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难点探究专题：相似与特殊几何图形的综合问题(选做)
——突破相似中的综合问题及含动点的解题思路
类型一 相似与特殊三角形
1．一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为(0，1)，直角顶点C 的坐标为(－3，
0)，∠B＝30°，则点B 的坐标为______________．
第1 题图 第2 题图
2．(2016·黄冈中考)如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI 是4 个全等的等腰三角形，
底边BC、CE、EG、GI 在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG 于点Q，则QI＝
________．
3．(2016·福州中考)如图，在△ABC 中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC 边上截取AD＝BC，连
接BD.
(1)通过计算，判断AD2与AC·CD 的大小关系；
(2)求∠ABD 的度数．
类型二 相似与特殊四边形
4．(2016·东营中考)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连
接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC.其中正确的结论有(
)
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
第4 题图 第5 题图 第6 题图
5．如图，△ABC 和△DBC 是两个具有公共边的全等三角形，AB＝AC＝3cm，BC＝2cm.将
△DBC 沿射线BC 平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1.如果四边形ABD1C1是矩形，
那么平移的距离为________cm.
6．(2016·滨州中考)如图，矩形ABCD 中，AB＝，BC＝，点E 在对角线BD 上，且BE＝1.8，
连接AE 并延长交DC 于点F，则＝________．
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7．如图，在▱ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，点E、F 是AD 上的点，且AE＝EF＝
FD.连接BE、BF，使它们分别与AO 相交于点G、H.
(1)求EG∶BG 的值；
(2)求证：AG＝OG；
(3)设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a∶b∶c 的值．
类型三 运用相似解决几何图形中的动点问题
8．如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CD 上，且CN＝CD，若AB＝4，
设BM＝x，当x＝________时，以A、B、M 为顶点的三角形和以N、C、M 为顶点的三角形相似．
第8 题图 第9 题图
9．(2016·宜春模拟)如图，△ABC≌△DEF(点A、B 分别与点D、E 对应)，AB＝AC＝5，BC
＝6，△ABC 固定不动，△DEF 运动，并满足点E 在BC 边从B 向C 移动(点E 不与B、C 重合)，
DE 始终经过点A，EF 与AC 边交于点M，当△AEM 是等腰三角形时，BE＝________．
10．(2016·梅州中考)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M
从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB
边上以每秒cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒(0≤t≤5)，连接MN.
(1)若BM＝BN，求t 的值；
(2)若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；
(3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．
11．(2016·赤峰中考)如图，正方形ABCD 的边长为3cm，P，Q 分别从B，A 出发沿BC，AD
方向运动，P 点的运动速度是1cm/秒，Q 点的运动速度是2cm/秒，连接AP 并过Q 作QE⊥AP
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垂足为E.
(1)求证：△ABP∽△QEA；
(2)当运动时间t 为何值时，△ABP≌△QEA?
(3)设△QEA 的面积为y，用运动时间t 表示△QEA 的面积y(不要求考虑t 的取值范围)．
[提示：解答(2)(3)时可不分先后]
类型四 相似中的探究型问题
12．(2016·宁波中考)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶
点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个
为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
(1)如图①，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD 为△ABC 的完
美分割线；
(2)在△ABC 中，∠A＝48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求
∠ACB 的度数；
(3)如图②，△ABC 中，AC＝2，BC＝，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为
底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．
参考答案与解析
1．(－3－，3) 解析：如图，过点B 作BE⊥x 轴于点E.易证△EBC∽△OCA，∴＝＝.∵
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点A 的坐标为(0，1)，点C 的坐标为(－3，0)，∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝.在Rt△ACB 中，∠B
＝30°，∴AB＝2AC＝2，∴BC＝＝，∴＝.∴BE＝3，EC＝，∴EO＝EC＋CO＝＋3，∴点B 的坐
标为(－3－，3)．
2. 解析：∵△ABC、△DCE、△FEG 是三个全等的等腰三角形，∴HI＝AB＝2，GI＝BC
＝1，BI＝4BC＝4，∴＝＝，＝，∴＝.又∵∠ABI＝∠ABC，∴△ABI∽△CBA，∴＝.∵AB＝
AC，∴AI＝BI＝4.∵∠ACB＝∠FGE，∴AC∥FG，∴＝＝，∴QI＝AI＝.
3．解：(1)∵AB＝AC＝1，BC＝，∴AD＝，DC＝1－＝.∴AD2＝＝，AC·CD＝1×＝.∴AD2
＝AC·CD；
(2)∵AD ＝BC ，AD2 ＝AC·CD ，∴BC2 ＝AC·CD ，即＝. 又∵∠C ＝∠C ，
∴△BCD∽△ABC.∴＝＝1，∠DBC＝∠A.∴DB＝CB＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC.设
∠A＝x，则∠ABD＝x，∠DBC＝x，∠C＝2x.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝
180°，解得x＝36°，∴∠ABD＝36°.
4．A 解析：过D 作DM∥BE 交AC 于N.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝
90° ，AD ＝BC.∵BE⊥AC 于点F ，∴∠EAC ＝∠ACB ，∠ABC ＝∠AFE ＝90° ，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝.∵AE＝AD＝BC，∴＝，
∴CF＝2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM＝DE＝
BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF.∵BE⊥AC 于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确．
5．7 解析：作AE⊥BC 于E，∴∠AEB＝∠AEC1＝90°，∴∠BAE＋∠ABC＝90°.∵AB＝
AC，BC＝2，∴BE＝CE＝BC＝1.∵四边形ABD1C1是矩形，∴∠BAC1＝90°，∴∠ABC＋
∠AC1B＝90°，∴∠BAE＝∠AC1B，∴△ABE∽△C1BA，∴＝.∵AB＝3cm，BE＝1cm，∴＝，
∴BC1＝9cm，∴CC1＝BC1－BC＝9－2＝7(cm)，即平移的距离为7cm.
6. 解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD＝90°.∵AB＝，BC＝，∴BD＝＝3.∵BE＝
1.8，∴DE＝3－1.8＝1.2.∵AB∥CD，∴＝，即＝，解得DF＝，则CF＝CD－DF＝，∴＝＝.
7．(1)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴＝
＝.∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，∴GC＝3AG，GB＝3EG，∴EG∶BG＝1∶3；
(2)证明：∵GC＝3AG(已证)，∴AC＝4AG，∴AO＝AC＝2AG，∴GO＝AO－AG＝AG；
(3)解：∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，AF＝2AE.∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，∴
＝＝＝，∴＝，即AH＝AC.∵AC＝4AG，∴a＝AG＝AC，b＝AH－AG＝AC－AC＝AC，c＝AO
－AH＝AC－AC＝AC，∴a∶b∶c＝∶∶＝5∶3∶2.
8．2 或 解析：∵在正方形ABCD 中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4.∵BM＝x，∴CM＝4－
x.∵CN＝CD，∴CN＝1.当△ABM∽△MCN 时，＝，即＝，解得x＝2；当△ABM∽△NCM 时，
＝，即＝，解得x＝.综上所述，当x＝2 或时，以A、B、M 为顶点的三角形和以N、C、M 为顶点
的三角形相似．
9．1 或 解析：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；
当AE＝EM 时，则△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1.当AM＝EM 时，
则∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，即∠CAB＝∠CEA.又∵∠C＝
∠C，∴△CAE∽△CBA，∴＝，∴CE＝＝，∴BE＝6－＝，∴BE＝1 或.
10．解：(1)在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC
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＝10，BC＝5.由题意知：BM＝2t，CN＝t，∴BN＝5－t.∵BM＝BN，∴2t＝5－t，解得t＝＝10－
15；
(2)分两种情况：①当△MBN∽△ABC 时，则＝，即＝，解得t＝；②当△NBM∽△ABC 时，
则＝，即＝，解得t＝.综上所述，当t＝或t＝时，△MBN 与△ABC 相似；
(3)过M 作MD⊥BC 于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴＝，即＝，解得MD＝t.
设四边形ACNM 的面积为y，∴y＝×5×5－(5－t)·t＝t2－t＋＝＋.∴根据二次函数的性质可
知，当t＝时，y 的值最小．此时，y 最小＝.
11．(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAP＋∠QAE＝∠B＝90°.∵QE⊥AP，
∴∠QAE＋∠EQA＝∠AEQ＝90°，∴∠BAP＝∠EQA，∠B＝∠AEQ，∴△ABP∽△QEA；
(2)解：∵△ABP≌△QEA，∴AP＝AQ.在Rt△ABP 与Rt△QEA 中，根据勾股定理得AP2
＝32＋t2，AQ2＝(2t)2，即32＋t2＝(2t)2，解得t1＝，t2＝－(不符合题意，合去)．即当t＝时
△ABP≌△QEA；
(3)解：由(1)知△ABP∽△QEA，∴＝，∴＝，整理得y＝.
12．解：(1)如图①中，∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形．
∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD 为等
腰三角形．∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD 是△ABC 的完
美分割线；
(2)①当AD＝CD 时，如图②，∠ACD＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝
48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°；
②当AD＝AC 时，如图③，∠ACD＝∠ADC＝＝66°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A
＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°；
③当AC＝CD 时，如图④中，∠ADC＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝
48°.∵∠ADC>∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB＝96°或114°；
(3)由已知AC＝AD＝2，∵△BCD∽△BAC，∴＝，设BD＝x，∴()2＝x(x＋2)．∵x>0，∴x
＝－1.∵△BCD∽△BAC，∴＝＝，∴CD＝×2＝－.
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