文档文本内容
让更多的孩子得到更好的教育
数据的分析
责编：杜少波
【学习目标】
1. 了解加权平均数的意义和求法，会求实际问题中一组数据的平均数，体会用样本平均数
估计总体平均数的思想．
2. 了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法．进一步理解平均数、中位数和众数所代表的
不同的数据特征．
3. 了解极差和方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征．体会用样本方差估
计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．
4. 从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验
统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求
是的科学态度.
【要点梳理】
【高清课堂 数据的分析 知识要点】
要点一、算术平均数和加权平均数
一般地，对于
个数
，我们把
叫做这
个数的
算术平均数，简称平均数，记作
.计算公式为
.
要点诠释：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.
（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数
附近上、下波动时，一
般选用简化计算公式
.其中
为新数据的平均数，
为取定
的接近这组数据的平均数的较“整”的数.
（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动
都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.
若
个数
的权分别是
，则
叫做
这
个数的加权平均数.
要点诠释：（1）相同数据
的个数
叫做权，
越大，表示
的个数越多，“权”就越
重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.
（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运
算.
要点二、中位数和众数
1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇
数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，
则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.
要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数
据中.
（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.
2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
要点诠释：
（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；
如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第1页 共9页
让更多的孩子得到更好的教育
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别
联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.
区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，
当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数
则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各
数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.
要点四、极差、方差和标准差
用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法
得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值.
要点诠释：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组
数据极差越小，这组数据就越稳定.
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差
的计算公式是：
要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的
方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的
倍，则所得的一组新数据的方差
变为原来的
倍.
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号
表示，即：
；标准差的数量单位与原数据一致.
要点五、极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组
数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一
般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
要点六、用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近
似估计得到总体的平均水平或方差.
要点诠释：
（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽
取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容
量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的
代价.
【典型例题】
类型一、利用概念求平均数、中位数、众数
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第2页 共9页
让更多的孩子得到更好的教育
1、
（2015 春•东莞期末）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20 双，各种尺码鞋的销
售量如表：
鞋号
23.5 24
24.5 25
25.5 26
人数
3
4
4
7
1
1
（1）求出这些尺码鞋的平均数，中位数，众数．
（2）如果你是老板，去鞋厂进货时哪个尺码的鞋子可以多进一些.为什么？
【思路点拨】（1）直接利用平均数公式求出即可，再利用中位数以及众数的定义得出答案；
（2）利用众数的意义得出答案．
【答案与解析】
解：（1）这组数据的平均数是：
=
（23.5×3+24×4+24.5×4+25×7+25.5+26）
=24.55，
中位数是：24.5，众数是25；
（2）去鞋厂进货时25 尺码型号的鞋子可以多进一些，
原因是这组数据中的众数是25，故销售的女鞋中25 尺码型号的鞋卖的最好．
【总结升华】此题主要考查了众数、中位数的定义以及平均数求法，正确掌握中位数的定义是
解题关键．
举一反三：
【高清课堂 数据的分析 例8】
【变式】若数据3.2，3.4，3.2，，3.9，3.7 的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是
________．
【答案】3.2；3.5；
解：由题意
，所以众数是3.2，平均数是3.5.
类型二、利用三数——平均数、众数、中位数解决问题
2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项
测试成绩满分均为100 分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩
甲
乙
丙
教学能力
85
73
73
科研能力
70
71
65
组织能力
64
72
84
(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；
(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2 的比例确定每
人的成绩，谁将被录用，说明理由．
【思路点拨】（1）运用求平均数公式
即可求出三人的平均成绩，比较得
出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.
【答案与解析】
解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，
乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，
丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第3页 共9页
让更多的孩子得到更好的教育
∴ 候选人丙将被录用．
(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，
乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，
丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，
∴ 候选人甲将被录用．
【总结升华】5、3、2 即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权
平均数来录用．
举一反三：
【高清课堂 数据的分析 例10】
【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89 分，测验二得78 分，测验三
得85 分，期中考试得90 分，期末考试得87 分，如果按照平时、期中、期末的10％、
30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?
【答案】
解：小王平时测试的平均成绩
（分）．
所以
（分）．
答：小王该学期的总评成绩应该为87.6 分．
【高清课堂 数据的分析 例11】
3、下表是七年级(2)班30 名学生期中考试数学成绩表(已破损)．
已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76 分．
(1)求该班80 分和90 分的人数分别是多少?
(2)设此班30 名学生成绩的众数为
，中位数为
，求
的值．
【答案与解析】
解：(1)设该班得80 分的有
人，得90 分的有
人．
根据题意和平均数的定义，得
整理得
解得
即该班得80 分的有8 人，得90 分的有5 人．
(2)因为80 分出现8 次且出现次数最多．所以
＝80，第15、16 两个数均为80 分，所以
＝80，则
＝80＋80＝160．
【总结升华】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．解题的关键是准确理解题意，
建立等量关系.
举一反三：
【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50 名学生每人一周内的零花
钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第4页 共9页
让更多的孩子得到更好的教育
零花钱数额（元）
5
10
15
20
学生个数（个）
15
20
5
请根据图表中的信息，回答以下问题.
(1)求
的值；
(2)求这50 名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数．
【答案】
解：(1)
＝50－15－20－5＝10．
(2)众数是15．
平均数为
(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．
类型三、极差、方差与标准差
4、某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5 箭，他们的
总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算
了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
甲、乙两人射箭成绩统计表
第1 次
第2 次
第3 次
第4 次
第5 次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
7
（1）
＝_____；
＝_______；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）①观察图，可看出______的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算方法，
计算乙成绩的方差，并验证你的判断．②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第5页 共9页
让更多的孩子得到更好的教育
【思路点拨】（1）根据他们的总成绩相同，得出
＝30－7－7－5－7＝4，进而得出
＝
30÷5＝6；（2）根据（1）中所求得出
的值进而得出折线图即可；（3）①观察图，即可得出乙
的成绩比较稳定；②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳
定，所以乙将被选中．
【答案与解析】
解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，
则
＝30－7－7－5－7＝4，
＝30÷5＝6，
故答案为：4，6；
（2）如图所示：
；
（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；
由于
＜
，所以上述判断正确．
②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将
被选中．
【总结升华】此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出
的值
进而利用方差的意义比较稳定性即可．
举一反三：
【高清课堂 数据的分析 例12】
【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测
试成绩中随机抽取8 次，数据如下(单位：分)
甲
95
82
88
81
93
79
84
78
乙
83
75
80
80
90
85
92
95
(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；
(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人
参加合适?请说明理由．
【答案】
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第6页 共9页
让更多的孩子得到更好的教育
解：
(分)，
(分)．
甲、乙两组数据的中位数分别为83 分、84 分．
(2)由(1)知
分，所以
，
．
①从平均数看，甲、乙均为85 分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为
，
，所以甲的成绩较稳定；
④从数据特点看，获得85 分以上（含85 分）的次数，甲有3 次，而乙有4 次，故乙的成绩
好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等
方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．
类型四、统计思想
5、（2016•广陵区二模）中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男
生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的
成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）写出扇形图中a=
%，并补全条形图；
（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是
个、
个．
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800 人，如果体育中考引体向上达6 个以上（含
6 个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第7页 共9页
让更多的孩子得到更好的教育
【思路点拨】（1）用1 减去其他天数所占的百分比即可得到a 的值，用360°乘以它所占的百
分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数；
（2）根据众数与中位数的定义求解即可；
（3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800 即可．
【答案与解析】
解：（1）扇形统计图中a=1﹣30%﹣15%﹣10%﹣20%=25%，
设引体向上6 个的学生有x 人，由题意得
=
，解得x=50．
条形统计图补充如下：
（2）由条形图可知，引体向上5 个的学生有60 人，人数最多，所以众数是5；
共200 名同学，排序后第100 名与第101 名同学的成绩都是5 个，故中位数为（5+5）
÷2=5
故答案为:5，5．
（3）
×1800=810（名）．
答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810 名．
【总结升华】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．一组数据中出现次数最多的数据叫做
众数；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的
平均数）叫做这组数据的中位数．也考查了条形统计图、扇形统计图与用样本估计总体．
举一反三：
【变式】4 月23 日是“世界读书日”，向阳中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调
查，共发放100 份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格
如下：
月阅读册数（本）
1
2
3
4
5
被调查的学生数（人）20
50
15
10
5
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生月平均阅读册数为
本；
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第8页 共9页
让更多的孩子得到更好的教育
（2）被调查的学生月阅读册数的中位数是
；
（3）在平均数、中位数这两个统计量中，
更能反映被调查学生月阅读的一般水平；
（4）若向阳中学共有学生1600 人，求四月份该校学生共阅读课外书籍多少本？
【答案】
解：（1）平均阅读册数为：
=2.3（本）；
（2）∵共有100 名学生，
∴第50 和51 为同学的阅读量的平均数为中位数：
=2；
（3）在平均数、中位数这两个统计量中，中位数更能反映被调查学生月阅读的一般水平；
（4）2.3×1600=3680（本）．
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第9页 共9页
