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正多边形和圆—知识讲解（提高）
责编：常春芳
【学习目标】
1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多
边形；
3.会进行正多边形的有关计算.
【要点梳理】
要点一、正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
要点诠释：
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形
的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
要点二、正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边
形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是
；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是
；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是
.
要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
要点三、正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2 ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n 边形的中心；当
边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相
似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点诠释：
（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的
外切正多边形.
要点四、正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以
等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n 边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形.
在⊙O 中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4 等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边
所对的弧(即作∠AOB 的平分线交
于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O 中，任画一条直径AB，分别以A、B 为
圆心，以⊙O 的半径为半径画弧与⊙O 相交于C、D 和E、F，则A、C、E、B、F、D 是⊙O 的6 等分点.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O 的3 等分点.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12 等分…….
要点诠释：画正n 边形的方法：（1）将一个圆n 等份，（2）顺次连结各等分点.
【典型例题】
类型一、正多边形的概念
1. 如图所示，正五边形的对角线AC 和BE 相交于点M．
(1)求证：AC∥ED；(2)求证：ME＝AE．
【解析与答案】
(1)正多边形必有外接圆，作出正五边形的外接⊙O，则AB 的度数为1
360
72
5
°
° ，
∵ ∠EAC 的度数等于EDC 的度数的一半，
∴ ∠EAC＝1
72
2
72
2
°
° ，
同理，∠AED＝1
2 ×72°×3＝108°，
∴ ∠EAC+∠AED＝180°，
∴ ED∥AC．
(2)∵ ∠EMA＝180－∠AEB－∠EAC＝72°，
∴ ∠EAM＝∠EMA＝72°，
∴ EA＝EM．
【点评】辅助圆是特殊的辅助线，一般用得很少，当有共圆条件时可作出辅助圆后利用圆的特殊性去解决
直线型的问题．要证AC∥ED 和ME＝AE，都可用角的关系去证，而如果作出正五边形的外接圆，则
用圆中角的关系去证比较容易．
【高清ID 号：356969 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题5-6】
2.（2015•威海模拟）如图，正方形ABCD 内接于⊙O，E 为DC 的中点，直线BE 交⊙O 于点F，若
⊙O 的半径为
，则BF 的长为
．
【答案】
.
【解析】解：连接BD，DF，过点C 作CN BF
⊥
于点F，
∵正方形ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为
，
BD=2
∴
，
AD=AB=BC=CD=2
∴
，
E
∵
为DC 的中点，
CE=1
∴
，
BE=
∴
，
CN×BE=EC×BC
∴
，
CN×
∴
=2，
CN=
∴
，
BN=
∴
，
EN=BE
BN=
∴
﹣
﹣
=
，
BD
∵
为⊙O 的直径，
BFD=90°
∴∠
，
CEN
DEF
∴△
△
≌
，
EF=EN
∴
，
BF=BE+EF=
∴
+
=
，
故答案为
．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及勾股定理以及三角形面积等知识，根据圆周角定理得出正多边
形边长是解题关键．
举一反三：
【高清ID 号：356969 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题3-4】
【变式】同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比等于（ ）
A．3：4 B．
：2 C．2：
D．1：2
【答案】B；
【解析】设圆的半径为1，如图（1），连接OA、OB 过O 作OG⊥AB；
∵六边形ABCDE 为正六边形，
∴∠AOB=
=60°；
∵OA=OB，OG⊥AB，
∴∠AOG=
=30°，
∴AG=OA•sin30°=1× = ，（或由勾股定理求）
∴AB=2AG=2× =1，
∴C 六边形ABCD=6AB=6．
如图（2）连接OA、OB 过O 作OG⊥AB；
∵六边形ABCDE 为正六边形，
∴∠AOB=
=60°，
∵OA=OB，OF⊥AB，
∴∠AOF=
=30°，
∴AG=OG•tan30°=
，（或由勾股定理求）
∴AB=2AG=2×
=
，
∴C 六边形ABCD=6AB=6×
=4
cm．
∴圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比=6：4
=
：2．
类型二、正多边形和圆的有关计算
3.（2014•江西模拟）如图，AG 是正八边形ABCDEFGH 的一条对角线．
（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H 中，连接两个顶点，使连接的线段与AG 平行，并说明理由；
（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN 的面积．
【答案与解析】
解：（1）连接BF，则有BF AG
∥
．
理由如下：
ABCDEFGH
∵
是正八边形，
∴它的内角都为135°．
又∵HA=HG，
1=22.5°
∴∠
，
从而∠2=135°
1=112.5°
﹣∠
．
由于正八边形ABCDEFGH 关于直线BF 对称，
∴
即∠2+ 3=180°
∠
，故BF AG
∥
．
（2）根据题设可知∠PHA= PAH=45°
∠
，
P=90°
∴∠
，同理可得∠Q= M=90°
∠
，
∴四边形PQMN 是矩形．
又∵∠PHA= PAH= QBC= QCB= MDE= MED=45°
∠
∠
∠
∠
∠
，AH=BC=DE，
PAH
QCB
MDE
∴△
△
△
≌
≌
，
PA=QB=QC=MD
∴
．即PQ=QM，
故四边形PQMN 是正方形．
在Rt
PA
△
H 中，∵∠PAH=45°，AH=2，
∴PA=
∴
．
故
．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定与性质等知识，得出PQ 的长是解题关键．
4. 如图（1）所示，圆内接△ABC 中，AB＝BC＝CA，OD、OE 为⊙O 的半径，OD⊥BC 于点F，OE⊥AC 于点
G，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是△ABC 的面积的1
3 ．
图（1）
【答案与解析】
(1)连OA、OB、OC，如图（2）所示，
图（2）
则OA＝OB＝OC，又AB＝BC＝CA．∴ △OAB≌△OBC≌△OCA，
又OD⊥BC 于F，OE⊥AC 于G，由垂径定理得AG＝1
2 AC，FC＝1
2 BC，
∴ AG＝CF．∴ Rt△AOG≌Rt△COF
∴
OCG
OCF
OCG
AOG
AOC
ABC
1
3
S
S
S
S
S
S
S
四边形OFCG
．
【点评】首先连接OC，根据垂径定理的知识，易证得Rt△OCG≌Rt△OCF，设OG=a，根据直角三角形的
性质与等边三角形的知识，即可求得阴影部分四边形OFCG 的面积与△ABC 的面积，继而求得答案．
举一反三：
【变式】如下图，若∠DOE 保持120°角度不变，求证：当∠DOE 绕着O 点旋转时，由两条半径和△ABC 的两
条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是△ABC 的面积的1
3 ．
【答案】连接OA、OB、OC，由(1)知△OAB≌△OBC≌△OCA．
∴ ∠1＝∠2．
设OD 交BC 于F，OE 交AC 于G，则∠AOC＝∠3+∠4＝120°，
∠DOE＝∠5+∠4＝120°，∴ ∠3＝∠5．
在△OAG 和△OCF 中
2
1
3
5
OA
OC
，∴ △OAG≌△OCF．
∴
ΔAOC
ΔABC
1
3
S
S
S
四边形OFCG
．
