文档文本内容
相似多边形--知识讲解
责编：常春芳
【学习目标】
1、掌握相似多边形的概念及性质运用；
2、掌握相似三角形的概念及相关求值问题.
【要点梳理】
要点一、相似三角形
定义:在△ABC 和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
，那么
△ABC 和△A′B′C′相似，记做△ABC∽△A′B′C′．
相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
相似三角形的对应边的比叫作相似比.
一般地，若△ABC 与△A′B′C′的相似比为k,则△A′B′C′与△ABC 的相似比为
.
要点诠释：
全等三角形是相似比为1 的相似三角形.全等三角形是相似三角形的一个特例.
要点二、相似多边形
相似多边形：对于两个边数相等的多边形，如果他们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫
作相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
如果四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1相似，且点A,B,C,D 分别与点A1，B1，C1，D1对应，则记作：“四边
形ABCD∽四边形A1B1C1D1”.
相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
要点诠释：
用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
【典型例题】
类型一、相似三角形
1.已知：如图，△ADE∽△ABC，AB=10cm，AD=6cm，BC=12cm，∠A=56°，∠ADE=40°．
求：（1）∠ACB 的度数；
（2）DE 的长．
【思路点拨】 根据三角形相似，对应角相等，对应边的比相等，可以把本题转化为求∠AED 的问题，再根据对
应边的比相等，就可以求出DE 的长．
【答案与解析】 ∵∠A=56°，∠ADE=40°，
∴∠AED=84°．
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ACB=∠AED=84°，
．
∴
．
∴DE=7.2（cm）．
【总结升华】本题主要考查了相似三角形的性质，对应角相等，对应边的比相等．
2. 如图，△ABC 中，AI、BI 分别平分∠BAC、∠ABC．CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平
分线，交BI 延长线于E，连接CI．
（1）△ABC 变化时，设∠BAC=2α．若用α 表示∠BIC 和∠E；
（2）若AB=1，且△ABC 与△ICE 相似，求相应AC 长．
【思路点拨】（1）根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解．
（2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求解．
【答案与解析】
（1）∵AI、BI 分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠AIE=
又∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，
∴∠ACE=
=
∴∠AIE=∠ACE
即∠E=∠IAC=
=α
∵AI、BI 分别平分∠BAC、∠ABC，
∴CI 平分∠BCA，
又∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，
∴∠ICE=90°，
∴∠BIC=90°+∠E，
即∠BIC=90°+α.
（2）解：∵CI 是∠BCA 的平分线，CE 是∠ACB 的外角平分线，
∴∠ICE=∠ICA+∠ACE=
∠ACB+
∠ACD=90°，
分情况讨论：
①当△ABC∽△ICE 时，∠ABC=∠ICE=90°，∠ACB=∠IEC=α，
所以α=30°，AC=2
②当△ACB∽△ICE 时，∠ACB=∠ICE=90°，∠ABC=∠IEC=α，
所以α=30°，AC=
．
③当△BAC∽△ICE 时，∠BAC=∠ICE=90°，∠IEC=
∠BAC=45°，
所以∠ABC=∠ACB=45°，AC=AB=1．
【总结升华】两三角形相似，注意根据对应边的不同，分情况讨论是解决本题的关键．
举一反三
【变式】已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．
（1）求BD、CD 的长；
（2）过B 作BE⊥DC 于E，求BE 的长．
【答案】（1）Rt△ABC 中，根据勾股定理得：
BC=
=5，
∵Rt△ABC∽Rt△BDC，
∴
，
，
∴BD=
，CD=
；
（2）在Rt△BDC 中，
S△BDC=
BE•CD=
BD•BC，
∴BE=
=
=3.
类型二、相似多边形
3.（2014•镇江） 如图：矩形ABCD 的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图（1）若沿矩形ABCD 四周有宽为1 的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似吗？
请说明理由；
（2）如图（2），x 为多少时，图中的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似？
【答案与解析】
解：（1）不相似，
AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，
而
≠
；
（2）矩形ABCD 与A′B′C′D′相似，则
=
，
则：
=
，
解得x=1.5，
或
=
，
解得x=9．
∴当x=1.5 或9 时，图中的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似.
【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能
相似，缺一不可.
举一反三
【变式】如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，E、F 两点分别在AB、DC 上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD 与梯
形EBCF 相似，则AD 与BC 的长度比为（ ）
A.1:2 B. 2:3 C. 2:5 D.4:9
【答案】D.
4.（2014•南通）如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形
AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=
，求GD 的长．
【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；
（2）连接BD 交AC 于点P，则BP AC
⊥
，根据∠DAB=60°得到
然后求得EP=2
，最后利
用勾股定理求得EB 的长即可求得线段GD 的长即可．
【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
EAG= BAD
∴∠
∠
，
EAG+ GAB= BAD+ GAB
∴∠
∠
∠
∠
，
EAB= GAD
∴∠
∠
，
AE=AG
∵
，AB=AD，
AEB
AGD
∴△
△
≌
，
EB=GD
∴
；
（2）解：连接BD 交AC 于点P，则BP AC
⊥
，
DAB=60°
∵∠
，
PAB=30°
∴∠
，
BP=
∴
AB=1，
AP=
=
，AE=AG=
，
EP=2
∴
，
EB=
∴
=
=
，
GD=
∴
．
【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相
等．
