形状，否则凹面不合要求.
7. （1）∵∠A=∠B =∠C =
∠D=90°，
∴对角线AC，BD 即为圆
的直径.
（2）阴影部分的面积为圆面
积减去正方形面积，为4π-8.
B组
8. ∵∠APC 与∠ABC 所对
的弧为A
A
C ，
∴∠ABC=∠APC=60°.
同理，∠BAC=∠CPB=60°.
∴∠ACB=60°.
∴△ABC 为等边三角形.
9. 连接DC.
∵∠ADC 与∠B 所对的弧为
A
A
C ，
∴∠ADC=∠B= 1
2 ∠DAC.
又∵AD 为直径，
∴∠ACD=90°.
∴在Rt△ACD 中，∠ADC=
30°.
∴AC= 1
2 AD= 3
2 cm.
10. 连接AB.
∵四边形CEBA 与四边形ABFD 分别内接于⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2，
∴∠C+∠ABE=180°，∠D+∠ABF=180°.
又∵∠ABE+∠ABF=180°，
∴∠C+∠D=180°.
∴CE∥DF.
65
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教学目标
１．探索并证明垂径定理.
2. 运用垂径定理解决一些有
关证明、计算问题.
教学重点、难点
垂径定理的证明以及运用.
垂径定理反映了圆的重要性
质，是证明线段、角相等、垂直
关系的重要依据，同时也为进行
一些圆的计算和作图问题提供了
方法和依据.
“动脑筋” 栏目注重探索与
证明的有机结合. 首先将⊙Ｏ沿
直径CD 对折，引导学生发现教
材图2-28 中相等的线段和弧. 接
着，利用等腰三角形的性质证明
了垂径定理.
得到定理后，还可进一步帮
助学生分析定理的题设和结论，
并可将定理改述为：一条直线若
满足：
（1）过圆心；
（2）垂直
于弦，则可以推出：
（1）平分
弦；
（2）平分弦所对的优（劣）
弧.
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练习
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90°.
在Rt△ACB 中，AC=8 cm，
AB=10 cm，
∴BC=6 cm.
又∵OD⊥BC，
∴BD＝1
2 BC＝3 cm.
在例1 中，把垂径定理和勾
股定理结合起来，容易得到圆的
半径r，圆心到弦的距离d，弦
长a 之间的关系式：
r2＝d 2+（
a
2 ）
2
.
在圆中，解决有关弦的问题
时，常常需要作“垂直于弦的直
径” 为辅助线. 这种添加辅助线
的方法很重要，需学生认真体
会.
补充例题
如图，在⊙Ｏ中，AB，AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于D，OE⊥AC 于E.
求证：四边形ADOE 是正方形.
67
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习题2.3
A组
1. 水管中心到水面的高度为
（
50
2 ）
2
- （
40
2 ）
2
摇
姨
=15 （cm），水深
为25-15＝10 （cm）.
2. 过点O 作OE⊥CD，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴AE-CE＝BE-DE，
即AC＝BD.
3. 如图，用A
A
B 表示桥拱，
设A
A
B 所在圆的圆心为O，半径
为r，经过圆心O 作弦AB 的垂
线，D 为垂足，OC 与A
A
B 相交于
点C，则D 是AB 的中点，CD
为拱高.
在Rt△ADO 中，
r2＝18.72+（r-7.2）2，
解得r≈27.9（m）.
B组
4. 如图，过点O 作OD ⊥
AB，连接OB，OC. 设小圆的半
径为r，大圆的半径为R，则
在Rt△ODB中，OD2+22=r2，
在Rt△ODC 中，OD2+32=R2，
∴圆环面积S＝πR2-πr2＝π（32-22）＝5π.
5. 连接AB，作线段AB 的垂直平分线，交A
A
B 于点C，所以C
点为A
A
B 的中点.
理由是：垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧.
68
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教学目标
１郾经历不在同一直线上的三
个点确定一个圆的探索过程.
2. 了解不在同一直线上的三
个点确定一个圆，以及过不在同
一直线上的三个点作圆的方法.
3. 了解三角形的外接圆、三
角形的外心等概念.
教学重点、难点
教学重点：过不在同一直线
上的三点作圆.
教学难点：对圆“不在同一
直线上的三个点确定一个圆” 这
条性质需要从存在性和唯一性两
个方面来理解.
教材通过“议一议”
“动脑
筋” 栏目来探索过一点、两点和
不在同一直线上的三点可能作多
少个圆，使学生认识到“不在同
一直线上的三个点确定一个圆”
这一确定圆的条件.
完成“议一议” 栏目时（过一
点、过两点画圆），要注意帮助
学生紧紧抓住对圆心和半径的探
讨，要确定一个圆的基本条件
是确定圆心和半径，这是从圆的
定义出发的，至于能作多少个圆，也取决于圆心的位置和圆心的个数. 明确了这一点，就为后面讨论
过不在同一直线上的三个点的圆的唯一性铺平了道路.
69
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对于经过三点作圆的问题，
关键在于能否找到这样一个圆心，
使它与三个已知点的距离相等. 把
这个问题与前面过两点作圆以及
与线段的垂直平分线联系起来，
问题就迎刃而解了.
需指出的是，只有当三个点
不在同一直线上时，才能确定一
个圆.
“说一说” 栏目是“动脑筋”
栏目的拓展，由于△ABC 的三个
顶点不在同一直线上，因此过
△ABC 的三个顶点可以作一个
圆，并且只可以作一个圆.
接着，教材介绍了三角形的
外接圆、圆的内接三角形、三角
形的外心等概念，这与前面介绍
四边形的外接圆是一脉相承的.
资源拓展
过同一直线上的三个点能作出一个圆吗？
如图，假设过同一直线l 上的A，B，C 三点可以作一个圆，设这
个圆的圆心为P. 那么点P 既在线段AB 的垂直平分线l1 上，又在线
段BC 的垂直平分线l2 上，即点P 为l1 和l2 的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这
与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 矛盾，所以，过同一
直线上的三点不能作圆.
70
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练习
1. 作圆的关键是确定圆心与
半径，作图略.
2. 在残缺玻璃镜的边缘上任
取不共线三点作圆，作图略.
习题2.4
A组
1. 在内弧（或外弧）上任取不
共线三点，如A，B，C，连接
AB，BC，作线段AB，BC的垂直
平分线，它们的交点即为圆心.
2. 作△ABC 的外接圆，如图.
∵∠BAC=70°，∠ABC=50°，
∴∠ACB=60°.
∵∠AOB 与∠ACB 所对的
弧为A
A
B ，
∴∠AOB＝2∠ACB=120°.
B组
3. r＝
3
姨
3
a.
4.①如果△ABC是钝角三角形，其中一个角（即圆周角）大于90°，则对应的圆心角大于180°，因此
外心O 在△ABC 的外部，如图（a）.
②如果△ABC是直角三角形，其中一个角是直角，则对应的圆心角为180°，即外心O 在直角三角
形的斜边上（斜边的中心），如图（b）.
（a）
（b）
71
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教学目标
１郾了解直线与圆的三种位置
关系.
2. 能通过比较圆心到直线的
距离与半径之间的数量关系来揭
示直线与圆的位置关系.
3. 经历探索直线与圆的位置
关系的过程，加深对分类、数形
结合等数学思想方法的理解.
4. 掌握切线的概念.
教学重点、难点
教学重点：探索直线与圆的
三种位置关系.
教学难点：探索圆心到直线
的距离与半径之间的数量关系来
揭示直线与圆的位置关系.
2.5 节重点研究直线与圆的
不同位置关系以及切线的判定和
性质、切线长定理、三角形的内
切圆等. 其中切线的判定和性质
是2.5 节的重点.
2.5.1 节研究直线与圆的位
置关系. 教材通过用太阳升起的
过程（即运动的过程）来引出直线
与圆的三种位置关系. 教学时可
先复习点与圆的三种位置关系以
及各种位置关系的数量表示，然
后以运动的观点来理解直线和圆
相交、相切、相离的概念.
72
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练习
1. l1与⊙Ｏ相离，
l2与⊙Ｏ相交，
l3与⊙Ｏ相切.
2. l与⊙Ｏ相切.
对于直线和圆相切，要向学
生指出，这时的公共点是唯一的，
是有一个并且只有一个公共点.
研究直线与圆的位置关系，
可以转化为圆心到直线的距离与
半径的大小关系.
应当使学生明确，归纳的这
三条结论用到了“圳” 符号，因
此它们既可以作为各种位置的判
定，也可以作为性质.
实际上，直线与圆的位置关
系还可以用它们的交点个数来区
分，它与前者的本质是一致的.
73
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教学目标
１郾探索切线与过切点的半
径的关系，理解切线的判定定
理.
2. 运用切线的判定定理，用
三角尺过圆上一点画圆的切线.
教学重点、难点
教学重点：切线的判定定
理.
教学难点：探索切线与过切
点的半径的关系，理解切线的判
定定理.
2.5.2 节重点讨论切线的判
定和性质.
第1 课时探讨切线的判定定
理及其应用.
对于切线的判定定理，要注
意让学生分清定理的题设和结
论，应强调“经过半径的外端”
和“垂直于这条半径” 这两个条
件缺一不可，否则就不是圆的切
线，这里可举出反例，如图：
切线的判定定理实际上是从前一节所讲的“圆心O 到直线l 的距离d 等于半径r 时，直线和圆相
切” 这个结论直接得出来的，只是为了便于应用，把它改写成判定定理这一形式.
74
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补充例题
如图，AB 是⊙Ｏ的直径，∠ABC=45°，AC＝AB.
求证：AC 是⊙Ｏ的切线.
练习
1. （1）不一定；
（2）不一定.
2. 连接OC.
∵OA＝OB，AC＝BC，
∴OC ⊥AB （等腰三角形
“三线合一” ）.
又∵直线AB 经过半径OC
的外端点，
∴直线AB 是⊙Ｏ的切线.
“做一做” 栏目介绍了画切
线的方法，其画法的依据是切线
的判定定理，画法需学生切实掌
握.
判定一条直线是圆的切线，
必须紧扣“经过半径的外端” 和
“垂直于这条半径” 这两个缺一
不可的条件，教师可根据学情，
适当补充一些例子.
75
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教学目标
１郾理解切线的性质定理的证
明过程.
2. 区分切线的判定定理和性
质定理，并能灵活运用.
教学重点、难点
切线的性质定理的证明过程
及其应用.
第2 课时探讨切线的性质定
理及其应用.
切线的性质定理的证明用到
了反证法. 当直接证明一个命题
比较困难时，可以采取间接证
法，反证法就是一种间接证法.
用反证法证明命题的过程可
以归纳为“作出反设、推出矛
盾、肯定结论” 三个步骤，在此
处，要使学生进一步体会反证法
的基本思路和一般步骤.
切线的判定定理和性质定理
极易混淆，要使学生分清判定定
理和性质定理的题设和结论，并
帮助学生总结切线的判定方法和
切线的性质.
判定切线有三种方法：
（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
（2）和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
应根据题目的特点选择合适的判定方法.
关于切线的性质有如下几个：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径.
76
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切线的判定定理和性质定理
是本章的重点，在证明和计算的
过程中，往往需要添加辅助线.
当已知一条直线是某圆的切线
时，切点的位置是确定的，辅助
线常常是连接圆心和切点得到半
径，那么半径垂直于切线. 当要
证明某直线是圆的切线时，如果
已知直线过圆上一点，则作出过
这一点的半径，证明直线垂直于
半径；如果直线与圆的公共点没
有确定，则应过圆心作该直线的
垂线，证明圆心到直线的距离等
于半径.
例4应要求学生说明：由l1⊥
AB，l2⊥AB，为什么可以得到l1∥
l2的理由.
练习
1. 连接OC，OA，OB.
∵AB 是小圆的切线，切点
为C，∴OC⊥AB.
又∵在大圆中，OA＝OB，
∴点C 是线段AB 的中点.
2. ∵CB 是⊙Ｏ的切线，切
点为B，∴AB⊥BC.
∵AB为⊙Ｏ的直径，
∴∠ADB=90°.
又∵AD＝DC，
∴在Rt△ABC 中，DB＝AD＝
DC，∴∠ABD=45°.
资源拓展
欧几里得最喜爱的证法
英国著名数学家哈代说过：“欧几里得最喜爱的间接法（反证法）是数学最好的武器之一，它比象
棋中任何的‘丢卒保车’ 招法远为高明. 因为一个棋手提供牺牲的只是一兵一卒，而一个数学家可以
提供的是整个求证目标.”
反证法是一种间接证法，它分为两种：如果所要证明的结论，它的反面只有一种情况就叫归谬
法；如果结论的反面有两种以上的情况就叫穷举法.
古希腊学者欧几里得早在两千多年前，就用反证法巧妙地证明了质数的个数是无穷的，他的证明
至今仍被认为是最简单的证法. （接下页）
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教学目标
１郾了解切线长的概念.
2. 探索并证明切线长定理.
3. 切线长定理的简单应用.
教学重点、难点
教学重点：切线长的概念、
切线长定理的证明.
教学难点：探索并证明切线
长定理.
“说一说” 栏目首先过⊙Ｏ
外一点P 及圆上一点A 作⊙Ｏ
的切线，方法仍然是前面所学的
“用三角尺过圆上一点画圆的切
线”，同样的方法，作出过点P
及圆上B 点的切线. 接着将圆外
一点P 与切点A，B 之间的线段
长定义为切线长.
要注意切线和切线长的区
别：切线是直线，不可度量，而
切线长是切线上一条线段的长，
可以度量. 要让学生明白：切线
是直线，为了研究切线的一些特
征，需要定义切线长.
“探究” 栏目探索并证明了
切线长定理. 其中探索环节利用
圆的轴对称性探索发现一些线段
相等、角相等，并获得猜想，最
后对这些猜想进行证明. 从整个过程可以看出教材注重探索发现（合情推理）与证明（演绎推理）的有机
结合. 这种呈现方式是落实《课程标准（2011 年版）》的要求，望教师在教学过程中予以落实.
（接上页）美国现代数学家克斯特教授和格里查博士认为，现在大多数发表的证明都是采用反证
法来证的. 一些据说是直接证法的证明，实际上是经过伪装的间接证明. 这是因为实际上只有那些最初
等的定理，是完全用直接证法证明的，而所有其他定理的证明，都是借助于已知事实和已证定理，通
过推理而得到. 如果这些辅助定理中，有任何一个是采用间接证明的，那么用它们所证明的定理，就
不能认为是用直接证法证明的. 事实上，现在一些最简单最基本的定理，都是采用反证法证明的.
78
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切线长定理再次体现了圆的
轴对称性，它为证明线段相等、
角相等、弧相等、垂直关系等提
供了理论依据，是一条重要的定
理.
例5 中，注意提醒学生说明
CO⊥AB 的理由（等腰三角形
“三线合一” 的性质）.
本章所呈现的例题均是一些
经典问题，教师应结合例题的教
学，帮助学生理清一些基本图形
的基本证法和规律. 例如经过圆
外一点引圆的两条切线，连接两
个切点可以得到一个等腰三角
形，利用等腰三角形的性质又可
以得出一些结论.
补充例题
如图，PA，PB 是⊙Ｏ的切线，A，B 为切点，AC 是⊙Ｏ的直
径，∠BAC=25°，求∠P 的度数.
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练习
1. ∵AD，AE分别与⊙Ｏ相切，
∴AD＝AE.
同理，BE＝BC.
∴四边形ABCD 的周长
＝AD+AE+EB+BC+DC
＝2AB+DC
＝2×5+2×2
＝14.
2. ∵PA，PB是⊙Ｏ的切线，
∴∠APO ＝∠BPO，
OA ⊥
AP，OB⊥BP.
∴∠AOP＝∠BOP.
在Rt△OAP 中，
cos∠APO＝AP
OP ＝
3
姨
2
，
∴∠APO＝30°.
∴∠AOP＝60°.
∴∠AOB＝2∠AOP＝120°.
教学目标
１郾通过尺规作图的方法，经
历三角形的内切圆的产生过程，
理解三角形的内切圆的概念.
2. 知道三角形的内心，并理
解其性质.
教学重点、难点
三角形的内切圆的画法及相
关概念的理解.
“议一议” 栏目通过一个实际问题，使学生认识学习三角形的内切圆的意义，此环节，可让学生
动手操作，并围绕问题展开讨论，并适时引导求三角形内面积最大的圆的问题转化到这个圆与三角形
的三边均相切的情况.
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“动脑筋” 栏目首先分析假
设圆已作出，圆心应满足什么条
件，圆心确定后，如何确定半
径？这个过程实际上勾勒出三角
形内切圆的内涵以及作图的依据.
作一个三角形的内切圆使用
尺规作图方法，可回顾作一个角
的平分线的方法，作出图后，应
引导学生说一说作图的依据.
教材是用“三角形内切圆的
圆心” 来定义三角形的内心的.
因为三角形的内心就是三角形的
三条角平分线的交点.
在知道三角形的内切圆、内
心概念后，要注意让学生将三角
形的内心和外心、内切圆和外接
圆进行比较，
“接” 与“切” 是
说明多边形的顶点和边与圆的关
系：多边形的顶点都在圆上叫
“接”，多边形的各边都与圆相切
叫“切” .
补充例题
如图，某公园有一块由三条马路围成的三角形绿地. 现准备在其
中建一个尽可能大的圆亭供人们休息，试作出这个表示圆亭范围的
圆.
81
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练习
1. 略.
2. ∵⊙Ｏ是△ABC 的内切
圆，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
即∠OEC=∠OFC＝90°.
又∵∠A＝74°，∠B＝47°,
∴∠C＝59°.
∴在四边形OECF 中，
∠EOF＝360°-90°-90°-59°＝121°.
3. 如图，⊙Ｏ是等边三角形
ABC 的内切圆，连接OB，OC，
则∠OBC＝1
2 ∠B＝30°，
∠OCB＝1
2 ∠C＝30°.
设BC 边与⊙Ｏ的切点为
D，连接OD，则OD ⊥BC，且
OD 为内切圆的半径.
在Rt△OBD 与Rt△OCD 中，tan 30°＝OD
BD ＝OD
DC ，
∴BD＝DC，即DC＝a
2 .
∴OD＝tan 30°·a
2 =
3
姨
6
a.
即内切圆的半径长为
3
姨
6
a.
如果已知三角形的内心，过
三角形顶点和内心的射线平分三
角形的内角.
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习题2.5
A组
1. （1）两个公共点；
（2）一个公共点；
（3）没有公共点.
2. ∵AB 是⊙Ｏ的直径，
△ABC 内接于⊙Ｏ，
∴∠C=90°，∠A+∠CBA=90°.
又∵∠CBM=∠A，
∴∠CBM+∠CBA＝90°，
即AB⊥MN.
又∵OB 是⊙Ｏ的半径，直
线MN 经过点B，
∴MN是⊙Ｏ的切线.
3. 连接BC.
∵OC＝OB，∠COB=60°，
∴△OBC 为等边三角形.
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，BC＝OC.
又∵OC＝CA，∴BC＝CA.
∴∠CBA＝30°.
∴∠OBA＝90°，即OB⊥BA.
又∵OB 为⊙Ｏ的半径，且
AB 经过点B，
∴AB 是⊙Ｏ的切线.
4. ∵BC 与⊙Ｏ相切于点B，
OB 是半径，
∴OB⊥BC，即∠OBC＝90°.
∵∠ABC＝70°，∴∠OBA＝20°.
又∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA＝20°.
*5. 连接OA，OB.
∴AF＝4.
7. 已知：如图，⊙Ｏ是等腰三角形ABC 的内
切圆，AB＝AC，⊙Ｏ与BC 边相切于点D，求证：
BD=CD.
证明：连接OB，OC，
OD，
则OD⊥BC，
由内切圆性质可知OB，
OC分别平分∠B，∠C，
又∠B＝∠C，
∴∠OBD＝∠OCD＝α，
∴tan α ＝OD
BD = OD
DC ，∴BD=DC.
∵OA，OB 为⊙Ｏ的半径，PA，PB 为⊙Ｏ的
切线，点A，B 为切点，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB＝3 cm.
在Rt△OPA 中，sin∠OPA＝OA
OP ＝3
6 ＝1
2 ，
∴∠OPA＝30°.
∴cos30°＝PA
OP，得PA＝OP·cos30°＝3
3
姨
cm.
同理，∠OPB＝30°，PB＝3
3
姨
cm .
*6. ∵⊙Ｏ是△ABC 的内切圆，切点为D，E，F，
∴由切线长定理得：AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.
∴BD+CF＝BE+CE＝BC，
即L△ABC＝2AF+2BC＝9+6+5，
α
α
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8. 如图，设⊙Ｏ与△ABC 相
切于点D，E，F，连接OD，
OE，OF，因此OD⊥AB，OE⊥
BC，OF⊥AC，且OD＝OE＝OF＝r.
连接OA，OB，OC，
则S△ABC＝S△OBC+S△OBA+S△OAC
＝1
2 AB·OD+ 1
2 BC·OE+ 1
2 AC·OF
＝1
2 （AB+BC+AC）·r＝1
2 lr.
B组
9. 作△OAB 底边上的高
OD，D 为垂足，由等腰三角形
的性质知D 也为AB的中点，即
AD＝4 cm.
在Rt△OAD 中，OA＝5 cm，
AD＝4 cm，∴OD＝3 cm.
而⊙Ｏ的直径为6 cm，即
OD 为⊙Ｏ的半径，
∴AB 所在的直线与⊙Ｏ相
切.
10. （1）如图，已知l1，l2 是
⊙Ｏ的两条平行切线，设l1 与
⊙Ｏ的切点为A，连接AO，并延长交l2 于B.
∵OA⊥l1，l1∥l2，
∴OA⊥l2，则OB⊥l2.
又∵l2 与⊙Ｏ相切，
由过直线外一点有且
只有一条直线与已知直线
垂直，
则l2 与⊙Ｏ的切点为点B，
因此AB 为⊙Ｏ的直径.
（2）略.
*11. （1）∵DC，DA分别为⊙Ｏ的切线，
∴DC＝DA. 同理，EC＝EB.
∴△PDE的周长=DC +EC +PE +PD =（DA +
PD）+（EB+PE）=PA+PB=8（cm）.
（2）连接OA，OB，OC. 在四边形PBOA中，
∠P＝40°，∠A＝∠B＝90°,
∴∠BOA=360°-40°-2×90°＝140°.
易证△OAD
△OCD （SSS），
∴∠AOD=∠COD. 同理，∠COE=∠BOE.
∴∠DOE=∠COD+∠COE= 1
2 ∠AOC+ 1
2 ∠BOC
= 1
2 ∠AOB=70°.
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教学目标
１郾经历探索弧长、扇形面积
公式的过程，进一步加深对圆的
旋转对称性质的理解．
２郾会恰当运用公式计算弧长
及扇形面积．
教学重点、难点
弧长、扇形面积公式的探索
过程.
教材首先从“动脑筋” 栏目
中的实际问题出发，求一个特殊
圆心角所对应的弧长，在明白原
理的基础上，进一步探索求n°
圆心角所对应的弧长.
由于前面学过：在同一个圆
中，如果圆心角相等，它们所对
的弧也相等.
一个圆360°，那么1°的圆
心角所对应的弧长为圆周长
（2πr）的1
360 ，则n°的圆心角所
对应的弧长l 为nπr
180 . 在抽象出
弧长公式后，应向学生说明，这
里的180，n 在计算公式中表示
倍分关系，没有单位.
从上述过程可以看出，探索
弧长公式实质运用了圆的旋转对
称性性质，这一点可以向学生作
进一步说明.
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练习
1. 内轮廓线的圆弧的长度为
（360-83）π×3.2
180
= 277×3.2×π
180
= 1 108
225 π.
2.因为34＝2OA+80×π×OA
180
，
34≈2OA+1.40OA，
34=3.4OA，
所以OA＝10.0（m）.
掌握了弧长公式，自然就要
运用公式解决实际问题. 已知l，
n，r 中的任意两个量，就可以
求出另一个量. （这一点在第3
章将应用.）
在计算中，若没有标明结果
的精确度，则可以用含“π” 的
式子表示弧长.
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扇形面积的另一个计算公式
Ｓ＝１
２ｌｒ与三角形的面积公式Ｓ＝
１
２ａｈ十分相似，为便于记忆，
可把扇形看作曲边三角形，将弧
长ｌ看作三角形的底，半径ｒ看
作底边上的高即可．实际上，把
扇形的弧分得越来越小，作经过
各分点的半径，并顺次连接各分
点，得到越来越多的小等腰三角
形，扇形的面积就是这些等腰三
角形面积和的极限.
根据扇形面积公式和弧长公
式，已知Ｓ，ｎ，ｌ，ｒ四个量中的
任意两个量，可以求出另外两个
量．
第2 课时介绍扇形面积公式
的推导过程及公式的运用.
在公式的推导过程中，仍然
是利用圆的旋转对称性. 要求学
生明白推导的道理，这将有助于
他们掌握这个公式.
公式中的n 与弧长公式中的
n 一样，应理解为1°的倍数，不
带单位.
补充例题
如图，等边三角形ABC 的边长为a，分别以A，B，C 为圆心，以a
2 为半径
的圆相切于点D，E，F. 求图中阴影部分的面积.
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练习
1. ∵∠AOB＝120°，
AB＝2
3
摇姨
cm，
∴OA=2 cm.
∴S扇形OAB＝120×π×22
360
＝4π
3 （cm2）.
2. 由图知绿色部分圆弧所对
的三个圆心角正好是△ABC的三
个内角，和为180°，所以绿色部
分的面积为180×π×12
360
＝π
2 .
例4 是一道实际问题，为求
不同扇形的面积，应用了两个公
式，这就要求根据条件（已知），灵
活选择公式进行计算. 教师可根
据学情，适当补充一些例子.
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3. 连接BC.
∵∠BAC=90°，
∴BC 是直径.
易求出扇形的半径
AB=10
2
姨
cm .
∴被剪掉部分的面积为
π×102- 90×π×（10
2
姨
）2
360
＝50π.
习题2.6
A组
1. 设这条弧所对的圆心角为n°，
∵4.5＝n×π×3
180
，
∴n≈86.
2. 设每人应向后挪动x cm，
则2π（80+10）
8
＝2π（80+10+x）
10
，
解得x＝22.5.
∴每人应向后挪动22.5 cm.
3. （1）设扇形玻璃的半径为r，
则228＝40×π×r
180
×2+ 60×π×r
180
+6r，
∴228＝（7π
9 + 6）r，
∴r≈27.0（cm）.
（2）三块扇形玻璃的总面积为
40×π×272
360
×2+ 60×π×272
360
≈890.2（cm2）.
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4.∵A
!
B =6πcm，C
!
D =10πcm，
AC＝12 cm，
∴6π＝n×π×r
180
，
10π＝n×π×（r+12）
180
，
∴n＝60，r＝18 （cm）.
∴蓝色部分的面积为
1
2 ×10π×（18+12）- 1
2 ×6π×
18＝96π（cm2）.
B组
5. （1）易得∠AOB=120°，
则拱形的弧长为120×π×20
180
＝40
3 π
（m）.
（2）S扇形OAB＝120×π×202
360
＝
400
3 π （m2）.
6. 由图知红色部分圆弧所对
的四个角正好是四边形ABCD 的
四个内角，和为360°，所以红
色部分的面积为360×π×12
360
＝π
（cm2）.
7. （1）∵2π
3 = n×π×2
180
，∴n＝60. ∴∠DAE＝60°.
（2）由（1）知∠BAE＝30°，∴BE=1，AB＝
3
摇姨
，
故绿色部分的面积之和为2×
3
摇姨
- 1
2 × 2π
3 ×2=2
3
摇姨
- 2π
3 .
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教学目标
１郾了解正多边形的概念及正
多边形与圆的关系.
2. 会通过等分圆心角的方
法，画出所需的内接正多边形.
3. 能够用尺规作图，作出圆
的内接正方形和内接正六边形.
4. 探索正多边形的轴对称性
质和中心对称性质.
教学重点、难点
教学重点：正多边形的概念
及正多边形与圆的关系，用尺规
作图作出圆的内接正方形和内接
正六边形，探索正多边形的轴对
称性质和中心对称性质.
教学难点：了解正多边形与
圆的关系，并利用尺规作图作出
圆的内接正方形和内接正六边
形，探索正多边形的轴对称性质
和中心对称性质.
正多边形与圆的关系密切，
尽管正多边形的概念在八下“四
边形” 一章已出现，教材仍通过
举例，复习正多边形的概念.
对于其概念，教师要强调与
“正三角形” 概念的区别.
“动脑筋” 栏目通过问题“如何作一个正多边形”，阐述了正多边形与圆的关系. 接下来，给出了
圆内接正多边形、正多边形的外接圆、正多边形的中心等概念.
通过等分圆心角进而等分弧的方法，画出所需的正多边形可看作通法，这其中的道理是：
而在具体操作中，我们往往想办法等分圆周（即把圆分成相等的一些弧），再依次连接各等分点，
就得到所需的正多边形.
等分圆心角→等分弧→弦相等→正多边形的边长相等
圆周角相等→正多边形的各角相
相
等
相
→多边形是正多边形
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前面介绍了作圆的内接正多
边形的通法. 事实上，作圆的内
接正六边形和内接正方形还有其
他的方法，如“做一做” 和例题
的呈现. 这里使用尺规作图的方
法需强调的是：在尺规作图的教
学中，仍要求学生会运用逻辑推
理的方式来探索作法和步骤，做
到有理有据. 作图完毕后，老师
应引导学生说明作图的道理. 这
其中的关键是说明为什么作出的
是正多边形，而正多边形的定义
是说理的线索.
需对教师说明的是，并不是
任意等分圆都能使用尺规作图方
法，一般该方法只能画出一些特
殊的正多边形，例如正四边形、
正八边形、正三边形、正六边
形、正十二边形等.
补充例题
1. 矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？
2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；
如果不是，举出反例.
【解】各边相等的圆内接多边形的各个角也相等，它是正多边形.
各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如矩形.
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练习
1. 略.
“做一做” 栏目探索正多边
形的轴对称性质和中心对称性
质. 从探索过程看，总是利用圆
的对称性质来加以分析，这足以
说明正多边形与圆有着非常密切
的联系.
教材限于篇幅，没有从实例
出发一一阐述具体正多边形的轴
对称性质和中心对称性质，而是
比照圆，采取一种抽象的语言来
描述. 为了增加学习的效果，建
议教师多结合具体正多边形来说
理，再逐步归纳，以帮助学生形
成正确理解.
资源拓展
用圆规分圆周为四等份
在教材中（例题），我们学会了用尺规作图的方法将一个圆周四等分，现在如果仅给你一个圆规让
你把圆周四等分，你会吗？
“用圆规分圆周为四等份” 这个问题，据说还是法国皇帝拿破仑提出的.
拿破仑出的题一定很难吗？这倒不一定，
这个问题可以这样来解：如图1，在已知圆心
为O 的圆周上任选一点A，以OA 为半径，从
A 点开始在圆周上依次截得B，C，D 三点.再
以A，D 为圆心、AC 为半径画弧，两弧交于
E 点. 以OE 为半径在圆周上依次截取，就可
以把圆周四等分了.
下面我们来证明这种分法是正确的. 如图
图1
图2
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2. 注：第1 幅图是先三等分
圆周，再依次连接各等分点，得
到圆的内接正三角形. 第2 幅图
是以圆的六等分点为圆心，圆的
半径为半径作六条弧而得到.
习题2.7
A组
1. 作图略. 正三角形的边长
为3
3
姨
cm.
2. 周长为6r，面积为3
3
姨
2
r2.
B组
3. π×102- 1
2 ×10×10×
3
姨
2
×
6≈314.2-259.8=54.4.
4. （1）边长为2 cm；
（2）剪去边长为2 cm的全等的
三个正三角形.
2，当把一个圆周四等分时，连接四等分点就构成一个圆内接正方形，这
个正方形的边长为
2
姨
R. 接下来，我们只要证明OE=
2
姨
R 即可.
如图3，∵AO=R，
∴A
A
B 等于圆周长的1
6 ，A
A
C 等于圆周长的1
3 ，AC 为圆内接正三角形
的一边，即AC=
3
姨
R.
∵AE=DE=
3
姨
R，
∴△AED 为等腰三角形，OE 为AD 边的中垂线，
∴OE=
AE2-OA2
姨
=
3R2-R2
姨
=
2
姨
R .
图3
A
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本章是初中几何体系中重要
的一章，由于涉及的概念多、性
质多、判定方法多，复习课时，
要通过问题的形式回顾本章所学
的主要知识，提高学生的归纳、
概括能力.
教师要帮助学生在头脑中建
立起本章的知识结构图，特别是
圆的对称性是理解圆的其他性质
的重要基础. 同时，要从定理的
角度进一步梳理圆的相关性质，
使全章的内容形成一个完整的体
系.
“注意” 栏目的设置，旨在
突出本章学习中学生容易忽视或
容易出错的问题，在教学中应给
予强调.
本章还涉及合情推理与演绎
推理、分类、转化、数形结合等
数学思想与方法，在复习中应结
合实例给予提示与渗透.
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复习题2
A组
1. （1）×；
（2）√；
（3）×；
（4）×.
2. 3 台.
3. ∵AD 是⊙Ｏ的直径，
∴∠ACD=90° .
在Rt△ACD 中，
cos D= DC
AD =
32-22
姨
3
=
5
√
3
.
又∵∠D 与∠B 为A
A
C 所对
的圆周角.
∴∠D＝∠B，
则cos B=
5
√
3
.
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*４. 过O 向AB 作垂线，垂
足为D. 显然OD 为半径的一半
长，即为2.
连接AO，在Rt△AOD 中，
AD＝2
3
姨
，则弦AB 的长度为
2AD＝4
3
姨
.
5. r=5 cm.
6. （1）连接AO.
∵BC 是⊙Ｏ的直径，
∴∠BAC=90°.
∵AB＝AD，∠ADB=30°，
∴∠B＝∠ADB=30°.
又∵OB＝OA，
∴∠OAB=30°.
∴∠AOC=60°.
在△OAD 中，∠AOD=60°，
∠D=30°，
∴∠OAD=90°，即OA⊥AD.
∴AD 是⊙Ｏ的切线.
（2）lA
A
C= 60×π×2
180
= 2π
3 .
7. 连接OB.
∵AB 与⊙Ｏ相切于点B，
∴∠OBA=90°.
又∠ABC=120°,
∴∠OBC=30°.
则∠BOC=180°-2×30°＝120°.
∴lB
A
C= 120×π×3
180
=2π.
*8. ∵⊙Ｏ是△ABC 的内切圆，
∴AD=AE，BD＝BF，CF＝CE.
∴AB+CF＝AD+BD+CF＝AE+BF+CE＝AC+BF.
9. 易证两个小直角三角形全等，则∠AOB=90°，直角三角形的斜边长为
5
姨
.
lA
A
B=
5
姨
π
2
，S扇形OAB＝5π
4 .
10. 易得圆半径为4
3
姨
cm，所以蓝色部分的面积为
π×（4
3
姨
）2- 1
2 ×12×12×
3
姨
2
＝48π-36
3
姨
（cm2）.
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B组
11. ∵AB=DC，
∴∠BCA＝∠CBD.
∵∠BAC 与∠BDC 所对的
弧为B
B
C ，
∴∠BAC＝∠BDC.
又∵BC 边公共，
∴△ABC ≌△DCB.
*12. 如图，过O 作EF⊥AB
于点E，交CD 于点F，
∵AB∥CD，∴EF⊥CD.
∴EF＝7，EB＝3，FD＝4.
连接OB，OD.
设EO＝x，则OF＝7-x，
因此x2+32＝（7-x）2+42，
解得x＝4.
∴⊙Ｏ的半径为5.
13. 连接OD.
∵DO＝OA，∴∠1＝∠2.
又∵AD∥OC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.
∴∠3＝∠4.
在△ODC 与△OBC 中，
∵
OD＝OB，
∠4＝∠3，
OC 边公共，
，
)
(
)
*
∴△ODC ≌△OBC.
即∠ODC＝∠OBC＝90°.
又∵OD 是⊙Ｏ的半径，DC
经过点D，
∴DC 是⊙Ｏ的切线.
14. 连接BO，DO.
∵四边形ABCD 为⊙Ｏ的内接四边形，∠A=80°，
∴∠BCD＝180°-80°＝100°.
又∵圆周角∠BCD 与圆心角∠BOD 所对应的弧为BA
A
D ，
∴∠BOD=2∠BCD＝200°.
∴lBA
B
D＝200
360 ×18π＝10π.
15. 若将绳子拴在A 树，则活动面积为8 1
4 π m2；
若将绳子拴在B 树，则活动面积为12π m2；
若将绳子拴在C 树，则活动面积为8 1
4 π m2；
若将绳子拴在D 树，则活动面积为8π m2；
因此，应将羊拴在B 树，此时面积最大，为12π m2.
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16. S阴影＝S扇形OBC＝6π （cm2）.
Ｃ组
17. 连接BO，并延长交⊙Ｏ
于D，连CD.
则直径BD 所对的圆周角
∠BCD=90°.
在Rt△BCD 中，BD＝2R，
sin D= BC
BD = a
2R .
又∠A 与∠D 所对的弧为
B
B
C ，
∴∠A＝∠D.
∴
a
sin A ＝2R.
同理，可连接AO，并延长
交⊙Ｏ于E，连EC，则∠ACE=
90°.
在Rt△ACE 中，sin E＝b
2R .
又∠E＝∠B，
∴sin B＝b
2R ，即
b
sin B ＝2R.
同理可证
c
sin C ＝2R.
∴
a
sin A ＝
b
sin B ＝
c
sin C ＝2R.
18. 连接AB，AD.
∵AC 为⊙Ｏ1 的直径，
∴∠ABC=90°，
则∠ABD=90°.
∴AD 为⊙O2 的直径，
即AD 经过圆心O2.
在△ACD 中，O1O2 为△ACD
的中位线，
又O1O2＝2，
∴CD＝4.
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古往今来，优美的对称性曾
激起无数科学探索者创造的灵
感. 在具有对称性的平面图形中，
圆这个最简单的曲线图形最令人
惊叹. 它是唯一具有无穷多条对
称轴的轴对称图形，它又是旋转
对称图形，这是圆的独特性质，
怪不得圆被称为最美的平面图
形. 本章较为系统地介绍了圆的
概念和相关性质，而“数学与文
化” 栏目介绍了古往今来的人们
对圆的认识的一些史料，限于篇
幅，不能详尽介绍，建议学生在
阅读本文的基础上，还可以利用
课外时间查阅资料进一步丰富对
圆的认识，在感受数学文化熏陶
的同时，感悟数学为推动人类文
明发展所起到的独特作用，激发
其学习数学的兴趣.
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图1
Ⅲ. 本章相关链接
圆周率π 的历史
圆周率，数学中的重要常数之一，在欧氏平面上，圆的周长和直径的比称为圆周率，记为π. 数
π 的常用值取为3.1416，它在天文、数学、物理、工程等学科中都有着广泛的应用.
由于圆周率所涉及的计算面很广，在数学研究的历史进程中，世界各国都曾有许多数学家为此做
出贡献. 对π 的研究最早的文献记载，首推古埃及的不知名数学家，约公元前1650 年，莱因德纸草
书中就有对于圆周率的记载，译为今文是
π＝
4
3
3 "
4
≈3.160.
约公元前240 年，阿基米德（Archimedes）利用计算圆内接和外切正96 边形周长的方法，求得
3 10
71 < π < 3 1
7 .
约公元150 年，托勒密（Ptolemy. C. ）用60 进制记数法表示出
π≈38′30″ ＝3 + 8
60 + 30
602 ＝377
120 ≈3.141 6.
在中国，
《周髀算经》载有中国远古就有的“周三径一” 之说，取π 的经验值为3. 魏晋时代数
学家刘徽运用类似于阿基米德算法的割圆术，先算到圆内接192 边形面积，求得
3.14 + 64
625 ×10-2 < π < 3.14 + 169
625 ×10-2 ，
从而得到准确至小数点后两位的π＝3.14 的值，他尚不满意这一结果，又提出：“割之弥细，所失弥
少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.” 刘徽用他创造的圆幂法进而推得更精确的比率：
圆幂∶外方幂∶内方幂＝3 927 ∶5 000 ∶2 500
及
圆周∶直径＝3 927 ∶1 250.
从而得到
π ＝3 927
1 250 ≈3.141 6.
后人把π ＝3 927
1 250 称为徽率. 这时他比较满意的说：“若此者，盖尽其纤微
矣！” 但他仍怕有误，锲而不舍，又用割圆术继续算至圆内接3 072 边形，得
π ＝S3 072 =768 × （a768 × R）≈3.141 59≈3.141 6.
式中a 为内接3 072 边形的边长，R 为圆半径. 后来，中国南北朝（公元420—589）时代的杰出科学
家祖冲之继承了刘徽的数学思想，求得
3.141 592 6 < π < 3.141 592 7.
并得到π 的两个重要近似值：
“约率”（也称疏率）22
7
和“密率” 355
113 .
祖冲之用盈亏二限来限定一个尚未完全知道的数值范围是一种创见，盈亏二限的平均值3.141 592 65
已精确到小数点后第8 位，是当时世界上的最佳结果. 有学者认为祖冲之要算出圆内接正24 576 边
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无视直觉
数学公式来自生产与生活实践，再经过提炼而升华为理论，变为“金科玉律”，因而在绝大多数
场合，它们能同人的直觉吻合一致，十分完美. 然而，在极度个别的情形下，
“牙齿同舌头也会打
架”，两者也要闹摩擦，产生一些矛盾.
请看一个由数学老师“精心炮制” 出来的妙题，有两个三角形，其边长分别为17，25，26 与
17，25，28，求它们的内切圆半径.
题目看来十分平淡无奇，貌不惊人，是个计算题而非证明题，求内切圆半径无非是“例行公事”
地照现成公式来算一算.
有些人也许已经忘记了内切圆半径的公式，不过，临时推导一下也并不困难.
形的周长，才能得出小数点后第7 位那样精确的数字. 计算这样一个圆内接正多边形的周长是相当繁
杂的，除去加、减、乘、除，还要乘方和开方. 开方尤其麻烦，估计他计算的时候，要保留16 位小
数，进行22 次开方. 当时还没有算盘，只能用一种叫作“算筹” 的小竹棒摆来摆去进行计算，可见祖
冲之计算圆周率花费劳动之大！因此，三上义夫提出把355
113 命名为祖率，以纪念祖冲之的贡献.
圆周率计算的重大突破，肇始于寻求π 的解析表达式. 1579 年，韦达（Viete，F. ）从圆内接正
多边形与圆周率的关系的分析中得出如下关系式
2
π =
1
2
姨
·
1
2 + 1
2
1
2
姨
姨
·
1
2 + 1
2
1
2 + 1
2
1
2
姨
姨
姨
….
虽然此公式在计算上要多次开平方而不方便，但他开创了一条用解析式计算圆周率π 值的道路.
1671 年，格雷果里（Gregory，J. ）给出下面计算π 值的无穷级数
π
4 =1- 1
3 + 1
5 - 1
7 + 1
9 - 1
11 +…，
他首创了用无穷级数计算π 值的新方法，人们将此级数命名为格雷果里级数.
1676 年，牛顿（Newton，I. ）也给出了类似的级数
π
6 = 1
2 +
1
2·3 ·1
23 +
1·3
2·4·5 ·1
25 +
1·3·5
2·4·6·7 ·1
27 +….
1706 年，梅钦（Machin，J. ）提出了计算π 值的梅钦公式
π
4 = 4arctan 1
5 - arctan 1
239 .
从而使计算π 值的精确度迅速提高，他用此公式将π 值的计算首次突破100 位大关. 近代计算π 的
近似值利用幂级数的展开式
arctan x = x - 1
3 x3 + … + （-1）n-1 x2n-1
2n - 1 + … （｜x ｜≤1）.
1761 年，朗伯（Lambert，J. H. ）利用连分数展开式第一次证明了π 是无理数. 1882 年，林德曼
（Lindemann，（C. L. ）F. von）利用关系式eπi = -1，第一次证明了π 是超越数. 对于圆周率的符号，最
早有人采用方框□或希伯来文字母Π （读作men）来表示圆周率，意即化圆为方. 1600 年，奥特雷德
（Oughtred，W. ）首先使用π / δ 表示圆周率，他的依据为π 是希腊文圆周一词的第一个字母，奥特雷
德用它来表示圆周长，而δ 是希腊文直径的第一个字母，奥特雷德用它来表示直径，所以，π / δ 理应
表示圆周率，但人们在推求圆周率的过程中，常设δ＝1，于是π / δ 就可简记为π 了. 1706 年，琼斯
（Jones，W. ）首先采用π 表示圆周率，1736 年，经欧拉（Euler，L. ）的提倡和推广使用，才得以普遍
应用至今.
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如图2，设△ABC 的三边之长分别为a，b，c，内切圆半径为r，于是
S△ABC = S△OBC + S△OCA+ S△OAB
= 1
2 ra + 1
2 rb + 1
2 rc
= 1
2 r （a + b + c）.
习惯上，用p 表示半周长1
2 （a + b + c），
从而得出S = rp，即r = S
p .
但根据有名的三斜求积公式也叫海伦-秦九韶公式（海伦（Helon）生卒年代无可考，活跃在公元
62 年前后；秦九韶，南宋人（约1202 — 1261）），
三角形的面积=
p（p-a）（p-b）（p-c）
姨
，
于是内切圆半径
r =
p（p-a）（p-b）（p-c）
p
姨
.
接下来的工作便是不动脑筋的代公式了，结果如下：
（1）以17，25，26 为边长的三角形. p1 = 34，
r1 =
17 × 9 × 8
34
姨
=
36
姨
= 6.
（2）以17，25，28 为边长的三角形，p2 = 35，
r2 =
18 × 10 × 7
35
姨
=
36
姨
= 6.
所以r1 = r2.
图2
这个结果却令人目瞪口呆，大吃一惊，简直不敢相信，因为这是完全违反直觉的.
很明显，在上面的两个三角形中，有两边完全相同，而第三边却有长有短，一为26，一为28；
凭人们的“直觉” 来推想，第三边较长的那个三角形可以完全把第三边较短的三角形“包容” 在内，
而所谓“内切圆” 则是与各边长密切相关的. 因此，百分之九十九点九的人会认为，内切圆的半径虽
然彼此相差不大，但总有些微小差别，绝对不会是相等的.
然而公式却明白无误，毫不含糊地告诉我们：两个三角形的内切圆的半径百分之百的相等，它们
之间连一点微小差别都没有！
人们究竟应该相信数学，还是相信直觉？
事情并没有完，还可以修改数据，搞得更迷惑人. 设有两个三角形，有两边的长度完全相等，都
是97 与169，但第三边的长相差悬殊，一个为122，另一个则长达228. 试问：在这样的情形下，内
切圆半径还能相等吗？
真是不算不知道，一算吓一跳了！计算如下：
（1）p1 = 194，
r1 =
97 × 25 × 72
194
姨
=
25 × 36
姨
= 30.
（2）p2 = 247，
r2 =
150 × 78 × 19
247
姨
=
150 × 6
姨
=
900
姨
= 30.
所以r1 = r2 .
通过根号底下的约分，可以看出数据的设计多么巧妙.
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