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多边形及其内角和
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1.掌握多边形的内角和公式以及多边形外角和公式；
2.理解内角和定理的推导;
3.理解镶嵌的定义，学会运用镶嵌.
知识点：多边形的内角和定理
1.四边形内角和等于，能否利用三角形内角和等于180°得出结论：
2.从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图3，请填空：
（1）从五边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将五边形分为_____个三角形，
五边形的内角和等于180°×______．
（2）从六边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，
六边形的内角和等于180°×______．
3.一般地，怎样求n 边形的内角和呢？请填空：
从n 边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，它们将n 边形分为____个三角形，n 边形的
内角和等于180°×______．
结论：多边形的内角和与边数的关系是
4.镶嵌的定义：用相状、大小________的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间________、不
重叠得铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌。
1.多边形的内角和
【例1】一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】根据内角和定理180°•（n－2）即可求得．
【答案】
多边形的内角和公式为（n－2）•180°，
2
（n－2）×180°＝720°，解得n＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故选C．
练习1．（2014 湖南长沙实验中学期中）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数
为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
练习2．（2014 广东湛江三中月考）四边形的内角和为（ ）
A.180°
B.360°
C.540°
D.720°
2.正多边形的内角和问题
【例2】正八边形的每个内角为（ ）
A．120°
B．135°
C．140°
D．144°
【解析】根据正八边形的内角公式得出：[ （n﹣2 ）×180]÷n=[ （8﹣2 ）
×180]÷8=135°．
【答案】B
练习3.（2014 杭州一中期中）正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．4
练习4.（2014 贺州实验学校月考）已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边
是__________．
3.外角和问题
【例3】（2014 广西百色一中一模）五边形的外角和等于（ ）
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
【解析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【答案】B
练习5．（2014 山西省实验中学月考）一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正
多边形是（ ）A．正六边形
B．正七边形C．正八边形D．正九边形
练习6.（2014 四川眉山二中期中）若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多
边形的边数是（ ）
A．12
B．11
C．10
D．9
4.内角和和外角和综合问题
【例4】（2014 辽宁阜新八中期中）已知一个多边形的内角和是外角和的3 倍，则这个多边形
为
______边形．
【解析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于
360°，然后列方程求解即可．
【答案】设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°=3×360°，
解得n=8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
练习7.（2014 福建莆田四中月考）若一个正多边形的一个外角为40º，则这个正多边形是
_______边形．
练习8.（2014 广西来宾一中月考）如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多
边
形是（ ）
A.六边形 B.五边形
C.四边形
D.三角形
5.对角线问题
【例5】（2014 四川广安五中月考）若凸
边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对
角线条数是_____________．
n
3
【解析】n 边形的内角和为(n－2)×180°，从
边形的一个顶点出发，能因
条对角线，
故
边形共有
条对角线．
【答案】由题意可知(n－2)×180°＝1260°，解得
，所以从一个顶点出发能引9－3＝
6（条）对角线．
练习9．若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10 条对角线,则它是( )
A.十三边形
B.十二边形
C.十一边形
D.十边形
练习10.一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（ ）
A．6 条
B．7 条
C．8
D．9 条
6.综合问题
【例6】（2014 福建龙岩一中期中）如图，依次以三角形、四边形、……、n 边形的各顶点为
圆心画半径为l 的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边
形与各圆重叠部分面积之和记为S4，…．n 边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn．则S90的值为
_________________．（结果保留π）
【解析】根据题意可得出，重叠的每一部分是半径为1 的扇形，圆心角是多边形的内角和，根
据扇形的面积公式：S=
进行计算即可．
【答案】S3=
=
=
π；S4=
=
=π；…S90=
=
=44π．
故答案为44π．
练习11.（2014 江苏南京中考）如图，过正五边形ABCDE 的顶点A 作直线L∥CD，则∠1=
．
练习12.若一个多边形的内角和与外角和的比为7：2，求这个多边形的边数。
7.镶嵌
【例7】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且
它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ ）
A．2 种
B．3 种
C．4 种
D．5 种
【解析】知识点：两个正多边形的内角中各取一个内角的和是360°。[来源:Z。xx。
【答案】B
练习13.如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（ ）
A.正三角形
B. 正四边形
C.正六边形
D.正八边形
练习14．李刚同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺
平面的是（ ）
n
3
n
n
3
2
n n
9
n
4
A.(1)(2)(4)
B. (2)(3)(4)
C.(1)(3)(4)
D.(1)(2)(3)
练习15.如图所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的．
（1）用这种形状的材料为什么能铺成平整、无隙的地面？
（2）像上面那样铺地砖，能否全用正十边形的材料？为什么？
（3）你能不能另外想出一种用多边形（不一定是正多边形）的材料铺地面的方案？把你
想到的方案画成草图．
1.多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ）
A．互为余角
B．互为邻补角
C．两个角相等
D．外角大于内角
2.若n 边形每个内角都等于150°，那么这个n 边形是（ ）
A．九边形
B．十边形
C．十一边形
D．十二边形
3.随着多边形的边数n 的增加，它的外角和（ ）
A．增加
B．减小
C．不变
D．不定
4.若多边形的外角和等于内角和，它的边数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．7
5.一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（ ）
A．五边形
B．八边形
C．十边形
D．十二边形
6.一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（ ）
A．四边形
B.五边形
C．六边形
D．七边形
7.一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（ ）
A．180°
B．360°
C．720°
D．1080°
8.n 边形的n 个内角中锐角最多有（ ）个．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
9.多边形的内角和为它的外角和的4 倍，这个多边形是（ ）
A．八边形
B．九边形
C．十边形
D.十一边形
10.一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n 边形呢？
11.已知多边形的内角和为其外角和的5 倍，求这个多边形的边数．
12.若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的
1
2 ，求这个多边形的边数.
13.一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.
14.四边形ABCD 中，∠A+∠B=210°，∠C＝4∠D．求：∠C 和∠D 的度数．
15.在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的五分之一，求这个多边形的每一
个
内角的度数和它的边数。
16.只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）
5
A．正十边形
B．正八边形C．正六边形D．正五边形
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1．一个多边形的每一个外角都等于40°，则它的边数是__________；一个多边形的每一个内角
都等于140°，则它的边数是___________。
2．如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2：3：4，C那么这三个内角的度数
分别为_______。
3．若一个多边形的内角和为1080°，则它的边数是___________。
4.当一个多边形的边数增加1 时，它的内角和增加_________度。
5.正十边形的一个外角为______．
6._______边形的内角和与外角和相等．
7.已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，则这个多边形是_____C边形．
8.已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）
A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.七边形
9.一个正多边形，它的每一个外角都是45°，则该正多边形是（ ）
A.正六边形
B.正七边形
C.正八边形
D.正九边形
10.一个多边形的内角和是外角和的2 倍，则这个多边形的边数为 ．
11.如图，四边形ABCD 中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 度．
12.一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.
13.如图，在五边形ABCDE 中，AE⊥DE，∠BAE=120°，∠BCD=60°，∠CDE﹣∠ABC=30°．
（1）求∠D 的度数；
（2）AB∥CD 吗？请说明理由．
14.以四边形ABCD 各个顶点为圆心，1cm 长为半径画弧，则图中阴影部分面积之和是 cm2．
6
15.如图，是由12 个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有
_______个．
课程顾问签字： 教学主管签字：
