文档文本内容
实际问题与二次函数—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题；
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模
型；
3.培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．
【要点梳理】
要点一、列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，
表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量
关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的
模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
要点二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关
系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
要点诠释：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存
在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际
问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解二次函数的基本性质；
②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
【典型例题】
类型一、何时获得最大利润
1．某商场以每件30 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的销售
价x(元)满足一次函数：m＝162-3x．
(1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 之间的函数关系；
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?
【思路点拨】
(1)根据总利润＝售出件数×(每件商品售价-进价)列函数关系式；
(2)利用配方法求售价及最大销售利润.
【答案与解析】
(1)∵每件商品利润为(x-30)元．
第1页 共6页
∴销售m 件商品利润为m(x-30)元，
又∵m＝162-3x，
∴每天利润y＝(162-3x)(x-30)．
即y＝-3x2+252x-4860．
(2)∵y＝-3x2+252x-4860＝-3(x-42)2+432，
又∵a＝-3＜0，∴当x＝42 时，y最大值＝432(元)．
答：(1)函数关系式为y＝-3x2+252x-4860；(2)每件商品售价42 元时，可获得最大利润，每天最大利
润是432 元．
【总结升华】
（1）读懂题意，弄清各个数量之间的关系是解决本题的关键；（2）在实际问题中遇到最大(小)
值问题时，往往先建立函数关系式，然后通过配方化为顶点式求解．
举一反三：
【变式】某商场试销一种成本为每件60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过
45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数
b
kx
y
，且
65
x
时，
55
y
；
75
x
时，
45
y
．
（1）若该商场获利为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的关系式，售价定为多少元时，商场可
以获利最大，最大利润为多少元？
（2）若该商场获利不低于500 元，试确定销售单价x 的范围．
【答案】
（1）据题意列
b
k
b
k
75
45
65
55
，解得
120
1
b
k
∴
120
x
y
，
∴W =
)
60
)(
120
(
x
x
=
7200
180
2
x
x
=
900
)
90
(
2
x
又∵60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87，则x=87 时获利最多，
将x=87 代入，得W =－（87-90）2+900=891 元 .
（2）
500
7200
180
2
x
x
，即
0
7700
180
2
x
x
0
)
110
)(
70
(
x
x
110
70
0
110
0
70
x
x
x
或
70
110
0
110
0
70
x
x
x
x
（舍）
则
110
70
x
，但
87
60
x
∴
87
70
x
答：销售单价x 的范围是
87
70
x
.
类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题
2．如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6 米，底部宽度OM 为12 米．现以O 点为原
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点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB，使C、D 点在抛物线上，A、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总
长的最大值是多少?
【答案与解析】
(1)M(12，0)，P(6，6)．
(2)设抛物线解析式为：
2
(
6)
6
y
a x
．
∵抛物线
2
(
6)
6
y
a x
经过点(0，0)，
∴
2
0
(0
6)
6
a
，即
1
6
a
．
∴抛物线解析式为：
2
1 (
6)
6
6
y
x
，即
2
1
2
6
y
x
x
．
(3)设A(m，0)，则B(12-m，0)，C
2
1
12
,
2
6
m
m
m
，D
2
1
,
2
6
m
m
m
．
∴支撑架总长
2
2
1
1
2
(12
2 )
2
6
6
AD
DC
CB
m
m
m
m
m
2
1
2
12
3 m
m
2
1 (
3)
15
3 m
．
∵此二次函数的图象开口向下．
∴当m＝3 时，.AD+DC+CB 有最大值为15 米．
【总结升华】根据题意设抛物线解析式为顶点式，又抛物线经过原点，不难求出其解析式，设A(m，0)，
用含m 的式子表示支撑架总长AD+DC+CB，根据函数性质求解．
举一反三：
【变式】如图是抛物线形拱桥，拱顶离水面2m，水面宽度4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
【答案】解：以抛物线的顶点作为原点，水平线作为x 轴，建立如图直角坐标系，设抛物线的解析式
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为
2
ax
y
，
∵过（2，-2）点，∴
2
1
a
，抛物线的解析式为
2
2
1 x
y
，
当
3
y
时，
6
x
，
∴宽度增加（
4
6
2
）m.
类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题
3．某跳水运动员进行10 m 跳台跳水训练时，身体(看作一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系
下经过原点O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员
在空中最高处距水面
2
10 3 m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距离水面高度为5m 以前，必须
完成规定的翻腾动作，并调整好人水姿势，否则就会出现失误．
(1)求这条抛物线的关系式；
(2)在某次试跳中测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好人水姿势
时，距池边的水平距离为3
35 m，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由．
【答案与解析】
(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的关系式为
2
y
ax
bx
c
．
由题意知，O、B 两点的坐标依次为(0，0)，(2，-10)，且顶点的纵坐标为2
3 ．
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∴
2
0,
4
2 ,
4
3
4
2
10.
c
ac
b
a
a
b
c
解得
25 ,
6
10 ,
3
0.
a
b
c
或
3 ,
2
2,
0.
a
b
c
∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴
0
2
b
a
，
又∵抛物线开口向下，
∴a＜0，b＞0，∴
25
6
a
，
10
3
b
，c＝0．
∴抛物线关系式为
2
25
10
6
3
y
x
x
．
(2)当运动员在空中距池边的水平距离为3
35 m 时，即
3
8
3
2
5
5
x
时，
2
25
8
10
8
16
6
5
3
5
3
y
．
∴此时运动员距水面的高为
16
14
10
5
3
3
(m)．
因此，此次跳水会出现失误．
【总结升华】(1)由图中所示直角坐标系，可知抛物线经过O、A、B 三点，O、B 两点的坐标由分析可知
O(0，0)、B(2，-10)，且点A 的纵坐标为2
3 ，故可设抛物线
2
y
ax
bx
c
，求得a、b、c 的值．
(2)会不会产生失误即运动员完成动作时到水面的距离是否小于5 米，换句话说就是完成动作
时所对应的抛物线上的点的纵坐标绝对值是否小于5 米．
举一反三：
【变式】一位运动员在距篮下水平距离4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为
2.5 米时，达到最大高度3.5 米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05 米. 若
该运动员身高1.8 米，球在头顶上方0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【答案】如图建立直角坐标系.
∵点(2.5，3.5)是这段抛物线的顶点
∴设解析式为：
5.3
)
5.2
(
2
x
a
y
(a≠0)（0≤x≤4），带入点（4,3.05），可求得：a=-0.2
∴
5.3
)
5.2
(
2.0
2
x
y
（0≤x≤4），
即
25
.2
2.0
2
x
x
y
,
当x=0 时，y=2.25，∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2 米.
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类型四、最大面积是多少
4．在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格矩形场地，如图所示．已知砖墙在地面上占地总长度160
m，问分隔墙在地面上的长度x 为多少时所围场地总面积最大?并求最大面积?
【思路点拨】
利用矩形的面积公式建立所围场地总面积与分隔墙在地面上的长度x 的函数关系式，写成顶点
式即可求出面积的最大值．
【答案与解析】
设所围场地总面积是y m2，根据题意得
2
(160
4 )
4
160
y
x
x
x
x
2
4(
20)
1600
x
．
所以分隔墙在地面上的长度x 为20m 时所围场地总面积最大，这个最大面积是1600 m2．
【总结升华】此类问题一般是先运用几何图形的面积公式写出图形的面积y 与边长x 之间的二次函数关系，
再求出这个函数关系式的顶点坐标，即为最大面积.
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